CC BY
7
УДК 512.625 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 1 М8С 11831
Формальные группы над подкольцами кольца целых многомерного локального поля*
А. И. Мадунц, С. В. Востоков, Р. П. Востокова
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Мадунц А. И., Востоков С. В., Востокова Р. П. Формальные группы над подкольцами кольца целых многомерного локального поля // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 1. С. 8897. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.106
В работе строятся так называемые кольца сходимости кольца целых многомерного локального поля. Кольцо сходимости — это подкольцо кольца целых, обладающее тем свойством, что любой степенной ряд с коэффициентами из подкольца сходится при подстановке вместо переменной произвольного элемента максимального идеала. Выводятся свойства колец сходимости и явная формула для их построения. Заметим, что многомерный случай принципиально отличается от случая классического (одномерного) локального поля, где кольцом сходимости является все кольцо целых. Далее рассматривается многомерное локальное поле с нулевой характеристикой предпоследнего поля вычетов. Для каждого кольца сходимости такого поля вводится гомоморфизм, позволяющий по степенному ряду с коэффициентами из кольца построить формальную группу над тем же кольцом с логарифмом, имеющем коэффициенты из поля, причем для коэффициентов задается явная формула. Кроме того, по изогении с коэффициентами из кольца сходимости строится обобщение понятия формальной группы Любина—Тейта над этим кольцом, а также изучаются эндоморфизмы данных формальных групп и выводится критерий их изоморфизма. Доказывается взаимно однозначное соответствие между формальными группами, созданными с помощью кольцевого гомоморфизма и с помощью изогении. Также для любого конечного расширения многомерного локального поля с нулевой характеристикой предпоследнего поля вычетов рассматривается группа точек, порожденная соответствующей формальной группой Любина—Тейта.
Ключевые слова: многомерные локальные поля, формальные группы Любина—Тейта, сходимость степенных рядов.
1. Многомерные локальные поля и их топология. Формальные группы над кольцом целых классического локального поля (в частности, группы Любина— Тейта) не только широко применимы, но и допускают различные модификации (см. [1-3]). Однако при обобщении результатов на многомерный случай (см. [4-6]) существенным оказывается факт, что степенной ряд с коэффициентами из кольца целых, вообще говоря, не сходится при подстановке вместо переменной элемента из максимального идеала. В [7] установлено, при каком необходимом и достаточном условии на подмножество кольца целых сходятся всевозможные ряды, коэффициенты которых принадлежат данному подмножеству. Мы построим и изучим кольца с соответствующим свойством, объединение которых дает все кольцо целых.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (грант №16-11-10200).
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2019
Приведем уже известные результаты, которые будут использованы далее (подробнее о многомерных локальных полях см. [7-11]).
Прежде всего, напомним, что структура n-мерного локального поля на K — это цепочка полей K(n) = K, K(n-i), ..., K(i), K(0), где K i — полное дискретно нормированное поле с полем вычетов K(i-i), i = l,...,n, причем K(0) конечно.
Пусть K — n-мерное локальное поле, (ti,... ,tn) —система его локальных параметров, vk = v = (г^1),..., г/™)) — многомерное нормирование, О к = О— кольцо целых, а рк = р — максимальный идеал этого кольца.
Для поля F, полного относительно дискретного нормирования w, положим
F {{t}} = i ct : Ci e F, w(ci) > c> -ж, w(ci)
Множество F{{t}} является полем относительно стандартных операций. Пусть
vi ^^ citi I = minw(ci).
Тогда v — дискретное нормирование на -Ffti}}, и -Fftt}} превращается в полное поле с полем вычетов F((t)). Таким образом, если F— (п — 1)-мерное локальное поле, то F{{t}} — n-мерное локальное поле.
В работе [12] доказана следующая структурная теорема.
Теорема 1.1. Пусть K =
K (n)
— n-мерное локальное поле.
1. Если charK = p, то K к Fg((ti))... ((tn)), где Fg — конечное поле из q элементов.
2. Если charK(m-1) = p, charK(m) = 0, 2 < m < n, то K изоморфно конечному вполне разветвленному расширению поля
k{{ ti}} ...{{tm-i}} ((tm+i)) ...((tn)),
где k — классическое локальное поле (конечное расширение поля Qp). Кроме того, K имеет конечное расширение подобного вида.
3. Если charK(i) = 0, charK(0)
= p, то K к k((t2))... ((tn)), где k =
K (i)
— классическое локальное поле.
Топология многомерного локального поля подробно описана в [13]. Заметим, что она учитывает топологии полей вычетов. Структурная теорема позволяет в интересующих нас вопросах ограничиться так называемыми стандартными полями: K = k((t2))... ((tn)) (случай нулевой характеристики поля Ki, подробно разобранный в [5]), K = Fg((ti))... ((tn)) (многомерное локальное поле положительной характеристики) или
K = k{{ ti}} . . . {{tm-i}} ((tm+i)) . . . ((tn )),
где k — классическое локальное поле нулевой характеристики, а в качестве tm взяли униформизующую поля k. Первый вариант можно считать частным случаем третьего при m = 1, второй — при m = 1 и одномерном поле k характеристики p (то есть, k = Fg((ti))).
Теперь сформулируем доказанный в [7] критерий для подмножества кольца целых многомерного локального поля, позволяющий гарантировать сходимость всевозможных рядов, коэффициенты которых принадлежат данному подмножеству. В [13] он был применен к исследованию сходимости степенных рядов и бесконечных произведений, в виде которых, в частности, можно задавать элементы многомерного локального поля.
Пусть В — полная система представителей в к элементов последнего поля вычетов К. Тогда любое а € К однозначно представляется в виде
а= ]Г ]Г ••• Е аТ*1 •••СХеВ.
Гп>ги„(а) гп- 1>и>п-1(аГг1) г 1>ги1(аг2)
Здесь и>я(аГа+1) —наименьшая степень имеющая ненулевой коэффициент, т. е. для в > т имеем = уК(в) . Однако при в < т множество В((^))... ((^)) не является полем, а соответствующие величины — нормированиями.
Обозначим гя = (гд,..., гп), 1 < в < п. Для элемента а, формально заданного
как
а =
г
при фиксированном г3 под аГз будем подразумевать коэффициент при 1Г83 ... т. е.
^Е'-'Е^!1--^-!1-
га-1 Г1
Пусть А — некоторое подмножество поля К. Тогда все ряды
с(Х) = £ стХт
т> 1
с коэффициентами из А сходятся при подстановке вместо Х произвольного элемента максимального идеала р в том и только в том случае, когда выполнена следующая совокупность условий:
М юп(а) = 1п > —ж;
аЕЛ
для любого в = п — 1,..., 1 при всех гя+1 имеем
Ы ■ш3(аГа+1) = 1в(г8+1) > -оо.
аЕЛ
Заметим, что все кольцо целых поля К не обладает нужным свойством — например, для п = 2 ряд т>о Xт расходится при X = ¿1. Докажем следующее важное утверждение.
Теорема 1.2. Кольца вида
Л=\а=И Е ••• Е
^ Гп>1п Гп-1>1п-1(Гп) Г1 >11(г2,...,Тп)
где (г8_|_1) + /3(^8+1) = + .7 3+1) Дя(0,..., 0) =0, обладают тем свойством,
что все ряды
с(Х) =53 стХт
т> 1
с коэффициентами ст € А сходятся при подстановке вместо X произвольного элемента максимального идеала р. Будем называть эти кольца кольцами сходимости. По любому набору
/ка € N и {0}, 1 < к < в < п,
можно построить некоторое кольцо сходимости, причем В С А и А имеет образующие вида ¿П . .ЛЦ ,га € 1.
Доказательство. Выберем В, содержащее 0 и 1, и будем искать кольцо А такое, что все ряды
с(Х) = 53 стХт
т> 1
с коэффициентами из А сходятся при подстановке вместо X произвольного элемента максимального идеала р, причем В С А и А имеет образующие вида ¿п .. АЦ1,
Га € 1.
Поскольку ¿П . .А^! € А можно записать как ¿П . . А^-! € А, получаем 1а (Га + 1, ...,Гп) < 0 при всех подходящих Га+1, ...,Гп.
При условии ¿п ..А"!1 € А по мультипликативной замкнутости верно ¿ПГп .. А1^1 € А всех натуральных к. Поэтому к1п > 1п и 1п > 0. Аналогично при 1 < в < п — 1 получаем к1а(0,...,0) > 1а(0,..., 0). Следовательно, 1п = 0,1а(0,...,0) = 0 для 1 < в < п — 1 .
Условие 1 > 11(0,...,0) = 0 дает Ь1 € А, а из 1 > 12(0,...,0) = 0 следует Ъ2Ъ-112 € А,/12 = —11(1,0,...,0) € N и {0}. Продолжая процесс, получаем !а = ¿а-"-1* ...¿-кв € А, где
ака = —1к (—1к+1а,...,—1а-1а, 1, 0,..., 0) € N и{0}
при к < в, причем /а_1а = —1а-1(1, 0,..., 0).
Заметим, что по мультипликативности Ъа € А, 1 < в < п, а также из
С • • • £+1 ^ (1+1)еД 4: ■ ■ ■ е А
следует ... € А, что дает
1а^а+1)+1аиа+1) > Is{is+1+js+1).
Итак,
А={о.= 53 ••• 53
Гп>1п Гп-1>1п-1(гп) Г1 >11(Т2,...,ТП)
где
1а(га+1) + 1аиа+1) >1а(га+1+За+1), 1а(0, ... ,0) = 0 (в частности, А содержится в кольце целых поля К).
Положим /я(гя+1 = 1) + В этом случае непосредственным
вычислением можно вывести рекуррентную формулу
Хз(Гз + 1) = -/88+1(г8+1 - 18+1(Г8+2)) -----/8п_1(гп_1 - /п-1(г„)) - 1апгп,
где 1п-1 (Гп) = -¡и-ыГи-
Индукцией можно получить также явную формулу
1з(Уз +1) = —/88 + 1г8 + 1 ~~ (1вв+2 + — • • • —
— (1ьп + ¡88+118+1п + ••• + 1ьп-11п-1п + ¡88+1¡8 + 18+2 ¡8+2п + ••• +
+ ¡88+118 + 18 + 2 • • • 1п-1п)гп-
Таким образом, любое ¿Ц1 ... ¿п € А представляется в виде произведения фиксированных элементов из А в неотрицательных степенях:
+Г1 ,тп = (, ,-1п-1п л-кп )тп „
¿1 . . . ¿п = (лплп-1 • • . ¿1 ) х
х (лп 1 Л-1п—2п-1 л — 11п-1 )Тп-1-1п-1(тп) (-£2-£-112 )т2-/2(тз,...,т„)лт1-/1(т2,---,тп)
Следовательно, А = В[[!и... ,1п]], где ¿1 = ¿1,... ,1п = ¿п¿-ы-1п ...г-кп,-новые локальные параметры, лежащие в А.
Данные формулы позволяют также по любому набору
1к8 € N и {0}, 1 < к < в < п, построить функции /я(гя+1) со свойством
^(«8+1 +Л + 1) = ^(«8 + 1) + а по ним — соответствующее кольцо сходимости. □
2. Формальные группы Любина—Тейта над кольцами сходимости (случай нулевой характеристики предпоследнего поля вычетов). Пусть теперь К — многомерное локальное поле с предпоследним полем вычетов характеристики ноль, т.е. К « к((Л2)) • • • ((¿п)), где к = К(1) —классическое локальное поле с униформизующей п. В этом случае кольца сходимости, введенные в предыдущем пункте, имеют вид
А = Ок [[¿2]] • • • [[4]],
где ¿2 = Л2п-112, . . . ,Лп = ¿г—п... ¿-11п.
Обозначим через а эндоморфизм поля К, тождественный на к и действующий по формуле
_ " _ а~1гГ1+Г2<1
( ]Г агттг1 . .. f-Y = ]Г a Vt^ .. . ft".
Заметим, что в случае нулевой характеристики предпоследнего поля вычетов а является кольцевым гомоморфизмом колец сходимости, т. е. переводит A в A. Главный идеал B = (эт) кольца A обладает следующими свойствами:
а" ее aq mod <8, ре!В, -<В С А.
■к
Для любого ряда g(X) = ^г> 1 a,iXг, аг G A, положим ga(X) = 1 ai Xг.
При этих условиях применима функциональная лемма из работы Хазевинке-ля [14].
Лемма 2.1. 1. Для любого ряда g(X) е XA\\X]] существует единственный
.9{Х)=д{Х) + ± А-(
F(X,Y) = X-\\a (X) + \д (Y)) е A[[X, Y]].
ряд Xд(Х) G if[[X]] такой, что Хд(Х) = д(Х) + ^Ад(Х9), причем
При g(X) = X mod deg 2 ряд F(X, Y) является формальной группой, а Xa (X) — ее логарифмом.
2. Для любых Xai (X), Xg2 (X) таких, что
AS1 (X) = gi(X) + (X"), AS2 (X) = g2(X) + (X") и первый коэффициент ряда gi(X) обратим, имеем
X-1(Xg2 (X)) е A[[X]].
3. Для любых gi(X),h(X) е XA[[X]] существует единственный ряд g2(X) е XA\\X]] такой, что Xai (h(X)) = Xg2 (X).
4. Для любых a(X),e(X) е A[[X]] имеем
a(X) = e(X) mod ns ^ X(a(X)) = X(fi(X)) mod ns.
5. Пусть G(X, Y) — произвольная формальная группа, а F(X, Y) — формальная группа, логарифм которой удовлетворяет функциональному уравнению Xg (X) = g(X) + ^Xg(Xq). Тогда F и G изоморфны в том и только том случае, когда логарифм G удовлетворяет функциональному уравнению того же типа, причем в этом случае изоморфизм строгий.
Непосредственным вычислением можно проверить следующее утверждение.
Предложение 2.2. Пусть g(X) = X + biXi,Xg(X) = X + aXi. Тогда если q \ i, то ci = bi, а если
qm I i,qm+1 \ i
1 a 1 a2 1 am
Ci = bi + ~bi/q + ----h bi/qm-
Заметим, что Xg и nXg удовлетворяют функциональному уравнению одного типа. Положим l(X) = (Xg) 1(nXg(X)), где g(X) = X mod deg2. Тогда
l(X) е A[[X]], l(X) = Xq mod B, l(X) = nX moddeg2.
Введем множество
Fn = {f (X) е A[[X]] : f (X) = Xq mod B, f(X) = nX mod deg 2}.
то
Аналогично случаю классической формальной группы Любина—Тейта (см. [1, 15]) доказывается следующее утверждение.
Лемма 2.3. Для любых f(X),g(X) GFn и a1, ...,as GOk существует единственный ряд
F(Xi,...,Xs) G A[[Xi,...,Xs]] такой, что F(X1,..., Xs) = a1X1 + ■ ■ ■ + asXs mod deg2 и
f (F (X1,...,Xs)) = F * (g(X1),...,g(Xs)).
Следствие 2.3.1. Для любого f (X) G существует единственная формальная группа Ff (X,Y) над A, для которой f (X) G Hom(F, F*) (то есть, f о Ff =
f о f).
Определение 2.4. Формальную группу Ff, полученную таким образом, назовем формальной группой Любина—Тейта над A, а f(X) —ее изогенией. Формальную группу Fo, ассоциированную с
fo(X )= nX + Xq,
назовем базисной.
Следствие 2.4.1. Для любых f (X),g(X) GFn и каждого a GOk существует единственный ряд [a]f,g(X) G A[[X]] такой, что
[a]f,g(X) = aX mod deg2
[а]1в ° 9 = 1 ° [аЪ,д.
При этом ) € Иош(^3).
Для соответствующих [а]f,g, [в]д,н верно [а]f,g ° [в]д,н = [ав\!,н, а для [а]f,g, [в]f,g имеем
[а]f,g [в}f,g = [а + в}f,g,
где под ([а]f,g +Р [в]f,g)(Х) подразумевается Ff ([а]f,g(X), [в]f,g(X)).
Таким образом, отображение а ^ [а]f g является вложением О к в кольцо Иош^, Ff).
Теорема 2.5. Формальные группы Любина—Тейта над А находятся во взаимно-однозначном соответствии с формальными группами, полученными применением леммы 2.1.
Доказательство. Уже было проверено, что для произвольного
д(Х) € ХА[[Х]], д(Х) = X шod deg 2
имеем /(Х) = (Ха)-1(п\(Х)) € . Кроме того, /(Х) € Иош^(^ Fa). По единственности в лемме 2.3 формальная группа F(Х,У) совпадает с Ff (Х,У).
и
Теперь выберем любое к(Х) € . По следствию леммы 2.3 существует
\l\fh € Нашл^).
Но Х-1(Х^(Х)) = Х moddeg2, причем Х-1 (Хь) € HomA(Fh,Ff). Значит, Х^ = что по лемме 2.1 дает А^ = А31. □
Замечание 2.5.1. Аналогично получаем, что [а\(Х) = Х-1(аХ(Х)). Кроме того, легко видеть, что формальные группы Любина—Тейта изоморфны над А тогда и только тогда, когда их изогении принадлежат одному семейству .
Фиксируем А — кольцо сходимости поля К, и выберем Ff (Х,У) — формальную группу Любина—Тейта над А. Пусть Ь — конечное расширение К (в нашем случае Ь = Ь1((Т2))... ((Тп)), где Ь1 —конечное расширение локального поля к и ъь(Ъа) = (0,... ,еа,... ,0)). Легко видеть, что А является также кольцом сходимости для поля Ь.
Введем операции формального сложения элементов х,у € рь, где рь — максимальный идеал поля Ь: х +р у = Ff (х,у) и умножения элемента х € рь на элемент а € О к: а -р х = \oi\f (х).
Множество рь с данными операциями назовем группой точек (она имеет структуру Ок -модуля). Таким образом, для колец описанного вида получено обобщение понятий формальных групп Любина—Тейта и группы точек.
Заметим, что в случае классических (одномерных) локальных полей ситуация гораздо проще. Там кольцом сходимости является все кольцо целых, что позволяет строить бесконечные формальные суммы для различных типов формальных групп и, в частности, вывести явную формулу для построения символа Гильберта (см. [1]
и [16]).
Литература
1. Lubin J., Tate J. Formal complex multiplication in local fields // Ann. of Math. 1985. Vol.81, №2. P. 380-387.
2. Madunts A. I. Formal Modules for Relative Formal Lubin—Tate Groups // Journal of Mathematical Sciences (United States). 2018. Vol.232. P. 704-716.
3. Shalite E. Relative Lubin—Tate groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. Vol.95, №1. P. 1-4.
4. Madunts A.I. Classification of Generalized Formal Lubin—Tate Groups over Multidimensional Local Fields // Journal of Mathematical Sciences (United States). 2018. Vol.234. P. 175-179.
5. Афанасьева С. С. Символ Гильберта в многомерных локальных полях для формальной группы Любина—Тейта. 2 // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2013. Т. 413. С. 26-44.
6. Мадунц А. И. Формальные группы Любина—Тейта над кольцом целых многомерного локального поля // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2001. Т. 281. С. 221-226.
7. Мадунц А. И. Сходимость последовательностей и рядов в многомерных полных полях. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Санкт-Петербург. 1995. С. 1-14.
8. Жуков И. Б. Абелевы расширения и топологические Х-группы многомерных локальных полей. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург, 1991. С. 1-14.
9. Паршин А. Н. К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40. С. 736-773.
10. Фесенко И. Б. Теория полей классов многомерных локальных полей нулевой характеристики с полем вычетов положительной характеристики // Алгебра и анализ. 1991. Т. 3. С. 165-196.
11. Фесенко И. Б. Теория локальных полей. Локальная теория полей классов. Многомерная локальная теория полей классов // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4. С. 403-438.
12. Жуков И. Б. Структурная теорема для полных полей // Труды Санкт-Петерб. Мат. общ. 1994. Т.3. С. 215-234.
13. Жуков И. Б., Мадунц А. И. Аддитивные и мультипликативные разложения в многомерных локальных полях // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2000. Т. 272. С. 186-196.
14. Hazewinkel M. Formal groups and applications. New-York: Academic press, 1978. 573 p.
15. Ивасава К. Локальная теория полей классов. М.: Мир, 1983. 180 с.
16. Шафаревич И. Р. Общий закон взаимности // Матем. сб. 1950. Т. 26, № 1. С. 113-146.
Статья поступила в редакцию 28 июня 2018 г.;
после доработки 30 августа 2018 г.; рекомендована в печать 27 сентября 2018 г.
Контактная информация:
Мадунц Александра Игоревна — старший преподаватель; madunts@mail.ru; Востоков Сергей Владимирович — д-р физ.-мат. наук, проф.; s.vostokov@spbu.ru Востокова Регина Петровна — канд. физ.-мат. наук, доц.; rvostokova@yandex.ru
Formal groups over sub-rings of the ring of integers of a multidimensional local field
A. I. Madunts, S. V. Vostokov, R.P. Vostokova
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Madunts A. I., Vostokov S. V., Vostokova R. P. Formal groups over sub-rings of the ring of integers of a multidimensional local field. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2019, vol. 6(64), issue 1, pp. 88-97. https://doi.org /10.21638/11701/spbu01.2019.106 (In Russian)
In the work we construct so-called convergence rings for the ring of integers of a multidimensional local field. The convergence ring is a sub-ring of the ring of integers having the property that any power series with coefficients from the sub-ring converges when replacing a variable on an arbitrary element of the maximum ideal. The properties of convergence rings and an explicit formula for their construction are derived. Note that the multidimensional case is fundamentally different from the case of the classical (one-dimensional) local field, where the convergence ring is the whole ring of integers. Next, we consider a multidimensional local field with zero characteristic of the penultimate residue field. For each convergence ring of such a field, we introduce a homomorphism that allows for a power series with coefficients from the ring to construct a formal group over the same ring with a logarithm having coefficients from the field, and we give an explicit formula for the coefficients. In addition, we constructe a generalization of the formal Lubin—Tate group over this ring, study the endomorphisms of these formal groups and derive a criterion for their isomorphism. We prove a one-to-one correspondence between formal groups created by ring homomorphism and by isogeny. Also for any finite extension of a multidimensional local field with zero characteristic of the penultimate residue field, we considere the point group generated by the corresponding Lubin—Tate formal group.
Keywords: multidimensional local field, Lubin—Tate formal group, convergence of power series.
References
1. Lubin J., Tate J., "Formal complex multiplication in local fields", Ann. of Math. 81(2), 380—387 (1985).
2. Madunts A. I., "Formal Modules for Relative Formal Lubin—Tate Groups", Journal of Mathematical Sciences (United, States) 232, 704-716 (2018).
3. de Shalite E., "Relative Lubin—Tate groups", Proc. Amer. Math. Soc. 95(1), 1-4 (1985).
4. Madunts A. I., "Classification of Generalized Formal Lubin-Tate Groups over Multidimensional Local Fields", Journal of Mathematical Sciences (United States) 234, 175-179 (2018).
5. Afanas'eva S. S., "The Hilbert symbol in multidimensional complete fields for formal Lubin—Tate groups. 2", Zap. Nauchn. Semin. POMI 413, 26-44 (2013).
6. Madunts A. I., "Formal Lubin—Tate groups over the ring of integers of a multidimensional local field", Zap. Nauchn. Semin. POMI 281, 221-226 (2001).
7. Madunts A. I., Convergence of sequences and series in multidimensional complete fields, 1-14 (Author's summary of the PhD Thesis, St. Petersburg, 1995).
8. Zhukov I., Abelian extensions and topological K-groups of multidimensional local fields, 1-14 (Author's summary of the PhD Thesis, St. Petersburg, 1991).
9. Parsin A.N., "On the arithmetic of two-dimensional schemes. I. Distributions and deductions", Mathematics of the USSR-Izvestiya 40, 736-773 (1976).
10. Fesenko I. B., "Class field theory of multidimensional local fields of characteristic 0 with residue field of positive characteristic", Algebra and analysis 3(3), 165-196 (1991).
11. Fesenko I. B., "The theory of local fields. Local Class Field Theory. Multidimensional local class field theory", Algebra and analysis 4, 403-438 (1992).
12. Zhukov I., "Structural theorem for complete fields", Trudy SPb Mat. Obshch. 3, 215-234 (1994).
13. Zhukov I., Madunts A. I., "Additive and Multiplicative Expansions in Multidimensional Local Fields", Zap. Nauchn. Semin. POMI 272, 186-196 (2000).
14. Hazewinkel M., Formal groups and applications (Academic press, New York, 1978, p. 573).
15. Iwasawa K., Local Class Field Theory (Russian translation, Mir Publ., Moscow, 1983, p. 180).
16. Shafarevich I.R., "The general reciprocity law", In: Mat. Sb. 26(68)(1), 113-146 (1950).
Received: June 28, 2018 Revised: August 30, 2018 Accepted: September 27, 2018
Author's information:
Aleksandra I. Madunts — madunts@mail.ru Sergey V. Vostokov — s.vostokov@spbu.ru Regina P. Vostokova — rvostokova@yandex.ru
