CC BY
14
УДК 512.741 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4 (62). 2017. Вып. 2
МЯО 11831
СПАРИВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА
ДЛЯ ФОРМАЛЬНЫХ ГРУПП ЛОРЕНЦА*
С. В. Востоков1, П. Н. Питаль2
1 Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
2 Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Российская федерация, 190005, Санкт-Петербург, ул. 1-я Красноармейская, 1
В работе строится явное спаривание в рядах Картье для формальных групп Лоренца (X + У + ХУ)/(1 + с2ХУ), где с — единица кольца целых локального поля. Доказываются основные свойства этого спаривания — билинейность и инвариантность, которые позволяют с его помощью строить в явном виде обобщенный символ Гильберта для формальных групп Лоренца над кольцами целых локальных полей. Библиогр. 15 назв.
Ключевые слова: спаривание на формальных модулях, формальные групповые законы.
Введение. Спаривание Гильберта для различных формальных групп в явном виде было построено в работах [1, 2]. В настоящей работе такое спаривание строится для формальных групп Лоренца, имеющих вид F^¡c(X, У) = (X + У)/(1 + е2ХУ), где с — некоторая единица локального поля, над модулями кривых Картье. При этом кроме тривиальных свойств типа билинейности доказывается важное свойство — инвариантность, т. е. независимость от выбора переменной. В первом параграфе работы даются основные обозначения и вспомогательные утверждения об эндоморфизмах формального модуля, строятся формальные логарифм и экспонента. Во втором параграфе строится основная функция, играющая важную роль в построении спаривания — функция Артина—Хассе. В последнем параграфе определяется явное спаривание Гильберта на модулях кривых Картье, проверяется билинейность спаривания (лемма 3.1), а также формула замены переменной для функции Артина—Хассе (лемма 3.2). Далее в этом параграфе (теорема 3.3) доказывается инвариантность построенного спаривания относительно замены переменной X = д(У).
1. Подготовительные вычисления и основные обозначения.
• к — локальное поле, являющееся конечным расширением (где р — простое нечетное число);
• К — его конечное расширение, содержащее первообразный корень рп-й степени из единицы £;
• Н — мультипликативная система представителей Тейхмюллера поля вычетов К поля К в кольце целых Ок;
• М — максимальный идеал кольца целых Ок,
• Т — подполе инерции К/(р, От — его кольцо целых,
• с, X — переменные,
• О'т = От[с], Мс = ХО'т[[X]] — идеал в О'т[X].
• Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (грант 1716-11-10200). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2017
Пусть ^ — автоморфизм Фробениуса в T/Qp. Определим оператор Фробениуса Д в 0'т [Х]:
Д (Е «¿с0 := Е «Гср\ а е От,
Д (Е а»Х:= Е а,ЛХр\ а» е ОТ[с]. Определим следующие формальные группы:
1) над кольцом От единичную формальную группу Лоренца ^(Х, У) = ;
2) над кольцом О^, формальную группу Лоренца Р^С(Х, У) = 1^с2ху ■ Зададим на Х0!г[[X]] структуру модуля рядов Картье:
/ +я,е д = ^/,д е ХМС[[Х]].
Пусть далее ^С(МС) —формальный модуль Картье группы Заметим, что имеет место равенство
а также
шсш-1^) + ш-1(У)) = ш (V1 (^¿р)) =
и, аналогично,
^,С(Х,У) = с-1Ш(Ш-1(сХ) + Ш-1(сУ)).
Основываясь на справедливости этих равенств, легко вычислить следующие величины: формальные логарифм и экспоненту групповых законов ^ и
е2х - 1 л 1 (1 + Х
е1 = , -, , еЛг = -1<^
е2х + 1' 2 - Х,
V =с 1 ' ег'с = ^^^ =
эндоморфизмы умножения на р:
ы (т^У-1 _(1 + хГ-(1-ху
(1±$)р + 1 (1 + хТ + (1-ху> [ркс__Л1 + схГ-(1-схг
(1+ сХ )р + (1 - сХ )р и их ядра:
Кеф], = = ^} , Кеф]г,с = {е = '
где С — корень р-й степени из 1.
202 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4(62). 2017. Вып. 2
Из вида [p]i,c ясно, что высота формальной группы Лоренца равна единице, поэтому можно выписать p-типические логарифмы:
^ XP" ~ (cX)Pn
М,с,р-С vn '
n=0 1 n=0 1
\P 1(*)> =- v) 1
Из последнего равенства легко находятся обратные ряды— p-типические экспоненты:
ellP = (l - f) (П eliC,p = с"1 (l - D (cX) = с"1 (l - ^ (X).
2. Функции Артина—Хассе. Введем на XO'T[[X]] отображения Ec(f) = ec(^c,p(f)) и функцию lc(f) = ep,c(Xc)(f), т.е. экспоненту Артина—Хассе и обратную к ней l-функцию Востокова.
Теорема 21 (Свойства экспоненты Артина—Хассе). Ec, lc корректно определены как функции (т. е. для любого f из XO'T[[X]] его образ Ec(f) (lc(f)) лежит в Fc(Mc)), имеют целые коэффициенты в O!T и являются взаимно-обратными функциями. Кроме того, выполняются равенства
Ec(f + g) = Ec(f) +Fc Ec(g); lc(f + g) = lc(f) +fc Ш-
Доказательство. Так как, по определению имеем cA = cp, доказательство можно провести точно также как в предложении 1 работы [3]. □
Замечание. Заметим что функции Артина—Хассе существенно зависят от выбора переменной X (т.к. оператор Фробениуса зависит от нее). Поэтому логично снабдить их индексом переменной, т.е. писать Ec<x. Также сам оператор Фробениуса снабдим индексом переменной и будем писать Ax.
3. Спаривание. Рассмотрим мультипликативную группу Н рядов вида
H = {Xm9e(X) m е Z, в е R},
где e(X) — степенной ряд с коэффициентами из R и свободным членом 1. Для рядов а еН, в е Fc(Mc) определим спаривание:
( , )c : Н х Fc(Mc) O'T mod (pn, P)
resx Ф(а,в)
a, p —>■ -,
Sl,c
где Ф(a,/3) = lc(/3) ■ a'1 da - /(а)с-Ч|-сАс(/3), d := d/dX, 1(a) = (1 - A/p) log(a), ^(7) = 7Л — 7 Для 7) лежащего в 0'T; sitC = [рп]с(£,п)• Здесь корень изогении [pn]i,c лежащий в К, а — такой ряд, что £(7г) = £ для некоторого фиксированного простого элемента п из K.
Замечание. В силу того, что lc(P) имеет целые коэффициенты, их имеет и ряд Ф(а, в).
Лемма 31. Спаривание ( , );,c линейно по обоим аргументам, т. е.
1) («1«2,ß)c = («i,ß)c + («2,ß)c; (aa,ß)c = a(a,ß)c;
2) (a, ßi +Fo ß2)c = (a,ßi)c + (a,ß2)c; (a, [a]c(ß))c = a(a,ß)c.
Доказательство. Линейность по первому аргументу следует из аддитивности логарифмической производной ada/dX и линейности функции l(a). Линейность по второму аргументу следует из аддитивности производной и формальной аддитивности /-функции Востокова. □
Дальнейшая наша цель — показать инвариантность спаривания относительно замены: X = g(Y), где g(Y) —ряд из YO^[[Y]]. Заметим, что любой ряд из ß из XOT[[X]] можно представить в виде ß(X) = Ec(1c(ß(X))). А значит, в силу билинейности спаривания и формальной аддитивности экспоненты Артина—Хассе, нам будет достаточно проверить инвариантность для пары X, Ec(aXm), где a = вск, в € Д.
Лемма 212 (Формула замены переменной для экспоненты Артина—Хассе). Пусть имеется следующая замена переменной X = g(Y), где g(Y) € Ö'T [[Y]], g(0) = 0; пусть а = вст, в € R, где R — мультипликативная система представителей Теихмюллера поля вычетов К кольца О к • Тогда справедливо равенство
Ay АЛ ^ v-(cagm)pr
ЕСгХ(аХт) = ЕСгУ (с-1 fl-^sY где S = ^ V V p / /
р ) ) *—' рг 1 7 7 1
При этом ряд с-1(1 — Ду/р)$ имеет целые коэффициенты.
Доказательство. Действительно, имеем цепочку равенств
Ч^-^ИЧН'-^-'О-т)*
Легко видеть, что
с-1 I 1 - — I S = адт + с
-1/1 „-1 V- (cagm)^ - (agm)^
т>1
Р
Теперь заметим, что ca = свст = вет+1, поэтому (xa)Ay = epc(m+1)p, а тогда ад- + с"1 £ - = ^ + с-1 1.
1
r>1 Г Т>1
Стандартным способом (индукцией по г, см. [1]) можно проверить, что слагаемые вида ((дт)рГ — (дт)рГ 1Ау)/рг имеют целые коэффициенты. □
-1(1 _ А, v p
Теорема 31. (X, ECiX(aXm))c = {g(Y), E^y^i 1 - ^-)S))C.
Доказательство. По определению имеем
(X,ECiX(aXm))c=TeSx^X) mod р"
где
p
Ф(X) = aXm-1,
ОД = (с-1 (1 - ^ S^j .д(У)-Чд(¥)-1(д(¥))с-Ч^сХс (V1 (l - ^ S^j =
dY
(садт)рГ — (садт)рГ1 Ay dg(Y) d ({садт)рТ"^\\
+ C SI-^---P-)) =
dY
Здесь было учтено равенство ca = свст = вст+1. Дальнейшая проверка проводится, как в предложении 3 работы [1]. □
Обратим внимание, что с учетом сказанного перед леммой 3.2 мы доказали и инвариантность для пары X,e(X). Сформулируем этот факт в виде теоремы.
Теорема 212. Для рядов e(X) е Fc(Mc), g(Y) е O'T[[Y]], g(0) = 0 справедливо равенство
(X, e(X ))c = (g(Y ),e(g(Y )))c.
Проверим теперь инвариантность в случае, когда первая компонента спаривания a(X) = e(X) = 1 mod X2 —обратимый по умножению ряд. Пусть g(Y) е O'T[[Y]], g(0) =0, Y = Xe(X) = g(X), тогда X = g-1(Y) (имеется ввиду обратный относительно композиции ряд). Из теоремы 3.2 следует, что для произвольно ряда в из формального модуля Fc(Mc) справедливо равенство
(Y, e(g-1(Y )))c = (g(X), e(X ))c = (Xe(X ), e(X ))c. (1)
Для доказательства инвариантности нам требуется проверить равенство
(e(X ),e(X ))c = (e(g-1(Y), e(g-1(Y )))c, X = g-1(Y). (2)
Сначала преобразуем левую часть, воспользовавшись свойством формальной аддитивности спаривания по второй компоненте:
(e(X), e(X))c = (Xe(X), e(X))c -f (X, e(X))c = (e(X), e(X))c -f (X, e(X))c. (3)
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4 (62). 2017. Вып. 2
c
s
c
c
Здесь последнее равенство следует из (1). Далее, с учетом Х = д 1(У), получаем
(Х,в(Х )>С = (д-1(У ),в(д-1(У ))>С. (4)
Подставляя (4) в (3), имеем
(е(Х),в(Х)>С = (е(Х),в(Х)>С (д-1(У),в(д-1(У))>С = (У(д-1(У))-1,в(д-1(У))>с.
Заметим, что У(д-1(У))-1 = д(Х)Х-1 = Хе(Х)Х-1 = е(Х), откуда следует (2). Наконец, рассмотрим общий случай а(Х) = Хтве(Х). В силу аддитивности спаривания по первому аргументу он легко сводится к случаям а = Х и а = е (так как в лежит в Д — мультипликативнойр-делимой группе). Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 213. Для рядов а(Х) е Н, в(Х) е ^С(Мс), д(У) е 0'т[[У]], д(0) = 0 справедливо равенство
(а(Х ),в(Х )>с = (а(д(У )),в(д(У ))>с.
Литература
1. Востоков С. В. Норменное спаривание в формальных модулях // Изв. АН СССР. Сер. Ма-тем. 1979. Т. 43. Вып. 4. C. 765-794.
2. Востоков С. В., Волков В. В., Пак Г. К. Символ Гильберта для многочленных формальных групп // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2012. Т. 400. C. 127-132.
3. Востоков С. В., Климовицкий И. Л. Примарные элементы в формальных модулях // Совр. пробл. матем. 2013. Вып. 17. C. 153-163.
4. Колывагин В. А. Символ норменного вычета в локальных полях // УМН. 1978. Т. 33. Вып. 6(204). C. 217-218.
5. Шафаревич И. Р. Общий закон взаимности // Матем. сб. 1950. Т. 26(68), № 1. C. 113-146.
6. Artin E., Hasse H. Die beiden Ergänzungssatze zum Reziprozitätsgesetz der lnln-ten Potenzreste im Körper der lnln-ten Einheitswurzeln // Abh. Mathem. Seminar, Hamburg, 1928. V. 6. S. 146-162.
7. Hasse H. Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. II. Reziprozitatsgesetz, Leipzig, Berlin, 1930.
8. Hasse H. Die Gruppe der pnpn-primaren Zahlen für einen Primteiler pp von pp // J. reine und angew. Math. 1936. V. 176. S. 174-183.
9. Hasse H. Zahlentheorie. Berlin, 1963.
10. Hazewinkel M. Formal Groups and Bialgebras. In Ser.: Pure Appl. Math. New York, Academic Press, 1978. V. 78. P. 478-516.
11. Fröhlich A. Formal groups. In Ser.: Lect. Notes Math. 1968. V. 74. 140 p.
12. Iwasawa K. On explizit formulas for the norm residue symbol //J. Math. Soc. Japan, 1968. V.20. P. 151-164.
13. Hensel K. Die multiplikative Darstellung der algebraischen Zahlen für den Bereich eines beliebigen Primteilers // J. reine angew. Math. 1916. V. 146. S. 189-215.
14. Lubin J., Tate J. Formal complex multiplication in local fields // Ann. Math. 1965. V. 81. P. 380387.
15. ¡Silverman J.H. The Arithmetic of Elliptic Curves. In Ser.: Graduate Texts in Mathematics. Springer, 2009. V. 106. 408 p.
Статья поступила в редакцию 18 ноября 2016 г.; рекомендована в печать 22 декабря 2016 г. Сведения об авторах
Востоков Сергей Владимирович —профессор; sergei.vostokov@gmail.com Питаль Петр Николаевич —аспирант; pital.petya@yandex.ru
HILBERT PAIRING ON LORENTZ FORMAL GROUP
Sergei V. Vöstökov1, Petr N. Pital'2
1 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; sergei.vostokov@gmail.com
2 Baltic State Technical University, ul. 1-ya Krasnoarmeyskaya, 1, St. Petersburg, 190005, Russian Federation; pital.petya@yandex.ru
In this paper, we construct explicit pairing in Cartier series for formal Lorentz groups of the form: (X + Y + XY)/(1+ c2XY), where c is unit of the ring of integers of the local field. At the same time, except for trivial properties such as bilinearity we prove important property — invariance, i. e. independence from selecting a variable. These properties, with the aid of pairing above, allow us to explicitly construct the generalized Hilbert symbol for formal Lorentz groups over rings of integers of local fields. In the first section of the paper are the basic notation and auxiliary results on endomorphisms of formal module, formal logarithm and exponent are constructed. In the second section, we build the main function, which plays an important role in the construction of the pairing — an Artin—Hasse function. In the last section we define Hilbert pairing on modules of Cartier curves explicitly, also we check bilinearity of pairing (see lemma 3.1) and variable substitution formula for Artin—Hasse function (lemma 3.2). Further in this section we prove invariance of the constructed paring regarding variable substitution X = g(Y). Refs 15. Keywords: pairing on formal module, formal group law.
References
1. Vostokov S.V., "A norm pairing in formal module", Math. USSR-Izv. 15(1), 25-51 (1980).
2. Vostokov Volkov V. V., Pak G. K., "The Hilbert Symbol of Polynomial Formal Groups", J. Math. Sci. 192(2), 196-199 (2013). D0I:10.1007/s10958-013-1383-9.
3. Vostokov S. V., Klimovitskii I. L., "Primary elements in formal modules", Proc. Steklov Inst. Math. 282, suppl. 1, 140-149 (2013). DOI: 10.1134/S0081543813070080.
4. Kolyvagin V. A., "The norm residue symbol in local fields", Russian Math. Surveys 33(6), 239-240 (1978).
5. Shafarevich I.R., "A general reciprocity law", Mat. Sb. (N.S.) 26(68)(1), 113-146 (1950).
6. Artin E., Hasse H., "Die beiden Ergüanzungssatze zum Reziprozitaütsgesetz der lnln-ten Potenzreste im Korper der lnln-ten Einheitswurzeln", Abh. Mathem. Seminar 6, 146-162 (1928) [in German].
7. Hasse H., Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper (Reziprozitütsgesetz, Leipzig, Berlin, 1930, II) [in German].
8. Hasse H., "Die Gruppe der pnpn-primüaren Zahlen fuür einen Primteiler pp von pp", J. reine und angew. Math. 176, 174-183 (1936) [in German].
9. Hasse H., Zahlentheorie (Berlin, 1963) [in German].
10. Hazewinkel M., Formal Groups and Applications, in Ser. Pure Appl. Math. (Academic Press, New York, 1978, 78, 478-516).
11. Frohlich A., Formal groups, in Ser. Lect. Notes Math. (1968, 74, 140 p.).
12. Iwasawa K., "On explicit formulas for the norm residue symbol", J. Math. Soc. Japan 20, 151-164 (1968).
13. Hensel K., "Die multiplikative Darstellung der algebraischen Zahlen für den Bereich eines beliebigen Primteilers", J. reine angew. Math. 146, 189-215 (1916) [in German].
14. Lubin J., Tate J., "Formal complex multiplication in local fields", Ann. Math. 81, 380-387 (1965).
15. Silverman J.H., The Arithmetic of Elliptic Curves, in Ser. Graduate Texts in Mathematics (Springer, 2009, 106).
Для цитирования: Востоков С. В., ПитальП.Н. Спаривание Гильберта для формальных групп Лоренца // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 2. С. 201-207. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.203
For citation: Vostokov S.V., Pital' P.N. Hilbert pairing on Lorentz formal group. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 2, pp. 201-207. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.203
