Научная статья на тему 'Спаривание Гильберта для многочленных формальных групп'

Спаривание Гильберта для многочленных формальных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
113
27
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФОРМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ / СПАРИВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА / FORMAL GROUPS / HILBERT PAIRING

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Востоков С. В., Ференс-сороцкий Е. В.

Работа посвящена широкому классу формальных групп, которые задаются многочленами, и их связью со спариванием Гильберта, для которого в работе найдены явные формулы. В работе вводятся основные определения и формулируются основные результаты, для которых дается краткий план доказательства. Подробные доказательства будут даны в следующей работе.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Востоков С. В., Ференс-сороцкий Е. В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The work is devoted to a wide class of formal groups, the ones given by polynomials, and to their relation to the Hilbert pairing. For the latter an explicit formula is obtained. The basic definitions are introduced in the work and the principal results are formulated, with the brief plans of proofs given for them. The detailed proofs are going to be given in the next work.

Текст научной работы на тему «Спаривание Гильберта для многочленных формальных групп»

СПАРИВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА

ДЛЯ МНОГОЧЛЕННЫХ ФОРМАЛЬНЫХ ГРУПП*

С. В. Востоков1, Е. В. Ференс-Сороцкий2

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

1. Введение

В категории формальных групп есть особый класс формальных групп, играющих важную роль в теории чисел. Это формальные группы, которые выражаются многочленами и поэтому мы их будем называть многочленными формальными группами (м.ф.г.). Легко видеть, что любая м.ф.г. имеет вид Г(X, У) = X + У + аХУ, где а — некоторый элемент из кольца, над которым определена м.ф.г. Такие м.ф.г. связаны, например, с дзета-функциями в квадратичных полях [1].

В настоящей работе будем изучать эти м.ф.г. для целых алгебраических чисел и строить для них в явном виде спаривание Гильберта. Мы дадим основные определения, формулировки теорем и краткие наброски доказательств. Подробные доказательства планируется привести в следующей работе.

2. Простейшие свойства м.ф.г.

Пусть Г = X + У + аХУ — м.ф.г.

А. Логарифмом группы Га будет ряд

где Сп — корни степени п из 1.

В. Как известно, любая формальная группа ^ изоморфна над кольцом определения А р-типической формальной группе [2]. В нашем случае р-типической формальной группой для Еа будет формальная группа ґа,р с логарифмом

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №08-01-00777-а), а также 8РБ478, Mйnster, «Сеоте^всЬе 8^ик±игеп».

(§| С. В. Востоков, Е. В. Ференс-Сороцкий, 2010

п>1

что следует из очевидного равенства 1 + аГа = (1 + аХ )(1 + аУ).

Б. Корнями изогении [п]ра = а-1((1 + аХ)п — 1) будут элементы вида

Кег[п]^ = {£„ = а-1(С„ — 1)},

где

л,л, ар аР\ 2

А Д — о, -\--Д Н---г- Д + ...

р р2

и оператор Д определен как Д(Хт) = Хрт. Разумеется, Еа,р уже не будет м.ф.г.

3. Построение функций Артина—Хассе и обратных к ним для м.ф.г.

Пусть ^ — некоторая формальная группа, заданная над кольцом о, которое предполагаем полным дискретно нормированным кольцом. Функцией Артина—Хассе для ^ будем называть ряд Ер(X) Є о[[Х]], который задает изоморфизм между Xо[[Х]]+ и

X о[[Х ]]р.

Замечание. Здесь Xо[[Х]]+ означает кольцо с обычным сложением элементов, а Xо[^]]р — со сложением по формальному групповому закону ^(X, У):

/(X)+р ) := ^(/,3).

Пусть теперь о — кольцо векторов Витта над конечным полем и ст-автоморфизм Фробениуса на о. Пусть, далее, Д — оператор Фробениуса на кольце о[^]],

Д^™) = ст^^™, а Є о,

и ^а, а Є о, —м.ф.г. с логарифмом А^). Пусть /(X) —произвольный ряд из Xо[^]]. Предложение 1. 1. Ряд

ЕРа(ПХ))= л-1 ((і~Д

где с = 1ішт>і аР (р-ст)+ст-1 принадлежит Xо[^]]. Обратной функцией будет ряд

= (і - ^а) (*№))) Є Хо[[Х]]. (2)

2. Ряды Ера и 1ра осуществляют взаимно-обратные изоморфизмы между Xо[^]]+ и Xo[[X]]р и, тем самым, Efa является функцией Артина—Хассе для м.ф.г. ^а, а 1ра — обратной к ней функцией.

Набросок доказательства. Используя результаты работы [3], находим явный канонический тип для р-типической формальной группы ^а р и строим элемент с. Далее, проверяем, что Ера (/(X)) и 1-Ра(/(X)) Є Xо[^]]. Вторая часть предложения 1 несложно следует непосредственно из задания функций Ера и Я£ра (см., например, аналогичную проверку в [4]).

4. Базис формального модуля

Пусть К — некоторое отношение поля расширений кольца о и т — максимальный идеал кольца целых о к поля К. Предполагаем, как обычно, что поле К содержит ядро изоморфизма [рп]Ра нашей м.ф.г. ^а, т.е. Кег[р”]Ра С ^а(т).

Тогда на формальном модуле -Ра(т) определен стандартным образом обобщенный символ Гильберта

( , )ра,„ : К* х ^а(т) ^ Кег[р”]ра

(см., например [5]).

(/(X)),

(1)

1

Предложение 2. Для м.ф.г. = X + У + аХУ имеем

(а, ар"-1а)Ра,п = 0. (3)

Доказательство. Изогения [р”]Ра имеет вид [р”]Ра (X) = а-1((1 + аХ)р" — 1) = р”Х + • • • + ар -1Хр , поэтому а будет мультипликативной нормой в расширении к (1/Ь”к ар 1а. Отсюда и из основных свойств символа Гильберта (см, например,

[6]) и следует (3).

Пусть п — некоторый простой элемент в К и £ = а-1(£рп — 1) —первообразный корень изогении [р”]Ра (см. выше). Пусть о7 —кольцо целых подполя инерции поля К. Для а € К и в € ^а(т) и разложений а = ^4>т а*п®, а* € о7, ат —единица в о7, /3 = ^>0Ь4тгг, 6* (Е о7, р|Ьсь будем писать а := а(Х), /3 := /3(Х) для рядов

«№ = Е;>т«Д%№=Е;>0№ ~ ~

Предложение 3. Пусть Ь € о7. Элемент

= ЕРа(Ъ[рп](С))\х=7Г

является р”-примарным в формальном модуле ^а(т), т. е. К (1/[р”]Ра (^ь)) / К — расширение неразветвленное, степени р”, и для символа Гильберта имеем (п, ^ь)Ра,п = [ТтЬ]Ра (£), где Тг : о ^ Zp —оператор следа. Доказательство будет дано в следующей работе.

Пусть е — индекс ветвления поля К, в1 = е/(р — 1) и Ь € о.

Теорема 1. Элементы

|ар -1п®, ^ь | 1 < г < ре1,р { г | (4)

образуют базис формального модуля ^а(т) над Zp. При этом

(п,аР"-1п^^ ” = 0, (п,^ь)^,” = [ТгЬ](£). (5)

Доказательство. То, что элементы (4) образуют базис ^а(т), следует из свойств арифметики формального модуля -Ра(т) (подробнее см. в следующей работе). Относительно равенств (5) см. выше предложения 2 и 3.

Замечание. Базис (4) не является каноническим, т. е. разложение элементов по этому базису не будет как для базисов Шафаревича однозначным по шоё [р”]Ра (-РЦт)) (см. [7]).

5. Явное спаривание на формальном модуле -Ра(т)

Построим спаривание

(, )Ра, ” : К * х Я,(т) ^ Кег[р”]Ра

по следующей формуле:

(а,в)Ра,” = [Тг{а, в}](£), (6)

где

{«,/?} = ге8хФа1/3(Х) (рщу + ,

Фа,/з(Х) = £Ра (/3)а 1да - £(о)д—£Ра (/3), - V ~

для а £ К*, £Ра((3) определен в (2), д := Определение рядов а и [3 дано перед предложением 3.

Предложение 4. Имеют место равенства

Можно показать, что у ряда 1/([р"]Ра(£)) + (р — 1)/2а коэффициенты при степенях, взаимно простых с р, делятся на р” (см. для сравнения [4]). Поэтому достаточно доказать,

на р”. Проверка проводится, исходя из определения функции Іра(X) (см. (2)) и явного вида элемента с (см. (1)).

2. Равенство (8). По определению примарного элемента и спаривания (, }ра,п имеем

2. Спаривание (, }ра,п не зависит от выбора простого элемента п и от способа разложения элементов а и в в ряды по простому элементу п.

Доказательство. Первый пункт легко следует из определения спаривания (, }ра,п. Доказательство второго пункта будет проведено в следующей работе.

6. Основная теорема

Теорема 2. Спаривание (, }ра,п совпадает с обобщенным символом Гильберта и задает, тем самым, для последнего явную формулу.

Доказательство .

1. Согласно предложению 4 и теореме 1, значения спаривания совпадают на базисных элементах формального модуля ^а(т), когда первый аргумент является простым

(7)

(8)

что у ряда (ар 1Х®), р { г, коэффициенты при степенях, делящихся на р, делятся

{п,шь} = тевхХ-ЧРа (ЕРа (%"]*,(О))

геях 6X 1 = 6.

Отсюда следует (8), ч.т.д.

Предложение 5. (Основные свойства спаривания (, }ра,п.)

1. Спаривание (, }ра,п линейно по обоим аргументам, т. е.

(аіа2, в}Ра,” = (аі,в}Ра,” +Ра (а2,в}Ра,”, (аГ ,в}Ра,” = [г]Ра ((Л в}Ра,”) , Г Є ^р, (а в1 +ра в2}Ра,” = (а,в1}Ра,” +Ра (^ в2}Ра,” (а, [г]в}Ра ,” = [г]Ра ((а, в}Ра,”) , Г Є ^Р .

(9)

(10)

(11)

(12)

элементом п. Отсюда и из независимости спаривания (, )Fa,n от способа разложения элементов в ряды по п следует, что

(n,e)Fa,n = (n,e)Fa,n

для любого в G Fa(m).

2. Переход в первом элементе от п к любому элементу a G K* доказывается с использованием инвариантности спаривания (, )Fa,n относительно выбора простого элемента. Именно, пусть a = пте, е — единица поля K. Теперь, обозначая т = пе, получим

(a, в)п = (пт-1т, в)п = (пт-1,в)п +Fa (т, в)п =

= (п“-1,в)П +Fa (т,в)Т = ^"S^Fa.n +Fa (т,в^,П = K^Fa.n

Теорема доказана.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Замечание. Для произвольного целого алгебраического числа a, взаимно простого с фиксированным простым р, получаются аналогичные, но гораздо более сложные результаты. Размеры данной статьи не позволяют привести их здесь, и мы предполагаем публиковать их в следующих работах.

Литература

1. Honda T. On the theory of commutative formal groups, Journal of the Mathematical Society of Japan (2). 1970. Vol. 22. P. 213-246.

2. Hazewinkel M. Formal Groups and Applications. New York: Academic Press, 1978.

3. Бондарко М. В., Востоков С. В. Явная классификация формальных групп над локальными полями // Труды Математического Института имени В. А. Стеклова. 2003. Т. 241. С. 43-67.

4. Востоков С. В. Норменное спаривание в формальных модулях // Известия АН СССР. Сер. матем. Т. 43. Вып. 4. 1979. С. 765-794.

5. Fesenko I., Vostokov S. V. Local Fields and Their Extensions: A Constructive Approach // Translations of Mathematical Monographs. Vol. 121. AMS, 1993.

6. Колывагин В. А. Формальные группы и символ норменного вычета // Известия АН СССР. Сер. матем. Т. 43. Вып. 5. 1979. С. 1054-1120.

7. Шафаревич И. Р. Общий закон взаимности // Математический сборник. Т. 26 (68). Вып. 1. 1950. С. 113-146.

Статья поступила в редакцию 10 октября 2009 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.