Формальный модуль Хонды в неразветвленном p-расширении локального поля как модуль Галуа Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 5 (63). Вып. 4

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

МАТЕМАТИКА

УДК 511.221, 511.223 М8С 11820, 11831, 14Ь05

Формальный модуль Хонды в неразветвленном р-расширении локального поля как модуль Галуа*

Т. Л. Акопян, С. В. Востоков

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Акопян Т. Л., Востоков С. В. Формальный модуль Хонды в неразветвленном р-расширении локального поля как модуль Галуа // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 4. С. 541-548. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.401

Для фиксированного рационального простого числа р рассмотрим цепочку конечных расширений полей К0/€>Р, К/К0 ,Ь/К, М/Ь, где К/К0 — неразветвленное расширение, М/Ь — расширение Галуа с группой Галуа О. Пусть задан одномерный формальный групповой закон Хонды Е над кольцом Ок относительно расширения К/К0 и простого элемента п € Ко. В работе изучается структура Е(тм) как ОКо [О]-модуля для неразветвленного р-расширения М/Ь при условии П Е(ть) = П Е(тм) = Шр при некотором в > 1, где Шр — это пв-кручение, а = иШП — общее п-кручение фиксированного алгебраического замыкания Ка1® поля К.

Ключевые слова: локальное поле, неразветвленное расширение, формальная группа, модуль Галуа.

1. Введение. Пусть р — рациональное простое число, К/0рР,Ь/К,М/Ь — цепочка конечных расширений локальных полей, М/Ь — расширение Галуа с группой Галуа О, а Ь — одномерный формальный групповой закон над кольцом О к • На максимальном идеале тм кольца Ом операция х + у = Ь(х, у) задает структуру абе-

левой группы, которую будем обозначать Ь(тм )• Учитывая естественное действие группы О на Ь(тм), группу Ь(тм) можно рассматривать как Епд.ок (Ь)[О]-модуль, в котором умножение на скаляры из (Ь) задается по правилу / * х = / (х).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (грант 16-11-10200). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018

Относительно формальных групп и группы Г(тм) мы отсылаем читателя к [1, гл. 6, §3], [2, гл.3, §6], а также к [3, гл.4] и [4, гл.4].

Если Г — формальный групповой закон Любина—Тейта, то имеется вложение колец Ок ^ (Г) [1, гл.6, предложение 3.3], что позволяет рассматривать

Г (тм) как О к [О]-модуль. Структура этого модуля в случае мультипликативной формальной группы Г = Гт и К = достаточно подробно изучена в цикле работ [5-7], а в работе [8] изучен случай формальной группы Любина—Тейта Г для циклического неразветвленного р-расширения М/Ь иррегулярных полей М и Ь, показатели иррегулярности которых совпадают.

Пусть Ко/<рр — конечное расширение, К/Ко — неразветвленное расширение, п € Ко —униформизирующий элемент в поле Ко, Г — формальная группа Хонды над кольцом О к относительно расширения К/Ко типа и € Ок,^[[Т]] конечной высоты, то есть содержащего обратимый коэффициент. (В отличие от кольца О к [[Г]], умножение в кольце Ок,^[[Т]] некоммутативно и выполняется исходя из правил ТгТз = Т1+3,Та = а^Т, для всех г,] > 0,а € Ок, где ф — автоморфизм Фро-бениуса расширения К/Ко ) За деталями, касающимися формальных групп Хонды, мы отсылаем читателя к работе [9, §§2, 3], а также к статье [10, §1]. Пусть Ка1® — фиксированное алгебраическое замыкание поля К, а ш^е —идеал нормирования, т. е. множество точек в Ка1® с положительным нормированием. Обозначим через ШП = кег[пп]р С Г(шКа1Е) подмодуль пп-кручения. Точнее, пусть

оо

= {х € Шка1Е\[пп]р(х) = 0}, где [пп]р € Е^ок(Г), и пусть Шр = и

П=1

Известно (см. [9, § 2, теорема 3]), что имеется вложение колец ОКо ^ EndoK (Г), которое позволяет рассматривать Г(тм) как ОКо [О]-модуль. В данной работе с помощью порождающих элементов и определяющих соотношений описывается структура этого модуля в случае неразветвленного р-расширения М/Ь, для которого при некотором в > 1 выполняется условие Шр П Г(ш^) = Шр П Г(тм) = Шр. Следует отметить (см. [3, предложение 2.11]), что всякое конечное неразветвленное расширение локального поля является расширением Галуа с циклической группой Галуа, поэтому О является циклической р-группой.

Условимся в следующих обозначениях:

• п — степень поля Ь над Ко;

• Н — высота типа и = п + г> 1 агТг формальной группы Г, т.е. минимальное число Н, для которого а^, обратим;

• / — логарифм формальной группы Г;

• рт — порядок группы О = Gal(M/L);

• а —порождающий элемент О;

• (г, 1 < г < Н, — фиксированный базис ОКо/пвОКо-модуля Шр;

• ко, I — поля вычетов Ко и Ь соответственно;

• д — порядок ко;

• х + у := Г(х, у);

•2р■г=1 Хг := Х1 + Х2 +-----+ хк.

1 р р р

2. Вспомогательные леммы.

Лемма 1. ОКо -модуль ШП изоморфен (ОКо/ппОКо )н.

Доказательство. См. [10, предложение 1]. □

Лемма 2. Для неразветвленного расширения М/Ь группы Нг(О,Ь(тм)) являются тривиальными при г = 0, -1.

Лемма 3. Если элементы х1,х2,...,хи из Ь(тм) таковы, что система

{МР{ты)(хг), 1 < г < к}

линейно независима в к0-векторном пространстве Ь(тм)/[п]Р(Ь(тм)), то линейно независима и система {х?, 1 < г < к, 0 < у < рт — 1}.

Лемма 4. Если элементы х1,х2,...,х]~ из Ь(тм) порождают к0-векторное пространство Ь(тм)/[п]Р(Ь(тм)), то они порождают Ь(тм) как ОКо -модуль.

Доказательства лемм 2-4 можно найти в статье [8], а также в [7, § 3].

Лемма 5. Естественный гомоморфизм

V : Ь(тр)/[п]р(Ь(ть)) ^ Ь(тм)/[п]р(Ь(тм))

к0-пространств, индуцированный вложением, имеет ядро размерности Н.

Доказательство. Рассмотрим элементы п = [п8-1]Р1 < г < Н. Они являются свободными образующими Шр как Ок0/пОк0-модуля. Замечая, что

NF (ты )Пг = [рт]Р Пг = 0 получаем в силу леммы 2, что пг = — и для некоторого Ьг € Ь(тм)• Пусть теперь

F

х € Ь(тр) и х = [п]Р(у) для некоторого у € Ь(тм). Тогда [п]Р(у? — у) = х? — х = 0,

F р

из чего следует, что

Н Н / \

у? — у = [аг]Р(Ъ)=^ (([аг]Р(^У — Нр&))

Р Р ;г=1 Р ;г=1 Р /

для некоторых аг € Ок0, определенных однозначно по модулю п. Последнее соотношение указывает на существование такого г € Ь(тр), что у = У2Рг=1 [аг]Р(Ьг) + г.

р ;1 1 р

Следовательно,

к

х = [п]Р (у) = У2 [аг]Р ([п]Р ^ + [п]Р (г). —' Р

Р ;г=1

Таким образом, элементы [п]Р(Ьг), 1 < г < Н, образуют базис кег V. Лемма доказана.

□

Лемма 6. Размерность к0-пространства Ь(тр)/[п]р(Ь(тр)) равна п + Н.

Доказательство. Известно (см. [4, гл.4, теорема 6.4]), что при г > имеется изоморфизм групп / : Ь(тгр) тгр, который является изоморфизмом Ок0-модулей в силу соотношения / о [а]р = а/, справедливого для всех а € Ок0. Следовательно, Ь(тр) является свободным Ок0-модулем ранга п. Из точности последовательности ОКо-модулей:

0 ^ Ь(т^1) ^ Ь(тр) ^ I ^ 0, г > 1,

вытекает, что F(mL) является Ok0-подмодулем конечного индекса в F(ш-l). Следовательно, F(ш-l) является конечно порожденным Ок0-модулем ранга п. Из теории конечно порожденных модулей над областями главных идеалов известно, что F(ть) = T ф A, где T-подмодуль кручения, который в нашем случае совпадает с Wp, а A — свободный OKo-модуль ранга п. Следовательно,

\F(mL)/[n]p(F(mL))\ = \T/[n]FT\ • \A/[n]FA| = qh ■ qn = qn+h,

что завершает доказательство леммы. □

Замечание 1. Точно также получаем, что dimfc0 (F(тм)/[n]F(F(тм))) = npm + h.

Замечание 2. Так как F(тм) —конечно порожденный Ok0-модуль, то по лемме Накаямы получаем новое доказательство утверждения леммы 4.

Лемма 7. Q, 1 < i < h, линейно независимы по модулю ker ф.

Доказательство. Допустим выполняется соотношение YlF ■i=1[ai]FZ = [n]F(y) для некоторых ai G OKo ,y G F(mM). Применяя эндоморфизм [ns]F, получим [7гя+1]_р(у) = 0, что дает [irs]F(y) = 0. Откуда Y.f^A^^^fCi = 0, что эквивалентно условию щ : 7г, 1 < г < h. Лемма доказана. □

Следствие. h < п.

Доказательство. Из доказанных лемм вытекает, что максимальное число линейно независимых по модулю ker ф векторов в F(т^/Пр(F(ть)) равно

dim 1тф = dim^0 (F (mL)/[п]F (F (rnL))) — dimker ф = (n + h) — h = n.

По лемме 7 мы уже имеем h линейно независимых векторов по модулю ker ф, из чего и следует требуемое утверждение. □

3. Основная теорема.

Теорема. Если расширение M/L неразветвлено, WF П F(rnL) = WF П F(тм) = WS при некотором s > 1, то и поэтому h < п и для OKo [0]-модуля F(тм) существует система образующих 6j1 < j < п — h, 1 < i < h, с единственными определяющими соотношениями [ns]F = ш? — шi, 1 < i < h.

F

Доказательство. Из тривиальности группы H0(G,F(тм)) вытекает существование таких элементов ^ G F(тм), 1 < i < h, что NF(тм)(^i) = Zi. Так как

Nf (тм )([nS ]f (&)) = № (Zi)=0

и группа H-1(G,F(тм)) тривиальна, то существуют такие шi G F(тм), 1 < i < h, что [ns]pCi = ш? — шi. В силу вышеописанного следствия, систему Q, 1 < i < h,

F

можно дополнить элементами £j G F(mL), 1 < j < п — h, до базиса по модулю ker ф. Выберем такие элементы 6j G F(тм), 1 < j < п — h, что Nf(тм)(6j) = £j при всех j и докажем, что система

k k

ш Ci ,6? \1 < i < h, 1 < j < п — h, 0 < k < pm — 1}

является линейно независимой по модулю [п]р(Ь(тм))• Допустим противное: пусть существуют элементы аг, , Ъ^^ € Ок0 и в € Ь(тм), такие что

V0

-гк „

^Ыр-i +J2 [aik]f№ ) +J2 j(j ) + [n]F(в) = 0.

F ;i F ;i,k F;j,k

Применим а — 1 к обеим частям последнего соотношения и воспользуемся равенством & = ш1 — 1 < г < к. В итоге получим соотношение

F

[C4,k - ai,k-l ]f )+52 [bj,k - bj,k-l ]f (j ) + T>i]F Ир & + [n]F в - в) = 0.

' ' тр ( * * ' * ' J TP f * IP IP

E [ ■ ■ ... F F

F;i,k F ;j,k F ;i

Из лемм 3 и 7 вытекает, что система

к к

|1 < i < h, 1 < j < n - h, 0 < к < pm - 1}

линейно независима по модулю [n]F(F(mM)), из чего следует, что ai}k(mod п) и 6j k(mod п) не зависят от к. Следовательно, не ограничивая общности, можно считать, что

y>i]F Ир & + [n]F в - в)=0,

Fi F F

поменяв, если угодно, в- Из полученного вытекает, что существуют bi G Ok0 , 1 < i h, такие что

52[aiпs-l]F &)+в1—в = 52[Ъi]F т-

F г F F F;i

После взятия нормы NF(тм) полученное соотношение приводит к равенству

ЕМ- Ь (Сг) = 0,

F -Л

из которого следует, что аг • п, 1 < г < к. Теперь из линейной независимости системы

к к

{&1 ,в1 |1 < г < к, 1 < з < п — к, о < к < рт — 1}

вытекает, что а^ • п и Ъ^^ • п при всех г,з и к• Это завершает доказательство линейной независимости системы

кк

{шг, ,в1 |1 < г < к, 1 < з < п — к, 0 < к < рт — 1}.

Число векторов в ней равно прт + к = ёш^ (Ь(тм)/[п]р^(Ь(тм)))• Последнее равенство означает, что эти элементы порождают пространство Ь(тм)/[п]р<(Ь(тм)). Из леммы 4 вытекает, что они порождают Ь(тм) как Ок0-модуль, и следовательно, элементы в^ 1 < з < п — к, 1 < г < к, порождают Ь (тм) как Ок0 [С]-модуль

Остается доказать утверждение про определяющие соотношения^

Условимся далее записывать умножение на элементы из кольца Ок0 [С] через возведение в степени Пусть выполняется соотношение

е + 52 -в + 52 j = 0

F;i F F;i F F;j

для некоторых аг,вг, 63 € Ок0 [С]. Наша цель —доказать, что существуют элементы Ъ € Ок0 [С] такие, что а = п*^г, вг = (1 - , а 63 = 0.

Пусть вг = Ьг + (1 — для некоторых Ьг € ОКо и ^г € ОКо [С]. Тогда, учитывая

соотношение [пя]р= — шг, получим

р

Е^+Е & + Е j = о,

F ;i F;i F;j

где а'г = аг — п*7г. Факторизируя это соотношение по модулю [п]р(Г(тм)) и учитывая, что система

к к

{иг, & ,6? |1 < г < к, 1 < ] < п — к, 0 < к < рт — 1}

является базисом по модулю [п]р(Г(тм)), получаем, что существуют Ь^^^бЗ1 € ОКо [С] такие, что Ьг = пЬ<г1^,а'г = пв'г ,63 = пбЗ1^. Следовательно, при некоторых аг € Ок0

Е Е # ^+Е «Г =0

р ;г р ;г Р 3

в силу того, что Сг = (тм)(&г) = к . По тем же самым соображениям все Ь( и б31*1 делятся на п. По индукции получаем последовательности (Ь^^^о и (б^)и>0,

т(0) , х(0) г Ли) Л"+1) хМ г(^+1)

удовлетворяющие условиям Ьг = Ьг,63 = 63,Ьг = пЬг и 63 ' = пбз для всех V > 0,1 < г < к, 1 < ] < п — к, из которых вытекает, что Ьг =0 при всех г и 63 =0 при всех ]. Остается соотношение ^р= 0.

Пусть теперь а'г = 5^к аг,к&к, где аг,к € ОКо при всех г, к. Тогда факторизация по модулю [п]Р(Г(тм)) дает аг,к = пЬг,к. Далее, получаем, что

Erfc 'fc^Mf&) = £с

F

при некоторых \г € Ок0. Следовательно, Ьг,к (modп) одна и та же при всех к, и так далее. В итоге получим, что аг<к = аг и что ^р.г[аг]р(£г) = 0, т.е. аг = п*Ьг для некоторых Ьг € Ок0, и поэтому

ai - nsYi = ai = ns ti^ ak.

Если теперь обозначим = 7г + , то будем иметь аг = п1*^ и вг = (1 — =

(1 — а)7г', завершив тем самым доказательство теоремы. □

Литература

1. Алгебраическая теория чисел / под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969.

2. Neukirch J. Class field theory. Springer-Verlag, 1986.

3. Iwasawa K. Local class field theory. Oxford University Press, 1986.

4. Silverman J. H. The arithmetic of elliptic curves. In Ser.: Graduate Texts in Mathematics. Vol. 106. New York: Springer-Verlag, 1986.

5. Iwasawa K. On Galois groups of local fields // Trans. Amer. Soc. 1955. Vol.80, N2. P. 448-469.

6. Iwasawa K. On local cyclotomic fields // J. Math. Soc. Japan. 1960. Vol. 12, N 1. P. 16-21.

7. Боревич З. И. О мультипликативной группе циклических р-расширений локального поля // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 80. С. 16-29.

8. Востоков С. В., Некрасов И. И. Формальный модуль Любина—Тейта в циклическом нераз-ветвленном р-расширении как модуль Галуа // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2014. Т. 430. С. 61-66.

9. Honda T. On the theory of commutative formal groups // J. Math. Soc. Japan. 1970. Vol. 22, N2. P. 213-246.

10. Демченко О. В. Формальные группы Хонды: арифметика группы точек // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 1. С. 132-149.

Статья поступила в редакцию 9 мая 2018 г.; рекомендована в печать 2 июля 2018 г. Контактная информация:

Акопян Тигран Левонович — аспирант; tigran19931026@gmail.com

Востоков Сергей Владимирович — д-р физ.-мат. наук, проф.; sergei.vostokov@gmail.com

Honda formal group in unramified p-extension of local field as Galois module

T. L. Hakobyan, S. V. Vostokov

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Hakobyan T. L., Vostokov S. V. Honda formal group in unramified p-extension of local field as Galois module. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 4, pp. 541-548. https://doi.org/10.21638/11701 /spbu01.2018.401 (In Russian).

Let p be a rational prime. Let K/Qp, L/K, and M/L be finite extensions of local fields, let M/L be a Galois extension with Galois group G, and let F be a one-dimensional formal group law over the ring OK. We denote by F (mM) the abelian group whose underlying set is the maximal ideal mM of OM and the group operation is defined by the formula x + y = F(x,y). The group F(mM) can be regarded as an EndoK (F)[G]-module with the

natural action of G. The case of the multiplicative formal group law F = Fm is considered in detail in the paper of Borevich (1965), where the author describes the above-mentioned module structure by generators and defining relations when K = Qp and M/L is a cyclic p-extension. It is well known that if F is a Lubin—Tate formal group law, then there is an embedding of rings OK ^ EndoK (F), which makes it possible to consider F(mM) as an OK[G]-module. One natural generalization to the case of Lubin—Tate formal group laws is the paper of Vostokov (2014), where the structure of the OK [G]-module F(mM) is described in the case of an unramified cyclic p-extension of irregular fields M and L with equal indices of irregularity. Let K0/Qp be a finite extension, K/K0 be an unramified extension, n € K0 be a uniformizing element in K0, F be a Honda formal group of finite height over the ring OK for the extension K/K0 and the prime n. Let Kalg be a fixed algebraic closure of K, mKaig be the valuation ideal, Wp = ker[nn]F С F(mKaig) be the nn-torsion submodule, and WF = UWp. In the present paper, we generalize the results of Vostokov to the case of a Honda formal group F. In particular, we describe the structure of the OKo [G]-module F(mM) in the case of an unramified p-extension M/L for which the condition W F П F(mi) = W F П F(mM) = WS is valid for some s > 1.

Keywords: local field, unramified extension, formal group, Galois module. References

1. Algebraic Number Theory (eds. J. Cassels, A. Frohlich, Mir, Moscow, 1969) [Russian translation].

2. Neukirch J., Class field theory (Springer-Verlag, 1986).

3. Iwasawa K., Local class field theory (Oxford University Press, 1986).

4. Silverman J.H., The arithmetic of elliptic curves, in Ser. Graduate Texts in Mathematics 106 (Springer-Verlag, New York, 1986).

5. Iwasawa K., "On Galois groups of local fields", Trans. Amer. Soc. 80(2), 448—469 (1955).

6. Iwasawa K., "On local cyclotomic fields", J. Math. Soc. Japan 12(1), 16—21 (1960).

7. Borevich Z. I., "The multiplicative group of cyclic p-extension of a local field", Proc. Steklov Inst. Math. 80, 15-30 (1965).

8. Vostokov S. V., Nekrasov 1.1., "Lubin—Tate formal module in a cyclic unramified p-extension as Galois module", J. Math. Sci. 219(3), 375-379 (New York, 2016).

9. Honda T., "On the theory of commutative formal groups", J. Math. Soc. Japan 22(2), 213-246 (1970).

10. Demchenko O. V., "Formal Honda groups: the arithmetic of the group of points", St. Petersburg Math. J. 12(1), 101-115 (2001).

Received: May 9, 2018 Accepted: July 2, 2018

Author's information:

Tigran L. Hakobyan — tigran19931026@gmail.com Sergei V. Vostokov — sergei.vostokov@gmail.com

ХРОНИКА

22 мая 2018 г. в Доме ученых РАН состоялось заседание Санкт-Петербургского математического общества.

В его первой, распорядительной части были заслушаны отчет президента Общества Ю. В. Матиясевича, отчеты казначея Б. Б. Лурье и председателя ревизионной комиссии Д. М. Ицыксона. Был избран новый состав правления. Президентом вновь избран Ю. В. Матиясевич, вице-президентами — С. В. Востоков, Я.Ю.Никитин, С.К.Смирнов. В состав правления вошли А.Д.Баранов, М. А. Всемирнов, Э. А. Гирш, П. Г. Зограф, С. В. Иванов, С. В. Кисляков, А. И. Назаров, Ф. В. Петров, С. Ю. Пилюгин, Г. И. Синкевич, Т. А. Суслина, Н. А. Широков. Ученым секретарем вновь избран А. А. Лодкин. На заседании была вручена премия Общества «Молодому математику» за 2017 год Александру Андреевичу Логунову. Новыми членами Общества избраны: И. И. Демидова, М. В. Карев, А. А. Логунов, А. Р. Минабут-динов, А. С. Михайлов, Е. В. Новикова, Н. А. Перязев, М. В. Платонова.

Во второй части заседания состоялась презентация коллективной монографии «Математический Петербург». Выступили организаторы-редакторы издания Г. И. Синкевич и А. И. Назаров, рецензент М. А. Всемирнов, художественный редактор книги Д. Ю. Русакова и директор издательства «Образовательные проекты» А. С. Русаков. В порядке проведения подготовки к Международному математическому конгрессу, который будет проходить в Санкт-Петербурге в 2022 году, готовятся второе издание монографии и ее английская версия.