CC BY
9
УДК 512.62 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 4
М8С 11815, 14В25
Сравнение классификаций двумерных локальных полей, тип II*
О. Ю. Иванова1, И. Б. Жуков2
1 Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Российская Федерация, 190000, Санкт-Петербург, Большая Морская ул., 67
2 Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Иванова О. Ю, Жуков И. Б. Сравнение классификаций двумерных локальных полей, тип II // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7(65). Вып. 4. С. 607-621. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.404
Статья относится к теории устранения высшего ветвления для двумерных полей и продолжает исследования, связанные с классификацией полей, введенной в работе Масато Курихары. Рассматриваются двумерные локальные поля смешанной характеристики с конечным полем вычетов, для которых характеристика поля вычетов отлична от двух. Хорошо известна структура полей, которые слабо неразветвлены над своим подполем констант — так называемых стандартных полей. Также известно, что из любого поля можно получить стандартное конечным расширением его подполя констант. Вопрос о наименьшей степени такого расширения в общем случае остается открытым. В статье Курихары двумерные поля подразделяются на два типа следующим образом. Рассматривается линейное соотношение между дифференциалами локальных параметров. Если нормирование коэффициента при униформизирующей меньше, чем нормирование коэффициента перед вторым локальным параметром, поле относится к типу I, в противном случае — к типу II. В настоящей статье изучаются поля типа II. Для них рассматривается уточнение инварианта Курихары: для каждого поля вводится величина Д, равная разности нормирований коэффициентов в соотношении для дифференциалов локальных параметров. Степень константного расширения, устраняющего ветвление, для любого поля не меньше, чем индекс ветвления над подполем констант. При этом расширение такой степени существует не для всех полей. В статье доказано, что для существования расширения наименьшей возможной степени достаточно, чтобы величина Д принимала достаточно большие по модулю значения. Соответствующая оценка на величину Д зависит от индекса ветвления поля над его подполем констант.
Ключевые слова: высшие локальные поля, дикое ветвление.
1. Введение. Настоящая работа продолжает исследование связи обобщенной классификации Курихары с теорией устранения ветвления, начатое в [1-4].
Рассматриваются двумерные локальные поля смешанной характеристики, для которых характеристика поля вычетов равна р > 2 и последнее поле вычетов конечно. Двумерное поле смешанной характеристики называется стандартным, если ек/к = 1, где к — подполе констант поля К. Структура стандартного поля известна,
* Работа выполнена при поддержке РНФ (грант №16-11-10200). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2020
для него выполнено
K ~ t}} = < ait1, v(ai) > -<ж, v(ai) —> ж
В работах [5, 6], посвященных теории ветвления, доказано, что для любого двумерного поля существует конечное константное расширение, превращающее это поле в стандартное. Естественным образом возникает вопрос о минимальной степени расширения, превращающего данное поле в стандартное. Легко видеть, что эта степень не может быть меньше, чем eK/k. Однако оценить эту степень сверху через eK/k нельзя — даже в случае eK/k = p она может быть сколь угодно большой.
В работах [3, 4] получены оценки снизу для минимальной степени подходящего расширения, зависящие от величины Д (см. формулу (2) ниже), связанной с классификацией полей, введенной в [7] (см. также [8]), для случая, когда поле является полем типа I в этой классификации, то есть величина Д положительна. В этих работах доказано, что если величина Д для данного поля может принимать большие значения, то минимальная степень расширения велика.
В настоящей работе рассматриваются поля типа II. Доказано, что если для поля K величина Д принимает достаточно большие по модулю отрицательные значения, то существует константное расширение, превращающее K в стандартное, степень которого равна eK/k, то есть наименьшему возможному числу. Получающееся при этом расширение поля K не содержит неразветвленных подрасширений степени p. Получены две оценки на величину Д: одна зависит только от vp(e^/k), другая — от vp(eK/k) и глубины ветвления расширения ек/щt}}.
2. Предварительные сведения. Будем использовать следующие обозначения: p — фиксированное простое число, p > 2; vp(x) — p-адическое нормирование p-адического числа x.
Для дискретно нормированного поля F обозначим через vp его нормирование, через F — его поле вычетов, и, если charF = 0, charF = р, положим ер = vp(p). Через Op обозначим кольцо целых поля F. Элемент п такой, что vp (п) = 1, называется униформизирующей поля F.
Определение 2.1. Пусть E/F — конечное расширение дискретно нормированных полей. Оно называется
неразветвленным, если еЕ/р = 1, и расширение E/F сепарабельно; свирепым, если eE/F = 1, и расширение E/F чисто несепарабельно; вполне разветвленным, если eE/P = \E : F \.
Определение 2.2. Глубиной ветвления расширения E/F называется
Нам понадобятся следующие свойства глубины: если F С E С L, то
dE/p + dL/E = dL/F (см. [9], леммы 2-4); для любого поля L выполнено dEL/FL < dE/F.
(1)
Определение 2.3. Двумерным локальным полем смешанной характеристики называется такое поле, что charK = 0, для K w = К выполнено char К ^ ^ 0, и поле = К конечно.
Далее под двумерным полем будем понимать двумерное поле K смешанной характеристики, для которого выполнено charK = р. Двумерному полю соответствуют локальные параметры: униформизирующая и второй локальный параметр, то есть такой элемент t G Ок, что t — униформизирующая поля К.
Пусть K — двумерное поле. Обозначим через Rk — каноническую подгруппу K*, состоящую из подъемов ненулевых элементов поля K(0).
Определение 2.4. Подполем констант двумерного поля K называется максимальное поле k С K, являющееся алгебраическим расширением Qp.
Лемма 2.5. Пусть k — подполе констант поля K. Тогда RK С k. Доказательство. Поле K(0)
конечно, следовательно, подгруппа Rk конечна. Все ее элементы алгебраичны над Qp. □
Определение 2.6. Двумерное поле K называется стандартным, если ек/к = 1, где k — подполе констант поля K.
Если K — стандартное двумерное поле с подполем констант k, и t — второй локальный параметр K, то K = k{{t}} (см. [10, §1] или [11]), и любое поле вида k{{t}}, где k — конечное расширение Qp, является стандартным.
В [7] двумерные поля разделяются на два типа следующим образом. Пусть K — двумерное поле, n,t — его локальные параметры. Тогда (П0к/z)tors порождается одним элементом adn + bdt. Поле K называется полем типа I, если vk(b) > vk(a), и полем типа II в противном случае (см. [7, лемма 1.1 и следствие 1.2]).
Пусть K — двумерное поле, k — его подполе констант. В [1] доказано, что вместо дифференциалов над Z можно рассматривать дифференциалы над Ok. Пусть п, t — локальные параметры K. Положим
ДкМ) = — Ы{Ъ) -vK{a)), (2)
ек
где для a,b € Ок выполнено adn+bdt = 0 в (&оК/ок)tors. Величина Дк(п, t) не зависит от выбора a и b. Поле K имеет тип I тогда и только тогда, когда Д(п, t) > 0. Для поля типа I величина Дк (п, t) зависит только от п, а для поля типа II — только от t (см. [1, предложение 3.2 и следствие 4.4]). Для полей типа II мы будем использовать обозначение Дк (t) = Дк (п,€), где п — произвольная униформизирующая.
Далее, для двумерного поля K и a € K элемент da будет пониматься как элемент &ок/ок. Равенство da = db будет пониматься как равенство в (&оК/ок )tors.
Определение 2.7. Пусть K = k{{t}} — стандартное двумерное поле. Для элемента х <Е К определим формальную производную ^f следующим образом: если a,i G к таковы, что х = ^ то положим = агit1^1 ■
Определение корректно. Если ряд at сходится, то и ряд ai'it1-1 сходится. Кроме того, элемент ^ зависит от ж и t, но не зависит от поля к, то есть если ki и k2 — два локальных поля, таких что x € ki{{t}} П k2{{t}}, то формальные производные x по t, взятые в полях ki{{t}} и k2{{t}}, будут совпадать.
Заметим, что для любого х выполнено
дх
ах = -т-да.
т
Также нам понадобится следующая лемма.
Лемма 2.8. Пусть К = к{{£}} — стандартное поле, — униформизирующая поля К, и х = ^ пгкР, где 0г ^ € Як и {0}. Тогда
дх
ик \~dtJ = + ек^Р{]) | О^э ^ 0}.
Доказательство. См. [1, лемма 4.5]. □
Сформулируем и докажем лемму, связывающую следы степеней элемента и коэффициенты его минимального многочлена.
Лемма 2.9. Пусть Г — произвольное поле, /(х) = хп +^П=о Сгхг — сепара-бельный неприводимый над Г многочлен, а — корень /. Тогда при 1 < г < п — 1 выполнено
г-1
Ттр/р(аг) = — Сп-г+эТтр/р(а8) — гсп-г
с
8=1
Доказательство. Пусть а = а1,а2,...,ап — все элементы, сопряженные с а над Г. Для любого г обозначим г-й элементарный симметрический многочлен от а1,...,ап через аг, их г-ю степенную сумму — через рг, положим сп = ао = 1. Тогда
аг = ( — 1)гСп-г, Рг = Ттр/р (аг). Запишем тождества Ньютона для симметрических многочленов:
г
гаг = У^( — 1)8-1аг-зРз. 8 = 1
Подставим выражения из предыдущей формулы:
г( — \)гсп-г = ^( — 1)г-1Сп-(г-8) ТтЕ/р (а8) = 8 = 1
г-1
Сп-г+8т
8=1
= —( — 1У(^/ Сп-г+8Ттр/р(а8) + Ттр/р(аг)^ .
8=1
Разделив на ( — 1)*, получаем нужное тождество. □
3. Соотношения между дифференциалами локальных параметров.
Лемма 3.1. Пусть Ь/К — неразветвленное расширение двумерных полей, р \ \Ь : К|. Пусть £ — второй локальный параметр поля К. Тогда существует второй локальный параметр ^ поля Ь и т € Ь такие, что Ур(т) = 0 и & = md.i1.
Доказательство. Положим </ = еь/к. Имеем = 0, г^(Т) = </. Следо-
вательно, существуют второй локальный параметр поля Ь и в € Н^ такие, что Ь = вЬ\ (см. [12, теорема 2]). Этот второй локальный параметр и т = вдЬ\ 1 удовлетворяют условию. □
Следствие 3.2. Пусть К — поле типа II, Ь/К — неразветвленное расширение степени д, р \ д, Ь — второй локальный параметр поля К. Тогда Ь — поле типа II, и существует второй локальный параметр Ь1 поля Ь такой, что Дк(Ь) = Дь(Ь1).
Лемма 3.3. Пусть Ь0 С Ь1 — стандартные двумерные поля, Ь1/Ь0 — свирепое расширение степени р. Пусть Ь и Ь1 — вторые локальные параметры полей Ь0 и Ь1. Тогда существует т € Ь1 такой, что (т) = вь1 ¿■ь1/ьа и йЬ = тйЬ1.
Доказательство. Расширение Ь^/Ьо несепарабельно, = ¿0(^1), следовательно,
р-1
ьр + Е = 0,
¿=0
где > 0 при г > 1, у^0(со) = 0, г^0(со) = 1. Так как поле Ьо стандартное, то
Ьо = 1{{Ь}}, где I — подполе констант поля Ьо. Пусть П1 — униформизирующая поля I,
с0 = о^ е~1.
Тогда в^^ = 0 при г < 0, и вод = 0. По лемме 2.8 выполнено
Следовательно,
'дер
т
Положим
в = шт|вЬ1, шт{уЬ1 (сн) | 1 < г < р — 1}|.
Имеем
р— 1 р— 1 р— 1
¿=0 ¿=1 ¿=1
<\т) 11 дь
о ¿=1 ¿=1
Следовательно, для
==__±_-_±_±_
(дс^\+1 , дсц
2-^1=1 I, эг /1 "г дг выполнено равенство йЬ = тйЬ 1. Имеем (т) = в. Докажем, что
еЬ1 йЬ1/Ь0 = в.
Имеем Тт^1/ь0Ь? = Тт^1/ь01 = Р, и по лемме 2.9 при 1 < г < р — 1 выполнено
ТгЬ1/Ь0 (ь1) = —Ср—1ТтЬ1/Ьо (Ь1—1)-----^—¿+1ТтЬ1/Ьо (ь1) — ^—¿.
min{vLl (TrLl/Lo (t\)) \ 0 < г < p - ^ = s. (3)
Пусть l — общее подполе констант полей Lo и Li. Тогда Lo = /{{t}}, Li = /{{ti}}. Любой x € Li можно представить в виде
x = у a,it\, ai € l.
0<i<p-i
Имеем
(ттЬ1/Ьох ч ™п{агТтЬг/Ьо Ш \ 0 < г < Р — 1} 'ОЬг - > ---7--- >
у х 7 шш| уЬх (аг) \ 0 < г < р — И
> шт{уЬ1 (ТтЬ1/Ьо (г\)) \ 0 < г < р — 1}.
Учитывая (3), получаем
еЬ1 ^Ь1/Ь0 = з.
□
Лемма 3.4. Пусть К — поле типа II, и с € К. Тогда существует т € К такой, что у к (т) > у к (с) — 1 и ¿с = тАп.
Доказательство. Пусть п, Ь — локальные параметры поля К, к — подполе констант поля К. Положим Ко = к{{£}}, в = у к(с). Расширение К/к{{£}} вполне разветвлено, следовательно, Ок = Ок0 [п]. Элемент с можно представить в виде
p-i
c = СП, Ci € Ko.
i=0
Пусть а,Ь € К таковы, что аАп + ЪА. = 0. Так как К — поле типа II, то Ук(Ъ) < Ук(а). Имеем
р-1 я р-1 г-1. , дСг\„г1,\ , 1
следовательно,
dt.
o i=o
a „ dc
E-^-^Ef^E'
i=o i=o i=o
удовлетворяет условию. □
4. Случай вк/к = Р.
Лемма 4.1. Пусть К — двумерное поле, к — подполе констант поля К, в(К/к) = р. Пусть п, Ь — локальные параметры поля К, К0 = к{{£}},
р-1 хр + сгхг
г=о
минимальный многочлен для п над К0. Тогда следующие условия равносильны:
1) поле К имеет тип II,
2) выполняется неравенство
Р"к0 (^г) ^ тт|рек0 + Р~ 1,тт{ртк0(сг) + «-1|1<г<.р-1}}.
Доказательство. Имеем
p-i p-i p-i д
Положим
p-i p-i дс-
i i=o
Тогда выполнено аАп + ЪАЬ = 0, и, следовательно, условие 1 равносильно тому, что то ук (Ъ) < Ук (а). Имеем
Ук (а) = шт| рвк0 + р — 1, шт{рук0 (сг) + г — 1 \ 1 < г < р — 1} (4)
При 1 < г < p — 1 выполнено
следовательно, условие vk (b) < vk (a) равносильно тому, что
VK(w)-VK{a)-
Учитывая (4) и равенство ек/к0 = ек/k = p, получаем, что это условие равносильно условию 2. □
Лемма 4.2. Пусть K — поле типа II, к — подполе констант поля K, e(K/k) = p. Пусть п, t — локальные параметры поля K, K0 = к{{t}},
p-i xp + cixi i=o
— минимальный многочлен для п над K0,
со = Ys °i jпкtj, 0i,j € Rko ^{0}-
i>i
jez
Тогда существуют 'i,j такие, что г < eKo, p \ j, Oi j = 0. Доказательство. По лемме 4.1 выполнено
PVK0 (^г) ^ Рек0 +Р ~ !•
■Ко
( дс0
д£
<
рек0 + Р — 1
р
еКо .
Из леммы 2.8 следует, что существуют такие г,], что
г + ек0■р(]) < вк0, в¿,j = 0. При г > 1 это неравенство может выполняться только, если
г < ек0, »р(]) =0.
□
Лемма 4.3. Пусть Ь0 = 1{{Ь}}, п — униформизирующая поля I, с^ € Ь0 при 0 < г < р — 1 таковы, что »Ьо (с^) > р, »Ьо (со) = р,
со
= Е в¿,j<Ьз, € Кьо ^{0},
¿>1
зет
существуют г, ] такие, что г < р \^ 0, Ь = Ьо(х), где
р—1
+ Е
сих1 = 0.
Тогда Ь/Ьо — свирепое расширение степени р. Доказательство. Положим
г0 = шт{г | р \], вгз = 0 для некоторого ]},
со = Е вЦрпПз/р, со' = Е в¿з ^¿Ьз,
р\з
У1 = х + с'о,
р\з
¿0
У = П1 0 УЬ
Имеем Ь = Ьо(у). Достаточно доказать, что = 0, и г/р С ¿о \ ¿о-
Имеем
следовательно,
Кроме того,
■ь(с'о ) > еЬ/Ьо, ■Ь(с0') = еЬ/Ьо Рi0,
ъь{х) = -уь{с0) = еь/ь0, р
■Ь(У1) > еь/Ьо, (У1 — с0)р — Ур + с0р) > еь + еЬ/Ьор.
■ь(со — (с0)р — с0') = »ь(Е в, зз <Ьз — (Е вЦ^^У) > еь + еь/Ьо р.
х
Имеем
р-1
Ур + + ^егхг + ((у1 - с0)р - у? + + (с0 - (с'0)р - с£) = 0,
¿=1
следовательно, уь(уР + с'д) > вь > )• Получаем, что
уьЫ) = ^ь(со) = еь/ь0г0, УЬ(у) = 0
Г = -кГргос<<еЬо\Ьр0.
□
Лемма 4.4. Пусть К — поле типа II, к — подполе констант поля К, е(К/к) = р, пи — униформизирующая поля к. Тогда поле К(^ттк) стандартное, и расширение К свирепое.
Доказательство. Пусть Ь — второй локальный параметр поля К, К0 = к{{£}}, I = к( ^ттк), 7Гг = ^/Щ, ¿о = ^ = ^Щ)- Пусть 7т — униформизирующая поля
К,
р-1
/ (х) = ХР + ^ СгХ
¿=0
— минимальный многочлен для п над Ко,
со = Е ^ - о Пк #, ^, з е Ик0 ^{0}.
¿>1
зет
Из леммы 4.2, примененной к расширению К/Ко, следует, что существуют г,] такие, что
г <еКо = р\з, ф 0.
Имеем Ь = Ьо(п) и многочлен ](х) является минимальным многочленом для п над Iо• Коэффициент со можно записать как
со =Е^о, ^о е Иь0 и{0}. ¿>1
зет
Таким образом, к расширению Ь/Ьо и х = п можно применить лемму 4.3. Получаем, что Ь/Ьо — свирепое расширение степени р. Из этого следует, что поле Ь стандартное.
Расширения К/Ко и Ьо/Ко вполне разветвлены, расширение Ь/Ьо свирепое, следовательно, расширение Ь/К свирепое. □
и
5. Основные результаты.
Лемма 5.1. Пусть K0 С Ki С ■■■ С Kn — двумерные поля, к —их общее подполе констант, поле K0 стандартное, Ki+i/Ki — вполне разветвленные расширения степени p, — униформизирующая поля к, поля Ki при i > 1 имеют тип II, существует общий второй локальный параметр t полей Ki при i > 0 такой, что Axiit) < —dKi_1/K0 при г > 1. Тогда поле Кп{ стандартное, и расширение Кп(р^/ттк)/Кп свирепое.
Доказательство. Индукция по п. Для п = 1 утверждение доказано в лемме 4.4. Докажем переход от п — 1 к п.
Положим 7т; = Li = Ki(jrt). Применяя лемму 4.4 к полю К\, получаем,
что поле Li стандартное, расширение Li/Ki свирепое. Из того, что расширение Li/Ki свирепое, расширения L0/K0 и Ki+i/Ki вполне разветвлены, следует, что расширение Li/Lo свирепое, расширения Li+i/Li при i > 1 вполне разветвлены, расширения Li/Ki при i > 1 свирепы. Пусть ti — второй локальный параметр поля Li и m G Li таковы, как в лемме 3.3. Пусть ni — произвольные униформизирующие полей Ki, и ai, bi G Ki таковы, что aidni + bidt = 0. Тогда выполнено
— (vKi(bi) ~ vKi(a,i)) = AKi(t) < -dK._l/Ko,
eKi
а также выполнено aidni + mbidti = 0. Элементы ni и ti являются локальными параметрами полей Li. Имеем
Ь-иЫМ) = —(vLiimbi) - vLi(a,i)) = eLi
=-(vKi(bi) ~ vKi{ai)) H--vLl(m) <
eKi eLl
< —dKi-1/K0 + dLi/Lo < —dLi-1/L0 + dLi/Lo = —dLi-1/L1 ■
Получаем, что поля Li С ■■■ С Ln, униформизирующая щ поля l и второй локальный параметр ti удовлетворяют предположению индукции. Следовательно, поле
L„{ = Ьп( = Кп{
стандартное, расширение Кп{ р\ркk)/Ln свирепое, и расширение Кп{ р\ркк)/Кп свирепое как башня двух свирепых. □
Предложение 5.2. Пусть к{{t}} С K0 С Ki С ■■■ С Kn — двумерные поля, к — их общее подполе констант, K0/k{{t}} — вполне разветвленное расширение степени q, где p \ q, Ki+i/Ki — вполне разветвленные расширения степени p, поля Ki при i > 1 имеют тип II, AKi (t) < -dK—1/Ko при i > 1. Тогда
1) существует поле l0 такое, что |l0 : k\ = q, поле l0K0 стандартное, расширение l0Kn/Kn неразветвлено, расширение l0K0/l0{{t}} неразветвлено;
2) для любого поля l0, удовлетворяющего условию 1 и для любой униформизи-рующей 7Го поля lo поле 1оКп( стандартное, и расширение 1оКп( р^/щ))/1оКп свирепое.
Доказательство. 1) По лемме 3.3.2 из [6], примененной к расширению Ко/к{{£}}, существует такое поле /о, что |/о : к\ является делителем д, расширение ¡оКо/1ок{{£}} неразветвлено и /о — подполе констант поля /оКо. Имеем
/ок{{ t}} = /о{{ t}},
это поле стандартное, следовательно, поле /оКо тоже стандартное. Из того, что Ко/к{{£}} вполне разветвлено, следует, что |/о : к\ = д, расширение /о/к вполне разветвлено, расширения /оКо/Ко и /оКо//о{{£}} неразветвлены. Из неразветвленности расширения /оКо/Ко следует неразветвленность расширений /оКг/Кг для любого г. 2) Проверим, что для полей /оKi выполнено условие леммы 5.1. Так как расширения /оКг/Кг неразветвлены, то /оКг+1//оКг — вполне разветвленные расширения степени р, и для любого г выполнено
¿1оК*-г/1оКо = ¿к-г/к ■
По лемме 3.1, примененной к расширению /оКо//о{{^}}, существуют т € /оКо и второй локальный параметр ¿1 поля /Ко такие, что '¡к0 (т) =0 и & = тА\. Пусть пг — униформизирующие полей Ki, и ог, Ьг таковы, что огёпг + ЬгсИ = 0. Тогда пг, ¿1 — локальные параметры поля /оКг для любого г, выполнены равенства огпг + (тЬг)А\ =0 и
Дг0К^1) = —^—(ъ10кЛтЬг) -Ъ10кЛаг)) = —(ъкЛЬг) "^К)) = еикг
□
Лемма 5.3. Пусть К — поле типа II, £ — второй локальный параметр поля К, к — подполе констант поля К, и поле М таково, что к{{£}} С М С К, \К : М \ = р,
/ \ Р — 1
Ак^) < -ак/м--•
ек
Тогда М — поле типа II, и
р — 1
АмМ = АК(Ь) + ¿к/м + £-.
еК
Доказательство. Достаточно найти униформизирующую пм поля М такую,
что
р — 1
Ам(ттм,г) = Ак(г) + <1К/М н--.
еК
Пусть униформизирующие пк, пм полей К и М таковы, что
р-1
+ У^ сПк + пм =0,
р
Тк
i=l
где ог € М, Ум(ог) > 1. По лемме 3.4 существуют такие тг, что 'им(тг) > Ум(сг) — 1, ¿о, = т,ё<пм■
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 4 617
Имеем
р—1 р—1 гр—1 „гг—1Л
(рпрк 1 + Е гсгпк ^ ¿пк + (У^ тПк + ^ ¿пм = 0.
=1 г=1
Положим
в = шт |ек + р — 1, шт{ик(сг) + г — 1 \ 1 < г < р — 1} |,
р—1 , 1 • г— 1
т = Р^к + Е<=1 гс^к ЕГГх +1
Тогда ¿пм = тйпк. Докажем, что ик (т) = в. Имеем
р— 1
'ик{рпрк 1 + Е гсгп]-^ = в.
г=1
При 1 < г < р — 1 выполнено
'к(т,п1к) = р'м(тг) + г > р('м(сг) — 1) + г> 0,
следовательно,
р— 1
ик (Е тгпгк + 1^=0.
г=1
Пусть ок, Ьк € К таковы, что о,к ¿пк + Ьк = 0. Тогда
о,к ¿пм + тЬк= 0,
и, следовательно,
Ам(тгм,г) = — (ъм(тЪк) - ум(ак)) = ем
= —{ък(Ък) - {ак)) Н--ук(т) = Ак(г) Н--е.
ек ек ек
Из того, что Ок = Ом [пк], следует, что
«к/м = — -—-) | о < г <р- 1|.
Тгк/Мп°к
1
ек пк
Имеем
= Тгк/м1 = р
к
и по лемме 2.9 при 1 < г < р — 1 выполнено
Тгк/м (пк)_ ср—1 Тгк/м (п[к1) ср—г+1 Тгк/м (пк) .ср—г -:- —---- — ' ' ' — ---— ^ —:— •
пгк пк пк1 пк1 пк пгк
Положим
в' = шш{ик(сг) — р + г \ 1 < г < р — 1}■
Тогда
= I 1 <1<р-1}.
Применяя формулу (5) последовательно к г = 1,...,р — 1, получаем, что
'Тгк/м (пк
шт< ук
к
-) | 0 < г 1| > в'
и для выполнено
Следовательно, Таким образом,
г0 = тт|г | 'ок -= в', 1 < г < р - 11
'Тгк/ы (пк ук I -;- I = «
к
ек¿к/ш = шш1п{вк, в'} = в — (р — 1).
А= АК(Ь) Н--(екд,м/к +р - 1).
ек
□
Теорема 5.4. Пусть К — двумерное поле типа II, к — его подполе констант, £ — второй локальный параметр поля К, ек/к = рпд, где д \ р, и выполнено хотя бы одно из условий
б) АКЦ) < -3,к/к{Ш -
Тогда существует расширение 1/к степени рпд такое, что поле 1К стандартное, и расширение 1К/К является композитом неразветвленного расширения степени д и свирепого расширения степени рп.
Если поле 10 таково, что 10/к — вполне разветвленное расширение степени д и 10К/К — неразветвленное расширение, и п0 — униформизирующая поля I, то в качестве поля I можно взять поле 1о ( .
Доказательство. Пусть
к{{*}} с Ко с К1 с • • • с Кп = К
таковы, что Ко/к{{£}} — вполне разветвленное расширение степени д, и К^+1/К^ — вполне разветвленные расширения степени р. Применяя лемму 5.3 и (1) к расширениям Кп/Кп-1, .., К1+1/КI, получаем, что
р 1 р 1
АкМ = АКп(г) + ¿Кп/Кг + -+ • • • + Г
екп
екг+1
По [6, предложение 1.4] выполнено ¿к^г/к^ ^ 1; учитывая (1), получаем, что ¿кп/к€ < п — г. Таким образом, в случае a правая часть не больше, чем
_(п _ 1) _ рП 1-1 + (п - г) + — (1 +Р + --- +Рп_<_1) < -(* - 1).
ек ек
В случае б правая часть не больше, чем
pn 1 — 1 p — 1 • -i -dkn/k0---+ dKn/Ki + ~-(1 +P+---+Pn г 1)<-ЛКг/к0-
В обоих случаях правая часть не превосходит —¿к^_1/к0, следовательно, для полей Ко, К1,..., Кп выполнено условие предложения 5.2. □
Литература
1. Иванова О. Ю. О связи классификации Курихары с теорией устранения ветвления // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, №2. С. 130-153.
2. Иванова О. Ю. Классификация Курихары и расширения максимальной глубины для многомерных локальных полей // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, №6. С. 42-76.
3. Ivanovo, O., Vostokov S., Zhukov I. On two approaches to classification of higher local fields // Чебышёвский сборник. 2019. Т. 20. Вып. 2. С. 177-189.
4. Востоков С. В., Жуков И. Б., Иванова О. Ю. Инварианты Курихары и устранение высшего ветвления // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2020. В печати.
5. Epp H. Eliminating wild ramification // Invent. Math. 1973. Vol. 19. P. 235-249.
6. Жуков И. Б., Коротеев М.В. Устранение высшего ветвления // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11, №6. С. 153-177.
7. Kurihara M. On two types of complete discrete valuation fields // Compos. Math. 1987. Vol. 63. P. 237-257.
8. Kurihara M. Two types of complete discrete valuation fields. In: Geometry & Topology Monographs. 2000. Vol.3. Invitation to higher local fields. P. 109-112. https://doi.org/10.2140/gtm.2000.3.109
9. Hyodo O. Wild ramification in the imperfect residue field case. In: Adv. Stud. Pure Math. 1987. Vol. 12. Galois Representations and Arithmetic Algebraic Geometry. P. 287-314. https://doi.org/10.2969/aspm/01210287
10. Жуков И. Б., Мадунц А. И. Многомерные полные поля: топология и другие основные понятия // Тр. С.-Петерб. мат. общ-ва. 1995. Т. 3. С. 4-46.
11. Zhukov I. Higher dimensional local fields. In: Geometry & Topology Monographs. 2000. Vol.3. Invitation to higher local fields. P. 5-18. https://doi.org/10.2140/gtm.2000.3.5
12. Жуков И. Б., Мадунц А. И. Аддитивные и мультипликативные разложения в многомерных локальных полях // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2000. Т. 272. С. 186-196.
Статья поступила в редакцию 16 мая 2020 г.;
после доработки 17 июня 2020 г.; рекомендована в печать 18 июня 2020 г.
Контактная информация:
Иванова Ольга Юрьевна — канд. физ.-мат. наук; olgaiv80@mail.ru Жуков Игорь Борисович — д-р физ.-мат. наук, проф.; i.zhukov@spbu.ru
Comparison of classifications of 2-dimensional local fields, type II*
O. Yu. Ivanova, I. B. Zhukov
1 St. Petersburg State University of Aerospace Instrumentation,
67, Bolshaya Morskaya ul., St. Petersburg, 190000, Russian Federation
2 St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Ivanova O. Yu., Zhukov I.B. Comparison of classifications of 2-dimensional local fields, type II. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2020, vol. 7(65), issue 4, pp. 607-621. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.404 (In Russian)
*This work was supported by Russian Science Foundation (grant no. 16-11-10200).
The article contributes to the theory of elimination of wild ramification for 2-dimensional local fields. It continues the study of classification of complete discrete valuation fields introduced in the work of Masato Kurihara. The main object of study is a 2-dimensional local field K of mixed characteristic with a finite residue field of odd characteristic. If such a field is weakly unramified over its constant subfield k (the maximal usual local field inside it), i.e., if eK/k = 1, its structure is well known. It is also known that any 2-dimensional local field can be turned into a standard one by means of a finite extension of its constant subfield (Epp's theorem). However, the estimate of the minimal degree of such extension is an open question in general. In Kurihara's article the 2-dimensional are subdivided into 2 types as follows. Consider a non-trivial linear relation between differentials of the two local parameters of the field. The field belongs to Type I, if the valuation of the coefficient by the uniformizer is less than that by the second local parameter, and to Type II otherwise. This paper is devoted to the fields of Type II. For them we consider the invariant A, the difference between valuations of coefficients in the above mentioned linear relation (it is non-positive for the fields of Type II). The minimal degree of the required extension of k cannot be less than eK/k for trivial reasons. However, such extension of degree eK/k does not exist in general. In this article it is proved that it exists if the absolute value of A is sufficiently large. The corresponding estimate for A depends only on eK/k. Keywords: higher local fields, wild ramification.
References
1. Ivanova O.Yu., "On connection of Kurihara's classification with the theory of elimination of ramification", St. Petersburg Math. J. 24(2), 283-299 (2013).
2. Ivanova O.Yu., "Kurihara classification and maximal depth extensions for multidimensional local fields", St. Petersburg Math. J. 24(6), 877-901 (2012).
3. Ivanova O. Yu., Vostokov S. V., Zhukov I. B., "On two approaches to classification of higher local fields", Chebyshevskii Sbornik 20(2), 177-189 (2019).
4. Vostokov S. V., Zhukov I.B., Ivanova O.Yu., "Kurihara's invariants and elimination of wild ramification", Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI, in press.
5. Epp H., "Eliminating wild ramification", Invent. Math. 19, 235-249 (1973).
6. Zhukov I.B., Koroteev M.V., "Elimination of wild ramification", St. Petersburg Math. J. 11(6), 1063-1083 (2000).
7. Kurihara M., "On two types of complete discrete valuation fields", Compos. Math. 63, 237-257 (1987).
8. Kurihara M., "Two types of complete discrete valuation fields", in Geometry & Topology Monographs, vol.3. Invitation to higher local fields, 109-112 (2000). https://doi.org/10.2140/gtm.2000.3.109
9. Hyodo O., "Wild ramification in the imperfect residue field case", in: Adv. Stud. Pure Math., vol. 12. Galois Representations and Arithmetic Algebraic Geometry, 287-314 (1987). https://doi.org/10.2969/aspm/01210287
10. Zhukov I. B., Madunts A. I., "Multidimensial complete fields: topology and other basic constructions", Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society 3, 4-46 (1995).
11. Zhukov I., "Higher dimensional local fields" in: Geometry & Topology Monographs, vol. 3. Invitation to higher local fields, 5-18 (2000). https://doi.org/10.2140/gtm.2000.3.5
12. Zhukov I. B., Madunts A. I., "Additive and multiplicative decompositions in multidimensional local fields", J. Math. Sci. (N. Y.) 116(1), 2987-2992 (2003).
Received: May 16, 2020 Revised: June 17, 2020 Accepted: June 18, 2020
Authors' information:
Olga Yu. Ivanova — olgaiv80@mail.ru Igor B. Zhukov — i.zhukov@spbu.ru
