CC BY
7
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 3.
УДК 512.623 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-124-133
Расширения Инабы полных полей характеристики 0 1
С. В. Востоков, И. Б. Жуков, О. Ю. Иванова
Востоков Сергей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей алгебры и теории чисел, Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург). e-mail: s.vostokov@spbu.ru
Жуков Игорь Борисович — доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей алгебры и теории чисел, Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург). e-mail: i.zhukov@spbu.ru
Иванова Ольга Юрьевна — кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры высшей математики и механики № 1, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (г. Санкт-Петербург). e-mail: olgaiv80@mail.ru
Аннотация
В статье изучаются р-расширения полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики, где р — характеристика поля вычетов рассматриваемого поля. Известно, что любое вполне разветвленное расширение Галуа степени р с немаксимальным скачком ветвления может быть задано уравнением Артина-Шрайера; при этом ограничение сверху на скачок ветвления соответствует ограничению снизу на нормирование правой части уравнения. Задача построения расширений с заданной группой Галуа произвольного конечного порядка не решена.
В работах Инабы рассматривались р-расширения полей характеристики р, заданные матричным уравнением X= АХ, которое мы здесь называем уравнением Инабы. В этом уравнении обозначает матрицу, полученную возведением каждого элемента квадратной матрицы X в степень р, а — некоторая унипотентная матрица А над данным полем. Такое уравнение задает последовательность расширений полей, каждое из которых задано уравнением Артина-Шрайера. Было доказано, что любое уравнение Инабы задает расширение Галуа, и обратно, любое конечное р-расширение Галуа задается уравнением такого вида.
В настоящей работе для полей смешанной характеристики доказано, что расширение, задаваемое уравнением Инабы, является расширением Галуа, если нормирования элементов матрицы удовлетворяют некоторым оценкам снизу, т.е. если скачки промежуточных расширений степени р достаточно малы.
Данная конструкция может применяться при решении задачи погружения расширений полей. Уравнение Инабы задает последовательность расширений полей, полученную последовательным присоединением элементов диагоналей матрицы. Это означает, что, если расширение L/K задано уравнением Инабы, и матрица А выбрана так, что на диагоналях с большими номерами записаны нули, то можно получать расширения, содержащие L/K, заменяя нули другими элементами. В работе доказано, что любое нециклическое расширение степени р2 с достаточно маленькими скачками можно погрузить в расширение с группой Галуа, изоморфнной группе унипотентных матриц 3 х 3 над толем из р элементов.
1 Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект 16-11-10200).
В конце статьи сформулирован ряд открытых вопросов, при исследовании которых, возможно, окажется полезной данная конструкция.
Ключевые слова: дискретно нормированное поле, скачок ветвления, уравнение Артина-Шрайера.
Библиография: 15 названий. Для цитирования:
С. В. Востоков, И. Б. Жуков, О. Ю. Иванова. Расширения Инабы полных полей характеристики 0 // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 3, с. 124-133.
СНЕВУЗНЕУБКИ ЗВОЮТК
Уо1. 20. N0. 3.
UDC 512.623 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-124-133
Inaba extension of complete field of characteristic 0 2
S. V. Vostokov, I. B. Zhukov, O. Yu. Ivan ova
Vostokov Sergey Vladimirovich — doctor of physical and mathematical Sciences, Professor, head of the Department of higher algebra and number theory, Saint Petersburg State University (St. Petersburg). e-mail: s.vostokov@spbu.ru
Zhukov Igor Borisovich — doctor of physical and mathematical Sciences, associate Professor, Professor of higher algebra and number theory, Saint Petersburg State University (St. Petersburg). e-mail: i.zhukov@spbu.ru
Ivanova Olga Yurevna — candidate of physical and mathematical Sciences, senior lecturer of the Department of higher mathematics and mechanics No. 1, Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation (St. Petersburg). e-mail: olgaiv80@mail.ru
Abstract
This article is devoted to p-extensions of complete discrete valuation fields of mixed characteristic where p is the characteristic of the residue field. It is known that any totally-ramified Galois extension with a non-maximal ramification jump can be determined by an Artin-Schreier equation, and the upper bound for the ramification jump corresponds to the lower bound of the valuation in the right-hand side of the equation. The problem of construction of extensions with arbitrary Galois groups is not solved.
Inaba considered p-extensions of fields of characteristic p corresponding to a matrix equation = AX herein referred to as Inaba equation. Here Xis the result of raising each element of a square matrix X to power p, and A is a unipotent matrix over a given field. Such an equation determines a sequence of Artin-Schreier extensions. It was proved that any Inaba equation determines a Galois extension, and vice versa any finite Galois p-extension can be determined by an equation of this sort.
In this article for mixed characteristic fields we prove that an extension given by an Inaba extension is a Galois extension provided that the valuations of the elements of the matrix A satisfy certain lower bounds, i. e., the ramification jumps of intermediate extensions of degree p are sufficiently small.
2The study was supported by the Russian science Foundation (project 16-11-10200).
This construction can be used in studying the field embedding problem in Galois theory. It is proved that any non-cyclic Galois extension of degree p2 with sufficiently small ramification jumps can be embedded into an extension with the Galois group isomorphic to the group of unipotent 3 x 3 matrices over Fp.
The final part of the article contains a number of open questions that can be possibly-approached by means of this construction.
Keywords: discrete valuation field, ramification jump, Artin-Schreier equation
Bibliography: 15 titles.
For citation:
S. V. Vostokov, I. B. Zhukov, O. Yu. Ivanova, 2019, "Inaba extensions of complete fields of characteristic 0" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 124-133.
1. Введение
В статье Инабы [4] было показано, что матричное уравнение вида X (р) = АХ, где X (р) обозначает матрицу, полученную из X возведением каждого элемента в степень р, а А — унипотентная квадратная матрица над полем К характеристики р > 0, задаёт р-расширение Галуа поля и что произвольное конечное р-расширение Галуа может быть задано уравнением такого вида.
В настоящей работе мы проверяем, что уравнение X(р) = АХ также задаёт р-расширение Галуа, если К — полное дискретно нормированного поля характеристики 0 с произвольным полем вычетов характеристики р > 0, а нормирования эле ментов А удовлетворяют определённым оценкам снизу. Показано, как этот результат можно применить к решению задач погружения для расширений с малыми скачками ветвления.
В заключительном параграфе сформулирован ряд открытых вопросов, решать которые можно с использованием данной конструкции.
2. Обозначения и предварительные сведения
В данной статье через К обозначено полное дискретно нормированное поля характеристики 0 с произвольным полем вычетов характеристики р > 0, через П алгебраическое замыкание через v — нормирование на П (продолжение дискретного нормирования на X), нормализованное условием v(p) = 1, через ек — абсолютный индекс ветвления поля К, т. е. ек = (v(K*) : Z). Для строки D = (D\,..., Di) из элементов П считаем v(D) = min {v{Di),...,v{Di)).
Положим M = [х £ П|v(x) > 0}.
Под унипотентной матрицей мы будем (как и в [4]) понимать верхнетреугольную квадратную матрицу, у которой все элементы на главной диагонали равны 1. Если А = = (üij) £ Мп(К) — такая матрица, то мы будем полагать A[k, I] = ai^+i и
А[к] = (А[к, 1],...,А[к,п - к])
для всех 1 ^ к ^ п — 1, 1 ^ I ^ п — к] при этом А[к] будем называть к-й диагональю матрицы
А Через будем обозначать матрицу (а?-) £ Мп(К).
Через Un будет обозначаться множество унипотентных матриц из Mn(Zp), все элементы
которых — элементы Тайхмюллера, т. е. принадлежат = ß U {/}; через Un — группа
V
унипотентных матриц из Мп(¥р).
Лемма 1. 1. Пусть а е К, у(а) > — х е О, хр — х = а. Тогда К(х)/К — расширение Галуа. Если у(а) < 0 и р \ екУ(а), т,о К(х)/К вполне разветвлено и скачок ветвления з(К (х)/К) = —еку(а).
2. Если а' е К, у(а' — а) > 0, то у многочлена Хр — X — а! есть корень в К(х).
Доказательство. Первое утверждение было доказано в [6] (см. изложение в [2, гл. III]); более простое доказательство с использованием формальных групп Любина-Тэйта получено в [10] (см. также [12]). Второе утверждение легко вытекает из первого с использованием леммы Гензеля. ■ □
3. Основной результат
Пусть п — натуральное число; а — рациональное число, меньшее 1/(п — 1). Пусть А £ Мп(К) — унипотентная матрица такая, что v(A[i,j]) ^ — га при всех j. Обозначим через X любую унипотентную матрицу из Мп(О) такую, что
X(р) = АХ. (1)
Это матричное уравнение эквивалентно набору уравнений
X [i.jf — X [i,j] = A[1,j ]Х [i — 1,з + 1] + ■ ■ ■ + A[i — 1,з ]X [1, i + j — 1] + A[i,j ]. (2)
откуда индукцией по г мы получаем существование всех X[i,j] £ О. Положим Ki = К (X [1],.. .,Х [I]), I = 0,...,п.
Теорема 1. Пусть X — какое-либо решение матричного уравнения (1).
1. Имеем v(X[г]) ^ — у при всех г.
2. Для любого а £ Gal(K) найдётся единственная матрица Ла £ Un такая, что
Xа = XЛа + Аа. Аа £ Mn(M).
3. При этом v(Aa[г]) > 1 — га при всех г. 4- Ki/K — расширение Галуа при всех г.
Доказательство. Основная идея состоит в том, что мы будем строить матрицу Ла последовательно от 1-й до (п — 1)-й диагонали, проверяя при этом выполнение всех условий применительно к X[г], Ла[г] и Аа[г] для г от 1 до п — 1. Будем обозначать через Л^ матрицу из Ün такую, что
лим = (Л»и. i>';
[0, j>i.
Эта матрица определена, как только построены элементы Ла на диагоналях с 1 -й по г-ю. Нетрудно видеть, что утверждение 2 теоремы сводится к выполнению следующего условия при всех г.
2'. Для любого а £ Gal(^) найдётся единственная строка Ла[г] из элеменtob такая, что
X - Щ = X Л® [г] + АСТ Щ.
где v(Aa [г. j ]) > 0 при всех j = 1.... ,п — г.
Мы докажем индукцией по г, что выполняются утверждения 1, 2', 3 и 4.
Из (2) имеем
у(Х [г,з ] ^ - шт(у(А[1,з]Х [г - 1,з + 1]),..., Р
ь(А[г - 1,з]Х[1, г + з - 1]),у(А[г,Я))
1 г -1 г -1 . . 1 (3)
^ — шах(а +--а, 2а +--а,..., (г - 1)а + - а, га)
р р р р
г
= — а. Р
Далее, зафиксируем а е Са1(К) и положим
У = X1 - X ■ л£-1].
Поскольку (X1 )(р) = АХ1, имеем
(У(р) - У)[г] = ((Ха)(р) - Ха)[г] - ((XЛ|-11)(р) - XЛ|-11)[г] + (У(р) - (X1)(р) + (XЛ|-11)(р))[г]
= А + + Вз,
где
А = ((А - Еп)Х°)[г] - ((X(р) - X)Л|-1])[г], ^2 = (х(р)Л|-11 - (Xл|-11)(р))[г],
П3 = (у(р) - (х1 ){Р) + (ХЛ|-11)(Р))[г];
здесь Еп — единичная матрица.
Оценим снизу нормирования всех элементов строк ^2 и Из] в частности, покажем, что эти нормирования положительны.
Поскольку (СЛ| 1])[г] = (СЛа)[г] для любой строго верхнетреугольной матрицы С, в частности, для С = А - Еп и для С = X(р) - X, получаем
А = ((А - Еп)(.ХЛ1~1 + Д|))[г] - ((X(р) - X)Л|" %] = ((А - Еп)Аа)[г].
(Отметим, что Да[1],..., Да[г - 1] уже определены.) Отсюда
и(А) ^ ш1п(и(Л[1]) + у(Да[г - 1]),..., ь(А[г - 1]) + у(Да[1])) > ш1п(-а + 1 - (г - 1)а,..., -га + 1 - а) = 1 - га ^ 0.
Для оценки ь(И2) и у(Из) воспользуемся тем, что
ь((а + Ь)р - ар - ЬР) ^ 1+ ршт(ь(а),ь(Ь)).
Это даёт
шт^Дз^рз)) ^ 1+ Р шт(г)(Х [1]),...,^(Х [г])) ^ 1 - га.
Таким образом, ь((У(р) - У)[г]) ^ 1 - га ^ 0. Отсюда получаем, что ь(У[г]) ^ 0, и у(У [г,з ]р - У [г,]}) > 0 {з = 1,...,п - г) что означает У [г,з] = Л^то с1Ш для некоторого Л^ е П.
Пусть Дj = У[г,з] - Л^- и Д = (Д1,..., Дп_^). Тогда имеем
(Л, + Д,)р - (Л, + Д,) = (У(р) - У)М,
откуда у(А) ^ 1 — га.
Теперь положим Л®[г] = (Лу,..., Лп_^). Получаем
(X - — X Л® )[г] = (X - — X Л® )[г]
= (X® — X Л®-%] + (X (Л®_у — Л®]))[г] = У [г] — Л® [г] = Д.
Это доказывает выполнение условий 2' и 3 для данного г. Осталось проверить условие 4. Для этого заметим, что Кг = Кг_\(Х[г]) при этом элементы X[г] служат корнями уравнений Артина-Шрайера (2) над Кг_у, и нормирование правой части каждого уравнения не может быть меньше — ^ > —1 (ср. (3)). Такие уравнения Артина-Шрайера задают расширения Галуа (см. лемму 1), и тем самым Кг нормально над Кг_\. Чтобы доказать, что Кг нормально над К достаточно проверить, что при каждом ] и каждом а е Са1(^) выполнено X[г,эГ е Кг.
Из (1) и условия 2' имеем
((X ® — X ® )[г] = ((А — Еп)Х ® )[г] = ((А — Еп)Х Ла + (А — Еп )Д® )[г].
При этом из (1) также имеем
((ХЛа — X Л® )[г] = ((А — Еп)ХЛа )[г],
то есть при каждом уравнение Артина-Шрайера с правой частью, равной ((А—Еп)ХЛа)[г, ]], имеет корень в К^ С другой стороны, из ь(А^]) ^ — ]а и ь(Да] > 1 — ]а {] = 1,... ,г — 1) следует
у(((А — Е,п)Да)[г]) > 1 — га> 0.
Тогда по лемме 1 уравнение с правой частью ((А — Еп)ХЛа + (А — Еп)Да)[г^] также имеет
корень (а тем самым и р различных корней) в Кг, откуда X[1,]}а е Кг. ■ □
Данная конструкция позволяет доказывать разрешимость определённых задач погружения для р-расширений полных дискретно нормированных полей, имеющих достаточно малые скачки ветвления. Погружение циклических р-расширений в циклические изучалось в [7]; явное построение циклических расширений степени р2 с малыми скачками ветвления было получено в [12] (см. также [9], [8]) и в [14]). Рассмотрим простейший случай погружения абелева расширения в неабелево, а именно в расширение степени р3 с групп ой Щ.
Следствие 1. Пусть Е/К вполне разветвлённое расширение с группой Галуа, изоморфной (Ж/рЖ)2, и его скачки ветвления в верхней нумерации не превосходят е/2, где е = ек > 3. Тогда, Е/К можно погрузить в расширение с группой Галуа, изоморфной и3.
Доказательство. Расширение Е/К представляет собой композит двух циклических расширений, скачки ветвления которых меньше е/2. Ввиду леммы 1 имеем Е = К(х\,х2), где х^ — Хг = е К, у(йг) > —1/2 {г = 1, 2). Выберем Ь е К такое, что у(Ь) > —1, положим
(1 ау Ь 0 1 а2 0 0 1
и построим расширения К у/К и К2/К как в теореме. Тогда К у = Е, К2 = Е(уь), где
УРъ — Уь = ауХ2 + Ь.
Заметим, что сопоставление а ^ Ла е из с последующей редукцией тос1Ш задаёт вложение Са1(^/^) в Из. Это вложение не будет изоморфизмом только если | Са1(^/^)| < р3, т. е. если уь е Ь. Таким образом, если утверждение следствия не выполняется, то должно быть выполнено уь е Ь при всех Ь.
В духе [12], обозначим через Шь (соответственно Шк) идеал нормировали я поля Ь' = Ь((р) (соответственно К' = К((р)) со сложением +о, определяемым формальной группой Любина-Тэйта (см. [1, 15]) С0с [р](Х) = рХ + Хр, через ■ш — элемент К' с и!р-1 = - р. Тогда из е Ь' следует и!р(а1х2 + Ь) е [р]Шь. Поскольку шт(у(,шр(а1х2 + Ь)),у(и!рЬ)) > у(и]р) - 1 = а
Со(Х, У) = X + У + члены степе ни ^ р,
то отсюда следует и wpalX2 +о мрЬ е [р]Шь. Это выполняется, в частности, для Ь = 0, и вычитанием (в формальном модуле Шь) получаем wpb е [р]Шь для всех Ь. По теории Куммера имеем wpb е п, где подмодуль п С Шк порождён и>ра,1, -шра2 и [р]Шк- Однако ь]рЬ е п не может выполняться, если выбрать Ь с ь(Ь) < шт(г>(а1), у(а2)) и р \ еь(Ь). Последнее легко сделать, так как в [2, е) найдётся целое число, не кратное р. ■ □
4. Заключение
Возможность задавать различные р-расширения Галуа поля К при помощи уравнения Ина-бы (1) делает актуальными новые вопросы; возможно, читатели этого текста присоединятся к поиску ответа на них.
1. Мы знаем, что любое расширение Галуа Ь/К степени р при условии в (Ь/К) < 1 может быть задано уравнением Артина-Шрайера (см. [2, СЬ. III]). Можно ли утверждать, что любое конечное р-расширение Галуа с достаточно малыми скачками ветвлениями может быть задано при помощи уравнения Инабы? Более конкретно: верно ли, что для любой конечной р-группы С найдётся е = £с > 0 такое, что для л юбого К любое Ь/К с (1а1(Ь/К) = Си глубиной ветвления < е (или максимальным скачком < еек) задаётся уравнением Инабы?
2. Можно ли ослабить условия а < 1/(п - 1) и (или) п(А[1,]\) ^ -га? Можно ли модифицировать уравнение Инабы при пограничных значениях а так, чтобы оно задавало более широкий класс расширений Галуа (например, позволяло бы строить расширения Галуа Кп/К, у которых максимальные скачки ветвления «цоколя» К1/К близки к ек/(п - 1))?
3. Каков эффективный способ задавать циклические р-расширения с малой глубиной ветвления при помощи уравнения Инабы? В частности, какие матрицы А могут быть сопоставлены векторам Витта из [12] (или модифицированным векторам Витта из [14]), задающим циклические расширения степени р2?
4. Можем ли мы задать более широкий класс расширений Галуа поля К (не только р-расширения), используя уравнения (1) с не обязательно унипотентной матрицей А (как это сделано в характеристике р в работе [5])?
5. В работе [12] было показано, что любое вполне разветвлённое циклическое расширение Ь/К со скачком ветвления, меньшим ек/(р- 1), может быть вложено в циклическое расширение степени р2. Может ли этот результат быть обобщён на произвольные конечные р-группы? А именно, рассмотрим задачу погружения (С, Н, Ь/К), где С — конечная р-группа, Н — нормальная подгруппа, Оа1(Ь/К) = С/Н. Верно ли, что для некоторого в > 0 (зависящего от С и эта задача разрешима для любых К и Ь/К с глубиной ветвления й(Ь/К) < в! Каково максимальное в при заданных С и Н?
6. Для циклического расширения Ь/К степени р2 с промежуточным полем М глубины ветвления = й(М/К) и (12 = й(Ь/М) связаны неравенством Хиодо
й2 ^ шт((р - 1 + р-1)й1,1 - р-1 + р-1й1),
см. [3, Lemma (4-1)] или (без использования теории полей классов) [13, §1]. Можно ли обобщить это результат на другие задачи погружения (G, Н, L/K) с Н = Z/pZ?
7. Положительный ответ на предыдущий вопрос позволил бы предположить, что на «противоположном полюсе», при скачках ветвления близких к максимально возможным, задача погружения достаточного общего вида не имеет решения. Иначе говоря, можно ли утверждать, что для (некоторых) заданных G и Н найдётся В такое, что никакая задача погружения вида (G, Н, L/K) при d(L/K) > В не имеет решения (хотя расширения с Ga\(L/K) = G/H и d(L/K) > В существуют). Например, можно ли утверждать, что все «почти максимально разветвлённые» расширения (см. [11]) абелевы?
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cassels, J.W.S. Frohlich, A. Algebraic Number Theory / J.W. S. Cassels, A. Frohlich // Academiv Press, London and New-York, 1967.
2. Fesenko, I. В., Vostokov, S. V. Local fields and their extensions. A constructive approach/ I. B. Fesenko and S. V. Vostokov // Second edition, AMS, Providence, RI, 2002.
3. Hvodo, O. Wild ramification in the imperfect residue field case / O. Hvodo // Adv. Stud. Pure Math. 1987. Vol. 12, P. 287-314.
4. Inaba, E. On matrix equations for Galois extensions of fields with characteristic p / E. Inaba // Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1961. Vol. 12, P. 26-36.
5. Inaba, E. On generalized Artin-Schreier equations / E. Inaba // Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1962. Vol. 13, № 2. P. 1-13.
6. MacKenzie, R. E., Whaples, G. Artin-Schreier equations in characteristic zero / R. E. MacKenzie, G. Whaples // Amer. J. Math. 1956. Vol. 78. P. 473-485.
7. Miki, H. On Zp-extensions of complete p-adic power series fields and function fields / H. Miki // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect 1A. 1974. Vol. 21. P. 377-393.
8. Xiao, L., Zhukov, I. Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questions / L. Xiao, I. Zhukov // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 5. С. 695-740.
9. Zhukov, I. Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields / I. Zhukov //in book: Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Invitation to Higher Local Fields. Geometry and Topology Monographs, 2000. Vol. 3. P. 117-122.
10. Востоков, C.B., Жуков, И. В., Фесенко И. Б. К теории многомерных локальных полей. Методы и конструкции / С. В. Востоков, И. Б. Жуков, И. Б. Фесенко // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, № 4. С. 91-118.
11. Востоков, С. В., Жуков, И. Б., Пак, Г. К. Расширения с почти максимальной глубиной ветвления / С. В. Востоков, И. Б. Жуков, Г. К. Пак // Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМП). 1999. Т. 265. С. 77-109.
12. Востоков, С. В., Жуков И. Б. Некоторые подходы к построению абелевых расширений для р-адических полей / С. В. Востоков, И. Б. Жуков // Труды С.-Петерб. мат. общ. 1995. Т. 3. С. 194-214.
13. Жуков, И. Б. Структурная теорема для полных полей / И. Б. Жуков // Тр. С.-Петербург, мат. общ-ва. 1995. Т. 3. С. 194-214.
14. Жуков, И. Б., Лысенко, Е.Ф. Построение циклического расширения степени р2 полного поля / И. Б. Жуков, Е.Ф. Лысенко // Зап. научн. сем. ПОМП. 2017. Т. 455. С. 52-66.
15. Мадунц, А. И. Формальные группы Любина-Тейта над кольцом целых многомерного локального поля / А. И. Мадунц // Зап. научн. сем. ПОМП. 2001. Т. 281. С. 221-226.
REFERENCES
1. Cassels, J.W.S. Frohlich, A., 1967, "Algebraic Number Theortf"', Academic Press, London and New-York.
2. Fesenko, I. В., Vostokov, S.V., Zhukov I.B., 1990, "On the theory of multidimensional local fields. Methods and constructions", Algebra i Analiz vol. 2, № 4. pp. 91-118.
3. Fesenko I. В., Vostokov, S. V., 2002, "Local fields and their extensions. A constructive approach", Second edition, AMS, Providence, RI.
4. Hvodo, O., 1987, Wild ramification in the imperfect residue field case", Adv. Stud. Pure Math., vol. 12, pp. 287-314.
5. Inaba, E., 1961, "On matrix equations for Galois extensions of fields with characteristic p", Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ., vol. 12, pp. 26-36.
6. Inaba, E., 1962, "On generalized Artin-Schreier equations", Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ., vol. 13, № 2, pp. 1-13.
7. Zhukov, I. В., Lvsenko, E.F., 2018, "Construction of cyclic extensions of degree p2 for a complete field", J. Math.*Sci, vol. 234(2), pp. 148-157.
8. MacKenzie, R. E., WThaples, G., 1956, "Artin-Schreier equations in characteristic zero", Amer. J. Math., vol. 78, pp. 473-485.
9. Madunts, A.I., 2004, "Lubin-Tate Formal Groups over the Ring of Integers of a Multidimensional Local Field", J. Math. Sci., vol. 120(4) pp. 1609-1612.
10. Miki, H., 1974, "On Zp-extensions of complete p-adic power series fields and function fields", J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect 1A, vol. 21, pp. 377-393.
11. Vostokov, S.V., Zhukov, I. В., Pak, G. K., 1999, "Extensions with almost maximal depth of ramification", J. Math. Sci., vol. 112(3), pp. 4285-4302.
12. Vostokov, S. V., Zhukov, I. В., 1995, "Some approaches to the construction of abelian extensions for p-adic fields", Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, Vol. Ill, 157-174, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 166, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.
13. Xiao, L., Zhukov, I., 2014, "Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questions", Algebra i Analiz, vol. 26, № 5. pp. 695-740.
14. Zhukov, I.B., 1995, "Structure theorems for complete fields", Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, Vol. Ill, 175-192, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 166, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.
15. Zhukov, I., 2000, "Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields", in book: Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Invitation to Higher Local Fields. Geometry and Topology Monographs, vol. 3, pp. 117-122.
Получено 4.10.2019 г. Принято в печать 12.11.2019 г.
