Рассеяние неравновесных нетермализованных носителей заряда на акустических колебаниях в кристаллах без центра симметрии с кубической структурой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.935

РАССЕЯНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ НЕТЕРМАЛИЗОВАННЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА НА АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ В КРИСТАЛЛАХ БЕЗ ЦЕНТРА СИММЕТРИИ С КУБИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

© 2007 г. Р.М. Магомадов

Taking into account that energi of nonequilibrium electrons depends on temperature slightli , it is shown that under dispersion on acoustic vibra-tions,mobility of nonequilibrium electrons which are responsible for photovoktaik effekt is proportionate to T-1 in contrast to mobility of equilibrium onts is proportionate to T-3/2.

Взаимодействие как электрона, так и дырки с колебаниями решетки кристалла может происходить двояко:

1. носитель заряда передает часть своей энергии решетке, а колебание с частотой увеличивает свое число на единицу. В результате рассеяния носителя заряда на колебаниях решетки образуется фонон с энергией

и квазиимпульсом Q = ^ , где Q - импульс, приобретенный решеткой (число фононов возрастает на единицу);

2. энергия носителя заряда при взаимодействии с решеткой кристалла увеличивается, квантовое число определенного нормального колебания с частотой уменьшается на единицу. При таком процессе исчезает фонон с энергией и квазиимпульсом Q = йq и число фононов уменьшается на единицу. В любом из этих процессов электрон сталкивается с фононом и обменивается с ним энергией и квазиимпульсом. Такие процессы рассеяния носителей заряда в кристаллах называются однофононными. В кристаллах возможны процессы рассеяния носителей заряда, в которых происходит поглощение или испускание более одного фонона, но их вероятность мала.

Рассмотрим процесс рассеяния электронов на колебаниях решетки. Предположим, что электрон до столкновения с фононом имел волновой вектор к и энергию Е(к), а после столкновения его волновой вектор стал к' и энергия Е(к'). Энергия фонона, который испускается или поглощается в этом процессе, пусть равна юф а волновой вектор q. При взаимодействии электрона с фононом должен выполняться закон сохранения энергии и квазиимпульса.

При поглощении фонона электроном они запишутся следующим образом:

Е(к ) = Е(к) + й^; (1)

к' = к + q, (2)

и число фононов при этом уменьшается на единицу.

При испускании фонона электроном

Е(к ') = Е(к)- й^; (3)

k '= k - q,

(4)

и число фононов увеличивается на единицу. Рассеяние носителей заряда может быть упругим и неупругим. Вид рассеяния определяется значением от-

носительного изменения энергии 8 электрона за одно столкновение 8= Е'- ЕЕ = ДЕ/Е или за единицу времени А = ДЕ/т = Е • 8/т .

В случае изотропного и упругого рассеяния 8 << 1, и в этом случае среднее время рассеяния т имеет смысл времени релаксации системы по импульсу, а т Е = т / 8 -времени релаксации по энергии.

Наиболее простой для проведения расчетов процесс рассеяния электронов - это рассеяние электронов в атомном полупроводнике кубической структуры (рис. 1).

Предположим, что зона проводимости рассматриваемого кристалла простая, и энергия электрона в зоне проводимости равна:

Е = й2к2/2ш* . (5)

В кубических кристаллах изменение объема кристалла происходит только при прохождении продольных волн, которые являются волнами сжатия и растяжения, так как поперечные волны в твердом теле представляют собой волны деформации сдвига. Сжатие кристалла, сопровождающееся уменьшением постоянной решетки а, приводит к смещению нижнего края зоны проводимости вверх, а верхнего края валентной зоны -вниз (рис. 1). В результате ширина запрещенной зоны увеличивается. При растяжении, приводящем к увеличению постоянной решетки а, ширина запрещенной зоны уменьшается. Таким образом, в атомном полупроводнике кубической структуры локальная деформация, создаваемая продольной акустической волной, приводит к волнообразному изменению дна зоны проводимости и потолка валентной зоны (рис. 2). Поэтому движущийся в зоне проводимости электрон или дырка в валентной зоне, сталкиваясь с волной смещения, обусловленной тепловыми колебаниями решетки, будут рассеиваться на продольных колебаниях.

Можно показать, что это рассеяние упругое и происходит на длинноволновых колебаниях Закон сохранения энергии с учетом выражений (1)-(4) и (5) запишется в виде:

й2 • к'2 = й2(к + q)2 = й2к2

2m 2m 2m

Из выражения (6) получаем:

■ ± Йю„

(6)

q2 ± 2kq + 2m*h-

®q = 0

(7)

где 9 - угол между направлениями векторов к и д (рис. 3) при рассеянии на тепловых колебаниях решет-

ки.

E

np ns

0

а

r

Запрещенная зона

Еи

Рис. 2. Изменение энергии для дна зоны проводимости и потолка валентной зоны атомного полупроводника

кубической структуры под воздействием продольных акустических колебаний решетки

k

k

q

k

Рис. 3. Изменение вектора электрона при рассеянии на тепловых колебаниях решетки

В выражении (7) знак плюс относится к поглощению, а минус - к испусканию фонона. Предположим,

что носители заряда взаимодействуют только с длинноволновыми акустическими фононами, тогда ЮЧ = узв ' Ч, где узв. - скорость распространения продольной звуковой волны. Учитывая это и решая уравнение (7), получим

Ч = +2к сс^ 9± 2ш*у звк-1. (8)

Средняя энергия ^Е> равновесных электронов равна <Е> = кТ = к 2к2 (2ш* )-1. (9)

Из выражения (9) найдем

к = к-1-/2ш*кТ . (10)

Оценим второе слагаемое по сравнению с первым в (8), разделив его на (10).

2

'зв/

_ = __kp

hk V 2kT \ T Если принять vзв = 3 -103м/с

= А , ГДе Tkp = m * v 2в/2k 1 ■

да*=10-30 кг, k =1,38Ч0-

Рис. 1. Энергетическая схема атомного полупроводника кубической структуры. а - постоянная решетки в отсутствии деформации

Ес

Дж/К, то получаем Ткр =1 К. При температурах, намного превышающих 1 К, вторым слагаемым в (8) можно пренебречь по сравнению с первым и записать для волнового вектора q фонона q = +2к cos 9 .

Значение волнового вектора k зависит от 9 и может принимать значения от q ^=0 до q max=2k, т.е. в среднем меняться на k. При температуре кристалла T=300 K значение волнового вектора электрона k=109 м-1 и волновой вектор q может принимать значения от 0 до 24 09 м-1, что соответствует изменению энергии фонона от 0 до hroq = hv m.q = hv зв k = 3,16-10-22 Дж = 2-10-3 эВ. При комнатной температуре энергия электронов Е = h2k2 (2m*)-1 = 5,5 -10-21 Дж = 3,5 -10-2эВ, тогда отношение энергии фонона к энергии равновесного электрона равно

hroqE-1 = 6 -10-2 << 1. (11)

Так как энергия фононов значительно меньше энергии электронов, в (6) можно не учитывать энергию фо-нона, и законы сохранения энергии и квазиимпульса принимают вид Е' = Е,к' = к.

Из (11) следует, что рассеяние равновесных электронов на длинноволновых акустических фононах упругое.

Значение волнового вектора q0, соответствующего самым коротким акустическим фононам, по теории Де-

б i 6п2

бая, равно q0 = I-

I a

значение q max =109 волнового вектора фонона, возникающего или исчезающего при рассеянии равновесных электронов, на акустических фононах значительно меньше q0, следовательно, рассеяние происходит на длинноволновых фононах с поглощением или излучением фонона с q = k.

Таким образом, рассеяние равновесных электронов в атомных кристаллах кубической структуры происходит

1011 м 1 [1]. Максимальное

на длинноволновых продольных акустических колебаниях решетки и оно упругое.

При низких температурах, т.е. при температурах близких к Ткр =1 К, когда энергия равновесных электронов Е сравнима с энергией продольных акустических колебаний, энергией фонона в (6) нельзя пренебречь. В этом случае столкновение электрона с фононом будет неупругим.

При энергии электрона Е >> Й т.е. Т >> Ткр., выражение для расчета среднего времени рассеяния равновесных электронов, рассеянных на длинноволновых продольных акустических колебаниях, имеет вид

(т а) = 3Й4 Сп(4-ЛЛ(тП ^С^а^ВД12)-1, где С11 -

модуль упругости кристалла; т^ - эффектная масса равновесных электронов; N - концентрация атомов основного вещества; а - параметр решетки; С - постоянная, имеющая размерность энергии и характеризующая интенсивность взаимодействия электронов с акустическими колебаниями решетки; Е - энергия равновесных электронов, ее можно считать равной кТ .

Тогда подвижность равновесных электронов можно рассчитать по формуле

(ц п) А = 1(т :)-1( т а), (12)

где е - заряд электрона.

С учетом констант и величин, характеризующих

кристалл, выражение (12) можно переписать в виде

А - 3/ — С,,Т /2 С2

где А - постоянная, зависящая от характеристик кристалла и эффективной массы носителей заряда.

При изучении рассеяния на акустических колебаниях неравновесных нетермализованных носителей заряда, ответственных за фотогальванический эффект в средах без центра симметрии, нужно учесть, что их энергия значительно больше энергии равновесных носителей заряда кТ при данной температуре [2], поэтому их называют нетермализованными. Энергия неравновесных нетермализованных носителей Ен #(Т) и Ен >>кТ при низких и при высоких температурах, тогда Ен заведомо больше энергии к продольных акустических колебаний, и их столкновение с фононами будет упругим. Если учесть, что в кристаллах тензор эффективной массы определяется симметрией структуры кристалла и величиной кристаллического, то можно предположить, что в данном кристалле без центра симметрии эффективная масса равновесных и неравновесных нетермализованных носителей заряда одинаковы. Из этого следует, что среднее время релаксации неравновесных нетермализованных электронов можно рассчитать по формуле (11), заменив в ней энергию равновесных электронов Е на Ен, С на Сн.

(т аф)А = 3П4 С11 ( 4л/2Л(тП )^С н 2Ка3(кТ)В н У2

С учетом констант, характеризующих кристалл, и учитывая, что Ен =сошз1, выражение для расчета под-

(МА =—С11г

(13)

вижности неравновесных нетермализованных носителей заряда в кубических кристаллах примет вид

<ц Нф > А = в(сн 2 )-1 С иТ-1, (14)

где В - постоянная величина, зависящая от характеристик кристалла, эффективной массы и энергии неравновесных нетермализованных носителей заряда Ен,,; С11 - модуль упругости кристалла; С н- константа, характеризующая интенсивность взаимодействия неравновесных нетермализованных носителей заряда с фононами.

Из сравнения (13) и (14) видно, что температурная зависимость подвижностей равновесных и неравновесных нетермализованных электронов при рассеянии на продольных акустических колебаниях кубической решетки разная. Расчет значений подвижностей равновесных и неравновесных нетермализованных электронов при рассеянии на продольных акустических колебаниях проведен для кубического кристалла ZnS. Для кубического ZnS: т = 0,39т0, а = 5,41-10-10 м [3]. Концентрация атомов основного вещества N = -Пр, где п - число

а

атомов, приходящихся на элементарную ячейку кубического кристалла, для ZnS п=8 [2]; а - параметр элементарной ячейки ZnS. Следовательно, (№а3) = п=8, тогда

А = 19,176 • 10-47 нм6 (к)32 (Вс)-1. Расчет для равновес-

С -19

ных электронов постоянной ^ дает С = 6,3 • 10 Дж , а

_ ^ ^ч /Т/г 1 38 ТТ™

с - 39,66-I0 дж . с учетом этого выражение (13)

для кубического ZnS принимает вид

(цп)А = 4,84 • 10-10СПТ

- 32

Изучение рассеяния фотонов с энергией ^у = 4,5 • 10-19 Дж на неравновесных нетермализованных осителях заряда в кубическом ZnS, показало, что это рассеяние упругое и их энергия по крайней мере порядка 4,5-10-19Дж [4]. Если предположить, что энергия неравновесных нетермализованных носителей заряда ЕН = 4,5 • 10—19 Дж в кубическом ZnS, то при изменении температуры кристалла от 100 до 600 К тепловым вкладом в энергию Ен можно пренебречь, так как даже при Т = 600 К ЕН = 4,5•Ю-19Дж >>кТ = —21

= 7,28 -Ш Дж . Надо отметить, что рассматриваемый интервал температур значительно больше интервала, в котором исследовалась температурная зависимость фотогальванического тока в ZпS [5]. С учетом вышеизложенного, энергию ЕН = 4,5 •Ю—19 Дж неравновесных нетермализованных носителей заряда можно считать постоянной величиной в кристаллах ZпS без центра симметрии с кубической структурой. Если предположить, что Сн = С = 6,3 • 10—19 Дж, а эффективная масса равна эффективной массе равновесных электронов, то выражение (14) для подвижности неравновесных нетермализованных электронов в кубическом ZпS примет

вид (пф )д = 2,66 ' 10 11С11Т 1. Предполагая, что эффективные массы равновесных и неравновесных нетерма-лизованных электронов одинаковы, а температурной зависимостью эффективной массы электронов можно пренебречь в рассматриваемом интервале температур, были рассчитаны величины подвижностей равновесных и неравновесных нетермализованных электронов при различных температура для кубического ZnS. При проведении расчетов учитывалась температурная зависи-

С„

мость модуля упругости кристалла " , в нашем случае Сц

(ц пф )А, см 2/В

(Мп)а,см2/вс

300

200

модуля упругости Си, 1010

(рис. 4) [3].

10,5

10

9,5

100

1 «

0 100 200 300 400 500

300

200

100

100

200

300

400

500 Т,

Рис. 4. Температурная зависимость модуля упругости С11 кубического ZnS

При расчете величины подвижности для неравновесных нетермализованных носителей заряда предполагалось, что постоянная Сн, характеризующая интенсивность взаимодействия носителей заряда с продольными акустическими колебаниями такая же, как и у равновесных носителей заряда. Это предположение сделано из-за невозможности оценки этой величи-ны для неравновесных нетермализованных носителей заряда. Надо отметить, что это допущение не влияет на температурную зависимость подвижности неравновесных нетермализо-ванных носителей заряда, но влияет на величину подвижности [5]. Графики температурной зависимости подвижности равновесных и неравновесных нетермали-зованных электронов, рассеянных на акустических фононах в кубическом ZnS, построенные по расчетным значениям, приведены на рис. 5.

Рис. 5. Температурная зависимость подвижности равновесных (1) и неравновесных нетермализованных электронов (2) при рассеянии на продольных акустических колебаниях в кубическом ZnS

К Из графиков видно, что величина подвижности и характер их температурной зависимости разные в кубическом ZnS для равновесных (рис. 5, кривая 1) и неравновесных нетермализованных электронов (рис. 5, кривая 2). Различный характер температурной зависимости подвижностей этих носителей обусловлен тем, что энергия равновесных электронов определяется температурой кристалла, а энергия неравновесных нетермали-зованных электронов - константой, характеризующей асимметрию кристалла, и не зависит от температуры кристалла вдали от фазового перехода кристалла из асимметричного в симметричное состояние.

Литература

1. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М., 1976.

2. Стурман Б.М., Фридкин В.М. Фотогальванический эффект в средах без центра симметрии и родственные явления. М., 1992.

3. Шаскольская М.П. Акустические кристаллы. М., 1982.

4. Магомадов Р.М. // Опто-, наноэлектроника, нанотех-нологии и микросистемы: Тр. V Междунар. конф. Ульяновск, 2005.

5. Фридкин В.М., Магомадов Р.М. // ФТТ. 1989. Т. 26. № 11. С. 34-49.

Ингушский государственный университет, г. Магас

13 ноября 2006 г.

0