Распространение упругих волн в двухслойной структуре феррит-пьезоэлектрик Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.9

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОЙ СТРУКТУРЕ ФЕРРИТ-ПЬЕЗОЭЛЕКТРИК

Д.А.Филиппов, Т.А.Галичян, Т.О.Фирсова

Политехнический институт НовГУ, Dmitry.Filippov@novsu.ru

Представлена теория распространения упругих волн в двухслойной структуре феррит-пьезоэлектрик. На основе решения уравнения движения получено дисперсионное соотношение для продольных мод планарных колебаний. Показано, что в предельных случаях полученное выражение переходит в дисперсионное соотношение для феррита и пьезоэлектрика. Ключевые слова: двухслойная структура, упругие волны, дисперсионное соотношение

The theory of elastic wave propagation for ferrite-piezoelectric bilayer structure is presented. The expression for the dispersion relation of the planar oscillations' longitudinal mode is derived. It is shown that in limited cases this expression come to dispersion relation for ferrite and piezoelectric accordingly.

Keywords: bilayer structure, elastic wave, dispersion relation

Введение

Структуры на основе ферритов и пьезоэлектриков интересны тем, что в них в результате механического взаимодействия магнитострикционной и пьезоэлектрических компонент возможны эффекты, которые по отдельности отсутствуют как в ферритовой, так и в пьезоэлектрической компонентах. Одним из таких

эффектов является магнитоэлектрический (МЭ) эффект, который заключается в возникновении поляризации под действием магнитного поля (прямой МЭ эффект) и, наоборот, в возникновении намагниченности под действием электрического поля (инверсный или обратный МЭ эффект). Поскольку МЭ эффект в композитах обусловлен механическим взаимодействием магнитострикционной и пьезоэлектрической фаз и

напрямую связан с распространением упругих колебаний, то, следовательно, частотная зависимость эффекта определяется дисперсионным соотношением для данного типа волн. Распространение упругих волн в двухслойной среде существенно отличается от распространения в однородной среде. Ранее в работе [1] предпринимались попытки рассмотреть МЭ эффект в таких структурах, но при этом делалось предположение, что амплитуда колебаний не изменялась в направлении, перпендикулярном границе раздела. Это предположение с той или иной степенью точности может использоваться при описании эффекта для довольно тонких слоев. При более детальном рассмотрении метод, использованный в [1], сводится к методу эффективных параметров, который был первоначально использован при описании частотной зависимости МЭ эффекта в работах [2,3]. Недавно в работе [4] получено дисперсионное соотношение для структуры, представляющей собой тонкую пленку, выращенную на полубесконеч-ной подложке. В данной работе рассмотрено распространения упругих волн в двухслойной структуре феррит-пьезоэлектрик с учетом того, что амплитуда волны изменяется по толщине образца, и получено дисперсионное соотношение для волн акустического диапазона.

Модель. Основные уравнения

В качестве модели рассмотрим структуру, состоящую из механически взаимодействующих на границе пьезоэлектрической и магнитострикционной фаз (см. рис.). Выберем систему координат таким образом, чтобы начало совпадало с границей раздела слоев, а ось Z направим вертикально вверх, перпендикулярно границе раздела.

I

1

рі

Х

->

Схема структуры. 1 — слой феррита толщиной mt, 2 — слой пьезоэлектрика толщиной ^, 3 — омические контакты

Переменное магнитное поле с частотой ю возбуждает в ферритовой компоненте упругие колебания, которые посредством сдвиговых напряжений передаются через границу раздела в пьезоэлектрическую компоненту, что приводит к возникновению взаимосвязанных колебаний ферритовой и пьезоэлектрической подсистем. Поскольку имеется резкая граница, через которую осуществляется взаимодействие между ферритовым и пьезоэлектрическим слоями, то амплитуда колебаний будет неоднородной перпендикулярно границе раздела.

Уравнение движения среды для х-проекции

вектора смещения среды аи имеет вид

д2аи

Р-

ді2

даТ даГ

■ хх + _

дх

дz

(1)

где индекс а равен соответственно т для феррита и р для пьезоэлектрика; ар — плотность феррита или

_ ат-г _

пьезоэлектрика; Т.. — тензор напряжении.

У

Для поляризованной пьезоэлектрической фазы уравнения для тензора деформаций рОхх и pSxz и вектора электрической индукции pDz имеют следующий вид:

pS =—рТ + pd рЕ ,

хх рЕ хх хх, г г’

pS =—рТ ,

хг р£ хг*

где рТхх и рТхг — компоненты тензора напряжений в пьезоэлектрической фазе; рЕ, рО — модуль Юнга и модуль сдвига пьезоэлектрика; pdxxz — пьезоэлектрический тензор; Ег — г-проекция вектора напряженности электрического поля.

Для магнитострикционной фазы аналогичные уравнения запишем в следующей форме:

то 1 т^ . т ттт

о =----- Т + а п,

хх тЕ хх 1хх,г ’

то = 1 тт хг т^ хг’

где Тх и Т — компоненты тензора напряжений в

магнитострикционной фазе; mE,mG — модуль Юнга и модуль сдвига феррита; mqхxz — пьезомагнитный коэффициент; тНг — напряженность магнитного поля.

Поскольку имеется неоднородность вдоль оси Z, решение уравнения для вектора смещения среды представим в виде плоских волн, амплитуда которых изменяется по толщине образца:

а и(х, z)=ag(z)aA cos(юt - кх)+аБ sm(а>t - Ах), (2)

где аА и аБ — постоянные интегрирования.

Подстановка выражения (2) в уравнение движения (1) приводит к уравнению для функции аg(z). После несложных преобразований уравнения для функций, определяющих изменение амплитуды колебаний, примут следующую форму:

У'(2) + 2(1 + у)

ту2

р^’(г) + 2(1+V)

к2 -

ю

рК

1

^(г) = 0,

pg(z) = 0,

где введены обозначения —V = ——, —т = ~—

" " ту2 тЕ ру2

1

_Р.

рЕ ’

(3)

(4)

РУЬ — скорости продольных волн в феррите и пьезоэлектрике соответственно; V — коэффициент Пуассона, который для обеих сред предполагается одинаковым. Вид функций mg(z) и pg(z) (экспоненциальные или тригонометрические) зависит от знака члена, стоящего в квадратных скобках в уравнениях (3) и (4). При одинаковых значениях ю и к один из коэффици-

т

і

2

3

ентов, стоящих в квадратных скобках, будет меньше нуля, а другой больше нуля. Для определенности, выберем наиболее распространенный тип феррита и пьезоэлектрика, а именно рассмотрим структуру феррит-никелевая шпинель — цирконат-титанат свинца (N0-Р2Т). В этом случае скорость распространения упругих волн в феррите будет больше, чем в пьезоэлектрике. В соответствии с этим при одинаковых значениях ю и к коэффициент, стоящий в квадратных скобках в уравнении (3), будет больше нуля, а стоящий в уравнении (4) — меньше нуля. С учетом этого решения уравнений запишутся в виде

mg(z) = С10С8(т + С2ът(т 5Р),

Pg(^> = С3 еХР(Р + С4 еХР(-Р^

где введены следующие обозначения:

mVL

p x2 =-2(1+v)|k 2 - V

Дисперсионное соотношение

Для нахождения дисперсионного соотношения воспользуемся граничными условиями. На верхней и нижней свободных поверхностях феррита и пьезоэлектрика, т.е. в точках г = тґ и г = -рі, значения тензора напряжений равны нулю; на границе раздела феррита и пьезоэлектрика смещения первой и второй сред одинаковы, одинаковы и сдвиговые напряжения. Эти граничные условия дают следующую систему уравнений:

- С^іп(т к) + С2^(т к) = 0,

С3 ехр(р к) - С4 ехр(- р к) = 0,

С = Сз + С4,

тот гС2 = рорХ(Сз - С4).

Здесь введены безразмерные переменные т к = т% ті

и р к = р X рі.

Условия совместимости системы приводят к уравнению

т X т^(т к) = р X pGth(р к). (5)

В неявном виде это уравнение определяет зависимость угловой частоты ю от волнового вектора к при распространении упругих волн в двухслойной структуре феррит-пьезоэлектрик. В предельном случае, когда толщина пьезоэлектрика много меньше

толщины феррита, это уравнение дает ю = т¥ь - к , что

совпадает с дисперсионным соотношением для феррита, а в случае, когда толщина феррита стремится к нулю, получаем дисперсионное соотношение для пьезоэлектрика в виде ю = р¥ь - к. Для тонких слоев феррита и пьезоэлектрика, т.е. в случае когда т к = т хт << 1 и р к = р хрґ << 1, разлагая функции, стоящие в выражении (5), в ряд по малым параметрам т к и р к , для дисперсионного соотношения получим приблизительное выражение в виде

тО (т х)2-рі = рх рО -( р х)2-рі.

Подставляя в уравнение (6) выражения для т х и Р х после несложных преобразований получим дисперсионное соотношение в виде:

\тЕ-т( + РЕ-Р( , ю = ,--------------к.

V тр-т/ + Рр-РГ

Таким образом, при малых толщинах феррита т и Р( пьезоэлектрика сохраняется линейная зависимость угловой скорости от волнового вектора, причем значение скорости распространения упругих колебаний будет меньше, чем скорость распространения упругих волн в феррите, но больше, чем в пьезоэлектрике.

Заключение

При распространении упругих волн в двухслойной структуре амплитуда планарных колебаний является неоднородной в направлении, перпендикулярном границе раздела. Граничные условия приводят к системе уравнений, которая дает дисперсионное соотношение для планарных колебаний, а из него в общем случае следует нелинейная связь между круговой частотой и волновым вектором. В случае малых толщин это соотношение переходит в линейное соотношение между круговой частотой и волновым вектором, при этом скорость распространения упругих волн меньше, чем скорость распространения упругих волн в феррите, но больше, чем в пьезоэлектрике. В предельных случаях данное дисперсионное соотношение переходит в дисперсионное соотношение для феррита и пьезоэлектрика соответственно.

(6)

1. Бичурин М.И., Петров В.М., Аверкин С.В., Филиппов

A.В. Электромеханический резонанс в магнитоэлектрических слоистых структурах // ФТТ. 2010. Т.52. Вып.10. С.1975-1980.

2. Филиппов Д.А., Бичурин М.И., Петров В.М., Лалетин

B.М., Поддубная Н.Н., Srinivasan G. Гигантский магнитоэлектрический эффект в композиционных материалах в области электромеханического резонанса // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. Вып.1. С.15-20.

3. Филиппов Д.А., Бичурин М.И., Петров В.М, Лалетин В.М., Srinivasan G. Резонансное усиление магнитоэлектрического эффекта в композиционных феррит-пьезоэлектрических материалах // ФТТ. 2004. Т.46. Вып.9. С.1621-1627.

4. Филиппов Д.А. Магнитоэлектрический эффект в тонкопленочных магнитострикционно-пьезоэлектрических структурах, выращенных на подложке // ФТТ. 2012. Т.54. №6. С. 1112-1115.

Bibliography (Transliterated)

1. Bichurin M.I., Petrov V.M., Averkin S.V., Filippov A.V. Ehlektromekhanicheskijj rezonans v magnitoehlektricheskikh sloistykh strukturakh // FTT. 2010. T.52. Vyp.10. S.1975-1980.

2. Filippov D.A., Bichurin M.I., Petrov V.M., Laletin V.M., Poddubnaja N.N., Srinivasan G. Gigantskijj magnitoehlek-tricheskijj ehffekt v kompozicionnykh materialakh v oblasti ehlektromekhanicheskogo rezonansa // Pis'ma v ZhTF. 2004. T.30. Vyp.1. S.15-20.

3. Filippov D.A., Bichurin M.I., Petrov V.M, Laletin V.M., Srinivasan G. Rezonansnoe usilenie magnitoehlektricheskogo ehffekta v kompozicionnykh ferrit-p'ezoehlektricheskikh ma-terialakh // FTT. 2004. T.46. Vyp.9. S.1621-1627.

4. Filippov D.A. Magnitoehlektricheskijj ehffekt v ton-koplenochnykh magnitostrikcionno-p'ezoehlektricheskikh strukturakh, vyrashhennykh na podlozhke // FTT. 2012. T.54. №6. S.1112-1115.

11S