CC BY
5
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН В ДВУХКОМПОНЕНТНОИ НАСЫЩЕННОЙ ГАЗОМ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Белых Антон Геннадьевич
Старший научный сотрудник ВУНЦВВС «ВВА», г. Воронеж
Поленов Виктор Сидорович Док. физ.-мат. наук, проф., ст. науч. сот. ВУНЦ ВВС «ВВА», г. Воронеж
Кукарских Любовь Алексеевна
Канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сот. ВУНЦ ВВС «ВВА», г. Воронеж
Рассмотрим двухкомпонентную среду как упруго-пластическую пористую среду, насыщенную газом, а взаимопроникающее движение упругопластической и газообразной фаз как движение газа в деформируемой пористой среде, физико-механические характеристики которой являются постоянными коэффициентами.
Будем предполагать, что размеры пор малы по сравнению с расстоянием, на котором существенно изменяются кинематические и динамические характеристики движения, то есть, среды являются сплошными и в каждой
точке пространства будет два вектора смещения: и -вектор смещения (перемещения) упругопластической
— (2)
фазы (скелета пористой среды) и и - вектор смещения (перемещения) газа.
Под ударной волной в однородной пористой среде
понимается изолированная поверхность ), на которой перемещения фаз непрерывны, а скорости перемещения фаз претерпевают разрыв. Физико-механические характеристики пористой среды постоянны. Среда перед фронтом волны находится в недеформированном состоянии.
Математическую модель распространения ударных волн в такой среде можно представить как совокупность зависимостей [1-2,5]:
- обобщенный закон Гука
Т„ = ЬС8„+ 2ц] + О^б,
(1)
N = ОГ + Я е,<2)
"кк
а
Ь = Лл--Я а = 1 -т
т
2
(1) е
е ■
у
К = Л + — а 3
й = аЯ0, Я = тЯ0
- формулы Коши:
= I (и1) + и(1))
е
(2) = и V)
'кк = ^ к,к (2) - динамические соотношения, которые должны выполняться на волновой поверхности ) :
Т У--асу, (1) ](2) ]
[N]П=-Р12С[У(1)] -Р22С[У(2)], (3)
где Т ,, - полный тензор напряжений; N - сила, действую-
V
щая на газ, отнесенная к единице площади поперечного сечения пористой среды; Л, Л - коэффициенты Ламэ
пористого скелета с пустыми порами; Я0 - модуль сжимаемости газа; й, Я - коэффициенты, учитывающие пористость среды и сжимаемость газа (воздуха); К -модуль всестороннего сжатия пористого скелета с пустыми
порами показывает связь между Л и Р ; т - пори-Л)е (1)е (2)
ч-,- е(1) е
стость; екк , ег] , екк - компоненты деформации
фаз; §у - символ Кронекера, равный 1 при г=] и равный
0 при iфj^; У, - компоненты единичной нормали к поверхности ) , направленной в невозмущенную часть пористой среды; с - нормальная скорость движения на по-
(а = 1,2) -
верхности ) ударной волны; V,
компоненты скорости перемещения фаз; Рц - эффективная плотность твердой фазы; р22 - эффективная
плотность газа в порах; Р12 - коэффициент динамической связи твердой фазы и газа в порах. Скобки [ ] обозначают разность значений величин на двух сторонах поверхностей разрыва. Индекс 1, стоящий вверху, относится к твердой фазе, индекс 2 - к газу. Для пор, заполненных газом, имеет место соотношение Яо — К — Ко , К0
- истинный модуль сжимаемости твердой фазы.
Здесь и в дальнейшем по повторяющимся индексам предполагается суммирование от единицы до трех.
Деформации фаз полагаем малыми и для упруго-пластической фазы представим в виде суммы упругих и пластических
е(1) = е(1)е + е(1)Р ^
^г] г] г] (4)
Систему уравнений (1), записанную в разрывах, с учетом (4) и (2) подставим в левые части выражений (3), получим
2
цик^У,+МЦ?]+[Оу+=-Рис[К{1) ]-Рпс^м ]
ЩЦ%]У, =-р12с[Г1 « ] - р22с[^(2) ] (5)
8У; = У , так как = 1 (6)
Для формулы (5) применим условия совместности первого порядка [3]
ди(а) яп—
[——]=иа} ]=, [ дЦ- ]=[ Vа) ]=-с-,
дх; дг
диа [¥(а)]
[и] = [и%'] = -^У, (а = 1,2) (7)
дх; с
Здесь <х>\- - величины, характеризующие скачки первых производных скоростей перемещений фаз.
В систему уравнений (5) подставим выражения (6) и (7), заменим к на; и умножим на с, получим систему уравнений
(ц + + О + - РисС - РмсС = 0
ао^УУ; + Яш^УуУ; - Р12с2( - рггс( = о (8)
Для определения скорости продольных волн умножим (8) на У^ и просуммируем по повторяющемуся индексу
I (уу=1), введем обозначения Со( ?; = (Са ((( Уг- = (Са ), а = 1,2 В результате получим
(ц + ^-рис 2)о+ (0 Р12Р 2)с>2 = 0
(0-Рх2С 2)С + (К-Р22С 2)С>2 = 0 (9)
Выражения (9) представляют собой однородную систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными относительно ( и С2 •
Для того, чтобы система уравнений (9) имела ненулевое решение, её определитель, составленный из коэффициентов при С и 02 должен быть равен нулю. Раскрывая определитель, получим квадратичное уравнение относительно с2:
с4 (Р11Р22 - Р12) - с2 (р + Р22(Ц + 2м) - 20р2) + (Я(Ц + 2м) - 02) = 0 (I0)
Для удобства записи введем обозначения
П = Р11Р22- Р122, п2 = КР11 + (Ц + 2м)Р22 - 20Р12, « = + 2и) - 02 (11)
Решение уравнения (10) имеет вид
с1,2
Г Г~2-V72
п2 п2 - 4«1«3
V
(12)
2п1
(М- с 2рп)о}1) - с = 0
Таким образом, в упругопластической насыщенной ^ ##_^2 4^(1)_„2 ^ ^->(2)
газом пористой среде существует два типа продольных
волн, скорости которых с1 и с2 вычисляются по формуле 2 (1) 2 (2) 0
(12). с р12( +с р22( = 0 (13)
Для определения скорости поперечной волны поло- Система уравнений (13) имеет ненулевое решение
,оч Л-,(а),. _(\ , г/ — 19 ч только тогда, когда её определитель, составленный из ко-
жим в соотношениях (8) С ■ У ■ = 0 (а = 1,2) на . . ^
эффициентов при неизвестных равен нулю.
поверхности Е(г) • В результате имеет квадратное уравнение относи-
После преобразований получим однородную си- тельно с.
стему двух уравнений с двумя неизвестными относи- с (РцР22_Р12)_МР22 = 0 (14)
Отсюда, скорость поперечной волны равна
тельно С и С
С '
ßp22
(15)
\PnP22 ~Р~12
Из (15) следует, что в рассматриваемой пористой среде распространяется одна поперечная волна со скоростью с.
Таким образом, в двухкомпонентной упругопла-стической насыщенной газом пористой среде, как и в насыщенной жидкостью неоднородной пористой среде [6, с. 168], существуют две продольные и одна поперечная волны, скорости которых на поверхности ) определяются формулами (12) и (15).
Список литературы:
1. Biot M.A. Theory of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. J.Acoust. Soc. America, V. 28, №2, 1959. -Р.168-178.
2. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в
двухкомпонентных средах. ПММ, Т.23, Вып.6, 1959. -с.1115-1123.
3. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых
телах. М.: Мир, 1964. - 308 с.
4. Безгласный П.А., Вервейко Н.Д. О распространении
ударных волн в упруговязкопластической среде: Изв. АН СССР. МТТ., №5, 1971. - с. 71-76.
5. Масликова Т.И., Поленов В.С. Распространение удар-
ных волн в неоднородной упругой пористой среде: Актуальные проблемы динамики и прочности в тео-рет. и приклад. механике. Минск: УП «Технопринт», 2001. - с. 329-333.
6. Кукарских Л.А., Поленов В.С., Ульшин Д.И. Ударные
волны в насыщенной жидкостью неоднородной пористой среде: сб. ст. по мат. док. XXII межвуз. НПК «Перспектива-2012». Воронеж: ВАИУ, ч. 3, 2012. - с. 165-168.
УДК 51-7; 621.391
РЕЖИМЫ КЛАСТЕРИЗАЦИИ АВТОНОМНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ АНСАМБЛЕЙ
С ДАЛЬНИМИ СВЯЗЯМИ
Василий Чибисов
CLUSTERING IN A UTONOMOUS CHAOTIC NETWORKS WITH FAR BOUNDS Vassiliy Chibissov
Аннотация. Кластеризация в ансамбле связанных систем — явление образования подмножеств, близких к синхронизации. Хорошо известны различные режимы кластеризации в хаотических ансамблях с глобальными симметричными связями и методы управления ими. Теоретический и практический интерес представляет кластеризация в ансамблях, где число связей ограничено и мало по сравнению с числом элементов в ансамбле. В данной статье для ансамблей логистических отображений с дальними связями построены карты различных режимов динамики. Показано существование аттракторов с малым числом кластеров, области упорядоченной динамики оказались сравнимы по площади с другими регионами на карте динамических режимов.
Ключевые слова: динамический хаос, хаотические приемопередатчики, ансамбли хаотических отображений, логистическое отображение, хаотические сети, автономные нелинейные системы, дальние связи, кластеризация.
Keywords: dynamic chaos, chaotic transceivers, ensembles of chaotic maps, logistic map, chaotic networks, autonomous nonlinear systems, far bounds, clustering.
Ансамбли связанных отображений являются распространёнными моделями для исследования динамики много-элеменентных систем.
Значительное внимание в этой области уделялось феномену хаотической синхронизации в ансамблях связанных отображений. Помимо синхронизации всего ансамбля, существуют режимы динамики, когда ансамбль разбивается на подмножества, каждое из которых близко к синхронизации. Такие подмножества называются кластерами. С точки зрения систем с распределенным интеллектом и самоорганизующихся сенсорных сетей кластеризация — весьма перспективное для исследования и приложения явление.
Как правило, явление кластеризации изучается применительно к ансамблям с глобальной симметричной связью или к так называемым моделям малого мира.
Однако как с теоретической, так и с практической точек зрения, представляют интерес ситуации, когда количество связей у каждого элемента заведомо ограничено малым числом, а сила связей фиксирована. Если возникающие в таких системах аттракторы с малым числом кластеров устойчивы, то становится возможным применить ряд методов по управлению хаотической динамикой, по переключению между режимами динамики и так далее.
В первую очередь необходимо ответить на вопрос: существуют ли в пространстве параметров системы области, где ансамбль демонстрирует упорядоченную, но не синхронную динамику? Сравнимы ли размеры этих областей с областью синхронизации или области полного хаоса? Возможны ли такие параметры связей, при которых бассейн аттрактора с малым числом кластеров занимает практически всю рассматриваемую область фазового пространства?
В данной работе исследуется динамика ансамблей логистических отображений, расположенных в узлах квадратной сетки при наличии малого числа дальних связей. Связи расположены случайным образом.
Получены карты хаотических режимов. Обнаружены области упорядоченной динамики. Рассмотрены случаи ансамблей как с малым, так и с большим числом элементов. Выяснено, что минимальное число дальних связей на один
