CC BY
54
УДК 539.3:534.1
К РАСПРОСТРАНЕНИЮ ВОЛН В НАСЫЩЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ УПРУГО-ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ Л.А. Кукарских, В.С. Поленов
Изучается поведение слабых разрывов в неограниченной насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде, обобщающей модель тела Бингама. Показано, что в такой среде существуют два типа безвихревых волн и одна эквиволюминальная, скорости которых зависят от коэффициентов пористой среды и от эффективных масс упруго - вязкопластической фазы и жидкости. С использованием математической теории разрывов получены дифференциальные уравнения и их решения для определения интенсивности безвихревых и эквиволюминальных волн. В качестве примера в упруго-вязкопластическом насыщенном жидкостью пористом пространстве рассмотрена волновая поверхность ^ (/) , которая представляет собой концентрически расширяющуюся сферу радиуса V
Ключевые слова: пористая среда, теория разрывов, скорость, интенсивность волн
Динамическому деформированию упругой, насыщенной жидкостью пористой среды посвящен ряд работ [1-5].
Исследованию распространения и затухания слабых разрывов в упруго-вязкопластической однородной среде при условии пластичности Мизеса и Треска рассматривается в [6,7], где показано, что в такой среде существует по два типа волн ускорений и ударных волн, для которых скорости распространения выражаются теми же формулами, что и в упругой среде.
1.Взаимопроникающее движение упруговязкопластической фазы и жидкости будем понимать как движение жидкости в деформируемой пористой среде. Предполагается, что размеры пор малы по сравнению с расстоянием, на котором существенно изменяются кинематические и геометрические характеристики движения. В этом случае можно считать, что упруговязкопластическая фаза и жидкость являются сплошными средами и в каждой точке пространства будет два вектора смещения: и(1) - вектор смещения упруго - вязкопластической фазы (скелета пористой среды) и м(2) -вектор смещения жидкости. Будем предполагать, что деформации фаз малы и для упруговязкопластической фазы могут быть представлены в виде суммы упругих и пластических 1
е(1) =ете+етр,
У У У ’
= -(«;
2 '3
), є = и (1)
/, ГГ у у \ /
Для упруго-вязкопластической пористой среды тензор упругих деформаций связан с
Кукарских Любовь Алексеевна - ВАИУ, ст. науч. сотрудник, тел. (473) 268-96-61
Поленов Виктор Сидорович - ГОУ ВПО ВЗФЭИ (Воронежский филиал), д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 266-75-66
тензором напряжений обобщенным законом Гука [3,4].
+ 2/*»* +АіЄ™ , = +А
„И
А1 =аК0Р, Я=1 + ^-К0, А2 = РтЕ^, а = \-т-
/? — (! +
т
аК,
(2)
к_
2
тКг
где N - сила, действующая на жидкость, отнесенная к единице площади поперечного сечения пористой среды; Ь , ц- коэффициенты Ламе; К - модуль всестороннего сжатия пористого скелета с пустыми порами; т - пористость; Я0 - модуль сжимаемости жидкости; К0 - истинный модуль сжимаемости упруго - вязкопластической фазы; символ Кронекера, индекс 1 вверху в круглых скобках относится к упруго-вязкопластической фазе, индекс 2 - к жидкости.
Тензор скорости пластической деформации £^>р = е]'''' связан с тензором напряжений Гкк локальным условием пластичности [6,7]
(58-7*®'Х5„-»7*Г) = 2*2, (3)
и соотношениями ассоциированного закона течения
(4)
у/>0 при БуБу >2к2, ц/ = О при ЯД.. < 2к2 где // - коэффициент вязкости, к - предел текучести материала, у/ - положительный множитель.
По повторяющимися латинским индексам предполагается суммирование от единицы до трех, по греческим - от единицы до двух. Точкой над буквой обозначена производная по времени.
Из соотношений (1) - (4) следует
та = *у?}8л +МК« +К® )-2 цї^-+А^г}8,
1 + 7} ■ I//
(5)
Є
N = Ау% +ЛС, V® = й(Р, У,(2) = й?> Выражения (5) вместе с уравнениями движения
+ А2^(2) =Т^, А2^0) +РЛ2) = *, (6)
Р\\ ~ Р\~ Р\2 1 Р22 ~ Р2~ Р\2 определяют процесс динамического деформирования в насыщенной жидкостью упруговязкопластической пористой среде.
Здесь р12 - коэффициент динамической связи упруго-вязкопластической фазы и жидкости, р1 и р2 - массы упруго-вязкопластической фазы и жидкости в единице объема среды, ри и р22 - эффективные массы фаз, I
(а = 1,2) - скорости перемещения фаз.
Поскольку при движении упруговязкопластической фазы в жидкости ее эффективная масса больше истинной (ри>р1), коэффициент р12 должен быть отрицательным.
Волна ускорения в рассматриваемой пористой среде определяется изолированной поверхностью ^(0, на которой напряжения, сила, действующая на жидкость и скорости перемещения фаз непрерывны, а их частные производные претерпевают разрыв.
Запишем соотношения (5) и (6) на различных сторонах волновой поверхности ^(/)
\ТЛ I = + + (7)
1*П=А1\У®] + А2\УГ?]
А1К(1)]+А2К(2)] = [^Ь а2К(1)]+а2К(2)М^] (8) К соотношениям (7) и (8) применим геометрические и кинематические условия совместности первого порядка для фаз [8]
Р?“)] = , \У^ ] = , (а = 1,2) (9)
Р*] = ХЛ, [М,к ] = ул, [Та] = -ХаО, [ЛП = где %1к, X"' (а = 1,2), у - величины скачков первых производных напряжений, силы и скоростей перемещений фаз; С-скорость волновой поверхности ^(/); г, -единичный вектор нормали к поверхности ^(/).
Тогда из (7) и (8) с учетом (9) получим систему уравнений для определения скорости распространения волн
+м(1) +А^?^] = +р12°242) (10)
А^у,уу + А2^у,у.=р1202^ + р2202/,2) Предположим, что на волновой поверхности ® 1^0, Л2\’, = о)2 ф 0, умножим
каждое уравнение системы (10) на у, и просуммируем по индексу г . В результате полу-
чим однородную систему уравнении относительно со1 и а>2
(Лв-р1аОг)ш1+(Аа-Ра202)(о2=0, </ = \21 (11)
А-2 —А + 2^/? А-2 — Д Условием существования ненулевых решений системы (11) ее определитель должен быть равен нулю. Это условие приводит (11) к уравнению относительно скорости безвихревых волн (Л!,а)у, =соаФ 0, а = 1;2, 0 = 0,)
ЬиРъ ~ Рп5' + ^РпА ~РиА ~ Ргг^\ ~&1 + Л'\ “А =0 (^) Из уравнения (12) следует, что в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде распространяются безвихревые волны двух типов О, и О, , квадрат скорости
которых находится по формуле
^±^-4^), (Л("Ч*0)
2Ь
(13)
кх — РцА2 2р12Ах + р22Кх, к2 — рххА2 р22Кх,
= РггА ~ РиА* ^4 = Аг^1 ~РиА’ ^5 = РпРгг ~ Р\2 Если Я;а')и, =0 (а = 1;2), на волновой по-
верхности при условии, что не все Л, равны нулю одновременно, то из системы (11) получим формулу для определения скорости экви-волюминальной волны (0 = 0,)
О, =
2
' Р\2
' РмРи
Таким образом, в рассматриваемой упруго-вязкопластической пористой среде существует два типа безвихревых и одна эквиволюми-нальная волны, скорости которых определяются по формулам (13) и (14).
2. Для определения изменение интенсивности 1¥ = л/ЛЛ безвихревых и эквиволюми-нальных волн продифференцируем уравнения (5) по , а (6) по t и просуммируем по повторяющимся индексам. Если взять разность найденных выражений на различных сторонах волновой поверхности, то получим
]+>«([^^]+в -([^ ]+л] = а,[^«]+р12[^,С2) ] (15)
1 + !]!//
А ] + А ] = Рп Й0) ] + Р22 ^ ]
К (15) применим геометрические и кинематические условия совместности второго порядка для безвихревых волн [8]
\УМ] =П?УУ1 + V, + V;) -
\уЮ] = 4а) - 2П,Л^, [Г<?] = Л^у, (16)
[?<“>] = £.?>а,2 -20,
а
а = 1,2 , I = 1Х,12
Ю = Кл,] - з^,] - -КяйД'Ч + РпОА\Х+ а й4!Ч)}
Здесь і}"'' - соответственно величины, характеризующие скачки первых производных напряжений и вторых производных скоростей перемещений фаз, О, - средняя кривизна волновой поверхности безвихревой волны, ^, Ь -коэффициенты первой и второй квадратичных форм, х1/: - производные декартовых координат х по криволинейным координатам и р волновой поверхности, 8 означает 8-
дифференцирование по времени г.
Подставим выражения (16) в равенства (15), умножим на уі и, принимая во внимание, ЧТО = 1, Хируі = О, Л(1а)уі = соа , будем иметь
- Лі)^Ч - 2РііО, + 2А1П1а>1 ■
+ (р12С? -Д)1® V,. - 2р12С,
ОІ
- 2А1Сї1а>2 —
(Рп°1^1 /^12^7^2 ) ^
(17)
ІРп°! - Д - 2РиС1 + 2А1П1со1 +
дґ
+ (р22С2 -А2)ЬіРуі + 2ДП,®2 = 0 Стандартным путем с учетом уравнения (11) при а = 1 исключим из системы (17) величину 42)1Л.
Тогда после преобразований система уравнений (17) свелась к одному уравнению с двумя неизвестными а>1 и со2
8со.
{-20, (р^р22 — р12 ) + 20, (риА2 -р^А,)}-
&
+ 2 0,(р12А2 — р22А1)
дса2
&
+ {2^,К,Ір12ОЇ -А2)~
3 1 + гщ/ ‘
+ {20, [Д (р220? - Д ) - Д (р12С/ - Д )] -
*7 У/-^22 I
4 цу/
.............................. (18)
3 1 + г] ц/
С помощью равенства (11) при а = 1 исключим из уравнения (18) величину со2
», = - г,»,. г, . "£^4 (19)
-р12о;
После преобразований, получим
(-
А - р12о; а
4 МУ/
ор2
3 1 + г/у/ А1 - р120,
■ сох =0
-^1 (РиР 12^2 Р\2Р22^1 2/Э11/Э22А-1)Ст1
~ 2Р12А2Лі + Лі Д Д + А22ДЛі (20)
В2 = р22{.Р\2Л-\ ~РпА')^1 РпА(А ~лд Обозначим через 5 > 0 расстояние вдоль нормалей к поверхности ; тогда е>- про-
изводную можно представить в виде [8] 8 / & = Осі / с/.\ и учитывая, что = , по-
лучим дифференциальное уравнение для изме-
нения интенсивности безвихревых волн в насыщенной жидкостью упруго - вязкопластической пористой среде первой фазы
А
-)ГГи =0
(21)
З1 + 77 У/0,0Х Интенсивность безвихревой волны в упруго-вязкопластической пористой среде второй фазы найдем из выражения
гг21 = г,»-и , Г, = р11°‘ ~Л2‘ (22)
А~р12о,2
Общая интенсивность безвихревых волн в насыщенной жидкостью упруго - вязкопластической пористой среде будет как сумма
^=^+^=(1 + ^)^, < = /„/2' (23)
Для определения интенсивности эквиво-люминальной волны, продифференцируем по переменной о; соотношения = 0, Я'/Ч', - о,
выполняющиеся на поверхности волны, получим
Лт V. = -Л(1)у . = Л.(1) х. ,
1,а I / /,сг / <3 ^сга /,т ’
Я(2) к. = -Я(2)к ■ =л(2)ять X.
Л « У У Л** V 6 ов ;,г
(24)
Тогда геометрические условия совместности второго порядка для фаз запишем в виде
№ = 41:
(25)
Подставив геометрические и кинематические условия совместности (25) в равенства (15), с учетом (11) получим дифференциальное уравнение, определяющее изменение интенсивности эквиволюминальной волны (0 = 0,) в первой фазе в процессе ее распространения
о, =Д0)ЛС1) (26)
С& I 1+77^)]
где О, - средняя кривизна волновой поверхности эквиволюминальной волны.
Изменение интенсивности эквиволюми-нальной волны во второй фазе найдем из второго равенства (11) при а = 2
(27)
IV = Г И7, г - Аг
уу 21 А Гу и > 1 г =-
Р22
Тогда изменение интенсивности эквиволюминальной волны в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде запишется в виде
^=^,+^,=(1 + ^)^, (28) Уравнения (21) и (2,12) запишем в одной форме
3(1+ 77^)0, А 1 + 771//
Можно показать [8], что средняя кривизна волновой поверхности в общем случае записывается в виде
(30)
Щ, = ^u(»o)—
-exp{-:
2афу
-('•-'о)}
где С20, К0- начальные средняя и гауссова кривизны волновой поверхности.
Интегрируя уравнение (29) и учитывая (30), получим формулу для определения интенсивности волн, распространяющихся в первой фазе
~2 о = /,о
где IV(0) - значение РГ1р при 5 = 0.
Изменение интенсивности волн во второй фазе определим по формулам (22) и (27).
Тогда изменение интенсивности в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде будет записано в виде
w w +w2 а + г w
= 1,г (32)
3. Пример. Пусть в упруго - вязкопластическом насыщенном жидкостью пористом пространстве волновая поверхность ^ (/) представляет собой концентрически расширяющуюся сферу радиуса г . Определим интенсивность волн в процессе их распространения.
Будем считать, что единичный вектор V выбран так, что его направление совпадает с направлением распространения волны. Следовательно, V есть вектор внешней нормали к сферическим поверхностям, поэтому средняя кривизна при 5 = 0 имеет отрицательное значение, т. е. П0=-1/г0, а гауссова кривизна К0=\/г2 . Тогда переменную 5 в уравнении (31) можно заменить переменной г .
Подставим в (30) при р = 1 значения О0 и К0, получим О, = ~\/ К + Тогда после интегрирования находим
г+г0 ~ 3(1 + т]ц/)0,
Здесь Wlt (г0) - значение интенсивности на сфере при г = г0.
По формулам (22), (23) и (33) получим
W,=Wu(r0)
2(1 + Г,)г0
2
-(г~г0)}
(34)
' т'о ^(} + 7?¥')0,
Из (34) следует, что интенсивность фронта сферических волн зависит как от вязкости материала, эффективных масс фаз, скорости волны, так и от пористости среды.
Литература
1. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid I. Low-Frequency Range/M.A. Biot // J. Acoust. Soc. America, 1956, v.28, № 2, 168 - 178 с.
2. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid- saturated porous solid. II. Higher Frequency Range/M.A. Biot //J. Acoust. Soc. America, 1956, v.28, № 2, 179 - 191 с.
3. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах/Л.Я. Косачев-ский//ПММ, 1959, Т.23, Вып.6, 1115 - 1123 с.
4. Масликова Т.И. О распространении нестационарных упругих волн в однородных пористых средах/Т.И. Масликова, В.С. Поленов//Изв. РАН. МТТ, 2005, № 1, 104
- 108 с.
5. Поленов В.С. Распространение волн в насыщенной жидкостью неоднородной пористой среде/В.С. Поленов, А.В.Чигарев//Изв. РАН. ПММ, 2010, Т.74, Вып.2, 276
- 284 с.
6. Мешков С.И. К распространению волн в неоднородных вязко-упругопластических средах/C.R Мешков, А.В.Чигарев//Инж. Журн. МТТ, 1978, № 5, 116 - 121 с.
7. Поленов В.С. О распространении волн в неоднородной вязко-упруго-пластической среде/В.С. Поленов, А.В.Чигарев //Методы математи-ческой физики в механике структурных сплошных сред. Воронеж: Изд. Воронеж. гос.пед.ин-та., 1976, Т.162, 93 - 94 с.
8. Thomas T. Y. Plastic Flow and the Fracture in Solids. N.y.; L.: Acad. Press, 1961.=Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах/Т. Томас. М.: Мир, 1964, 308 с.
Военный авиационный инженерный университет, г. Воронеж
Всероссийский заочный финансово-экономический институт (Воронежский филиал)
O.0-K0s
2
1-2Q0s + A0s
ADVANCE OF WAVES IN FLUID SATURATED ELASTIC-VISCOPLASTIC POROUS MEDIUM L.A. Kukarskikh, V.S. Polenov
The behavior of weak discontinuities in an unbounded fluid saturated elastic-viscoplastic porous medium, which generalizes the model of Bingham body. It is shown that in such an environment, there are two types of irrotational waves and a ekvivolyuminalnaya whose velocities depend on the coefficients of the porous medium and the effective masses of the elasto-visco-plastic and liquid phases.Using the mathematical theory of discontinuities, we obtain differential equations and their solutions to determine the intensity and ekvivolyuminalnyh irrotational waves. As an example, shows a plane wave is irrotational
Key words: porous medium, theory of discontinuities, velocity, intensity waves
