Распространение волн в двухфазной упруговязкопластической пористой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3;534.1 Профессор М.А. Артемов,

(Воронеж. гос.ун-т) кафедра программного обеспечения и администрирования

информационных систем, тел. (473) 220-82-66

старший научный сотрудник Л.А. Кукарских

(ВУНЦ ВВС «ВВА» г. Воронеж) 4 ОНИ НИЦ( БП и О ВВС), тел. (473) 244-77-16

Распространение волн в двухфазной упруговязкопластической пористой среде

В данной статье изучается поведение слабых разрывов в насыщенной жидкостью двухфазной пористой среде, где для одной из фаз выполняются условия пластичности Треска.

In present article studied behavior of weak discontinuities in diphases elastic-viscoplastic porous medium, where for one out of phases performed Tresca conditions.

Ключевые слова: слабые разрывы, пористая среда, пластичность.

Динамическому деформированию в двухфазной упругой пористой среде посвящен ряд работ [1 - 6], среди которых следует отметить М. А. Био [1, 2], Л. Я. Косачевского [3], Я. И. Френкеля [6].

Исследованию распространения и затухания слабых разрывов в упруговязкопластической однородной среде при условии пластичности Мизеса и Треска посвящены работы [7, 8], где показано, что в такой среде существует по два типа волн ускорений и ударных волн, для которых скорости распространения выражаются теми же формулами, что и в упругой среде.

Под волной ускорения в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде понимается изолированная поверхность, на которой напряжения, сила, действующая на жидкость, отнесенная к единице площади поперечного сечения пористой среды, направляющие косинусы главных напряжений и скорости непрерывны, а их некоторые частные производные претерпевают разрыв.

Пористое тело представляет собой микронеоднородную среду, физико-механические характеристики которой являются постоянными величинами. Предполагается, что размеры пор, заполненные жидкостью малы по сравнению с расстоянием, на котором существенно изменяются кинематические и динамические характеристики движения. Это позволяет считать, что обе среды сплошные, и в каждой точке пространства в этом случае будет два вектора смещения:

© Артемов М.А., Кукарских Л.А., 2013

и(1) - вектор смещения упруго-вязкопластической фазы (скелета пористой среды) и и(2) -вектора смещения жидкости в поре. Жидкость будем считать сжимаемой. Задача рассматривается в Лагранжевых координатах.

1. Рассмотрим насыщенную жидкостью упруго-вязкопластическую пористую среду. Предположим, что деформации первой фазы среды (скелета) малы и складываются из двух частей - упругой и пластической:

е(1) - е(1)е еik ik

,(1) Р

(1)

Полный тензор напряжений и силу, действующую на жидкость, отнесенную к единице площади поперечного сечения пористой среды, запишем в виде [3-5]:

P = Ае(1)е + A е(2)

ei"е = 2 + " ™ ),

efk = " (kl

(2)

а тензор скорости пластической деформации

е1) p = е(1) p ij ij

(£кк Р = Чк Р = 0) связан с главными напряжениями упругой среды (скелета) условием пластичности Треска [8]:

(Стр) Р) _ (Ст0) p)

= к

(3)

1 '1

По повторяющимся индексам предполагается суммирование от единицы до трех.

Будем считать, что напряженное и деформированное состояния упругой среды первой фазы соответствуют ребру призмы пластичности:

г(1).

Р = j

-Ц8

(1)Р _ „(1)

j

'к

-щк'Р ±к

(4)

ik

В формулах (2) - (4): А,^ - коэффициенты Ламе; А1, А2 - коэффициенты, характеризующие пористость среды и сжимаемость жидкости; Р - сила, действующая на жидкость, отнесенная к единице площади поперечного сечения пористой среды; г] - коэффициент вязкости; к - предел текучести материала.

Из формул (1.1) и (1.2) следует:

% = + ^ + О - р +

i = AV^ + A2Vt(2k)

и

(5)

Точкой над буквой обозначена производная по времени.

Величины sUр связаны с ег(1)р следующими соотношениями:

e(Dр = £ia) р11и + sm ртти + ^ pninJ (6) где li, mi, ni - направляющие косинусы главных напряжений ст(1) и скоростей деформаций s® р .

Компоненты тензора напряжений и скорости перемещений должны удовлетворять уравнениям движения [3]:

PiVi(1)+P12V;(2)=

PnV (1) + P22Ï(2)=р, ; (7)

Ai = А - р^ Р22 =Р2 - Pl2,V,(a) = uia) , (« = 1,2)

где р12 - интенсивность перехода массы из

- a Pi Р2

второй фазы в первую; р11 =— и р22 = -

а,

истинные плотности твердой фазы и жидкости в порах; р - масса первой фазы в единице объема среды; р2 - масса второй фазы в единице объема среды; а\ и а2 - величины, характеризующие доли объема смеси, занимаемые каждой фазой (а! + а2 = 1, а! > 0, а2 > 0).

Формулы (6) с учетом (4) можно преоб-разовать к виду [8]:

р =а$>3°кк}% -1 кЗ, + кп,п, = , -1 кЗ, + кп,п,

sС1) =^0) _ Iст0)£

v ;

kk ij

(8)

Возьмем разность выражений (5), (7) и (8) на различных сторонах волновой поверхности £ (?), получим:

[сг, ] = ¿[^кЧ + + [V,0?]) -- 2М41:1 р ] + АУ^З, [ Р ] = А1[Кк(1к)] + РпК(1)] + (2)] = [V,,, ] (9)

Р^(1)] + Р22[Уг (2)] = [ Р, ]

^р ] = , - к[п,п, ]

Применяя к формулам (9) геометрические и кинематические условия совместности первого порядка [9] для каждой фазы, получим систему уравнений:

(А + ^А^ + М^ + =

= р11а2А(1) + 2) (10)

+ А2Л(^у, = р12О2 А(Х) + р22в2 А(2)

И1 р ]=о

где - компоненты единичного вектора нормали к поверхности £ (?) ; А(а) (а = 1,2) - величины, характеризующие скачки первых производных скоростей перемещений; О -скорость движения волновой поверхности.

Предполагая А(1)уг. = ^ 0, А(2)уг. = ю2 Ф 0 на волновой поверхности, умножим (10) на Уг и просуммируем по повторяющемуся индексу /, после преобразований получим однородную систему уравнений относительно а>1 и ю2 :

(Л - риО2)ю1 + (А1 - р12О2)Ю2 = 0

(А1 - Рп°2)®1 + (А2 - Р22°2)®2 = 0 (11) Из (1.11) следует уравнение (О = Ог):

(РпР22 - Р22)С/ + (2Р12А1 - РиА2 -

-р22Л)о2 + ЛА2 - А2 = 0

решение которого имеет вид: О2'1,2 = {2(РпР22 -Р122)}"1(к1 ± Vк22 - 4кзк4 ) к1 =Р11 А2 +Р22Л- 2Р\2 А1

к2 =Р11 А2 -Р22Л (13)

к3 = Р22 А1 _ Р12 А2 , к4 = Р11А1 _ Р12^ ,

где О11 2 - скорости безвихревых волн; Л = А +

Если А(а)гг. = 0 (а = 1, 2) на поверхности £ (?) при условии, что не все равны нулю одновременно, то из (10) получим (О = О(): МР22

(12)

G

t _ 2

Р11Р22 Р12

(14)

где О1 - скорость эквиволюминальной волны.

Таким образом, в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде существует две безвихревые и одна эквиво-люминальная волны ускорения, скорости которых имеют скорости продольных и попереч-

ных волн [4, 5] и совпадают со скоростями волн в упругой пористой среде.

2. Получим уравнения затухания для волн ускорения. Для этого продифференцируем уравнения (5) по xi, а уравнения (7) по ( и просуммируем по повторяющимся индексам, а затем возьмем разность найденных выражений на различных сторонах волновой поверхности и применим геометрические и кинематические условия совместности второго порядка [9]:

[^ = а2 Цуг - 2Gl ^ V,

¿я(2)

[V« ]У,.= Цуг- 2ПД(\. (15)

[^ ]у,.= Мк-

Мga|,Л(k2^ ХКр

После преобразований получим:

(р^2-л)^^2 - АМ

+ 2^ Л^,. + 201А1!(2)^. + 2^4^ ] = 0 (16)

(р^2 - АХ.уг + ^2^ - Л2Мп -

2 G ^ 2 G 5Я(2) ^ - V,- - 2Р22а1 ^ ^ +

+ 2Ц Л21(2)^.)= 0 (17)

где Ц,Mi — соответственно величины, характеризующие скачки вторых производных скоростей V ,г(а); 01 - средняя кривизна поверхности £ (/); ga|3 — компоненты первой ковари-

антной квадратичной формы; —— обозначает

5 - дифференцирование по t [9].

При выводе уравнений (16) и (17) учтено, что гггг = 1,ггхг р= 0. Исключим из уравнений (16) и (17) величины Ц и Мг. Для этого умножим уравнение (16) на (р2^2 — Л2), а уравнение (17) на ~{<р1202 — Л1) и сложим. В результате преобразований и с учетом (12), получим:

201 {(РпЛ2 - Р12Л1 )" (риРи - Ри +

St

-Щ (РиЛ2-р22Лх + 2v[sf¡p ]Vl(p22G1 - A2 ot

+ 201 {(Р22 Л - Р12 А + Л12 - Л2 лЦ +

+ 2ОД2 (Р22 Л1 -Р12 Л2 )®2 = 0 (18) Исключим из уравнения (18) <а2. Для этого из первого уравнения (11) выразим <а2 через (йх:

(19)

со2 = TjCTJ .

где

Г, =

P\\Gf -Л

(20)

Л1 - Р12С1

Тогда уравнение (18) затухания для безвихревой волны с учетом (19) запишем в виде:

^ ^ + 2Аек)> К ^ + ^ = 0 (21) Здесь:

=~201 {(^12 Л1 ~Рц Л2 )+ (Р11Р21 -Р12 ) + + (^22Л1 -Р12 Л2 )Г1 }

F2 = P22Gl - Л2

(22)

^ = 2П1 {а2 (^22 Л-Р12 Л1)+л2 - Л2 л}+

+ № (Р22 Л1 -Р12 Л2 } Подставив в формулы (22) значение Г1 из (20), получим запись коэффициентов Е1, ¥2, в другом виде:

F =

2G ,2

Ai - Р\2Gl

D\, F2 =

Л\ - P\2Gl2 '

2Q,Gf - -—— D

Л\ - P\2Gl

F =

(23)

где

D\ = {P\\P\2 Л2 +P\2 P22 Л" 2P\\P22 Л\ G + + P\\Л\Л2 - 2p\2Л2Л + Р22Л\Л

D2 = -{P\2 P22Gl - ÍP22 Л\ + P\2 Л2 + Л\ Л2 }

После подстановки (23) в уравнение (2\), преобразований, и учитывая, что Seo. da.

-= Gt-, получим уравнения затухания

St ds

для безвихревых волн первой фазы:

ds

(24)

P\2P22Gl4 ~ (P22Л\ +

(Р11Р12Л2 + Р12Р22Л - 2Р11Р22Л1 +

+ Р12 Л№1 + Л1Л2 (25)

+(ри Л1Л2 - 2А2 Л2 л+Р22 лл)а2 ' где 8 > 0 - расстояние вдоль нормалей к волновой поверхности.

Если учесть, что = 0 при переходе

эквиволюминальной волны через поверхность £ (?), то из выражений (5)-(7), записанных в разрывах, умножения полученных выражений на и суммирования по повторяющемуся индексу i, получим уравнение затухания для эквиволюминальной волны первой фазы:

^ = + [^ ] (26)

Выражения для [£(1)р] найдем из условия пластичности Треска (3) [8]:

Для этого продифференцируем уравнение (8) по хк и возьмем разность их значений на разных сторонах от волновой поверхности: ^Ц/ ] = [, ] + к([па ]п, + [п,,к ]пг) (27) Чтобы определить величины скачков [пгк ] через [ст.® ] продифференцируем соотношения [8]:

/./, + т.т, + пгп, = 5,

'У 'У 'У Ч

< + О^тт, + *3\п, (28)

по хк и запишем их в скачках. В результате будем иметь:

[(1,1, ),к ] + [(тт, ),к ] + [(пгп, ),к ] = 0 (29)

[, ] = + Кк ]тт, + [^з(1)]пг-п, +

+ [(/г/, ),к ^ + [(тт, ),к ]< + [(пп, ),к ,

где стг(1)(г = 1,2,3) — главные напряжения в первой фазе.

Для соотношений (29) применим геометрические условия совместности первого порядка:

[/г,к ] = аРк , [тг,к ] = Ъг^к (30)

С1).

Г С1)

Кк] = Сгук, = в,

1ук

л

И1к ] = ,, Мг, = - 0- ^Ч + ) ,

где Цу, а,, , С. — скачки первых производных

напряжений ст^к и направляющих косинусов

/г, т , пг .

Тогда (29) запишем в виде:

а,1, + а1 + Ъ.т, + Ъ,тг + Сгп, + С,пг. = 0 (31)

г ] ] г г У У г г У ,г

В11, + В2тт, + В3п.п, + (аг1, + а,1г +

+ (Ъгт, + Ъ,т ^ + ^С,п, + С,п )^3(1) = Мг,-

Решив систему уравнений (31) относительно а.,Ъг,В.,С. и подставив в (27), получим

1(2) =Г2Л(1),

Г2 =

выражение для [е.1/]. Затем полученные значения [£г(кк] подставим в уравнения (24) и (26), получим дифференциальные уравнения для определения затухания первой фазы безвихревой и экволюминальной волн в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде.

Затухание безвихревой волны второй фазы определим из (19), а затухание эквиволюминальной волны второй фазы определим из (10), положив ¿¡¡а\ = 0

.Ж (32)

Р22

Тогда затухание волн в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде запишем как сумму решения уравнения (24) и (19) или (26) и (32):

^ =©1, +©2* * = ? . (33)

3. Рассмотрим безвихревую сферическую волну в равномерно растянутом по

направлению к оси ст3(1) в насыщенном жидкостью упруго-вязкопластическом пористом пространстве. В этом случае ст1(1) = о^ = 0, ст3(1) ^ 0, п1 = п2 = 0, п3 = 1. Тогда средняя и гауссова кривизны волновой поверхности

£ (?) при ? = 0 запишутся в виде [9] °0="К0=

Для определения средней кривизны 0,/ подставим значения 00 и К0 в формулу:

О/ =

1-

п 0 - К0 *

■200, + К0,2

Тогда:

О/

^0 + *

Из системы (31) найдем С1, С2 и С3: 2ц

С

С

-31}О/

2ц

(34)

(35)

(36)

со1У2У3, С3 = 0

Подставим (35) в формулу (27), после несложных преобразований получим:

№ М ="

4ц

(

°{П

1

- +

л

у2(1-У2)

Ю,

(37)

1

3

Тогда (24) принимает вид:

к

1

3 + а3(1)

■v2(1 -V32)

>ю

1 (38)

^I = Jq _ У St \lGl'n

Из уравнения (38) с учетом (35) после интегрирования находим:

COl =ю0

R+5

exp-

4му л

^v2(1-v2)

*3

(39)

где ю01 — значение а>1 при s = 0.

Из формул (19) и (20) находим значение

: Ю,,

i^PiiGi2 -A"] f R01

IA-puGf J IR0 + s J

х exp-i -

4Я2Г

V

1 к 2 2 3v3(1

(40)

где у находится из выражения (25).

Тогда интенсивность затухания безвихревой сферической волны ускорения в упруго-вязкопластическом пористом пространстве будет как сумма а>1 и <а2.

(41)

Wl =ю1 + а>2

или

Wi =®i,

х exp<

R

v R + s у

(Р11 -Pi2)Gi2 + Ai -Л

4Я2Г

I Jl

3

A1 - Pl2Gl v2(1 -v2)

(42)

Из (42) следует, что интенсивность Щ затухания безвихревой сферической волны зависит от пористости среды, коэффициентов вязкости и пластичности, а также от главных напряжений первой фазы, истинных плотностей фаз и интенсивности перехода массы из второй фазы в первую.

ЛИТЕРАТУРА

1 Био, М. А. Теория упругости и консолидации анизотропной пористой среды [Текст] / М. А. Био // Сборник переводов и обзоров иностранной периодической литературы. -1956.- № 1.- С. 140-146.

2 Био, М. А. Теория упругости и усиление пористого анизотропного материала [Текст] / М. А. Био // Прикладная физика. -1955.- Т. 26.- № 2.- С. 182-185.

3 Косачевский, Л. Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах [Текст] / Л. Я. Косачевский // ПММ. - 1959. - Т. 23.- № 6.- С. 1115-1123.

4 Масликова, Т. И. О распространении нестационарных упругих волн в однородных пористых средах [Текст] / Т. И. Масликова,

В. С. Поленов // Известия РАН. МТТ. - 2005. -№ 1.- С. 104-108.

5 Масликова, Т. И. Нестационарные волны в пористых материалах [Текст] / Т. И. Масликова, В. С. Поленов // Известия инж.-тех. академии Чувашской республики. - 1999. -№ 1-4. - С. 119-125.

6 Френкель, Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве [Текст] / Я. И. Френкель // Известия АН ССР. Серия географии и геофизики. - 1944. Т.8. - № 4. - С.133-150.

7 Быковцев, Г. И. О распространении волн в упруго-вязкопластической среде [Текст] / Г. И. Быковцев, Н. Д. Вервейко // Инженерный журнал МТТ. - 1966. - № 4. - С. 111-113.

8 Россихин, Ю. А. О распространении волн в упруго-вязкопластической среде [Текст] / Ю. А. Россихин // Прикладная механика. - 1969. - Т. 5. - № 5. - С.82-88.

9 Томас, Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах [Текст] / Т. Томас. -М.: Мир, 1964. - С. 308.

REFERENCES

1 Bio, M. A. Theory of elasticity and consolidation of an anisotropic porous medium [Text] / M. A. Bio // Collection of translations and reviews of foreign periodicals. - 1956. - № 1. - P. 140-146.

2 Bio, M. A. Theory of elasticity and strengthening porous anisotropic material [Text] / M. A. Bio // Applied physics. - 1955. - T. 26. - № 2. - P. 182-185.

3 Kosachevskyi, L. Y. Propagation of elastic waves in two-component systems [Text] / L. Y. Kosachevskyi // AMM. - 1959. - T. 23. - № 6. -P. 1115-1123.

4 Maslikova, T. I. Propagation of transient elastic waves in homogeneous porous media [Text] / T. I. Maslikova, V. S. Polenov / / Proceedings of the Russian Academy of Sciences. MRB. - 2005. - № 1. - P. 104-108.

5 Maslikova, T. I. Transient waves in porous materials [Text] / T. I. Maslikova, V. S. Polenov // Proceedings of the engineer-tech. academy of the Chuvash Republic. - 1999. - № 1-4. - P. 119-125.

6 Frankel, J. I. The theory of seismic and seismoelectric phenomena in a moist soil [Text] / Frenkel J. I. // Proceedings of the AS of the USSR. - 1944. T.8. - № 4. - P.133-150.

7 Bykovtsev, G. I. Propagation of waves in an elastic-visco-plastic medium [Text] / G. I. Bykovtsev, N. D. Verveyko // Engineering journal MRB. - 1966. - № 4. - P. 111-113.

8 Rossikhin, Y. A. On the propagation of waves in an elastic-visco-plastic medium [Text] / Y. A. Rossikhin // Applied mechanics. - 1969. - T. 5. - № 5. - P.82-88.

9 Thomas, T. Plastic flow and fracture in solids [Text] / T. Thomas. - M.: Mir, 1964. - P. 308.

s

s

s