Моделирование волновых процессов в пористой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3;534.1

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ Л.А. Кукарских, М.А. Артёмов

В статье изучаются волновые процессы, а именно: поведение слабых разрывов в двухфазной упруговязкопластической пористой среде, где для одной из фаз выполняются условия пластичности Треска

Ключевые слова: слабые разрывы, двухфазная пористая среда, пластичность

Вопросам динамического деформирования двухфазной упругой пористой среды посвящен ряд работ [1 - 6], среди которых следует отметить Био М.А. [1, 2], Косачевского Л.Я. [3], Френкеля Я.И. [6].

Волновые процессы, связанные с распространением и затуханием слабых разрывов в упруго-вязкопластической однородной среде при условии пластичности Мизеса и Треска, исследуются в работах [7, 8]. Скорости распространения двух типов ударных волн и двух типов волн ускорений, существующих в такой среде, выражаются аналогичными формулами, которые используются и для упругой среды.

Под волной ускорения в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде понимается изолированная поверхность, на которой напряжения, сила, действующая на жидкость, отнесенная к единице площади поперечного сечения пористой среды, направляющие косинусы главных напряжений и скорости непрерывны, а их некоторые частные производные претерпевают разрыв.

Пористое тело представляет собой микро-неоднородную среду, физико-механические характеристики которой являются постоянными величинами. Предполагается, что размеры пор, заполненные жидкостью малы по сравнению с расстоянием, на котором существенно изменяются кинематические и динамические характеристики движения.

Это позволяет считать, что обе среды сплошные, и в каждой точке пространства в

этом случае будет два вектора смещения: и(1) -вектор смещения упруго-вязкопластической фазы (скелета пористой среды) и и(2) - вектора смещения жидкости в поре. Жидкость будем считать сжимаемой. Задача рассматривается в Лагранжевых координатах.

1. Рассмотрим насыщенную жидкостью

Кукарских Любовь Алексеевна - ВУНЦ ВВС «ВВА», ст. науч. сотрудник, тел. 8(473) 244-77-16 Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. 8(473) 246-32-85

упруго-вязкопластическую пористую среду. Предположим, что деформации первой фазы среды (скелета) малы и складываются из двух частей - упругой и пластической

(1) _ е(1)е

£•,•7

+ е

(1) р

¡к ¡к ¡к (1) Полный тензор напряжений и силу, действующую на жидкость, отнесенную к единице площади поперечного сечения пористой среды, запишем в виде [3-5]

Тк = + 42) = 1(тге$гк + 2т?е + Ае™4к

+ и и

) (2)

е(2) = и (2) кк к ,к

а тензор скорости пластической деформации

ер = е^1 р (е((кр = еккр = 0) связан с главными

напряжениями упругой среды (скелета) условием пластичности Треска [8]

|(а}1) - ^ег(1)р) - (о^ - р)| = к (3)

По повторяющимся индексам предполагается суммирование от единицы до трех.

Будем считать, что напряженное и деформированное состояния упругой среды первой фазы соответствуют ребру призмы пластичности

а(1) - р = СГ(1) - Л^1 р = - Г1£<к1 р ± к (4)

В формулах (2) - (4): 1,т - коэффициенты Ламе; Ах, А2 - коэффициенты, характеризующие пористость среды и сжимаемость жидкости; Р - сила, действующая на жидкость, отнесенная к единице площади поперечного сечения пористой среды; ц - коэффициент вязкости; к - предел текучести материала.

Из формул (1) и (2) следует

Т =ЛУ<и +МГ<? + О - 2^ + Ау^

Р = Ау(1 + А2У$

(5)

Точкой над буквой обозначена производная по времени.

Величины ее1 р связаны с ег(1)р следующими соотношениями

еер = ех(1) р11е + е^1 ртте + е31 рппе (6)

где ^, т1, п - направляющие косинусы главных напряжений <7г(-1) и скоростей деформаций

е(1) р.

Компоненты тензора напряжений и скорости перемещений должны удовлетворять уравнениям движения [3]

А^(1) + Рп^!'Т> = Т1кЛ

А2^(1) +Р22^(2) = Р, i (7)

р11 =р1 -р12,р22 =р2 - р\2-^1' ) = ),

(« = 1,2)

где р12 - интенсивность перехода массы из

~ Л, р1 р2

второй фазы в первую; р11 =— и р22 = -^-

«о

12 истинные плотности твердой фазы и жидкости в порах; р1 - масса первой фазы в единице объема среды; р2 - масса второй фазы в единице объема среды; а! и а2 - величины, характеризующие доли объема смеси, занимаемые каждой фазой (а! + а2 = 1, а! > 0, а2 > 0).

Формулы (6) с учетом (4) можно преобразовать к виду [8]

е р = ¿'¿Ч-1Щ + кпп = ^ - 3 Щ + кпп

s(1) = *« -1^)*

3

кк у

(8)

(9)

Возьмем разность выражений (5), (7) и (8) на различных сторонах волновой поверхности £ (0, получим

[¿е ] = ЛУЦЛЩ +и([У, (?]+[*$]) -- 2^р ] + А[¥$Щё

[ Р] = Л^] + А^?]

ргУ^] + рп[К(2)] = [¿у, е ] р12^(1)] + р22[^^(2)] = [Р, ] тЦе®р] = ^] - к[пп]

Применяя к формулам (9) геометрические и кинематические условия совместности первого порядка [9] для каждой фазы, получим систему уравнений

(Л + т)Л(/1)уу1 +Л + А1Л(2)У.У1 =

=р11о241)+р12о21)

(10)

А^УУ + А^УУ = р12С 211 + р22С Л(2)

ер ] = 0

где - компоненты единичного вектора нормали к поверхности £^); Л(а) (а = 1,2) - ве-

личины, характеризующие скачки первых производных скоростей перемещений; G - скорость движения волновой поверхности.

Предполагая Щ = ЩФ 0, 1(2)у = Щ Ф 0 на волновой поверхности, умножим (10) на Уі и просуммируем по повторяющемуся индексу і, после преобразований, получим однородную систему уравнений относительно Щ и Щ

(К-РпО2)Щ + (А! — рив2)щ = 0 (11)

(А1 р12° )щ + (А2 р2° )Щ2 _ 0 Из (11) следует уравнение (С = 0{)

(р11р22 — рі2)°1 + (2р12А1 — р11 А2 —

(12)

-р22л)с;+аа2 - а/ = 0

решение которого имеет вид

О\,2 = (2(р„р22-р122)}-1(к1 ±^1 к2 -4к3к4) к1 = р11 А2 + р22А - 2р12 А1 к2 =р11 А2 -р22А (13)

к3 = р22А1 - р12А2 , к4 = р11 А1 - р12А

где О112 - скорости безвихревых волн;

А = Л + 2р

Если Л(“)п = 0 (а = 1, 2) на поверхности £ (¿) при условии, что не все Л^ равны нулю одновременно, то из (10) получим (О = Ог)

О = р рр- р2 (14)

р11р22 р12

где Ог - скорость эквиволюминальной волны.

Таким образом, в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде существует две безвихревые и одна эквиволюми-нальная волны ускорения, скорости которых имеют скорости продольных и поперечных волн [4,5] и совпадают со скоростями волн в упругой пористой среде.

2. Получим уравнения затухания для волн ускорения. Для этого продифференцируем уравнения (5) по , а уравнения (7) по г и просуммируем по повторяющимся индексам, а затем возьмем разность найденных выражений на различных сторонах волновой поверхности и применим геометрические и кинематические условия совместности второго порядка [9]

ЩЛ)

[^у = О2у - 2Ог Л

[^і(2)]П = в2Мг Уі — 20,

а

812)

а

[V« ]у = ЦУі — 2ПІП (15)

К2кк ]У = MІУІ — 2Ц1(2)У

У = Ьу, + gab1a хк^

Ы2!, у = М у, + Хк,Р

После преобразований, получим (ри01 — л)ЬІУІ +(рп°1 — А1 )МгУі -

_ „ Л , _ ал(2)

2рп°і а У р2°і а У +

+ 2Ц ЛЛ(\)у. + 2ЦАЛ(2)Уг + 2т[е^Р ] = 0 (16)

р1201 — А1 ')ьгУг + [р22°1 — А2 М і У —

аЛ1 ал(2)

— 2р20! ЛУг — 2р2201 лУг +

+ 20, (A\Л^Уi + А2Л(2)У( )= 0 (17)

гд е Ц , Мі — соответственно величины , характеризующие скачки вторых производных скоростей У,1-“-1; О, - средняя кривизна поверхности

Е (0; gab — компоненты первой ковариантной квадратичной формы; — - обозначает 5 -

а

дифференцирование по і [9].

При выводе уравнений (16) и (17) учтено, что Ууі = 1, УХ ь = 0. Исключим из уравнений

(16) и (17) величины Ц и Мі. Для этого умножим уравнение (16) на р2202 — А2) а уравнение (17) на — р1202 — А1) и сложим. В результате преобразований и с учетом (12), получим

20, |(р„ А2 — рХ2 А)— О2 (рпр22 — р2 )}—Щ +

+20 ра-р22А1 )ЩЩ+]у 0^0 - А2)+ + 2°1 {(р22 А - р12 А1 У°1 + А1 - А2а}щ +

+ 2°/0/2 (р22 А1 - р12 А2 )щ2 = 0 (18) Исключим из уравнения (18) Щ. Для этого из первого уравнения (11) выразим Щ через Щ ю2 = Гщ (19)

где

рО —Л

А1 — р2°1

(20)

Тогда уравнение (18) затухания для безвихревой волны с учетом (19) запишем в виде

о

Р1 ЩЩ + 2т[ек)кр № + р3Щ1 = 0 (21)

Здесь

^1 = -201 {(р12 А1 -р11 А2 )+ 01 (р11р22 -р12 )+

+ (р22 А1 - р12 А2 )Г1 }

К2 = р22°1 А2

(22)

Р3 = 201 {(}1 (Р22А - Р12А1 )+ А' - А2А}+

+ {(° (р22 А1 - р12 А2 )Г1 }

Подставив в формулы (22) значение Г1 из (20), получим запись коэффициентов Е1, ¥2, в другом виде

К =

202

А, К =

А

А1 р1201

К =

20, О,

А1 р120і

-А

(23)

где

М =(р11р12 А2 +Р12Р22А 2р11р22 А1 У°1 +

+ р11А1А2 - 2р12А2А + р22 А1А ^2 =-{р12Р2201 -(р22 А1 +р12 А2 У°1 + А1А2 }

После подстановки (23) в уравнение (21),

_ „ Зщ йщ

преобразований и учитывая, что ---------= 01-----

3 йъ

получим уравнения затухания для безвихревых волн первой фазы йщ

................ (24)

= ЦЩ +М№Ж ]У

7 =

р12р220і (р22 А1 +

(рпр2 А2 +р12р22Л 2рир22 А1 У°1 +

+ р12 А2 )0і + А1А2

(25)

+ (р11 А1А2 - 2р12 А2А + р22А1А)01 где 8 > 0 - расстояние вдоль нормалей к волновой поверхности.

Если учесть, что Л^Уг = 0 при переходе эквиволюминальной волны через поверхность £ (г), то из выражений (5) - (7), записанных в разрывах, умножения полученных выражений на л(1) и суммирования по повторяющемуся индексу ¡, получим уравнение затухания для эквиволюминальной волны первой фазы

за)

= 01 + \є\к.кР ]

(26)

Выражения для [е^ ] найдем из условия

пластичности Треска (3) [8].

Для этого продифференцируем уравнение (8) по хк и возьмем разность их значений на разных сторонах от волновой поверхности

е ] = [е$] + к([па]п; + [п]к]пг) (27)

Чтобы определить величины скачков [пг к] через [¿¡Д], продифференцируем соотношения

[8]

2

= «Лу + «2)т1ш] + (У(3\п]

по хк и запишем их в скачках. В результате будем иметь

[Щ] ),к ] + Ктгт} ),к ] + [(пг»у ),к ] = 0 (29)

«1] = [«Шу + « }тгт3 + [«й]Пг»- +

+ Щ )к ]«(1) + [(тт )д ]« + [(»»)к ]« где К1 (г = 1,2,3) — главные напряжения в первой фазе.

Для соотношений (29) применим геометрические условия совместности первого порядка

[1г,к ] = аРк , [тг,к ] = Ъг*к (30)

[»г,к ] = СгУк , [«('к)] = Вг^к

«]=у, т =—1а\$ц —т 1(1Ч +1(]\)

где Цу, аг, Ъг, Сг — скачки первых производных напряжений к и направляющих косинусов

1г, тг, » .

Тогда (29) запишем в виде

а1] + а]1г + Ъгт ] + Ъ утг + Сг»] + С]»г = 0 (31)

Щг1} + В2тгт] + В3»гП] + (аг1} + а]1г +

+ (Ъгт] + Ъ]тг Ы1-1 + (Сг»у + С ]»г = М,у

Решив систему уравнений (31) относительно аг,Ъ1, Вг,Сг и подставив в (27), получим

выражение для [е^1/ ]. Затем полученные значения [екР/] подставим в уравнения (24) и (26),

получим дифференциальные уравнения для определения затухания первой фазы безвихревой и экволюминальной волн в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде

Затухание безвихревой волны второй фазы определим из (19), а затухание эквиволюми-нальной волны второй фазы определим из (10), положив 1( а)У: = 0

л(2) = г2л(1), ц =

Р\2

Рп

(32)

Тогда затухание волн в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде запишем как сумму решения уравнения (24) и (19) или (26) и (32)

К = Щ + Щ * = и * (33)

3. Рассмотрим безвихревую сферическую волну в насыщенном жидкостью упруговязкопластическом пористом пространстве, равномерно растянутом по направлению к оси .

В этом случае К1 =« = 0, «3(1) Ф 0;

п1 = п2 = 0, п3 = 1 .Тогда средняя и гауссова кривизны волновой поверхности £ (*) при

* = 0 запишутся в виде [9] 00 = ——, К0 = -1-

К,

к

Для определения средней кривизны 01 подставим значения 00 и К0 в формулу

о =

00 К05

1 - 2005 + К^1

Тогда

О = --

1

Я + *

Из системы (31) найдем С1, С2 и С3

2т

С

С

*3%

2т

*3%

ЩУП

ЩУ2У3, С3 = 0

(34)

(35)

(36)

Подставим (35) в формулу (27), после несложных преобразований получим

✓ ч

к

Є р у =- 4т

іРік,к іуі — „

1

—+ ■

3

Жуз(1 -у32)

Тогда (24) принимает вид

~1к

О,

4т2г

ол

1

-+

к

(1)у32(1 -у32)

Из уравнения (38) с учетом (35) после интегрирования находим

ехр:—-

4т

Л

где ¿У01 — значение Щ при * = 0.

Из формул (19) и (20) находим значение

Щ

Xехр-! -

( рО-л ] { К(> ^

1А-РиО? J V ^0 + 5 у

X

2

(40)

4тт

Л

1 к 2/1 2\ 3 + *(!) у3(1 -у3)

где 7 находится из выражения (25).

Тогда интенсивность затухания безвихревой сферической волны ускорения в упруговязкопластическом пористом пространстве будет как сумма Щ и щ

=щ+щ2 (41)

или

Яп

_____У (Рп -Рп)Р? + А -лЛ

V К0 + 5 А А1 -Рп°1

X

3

3

X exp- -

4m g

h

-----1-----

3 s

K2(1 -К2)

(42)

Из (42) следует, что интенсивность W затухания безвихревой сферической волны зависит от пористости среды, коэффициентов вязкости и пластичности, а также от главных напряжений первой фазы, истинных плотностей фаз и интенсивности перехода массы из второй фазы в первую.

Литература

1. Био М. А. Теория упругости и консолидации анизотропной пористой среды. // Сб. перев. и обзоров иностр. период. Литературы, 1956, № 1, 140-146 с.

2. Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // J. Appl. Phys, 1955, v.26, № 2, 182-185 с.

3. Косачевский Л. Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // ПММ, 1959, Т.23, Вып.6, 1115-1123 с.

4. Масликова Т. И., Поленов В. С. О распространении нестационарных упругих волн в однородных пористых средах //Изв. РАН. МТТ, 2005, № 1, 104-108 с.

5. Масликова Т. И., Поленов В.С. Нестационарные волны в пористых материалах // Изв. Инж. - тех. Академии Чуваш. респ. Чебоксары, 1999, № 1-4, 119-125 с.

6. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмо-электрических явлений во влажной почве // Изв. АН ССР. Сер. геогр. геофиз., 1944, Т.8, № 4, 133-150 с.

7. Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д. О распространении волн в упруго-вязкопластической среде // Инж. Журн. МТТ, 1966, № 4, 111-113 с.

8. Россихин Ю.А. О распространении волн в упруговязкопластической среде // Прик. мех., 1969, Т.У, Вып. 5, 82-88 с.

9. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964, 308 с.

k

S

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

Воронежский государственный технический университет

SIMULATION OF WAVE PROCESSES IN POROUS MEDIUM

L.A. Kukarskikh, M.A. Artemov

In the articles are studied wave processes, videlicet, the behavior of weak discontinuities in diphases elastic-viscoplastic porous medium, where for one out of phases perform conditions plasticity Trecka

Key words: weak discontinuity, two-phase porous medium, plasticity