К распространению звуковых волн в двухкомпонентной наследственно-упругой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3;534.1

Научный сотрудник В.С. Поленов, старший научный сотрудник Л.А. Кукарских,

(Воронеж, Военный учебно-научный центр Военно-воздушный сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина») 4 KHO НИЦ (БП и О ВВС). тел. (473) 244-77-16 E-mail: [email protected]

доцент А.Н. Скляров

(Воронеж, Военный учебно-научный центр Военно-воздушный сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина») кафедра ИАО. тел. (473) 244-77-44 E-mail: [email protected]

Scientific associate V.S. Polenov, senior staff scientist L.A. Kukarskikh,

(Voronezh, Military Educational Research Centre of Air Force «Air Force Academy after professor N.E. Zhukovskii and Iu.A. Gagarin») 4 RD dep. res. cent. (battle application and security VVC). phone (473) 244-77-16 E-mail: [email protected]

associate Professor A.N. Skliarov

(Voronezh, Military Educational Research Centre of Air Force «Air Force Academy after professor N.E. Zhukovskii and Iu.A. Gagarin») Department of aerod.-engin. supply. phone (473) 244-77-44 E-mail: [email protected]

К распространению звуковых волн в двухкомпонентной наследственно-упругой среде

Acoustic waves emission in the two-component hereditary-elastic medium

Реферат. Вопросам динамики двухкомпонентных сред посвящен ряд работ, в которых рассматриваются упругие волны в однородной, насыщенной жидкостью неограниченной пористой среде. В других работах решаются вопросы дисси-пативных процессов при гармоническом деформировании наследственно-упругой среды. В данной работе исследуются дис-сипативные процессы при гармоническом деформировании насыщенной несжимаемой жидкостью вязкоупругой пористой среды, наследственные свойства которой описываются ядром релаксации дробно экспоненциальной функции Ю.Н. Работ-нова интегро-дифференциальных соотношений Больцмана-Вольтерра. Получены формулы для определения скорости распространения волн, коэффициента поглощения, тангенса угла механических потерь и декремента затухания в зависимости от параметра дробности у. Построены графики зависимостей от логарифма частоты и температуры при заданном параметре дробности. Представлены зависимости скорости, коэффициента затухания и тангенса угла сдвига фаз от логарифма температуры, а также зависимость коэффициента затухания от логарифма частоты. Зависимости скорости и тангенса угла сдвига фаз от частоты идентичны зависимостям от логарифма температуры.

Summary. On the dynamics of two-component media a number of papers, which address the elastic waves in a homogeneous, unbounded fluid-saturated porous medium. In other studies address issues of dissipative processes in harmonic deformation hereditary elastic medium. In the article the dissipative processes of the viscoelastic porous medium, which hereditary properties are described by the core relaxation fractional exponential function U.N. Rabotnova integro-differential Boltzmann-Volterr ratio, harmonic deformation by the straining saturated incompressible liquid are investigated. Speed of wave propagation, absorption coefficient, mechanical loss tangent, logarithmic decrement, depending on fractional parameter y, determining formulas received. The frequency logarithm and temperature graph dependences with the goal fractional parameter are constructed. Shows the dependences velocity and attenuation coefficient of the tangent of the phase angle of the logarithm of the temperature, and the dependence of the attenuation coefficient of the logarithm of the frequency. Dependencies the speed and the tangent of the phase angle of the frequency identical function of the logarithm of temperature.

Ключевые слова: звуковые волны, среда, ядро релаксации.

Keywords: sonic wares, medium, relaxation kernel

© Поленов В.С., Кукарских Л.А., Скляров А.Н., 2014

Вопросам динамики двухкомпонентных сред посвящены работы [1-7], в которых рассматриваются упругие волны в однородной, насыщенной жидкостью неограниченной пористой среде. В [8, 9] решаются вопросы дис-сипативных процессов при гармоническом деформировании наследственно-упругой среды.

Для одномерного случая систему уравнений движения двухкомпонентной наследственно-упругой среды запишем в виде [1, 2]:

+ Аи;22 = Рпи'(1) + Р2 "(2) (1)

А" ^ + А2 = Р12"(1) + Р 22 "(2) Здесь § - модуль сдвига; А1, А 2 - коэффициенты, зависящие от пористости среды и модуля сжимаемости жидкости; Р12 -коэффициент динамической связи скелета и жидкости [1] (Р12 >0); Р11 =Р1/о1 и Р22=Р2/о2 - истинные плотности наследственно-упругой компоненты и жидкости в порах; Р1 ; Р2 - массы компонент в единице объема среды; а1, а2 - величины, характеризующие доли объема смеси, занимаемые каждой компонентой (01+02=1, а 1>0, а2>0).

Индексы, стоящие вверху в круглых скобках относятся соответственно: 1 - к наследственно-упругой компоненте, 2 - к жидкости. Точка над буквой означает производную по времени, а индекс внизу, стоящий после запятой, указывает дифференцирование по координате х. Систему (1) перепишем в виде:

§ "ХХ+^иХХ^ к"(1)+^(2))

",хх 1 "12",хх _ ^2\'п" +Г12"

СТ12"хХ + °22" хх

х2х = — (г,

, хх 2 1

О2

2и (1) + г22" (2))

(2)

А А р11 р12 р22

= 77' — = тЪ Г11 = —> Г12 = —> Г22 = — Н Н р р р

н

Н =§ + 2А1 + А2, р = р11 + 2р12 + р22, О2 = —

Р

Решение системы (2) ищем в виде:

и (8) = Ж(8) ехр(—-вх), в = а +1 — , 8 = 1,2, (3)

с

где а - коэффициент затухания волн; — - круговая частота; с - скорость волны.

Подставим (3) в (2), после преобразований, получим:

2 +§ о в2 ]с(1) +{уи—2 + °по в )с(2) = о (4)

(у12—2 + °12 О 2в2 )с(1) + {у2—2 + °22О 2в2 )с(2) = 0,

где § - упругий оператор.

Для того чтобы однородная система имела нетривиальное решение, ее определитель, составленный из коэффициентов при С(8) (8 = 1,2), должен быть равен нулю.

Раскрывая определитель, будем иметь:

(7п722 + 712 )® (4) + (7П°22 + Г22 Ц -

- 2^12^12 )О(2)—2 (а + /в)(2) +

(5)

+ | §а22 -ап О4(а

О4 (а + в)4 = 0, в = —

Выразим упругий оператор § через ядро релаксации - дробно-экспоненциальную функцию Ю.Н. Работнова, имеющую в пространстве Фурье вид [11]:

§ = §„ -"

А§

(6)

1+(—Ог'

где т§ - время релаксации; А§ = § - §0, §ю ,§ - нерелаксированное и релаксирован-

ное значения модуля; у - структурно-чувствительный параметр (параметр дробности), 0 < у < 1. При у=1 наследственные свойства сдвиговой деформации описываются моделью стандартного линейного тела. Преобразуем (6) к виду:

л • П Аиът —

§ = 1 + г —-2-

И И

(7)

§

- + §0—Т§)Г +(§ + §00 )о0в

Пу

1 7 ' о \ §/' \! О ! о / - - - гь

—т§/ 2

! = + (—г§)г+ 2

008

Подставим (7) в (5), получим:

(Гп Г22 + п2- —(4) +

7п°22 + И 722 - 2 ^12^12] +

+ ' 722м о

(1 -§/§„) 81П

(8)

-22 И -121 + -22М

О—(а + в)2 +

О4 (а + в)4 = 0

11 = М,

+ § 1008 П

" н

] 2

Из (8) получим квадратное уравнение относительно ъ:

к—4 г2 + (а1 + /а2 )О—2 г + (^ + ¡й2 )О4 = 0 (9)

2 1 к = 711 722 - а1 = 711° 22 +"Г Г22 - 2 ^12^12

И

а 2 = X 22 И-1М о

§

Л

1 -

V ]

■пу 1 2

^2 = °22и М,,

--

V

§ §

\

. пу вт —: 2

где ъ - комплексное число.

2

2

И

+

ВестникВВГУИТ, №1,, 204

Оно находится по формуле:

z = (a + ip)~\в = -

(10)

Решение уравнения (9) запишем в виде:

G2

2k—

>1 + ib2)

(11)

Ь1 = а1 + Ь2 = а2 втг1 = + 8,

= а2 - а2 - , £2 = 2(а1 а2 - 2кй2),

д1 2

Из (11) с учетом (10) определим характеристики звуковых волн в насыщенной жидкостью наследственно-упругой пористой среде: квадрат скорости распространения волн:

r2G2

,2 Vl

с12 = —у—=-sec —

' 2 Y11Y22 -Г12; 2

(12)

^__I

Г2 = VЬ12 + Ь2 , tg^2 =-

Я>1

, г Ф1

a1 r cos — коэффициент поглощения [12]:

а = — & — с 2

логарифмический декремент затухания:

(13)

5.00Е-08

2.50Е-

-2,3 0 2,;

Рисунок 2. Зависимость коэффициента затухания от температуры

0,0007

0,00035

-2,3 0 2,3

Рисунок 3. Зависимость тангенса угла от температуры

8 = 2ntg ^

(14)

L20E-07

По формулам (12) и (13) построены графики зависимости скорости и коэффициента затухания от температуры и частоты при следующих данных: ап=0.85, С22=0.25, С12=0.05, уп=0.95, У22=0.05, у 12 =0, М ш=2, Цо/Цш=0.1, ю=1 или т=1.

Значения параметра дробности у указаны на рисунках.

98000

49000

-2,3 0,4 3,1

Рисунок 1. Зависимость скорости от температуры

6.00Е-08

-1,1 0,7 2,5

Рисунок 4. Зависимость коэффициента затухания от частоты

Рисунки 1 -3 представляют зависимости скорости, коэффициента затухания и тангенса угла сдвига фаз от логарифма температуры, рисунок 4 - зависимость коэффициента затухания от логарифма частоты. Зависимости скорости и тангенса угла сдвига фаз от частоты идентичны зависимостям от логарифма температуры.

z

2

2

ОестнщВВТУМТ, №1, 2014_

ЛИТЕРАТУРА

REFERENCES

1 Био М.А. Теория распространения упругих волн в насыщенной водой пористой среде I. Диапазон низких частот // Акустическое общество. Америка. 1956. Т. 28.№ 2. С. 168-178.

2 Био М.А. Теория распространения упругих волн в насыщенной водой пористой среде II. Диапазон высоких частот // Акуст. общество. Америка. 1956. Т. 28. № 2. С. 179-191.

3 Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // ПММ. 1959. Т. 23. № 6. С. 1115-1123.

4 Масликова Т.И., Поленов В.С. О распространении нестационарных упругих волн в однородных пористых средах // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 1. С. 104-108.

5 Поленов В.С. Нестационарные упругие волны в насыщенной жидкостью пористой среде // Теоретическая и прикладная механика. 2012. № 27. С. 84-90.

6 Поленов В.С., Чигарев А.В. Распространение волн в насыщенной жидкостью неоднородной пористой среде // Изв РАН. ПММ. 2010. Т. 74. № 2. С. 276-284.

7 Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

8 Мешков С.И., Россихин Ю.А. О распространении звуковых волн в наследственно-упругой среде // ПМТФ. 1968. № 5. С. 89-93.

9 Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 399 с.

10 Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ. 1948. Т. 12. № 1. С. 53-62.

11 Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.

12 Постников В.С. Внутреннее трение в металлах. М.: Металлургия, 1974. 351 с.

1 Bio M.A. Theory propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid I. Low-Frequency Range. Akusticheskoe obshchestvo. Amerika. [Acoustic society. America], 1956, vol. 28, no. 2, pp. 168-178. (In Russ.).

2 Bio M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid II. Higher Frequency Range. Akusticheskoe ob-shchestvo. Amerika. [Acoustic society. America], 1956, vol. 28, no. 2, pp. 179-191. (In Russ.).

3 Kosachevskii L.Ia. Propagation of elastic waves in two-component medium. PMM. [AMM], 1959, vol. 23, no. 6, pp. 1115-1123. (In Russ.).

4 Maslikova T.I., Polenov V.S. Propagation of transitionals elastic waves in homogeneous porous medium. Izvestiia RAN MTT. [Bulletin of RAS. RBM], 2005, no. 1, pp. 104-108. (In Russ.).

5 Polenov V.S. Rheonomous elastic waves in a fluid-saturated porous solid. Teoreticheskaia i prikladnaia mekhanika. [Theoretical and applied mechanics], 2012, no. 27, pp. 84-90. (In Russ.).

6 Polenov V.S., Chigarev A.V. Propagation waves in a fluid-saturated heterogeneous porous medium. . Izvestiia RAN MTT. [Bulletin of RAS. RBM], 2010, vol. 74, no. 2, pp. 276-284. (In Russ.).

7 Nigmatulin R.I. Osnovy mekhaniki geterogen-nykh sred [Fundamentals mechanics of heterogeneous environment]. Moscow, Nauka, 1978. 336 p. (In Russ.).

8 Meshkov S.I., Rossikhin Iu.A. Propagation of sonic waves in hereditary-elastic medium. PMTF. [AMTP], 1968, no. 5, pp. 89-93. (In Russ.).

9 Shermergor T.D. Teoriia uprugosti mikroneodnorodnykh sred [Theory of elasticity microinhomogeneous medium]. Moscow, Nauka, 1977. 399 p. (In Russ.).

10. Rabotnov Iu.N. Equilibrium of elastic medium with aftereffect. PMM. [AMM], 1948, vol. 12, no. 1, pp. 53-62.

11 Rabotnov Iu.N. Polzuchest' elementov konstruktsii [Creep of structural component]. Moscow, Nauka, 1966. 752 p.

12 Postnikov V.S.Vnutrennee trenie v metallakh [Internal friction in metal]. Moscow, Metallurgiia, 1974. 351 p.