CC BY
18
УДК 621.373.8
РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОЛНЫ
ПРОДОЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ТОЧЕЧНЫМИ ДЕФЕКТАМИ, ГЕНЕРИРУЮЩИМИСЯ С ПОВЕРХНОСТИ
КЛАСТЕРОВ
Ф. Мирзоев, Л. А. Шелепин
Исследуется влияние точечных дефектов, генерирующихся с поверхности кластеров, на распространение нелинейной волны продольной деформации в кристалле. Приведены оценки релаксационных вкладов в линейную скорость звука, а также в диссипативные и дисперсионные свойства решетки.
В работах [1] рассматривается модель распространения нелинейной волны продольной деформации в упругой среде с учетом взаимодействия с точечными дефектами (ТД) - вакансиями и междоузельными атомами, генерирующимися из узлов кристаллической решетки под влиянием внешних потоков энергии. Однако известно, что поверхности различных нанометрических кластеров (пор, дислокационных петель и т.д.) как имеющиеся в кристалле, так и генерирующиеся в процессе лазерного воздействия, также могут служить эффективными источниками ТД в кристалле. Скорость "кластерной" генерации ТД подчиняется активационному закону и возрастает с ростом температуры и с уменьшением активационного барьера ф. При распространении возмущений поля упругой деформации, за счет деформационного потенциала ТД, активационный барьер <3 уменьшается, что приводит к деформационно-стимулированному "испарению" кластеров, в результате которого концентрация ТД в матрице увеличивается. Эффективность кластеров как источников ТД особенно значительна при их более высоких начальных объемах и концентрациях.
В данной работе рассматривается влияние кластерной генерации ТД на диссипа-тивные и дисперсионные свойства среды, на характеристики распространяющейся в кристалле нелинейной продольной волны упругой деформации.
Пусть р - объемная доля кластеров в кристалле. Для определенности ограничимся рассмотрением генерации одного типа ТД, например, междоузельных атомов (МА). Если изменение размеров кластеров лимитируется диффузией, то, согласно [2], поведение переменной р(х, описывается активационным уравнением, которое с учетом влияния деформации может быть записано в виде
dp р
— =--ехр
dt тр
Q(e)
kT
т„ --
V(0)
4icRsN(0)Donthn"
Здесь TV(O) - начальная концентрация кластеров, V(0) - начальный объем кластеров, D0
- коэффициент диффузии MA, Rs = 2<т0П/кТ (сг0 - поверхностное натяжение кристалла, О - объем MA, Т - температура), nth - равновесная концентрация MA, Q(e) = Q0 — i^e
- энергия активации, модулированная деформацией е = ди/дх (u(x, t) - проекция вектора смещения и на ось х), Q0 - энергия активации в отсутствие деформации, -деформационный потенциал. В принципе, добавка к энергии активации в (1) невелика, но даже малые изменения в Q (порядка 1-5%) могут привести к существенному изменению скорости "деформационного отжига" кластеров.
Соответствующее уравнение для концентрации МА в приближении "генерация релаксация", имеет вид:
дп = _\Щдр_п
dt CI dt т' 1'
Источниковое слагаемое в (2) зависит (согласно формуле (1)) от деформации сплошной среды, от начальных концентрации и объема кластеров, от температуры среды, а также от материальных свойств кристалла. Деформационная зависимость времени релаксации (г) может быть связана модуляцией энергии миграции МА: г = г0 exp(i9me/fcT), где \im — KQm] т0 - время релаксации дефектов в отсутствие деформации; К - модуль всестороннего сжатия; Qm - дилатационный объем, характеризующий изменение объема кристалла при образовании в нем одного МА [3]. По порядку величины Qm pz dl (d0 - период решетки). Время релаксации г определяет рекомбинацию МА на внутренних неоднородностях (например, границах блоков, дислокациях, примесях внедрения и т.д.), играющих роль нейтральных стоков.
Уравнение для упругих смещений сплошной среды запишем в виде [1, 4]:
д2и _ 2&ид4и d4u _ КПт дп dt2 °sdx2 р dx* дх 91 dt2dx2 + 92 dx4 ~ р dx
Здесь cs - скорость продольных волн в кристалле в отсутствие MA; р - плотность среды; <7i и д2 - дисперсионные параметры; /3 - коэффициент нелинейности [5]. Для большинства твердых тел (металлов, многих полимеров) /3 < 0. Существуют также и металлы, в которых отклонение упругих свойств решетки от закона Гука незначительно. В этом случае /3 > 0. При записи уравнения (3), ограничиваясь в дальнейшем плавными возмущениями деформации, мы учли вклады в пространственную дисперсию модулей упругости в первом неисчезающем приближении.
Совокупность уравнений (1) - (3) образует замкнутую систему уравнений, для описания распространения слабонелинейных возмущений продольных деформаций в средах с квадратичной упругой нелинейностью, с учетом взаимодействия с дефектами, генерирующимися с поверхности кластеров.
Представим решение системы (1) - (2) в виде суммы пространственно однородных (ротП-о) и неоднородных решений (8р,8п): р = ро + 6р, п = п0 4- 8п. Подставляя эти решения в (1) и (2), в линейном приближении получим систему уравнений:
дбп 8п V(0) д8р п0|те| ди
~~дГ + Т = ~dt
д8р 8р р0 dd ди где
, = V(0) exp(Q0/кТ) Тр 4тг RSN (0)Doilnth' те - характерное время релаксации деформации.
Рассмотрим автомодельные решения вида и = и(£), 8п — 8п(£), 8р — ¿р(£), где £ = х — iit, описывающие нелинейные продольные волны деформации, концентрации дефектов и волны отжига кластеров, распространяющиеся с постоянной скоростью v в положительном направлении оси х. Тогда система дифференциальных уравнений в частных производных (3) - (5) переходит в следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
d8n 8п У(0) d8p n0|re| du . .
d8p 8p _ pQdd du
+ — —/ит At' { '
(5)
di r' r'pkT dC / , d2u в d2u du i о \ dAu Kilm dn Л
(v-c*) " f Ti ~ "'«0 W + ~T M. =1(8)
В качестве граничных условий к уравнениям (6) - (8) примем следующие:
и^(-оо) - е0, г^(+оо) = О,
£п(±оо) = 0, 6р(±оо) = 0. (9)
Граничные условия (9) означают, что распространение волновых возмущений дс формации в среде с кластерами переводит рассматриваемую систему из состояния с нулевой деформации в состояние с постоянным значением деформации (ео). Комбинируя (6) и (7), приходим к уравнению:
¿6п 6п _ У(0)
8р (р0дл гг0|те|ПЛ ¿и
(10)
Далее учтем, что второе слагаемое в квадратных скобках в правой части (10) значительно больше первого слагаемого, которым можно пренебречь. Решение получающегося в результате неоднородного дифференциального уравнения с учетом граничного условия (9), имеет вид:
6п(() = ехр Ш | ¿¿ЧЮехр , (11)
где
гп _ {У(0)ро^с1 ГСо1те|\ ¿и _ ¿и
Ы ■ V Тркт т2 ) %
Исключив переменную 8п с помощью (11), получаем уравнение, описывающее распространение нелинейной волны смещений в среде с учетом кластерной генерации дефектов:
2 2.(Ри $ (Ри ¿и 2 <14и КПт (1 +[° п /10ч
-^--р-вётс^ (1)
Уравнения типа (12) характерны для сред с деформационной памятью или с релаксацией. На его основе можно провести анализ распространения стационарной волны деформации с учетом влияния как дисперсионных свойств среды, так и упругих свойств решетки и подсистемы кластеров и МА. Рассмотрим анализ этого уравнения при малых временах релаксации МА (т << т0). В этом случае интегральный член в (12) можно
заменить дифференциальным. Для этого функцию гр(£ — г) представим в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности Ограничиваясь в этом разложении главными геем
' в? и о с13и о
2 и и, 3 2"
т--Т + Т V-— + Т V
4
«
После постановки этого выражения в (12), получаем:
/ 2 2 \ <Ри (3 сРи ¿и (Ри <Ри (« + = (13)
где с5р = с5(1 — КС1тгроТ/рс2зу/2 - перенормированная за счет взаимодействия деформационного поля с кластерами скорость звука в кристалле.
В уравнении (13) появление слагаемого с третьей производной от смещения очевидно связано с деформационно-стимулированной генерацией дефектов с поверхности кластеров и процессами их рекомбинации на нейтральных стоках. Кроме того, конечность скорости рекомбинации дефектов (т-1) приводит к изменению дисперсионных вкладов в нелинейное уравнение, что может сказаться на характеристиках распространяющихся нелинейных волн деформаций.
Коэффициенты диссипации (7) и дисперсии (д) связаны с генерационно-рекомбинационными параметрами подсистемы МА следующими формулами:
КПтгр0т2у 2 3 2 К{1т . .
7 =-, 9 = ~92-тугр0-. (14)
Р Р
Уравнение типа (13) возникает во многих физических задачах: о нелинейных продольных волнах в вязкоупругих стержнях и пластинах [4, 6, 7], о нелинейных гравитационных волнах в неглубокой жидкости [8]. Оно имеет решение в виде периодических (кноидальных) волн или ударных фронтов. Анализ структуры этих решений может быть проведен качественно (следуя работе [8]) или количественно (асимптотическими методами [1, 6]).
Как следует из (14), вклад от кластерной генерации дефектов в дисперсионный параметр важен, если относительный объем междоузельных кластеров превышает критическое значение
_ рТркТПдг
Критическое значение р» определяется разностью деформационных потенциалов, начальным объемом кластеров, а также температурой и материальными константами среды. Температурная зависимость р*(Т), а также скорости звука свр{Т) и коэффициента
диссипации 7(Г) задается прежде всего аррениусовской зависимостью времени релаксации т(Т). При характерных значениях параметров У"(0) = б ■ 10—3, -А^(О) = 1014 ст-3, дл = 10 эВ, О, = 2 • Ю-22 ст3, Д, = 8 • Ю"7 ст, Г = 700ЛГ, ^ = 3 • 10"11 с, = 1.4 находим, что критическое значение р* = 7 • Ю-2.
Таким образом, получено уравнение, описывающее распространение стационарной волны деформации в среде, с учетом взаимодействия с ТД при кластерном механизме их генерации. Приведены оценки вкладов в диссипативные и дисперсионные свойства решетки, обусловленные генерационно-релаксационными процессами в подсистеме ТД.
ЛИТЕРАТУРА
[1] М и р з о е в Ф., Шелепин JL А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 38 (2001); N 5, 42 (2002).
[2] Vandermeer R. A., Ogle J. С. Acta Metallurgica, 28, 151 (1980).
[3] К о с е в и ч А. М. Основы механики кристаллической решетки. М., Наука, 1972, 280 с.
[4] Д р е й д е н Г. В., Островский Ю. И., Самсонов A.M. ЖТФ, 58, N 10, 2040 (1988).
[5] JI у р ь е А. И. Нелинейная теория упругости. М., Наука, 1980, 350 с.
[6] Р о г u b о v А. V., Velarde М. G. Waves motion, 35, 189 (2002).
[7] П о т а п о в А. И. Нелинейные волны деформаций в стержнях и пластинах. Горький, 1985, 107 с.
[8] К а р п м а н В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М., Наука, 1973, 176 с.
Поступила в редакцию 26 июня 2002 г.
