CC BY
16
УДК 535.37
НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ЛАЗЕРНОМ
ВОЗДЕЙСТВИИ
Ф. Мирзоев1, Л. А. Шелепин
Выведено эволюционное уравнение, описывающее распространение нелинейных продольных волн деформации в облучаемом лазерными импульсами твердом теле с учетом взаимодействия с точечными дефектами. Проанализировано влияние процессов генерации и релаксации дефектов на распространение волны деформации. Установлено, что при малых временах релаксации распространение волны деформации в среде происходит в виде ударных волн небольшой интенсивности. Получены профиль, ширина и скорость движения нелинейной волны. Определены релаксационные вклады в линейную скорость звука, а также в дисперсионные и диссипативные свойства решетки.
Процессы возникновения и распространения нелинейных волн деформации при импульсных внешних воздействиях (лазерно-лучевое воздействие, ударно-волновое на гружение и т.д.) на твердые тела представляют заметный интерес и этому явлению посвящены многочисленные работы [1-8]. При рассмотрении эволюции упругих нелинейных волн в кристалле обычно в качестве нелинейности рассматривается отклонение упругих свойств решетки от закона Гука [1]. В облучаемых твердых телах существенную роль могут играть различные дефекты решетки, например, точечные дефекты (ТД) (вакансии, межузлии), генерирующиеся в процессе внешних воздействий из узлов решетки, и создающие заметную деформацию среды. Дефектно-деформационное
'Институт проблем лазерных и информационных технологий РАН.
взаимодействие может происходить как через изменения энергетических параметров системы ТД (энергии активации образования и миграции ТД), так и путем возникновения деформационно-индуцированного дрейфа ТД. Нелинейности, связанные с этими взаимодействиями, при определенных условиях могут оказаться существенными для распространения упругих нелинейных возмущений в твердых телах и приводить к возникновению качественно новых физических эффектов. Так, обусловленные ТД нелинейности могут приводить к появлению релаксационных вкладов как в линейные, так и в нелинейные модули упругости среды. Наличие в среде ТД с конечным временем релаксации может вызывать появление диссипативных слагаемых, отсутствующих в обычных уравнениях для упругих нелинейных волн.
На динамику волн заметное влияние может оказывать дисперсия, связанная с конечностью периода кристаллической решетки [9] или толщиной образца [8], а также дисперсия, обусловленная генерационно-рекомбинационными процесами в системе ТД, их движением в поле деформаций. Распространение волны упругой деформации в таких системах может происходить как в виде ударных волн, так и в виде солитонов (или последовательности солитонов). В этом случае влияние генерационно-рекомбинационных процессов оказывается аналогичным рассеянию энергии упругих колебаний в среде из вязкоупругого материала с последействием и релаксацией. Исследование динамики волн с учетом их взаимодействия с дефектами структуры представляет несомненный интерес, в частности при анализе механизмов аномального массопереноса при лазерной и ионной имплантации металлических материалов [10], при изучении процессов механической активации компонентов при твердофазных химических реакциях. Распространение волн деформаций в среде несет информацию об искажениях их формы и скорости, потерях энергии, связанных с дефектной структурой, что необходимо для диагностики различных параметров и структуры твердых тел.
Цель работы - разработка и развитие модели распространения нелинейной волны продольной деформации, взаимодействующей с полем концентрации ТД, генерирующихся под влиянием импульсных лазерных воздействий.
Рассмотрим изотропное твердое тело, в котором под воздействием лазерных импульсов образуются ТД с объемной концентрацией п](х, {] = V - для вакансий, ] — г - для межузлий). При прохождении продольных волновых возмущений деформации, в областях растяжения и сжатия изменяется энергия образования ТД. Если е = ди/дх -деформация среды (и - смещение точек среды), то перенормированную энергию образования ТД можно представить в виде: £у = Що~V) - энергия образования ТД
типа j в недеформированном кристалле, d¿j - деформационный потенциал). Одновременно с уменьшением энергии образования ТД при возникновении возмущений деформации решетки происходит и уменьшение энергии миграции ТД Е2т = Е3т0 — $mje(x, t) (EJm0 - энергия миграции ТД в отсутствие деформации, dmj = Kflmj, íímj - дилатаци-онный объем образования ТД типа j, причем для j — vfij < 0, для j = iílj > 0), что приводит к возрастанию коэффициента диффузии. Модуляции энергий образования и миграции приводят к соответствующим модуляциям функции источника и скорости рекомбинации дефектов: qj = qjo + qjee, Pj = Pjo + (qj0 и fijo - значения функции источника и скорости рекомбинации в отсутствие деформации; индекс "е" означает производную по е) и, как следствие, к их пространственному перераспределению [11]. В рамках перечисленных допущений, нелинейное динамическое уравнение, описывающее распространение продольной волны деформации в среде с квадратичной нелинейностью упругого континуума, с учетом генерации ТД, можно записать в виде:
д2и 2д2и /3 д2и ди д4и д*и _ KQ.mj dnj
di* ~Csd^~ 91 dtW + 92 ~ &Г '
Здесь cs - скорость продольных волн; К - модуль всестороннего сжатия; р - плотность среды; <7i и д2 - дисперсионные параметры [12]; /3 - коэффициент нелинейности. При записи уравнения (1), ограничиваясь в дальнейшем плавными возмущениями деформации, мы учли вклады в пространственную дисперсию скорости звука в первом неисчезающем приближении.
Уравнение (1) необходимо замкнуть уравнением для плотности ТД. Если принять, что основными процессами, контролирующими поведение во времени плотности ТД, являются генерация дефектов из узлов решетки и их рекомбинация на центрах, то для слабых неоднородных возмущений плотности ТД n\j = — nj0, n\j << rijo, где nj0 = qoTj - стационарное однородное распределение ТД, можно записать уравнение:
= (9je - Pjenjo) - ftonii, (2)
где первое слагаемое в круглых скобках в правой части (2) учитывает деформационно-индуцированную генерацию ТД, второе слагаемое - деформационно-индуцированную рекомбинацию дефектов f3je — /3joflmj/kT); третье слагаемое - потери дефектов за счет рекомбинации в отсутствие деформации (f3jo = 1/т,о = PjDjo - скорость рекомбинации на центрах; pj - плотность центров, Dj - коэффициент диффузии дефекта типа j, Tjo - время релаксации в отсутствие деформации). Объемная взаимная рекомбинация разноименных дефектов не учитывается. При тепловом механизме генерации ТД Я je = qj0{ddj/kT).
В качестве граничных условий к уравнениям (1) и (2) примем следующие условия: их(—оо) = ег, их(+оо) = е2, П1_,(±оо) = 0. (3)
Граничные условия (3), означают, что распространяющиеся в среде волновые возмущения, переводят рассматриваемую систему из состояния с деформацией е2 в состояние с постоянным значением деформации В дальнейшем ограничимся системой с одним типом дефектов и положим в (1)-(3) «гДО = Т/о = Т-> ^¿ш = ^т-
Уравнения (1) и (2) образуют замкнутую систему. Она полностью описывает распространение одномерных возмущений деформации твердого тела, возникающих от неоднородных распределений ТД, а также обратный эффект - изменение концентраций ТД в твердом теле, обусловленное возмущениями упругой деформации.
Решение неоднородного уравнения (2) с учетом граничного условия (3), имеет вид:
n1(x,t) = J d(z(x, С) exp (^-y^j >
(4)
где ф,*) = - дт)(кТ)-\ди!дх) = г0{ди/дх).
Исключив концентрацию ТД, с помощью (4) получаем уравнение, описывающее распространение нелинейной волны деформации в виде:
д2и 2д2и Рдид2и д*и д4и , КП^ д } /С -Л п ^
Уравнения типа (5) характерны для диссипативных сред с деформационной памятью [1]. Точный анализ этого уравнения, при произвольных значениях входящих в него параметров, не представляется возможным. Далее рассматривается его анализ при малых по сравнению с периодом волновых возмущений ¿о временах релаксации ТД (г << ¿о)-В этом случае основной вклад в интеграл вносится подынтегральной функцией вблизи верхнего предела. Разлагая функцию ,г(£) в ряд Тейлора вблизи ( = t, и ограничиваясь в этом разложении первыми тремя слагаемыми, получим:
« / ., , « (С -Л ( 2 Э»и , з 9*и \ ...
—оо
После подстановки выражения (6) в уравнение (5) приходим к следующему уравнению:
д2и „2д2и (3 сРи ¿и д?и _ д4и д4и __
где ся — cs(l — KQmZoT/pel)1/2 - скорость звука, переыормированная за счет генерационно-релаксационных процессов в системе дефектов. Коэффициенты диссипации (7) и дисперсии (<71) следующим образом выражаются через генерационно-релаксационные параметры системы дефектов: д\ = д\ — z0T3p~1Kilm, 7 = K£lmzoT2 р~1.
В уравнении (7) слагаемое с третьей производной от смещения ответственно за диссипацию энергии волны, и его появление связано с генерационно-рекомбинационными процессами. Кроме того, конечность скорости рекомбинации ТД (т-1) дает дополнительный вклад в дисперсионный параметр </i, что может сказаться на характеристиках нелинейных волн. Из выражений для с,, 7, gi следует, что величины релаксационных вкладов при прочих равных условиях линейно растут с увеличением разницы деформационных потенциалов (z0 ос dd — i?m).
Для автомодельных решений u = п\: = где £ = х — vt, описываю-
щих плавные слабо нелинейные возмущения волны деформации и концентрации ТД, распространяющихся со скоростью v = const вдоль оси х, уравнение (7) принимает вид:
/ 0 <Ри в d2u du d?u / о \ d4u „
После интегрирования по £ и введения обозначения е = du/d(, получаем уравнение, совпадающее с первым интегралом стационарного уравнения Бюргерса и Кортевега-де Вриза [13]:
+ = (9)
6 = v2 -с], 7 = 7U, д = giv2 - д2 - KQ,mz0T3v2 р'1
(константа интегрирования равна нулю в силу граничных условий du/d£|^_±оо = 0). С граничными условиями
е(-оо) = е0, е(+оо) = 0 (10)
уравнение (9) допускает решение в виде ударных волн малой интенсивности.
Если дисперсия не существенна, из (9) имеем стационарное уравнение Бюргерса
7% ~ (/5/2Р)е2 + бе = 0, а?
имеющее решение в виде ударных волн с монотонным профилем
е=у(1 Ь=4чр/Ре0.
В общем случае характер решения уравнения (9) с учетом влияния дисперсии будем определять сначала качественно, следуя анализу работы [13]. Зависимость скорости волны V от ее амплитуды во определяется формулой
Из анализа асимптотического поведения волны следует, что решение, удовлетворяющее условиям (10), существует, если скорость волны v > cs. Тип нелинейной волны зависит от знака параметра /3. Так, при /3 > 0, согласно (11), возбуждаемая волна является волной растяжения (е0 > 0), а при /3 < 0 - волной сжатия (е0 < 0).
Структура ударной волны зависит от соотношения между дисперсионным и дис-сипативным параметрами (д,^) в уравнении (9). При достаточно малых значениях 7 следует ожидать, что ударная волна имеет осциллирующую структуру. Если же параметр диссипации превышает некоторое критическое значение 7 > 7«, то имеем ударную волну без осцилляций с монотонным профилем [13].
Критическое значение параметра диссипации 7*, отвечающее монотонному и осцил-ляционному профилям волны, определяется формулой 7, = Используя (11), это
равенство можно записать в виде |е0| = е», где е» та (Kílm/kT\/3\)(q0T)(,dc¡ — i?m) критическое значение амплитуды.
Таким образом, ударная волна имеет осцилляционную структуру при |е0| > е» и монотонную при |е0| < е,. Критическое значение амплитуды е«, отделяющее ударные волны с осцилляционной структурой от монотонных ударных волн, определяется модулем упругости, температурой среды, интенсивностью генерации ТД и временем их релаксации, а также разницей дилатационных объемов ТД. При характерных значениях параметров (для межузлий) К = 5 • 1011 дин/см, qoT = 1019 см "3, в = 1012 дин/см, р - 8 г/см3, |Om| = Ю-22 см3 получаем е„ = 5 • Ю-2.
Пространственный масштаб изменения решения уравнения (9) определяет ширину ударной волны I, то есть расстояние, на котором затухают осцилляции [13]. Оценка дает
Период осцилляции д находится из решения уравнения (9), линеаризованного в окрестности однородного решения е = 2<5//3, и имеет вид
v2 = с2 + ео/3/р.
(И)
(12)
(13)
Согласно (13), период осцилляции с ростом амплитуды нелинейной волны е0 уменьшается, и в пределе |е0| >> е, принимает значение, равное с? « 47Г^/2/?|д|/|/Зео|.
Асимптотическое решение уравнения (7) получим, следуя методике [7]. Переходя к безразмерным переменным и = и/еА, 2 = 7 = 7/^5 9г = 9\1Ь2, дг = ^г/^2) £ =
/г/Л << 1, где Уо - характеристическая скорость волны, Л - длина волны возмущений, уравнение (7) представим в виде:
д2й с] д2й [3 <Рй ¿й £7 д3й 2- д4и 2 92 д4й _
Вводя безразмерную стационарную переменную 0 = х — и представляя скорость волны V в виде г; = 1 + ег>х + +....., из (14) получаем:
(ио ~ с2) Щв + е 2«оУ1Щв - ^ + ЧЩЩве
+
+£ [^0^1(2^2 + щ)щв + иввв + {92 ~ 9г»о)иоеве\ = 0(е ). (15)
Граничные условия к уравнению (15) запишем в виде йое(—оо) = ех, йо$(+оо) = е2, щд(±оо) = 0, г > 0, е\ > е2. Решение уравнения (15) ищем в виде
й = й0 + ещ + е2й2 + .... (16)
Подставляя (16) в (15), получаем бесконечную систему уравнений. В нулевом порядке по £ из (15) имеем и0 = с3.
Первому порядку по £ в этой системе отвечает уравнение
д_ дв
о 2 - Р -2 , - -2с3ухе0 - — е0 + 7с3е0в 2 р
= 0, (17)
где е0 = с/и0/б?£. Уравнение (17) представляет собой стационарное уравнение Бюргерса и имеет кинковое решение вида
е0 = -7г^рс.рГгЫк{кв) + 2с2яру1/3~1, к = (ег - е2)/3/^р. Второму порядку по £ соответствует уравнение для определения щ(в):
— ^у^ьгщ - (Р/р)й0еЩв + 7«0йш = = —иои1 (2^2 + щ)йыв - 7ио1>1«ою0 - (д2 - д^ишвв- (18)
Уравнение (18) имеет ограниченное решение следующего вида:
= ñ0fi[—v\ 0 + milog(cosh(A:0)) + (19)
Здесь т2 = const, а т\ - определяется формулой т\ = 2р(с2д\ — д2)/с30.
В (19) первое слагаемое в квадратных скобках учитывает влияние диссипации на фронт нелинейной волны, а второе и третье слагаемые - влияние дисперсии. Следует отметить асимметричный характер искажений профиля волны при изменении знака коэффициента mi (при т2 = 0) [7]. Так, при mi > 0, то есть с2 > g2/gi, сильное искажение профиля волны происходит перед фронтом вблизи верхнего состояния (ег), а при mx < 0 (Cj < g2/gi) - за фронтом волны вблизи нижнего состояния (е2). Вид полученного решения указывает на монотонный характер профиля нелинейной волны при малых дисперсиях, что согласуется с проведенным выше качественным анализом.
Условия существования осцилляционной ударной волны (е, < |е0|) и малость ее амплитуды |ео| << 1 накладывают ограничения на ее скорость, определяемые следующим неравенством:
с]{1 + e.W/P%)) < V2 < cl(l + mi pel).
Так как монотонные ударные волны могут возникать в средах с достаточно большими значениями критического параметра е* (е„ > |ео|), получаем следующие ограничения на скорости этих волн:
< 3(1 + lfl/4^).
В твердых телах с отрицательной дисперсией (д > 0) осциллирующая структура находится перед фронтом волны. А в средах с положительной дисперсией (д < 0), наоборот, осциллирующий "хвост" остается позади фронта.
Параметры lad осциллирующих ударных волн, согласно формулам (12) и (13), определяются величиной дисперсионного параметра д. Поэтому для возникновения этих волн необходимо наличие дисперсии в системе. Монотонные же ударные волны, в отличие от осцилляционных волн, могут существовать в системах без дисперсии.
Рассмотрим теперь вклад генерационно-рекомбинационных процессов в системе ТД в дисперсионные свойства среды. Поправка за счет ТД к дисперсионным параметрам важна, если Kümz0T3v2p~l > g\v2 — д2. Отсюда находим ограничение на концентрацию ТД: q0r > p(g\v2 — g2)kT/(утК£1т)2. Это условие может выполняться для достаточно больших концентраций ТД (дот > 1019 см~3), характерных для мощных импульсных
лазерных воздействий на большинство твердых тел. Однако, если упругие модули решетки и дилатационный объем ТД велики, то поправки за счет ТД становятся существенными и при меньших их концентрациях.
Таким образом, в твердом теле, находящемся под воздействием лазерных импульсов, приводящих к генерации ТД, распространение волны деформации может происходить в виде ударных волн небольшой интенсивности. Ударные волны могут иметь как ос-цилляционный профиль, так и монотонный. Существование таких волн определяется диссипативными процессами генерации (рекомбинации) ТД, дисперсией среды, а также упругими свойствами решетки и системы ТД. Приведены оценки вкладов в линейную скорость звука и пространственную дисперсию, обусловленных конечным временем рекомбинации ТД.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Энгельбрехт Ю. К., Н и г у л У. К. Нелинейные волны деформаций. М., Наука, 1981, 245 с.
[2] Самсонов A.M., Дрейден Г. В., Порубов А. В., Семенова И. В. Письма в ЖТФ, 22, N 21, 61 (1996).
[3] Д р е й д е н Г. В., Островский Ю. И., Самсонов А. М. ЖТФ, 58, N 10, 2040 (1988).
[4] S a m s о п о v А. М., D reiden G. V., Porubov А. V. and Semenova I. V. Physical Review, B57, N 10, 5778 (1998).
[5] Л я м ш е в Л. М. УФН, 135, N 3, 637 (1981).
[6] К а р а б у т о в А. А., Платоненко В. Т., Руденко О. В., Чупрына В. А. Вестник МГУ. Сер. Физ., 25, N 3, 88 (1984).
[7] Р о г и Ъ о v А. V., Velarde М. G. Wave motion, 35, 189 (2002).
[8] М и р з о е в Ф., Ш е л е п и н Л. А. ЖТФ, 71, N 8, 23 (2001).
[9] К о с е в и ч А. М. Основы механики кристаллической решетки. М., Наука, 1972, 280 с.
[10] Быковский Ю. А., Неволин В. Н., Фоминский А. Ионная и лазерная имплантация металлических материалов. М., Энергоатомиздат, 1991, 320 с.
[11] М и р з о е в Ф., Панченко В. Я., Ш е л е п и н Л. А. УФН, 166, N 1, 3 (1996).
[12] Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М., Наука, 1980, 350 с.
[13] Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М., Наука, 1973, 176 с.
Поступила в редакцию 29 апреля 2002 г.
