CC BY
26
УДК 621.373.8
ВОЗБУЖДЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИИ В ОБЛУЧАЕМЫХ ТВЕРДЫХ
ТЕЛАХ
Ф. Мирзоев, Л. А. Шелепин
Развита модель распространения нелинейных продольных волн в облучаемом лазерными импульсами твердом теле с квадратичной нелинейностью упругого континуума с учетом взаимодействия полей деформации и концентрации точечных дефектов. Показана возможность возникновения упругой нелинейной ударной волны деформации в системе и изучена ее структура. Получена оценка ширины и скорости движения фронта ударной волны.
Исследование процессов возникновения и распространение нелинейных волн деформации при импульсных лазерно-лучевых воздействиях на твердые тела представляет заметный интерес и этому явлению посвящены многочисленные теоретические и экспе риментальные работы [1 - 5]. При рассмотрении эволюции упругих нелинейных волн в кристалле, обычно в качестве нелинейности рассматривается отклонение упругих свойств решетки от закона Гука [1]. В облучаемых твердых телах значительную роль могут играть термически индуцированные точечные дефекты (вакансии, межузлии), генерирующиеся в решетке в процессе внешних воздействий и создающие заметную деформацию среды. Нелинейности, связанные с дефектно-деформационным взаимодействием, могут оказывать существенное влияние на динамику распространения упругих нелинейных возмущений в твердых телах и приводить к возникновению качественно новых физических эффектов. Так обусловленные дефектами нелинейности могут приво дить к перенормировке как линейных, так и нелинейных модулей упругости решетки. Наличие в среде точечных дефектов с конечным временем рекомбинации может вызывать появление диссипативных слагаемых, отсутствующих в обычных уравнениях для упругих нелинейных волн. На динамику волн заметное влияние может оказывать дисперсия, обусловленная конечностью периода кристаллической решетки [6] или толщиноп
образца [7], а также дисперсия, связанная с неравновесными дефектами. Распространение волны деформации в таких системах может происходить в виде ударных волн. О наблюдении возникновения ударного фронта акустической волны в диэлектриках при воздействии на них лазерных импульсов длительностью 0.15 мкс и энергией до 5 Дж сообщается в [8]. Распространение упругих волн в конденсированной среде, искажения их формы и скорости, потери энергии несут информацию о дефектной структуре и т.д. что необходимо для диагностики различных параметров и структуры твердых тел.
В настоящей работе исследована возможность существования ударных волн при распространении волны продольной деформации, в среде с квадратичной нелинейностью упругого континуума с учетом генерации точечных дефектов под влиянием импульсных лазерных воздействий. Показано, что учет генерационно-рекомбинационных процессов в подсистеме дефектов может приводить к диссипативным эффектам, и как следствие, к появлению упругих ударных волн.
Рассмотрим изотропное твердое тело, в котором под воздействием лазерного облучения образуются точечные дефекты. Пусть - объемная концентрация дефектов (_7 = V - для вакансий, ] = I - для межузлий). При прохождении продольных волновых возмущений деформации, в областях растяжения и сжатия изменяется энергия актива ции образования дефектов, что приводит к их пространственному перераспределению [9]. Дефекты могут мигрировать по кристаллу, рекомбинировать на различных центрах (дислокациях, примесях внедрения и т.д.). В рамках перечисленных допущений, нелинейное динамическое уравнение, описывающее распространение продольной волны деформации в кристалле с учетом генерации дефектов (в одномерном случае) можно записать в виде
д2и 2 д2и Рх д2и ди д4и КО,, дп ~ °3д~ Тд^д^с ~ 9дх* = р~~дх'
Здесь и(х, £) - продольное смещение среды, с3 = ((ЗА' + 4/х)/3>э)1^2 - скорость продольных волн в кристалле; К яр — модули всестороннего сжатия и сдвига (линейные модули упругости); р - плотность среды. Параметр д характеризует пространственную дисперсию модулей упругости [10]; ГI^ - дилатационный параметр, характеризующий изменение объема кристалла при образовании в нем одного точечного дефекта (для ] = V — < 0, для ] — I — > 0); /Зп ~ коэффициент нелинейности. Для большинства твердых тел (металлов, многих полимеров) (5^ < 0. Ограничиваясь в дальнейшем плавными возмущениями деформации, в уравнении (1) мы учли вклады в пространственную дисперсию модулей упругости в первом неисчезающем приближении.
Уравнение (1) необходимо замкнуть уравнением для плотности дефектов. Если принять, что основными процессами, контролирующими поведение во времени плотности дефектов являются процессы генерации, диффузии и рекомбинации, то для п] можно записать уравнение:
дп3 ди _ д2п.
+ + (2)
где <70 - темп генерации дефектов в отсутствие деформации, второе слагаемое в правой части (2) учитывает деформационную добавку в генерацию (е = ди/дх - деформация среды); третье слагаемое - диффузию дефектов, четвертое - потери дефектов за счет рекомбинации = 1 / Ту = р3 В] - скорость рекомбинации на стоках; р^ - плотность стоков, - коэффициент диффузии дефекта типа ], ту - время релаксации). При тепловом механизме генерации дефектов qt = до(КП:/кТ).
Уравнения (1) и (2) образуют замкнутую систему. Она полностью описывает распространение одномерных возмущений деформации твердого тела, возникающих от нестационарных и неоднородных распределений подсистемы точечных дефектов, а также обратный эффект - изменение концентрационного поля дефектов в твердом теле, обусловленное возмущениями упругих деформаций.
Для автомодельных решений вида и = и(£), п] = где £ = х — описывающих
стационарные нелинейные продольные волны деформации и концентрации дефектов, распространяющиеся со скоростью V вдоль оси х, система уравнений (1) и (2) переходит в следующую систему уравнений
2 Рнд2иди д4и _
Граничные условия к уравнениям (3) и (4) примем в виде:
и
(—оо) = б0, м(+оо) = 0, пу(;Ьоо) = 0. (5)
Граничные условия (5), означают, что распространяющиеся в среде волновые возмущения переводят рассматриваемую систему из состояния с нулевой деформацией в состояние с постоянным значением деформации (ео)- В дальнейшем ограничимся систе-мой с одним типом дефектов и положим в (3) - (5) п_,(£) = п(£), ту = = Решение уравнения (4) с учетом граничного условия (5) имеет вид
+оо
п(0 = / - О, (6)
—оо
- « - £ / "ГЕ'ГЫрт- = » +
—оо
Исключив из (3) концентрацию дефектов с помощью (6), получаем уравнение, описывающее распространение нелинейной волны деформации в виде
2 2 (Ри Рм (Ри в.и (14и КП(1+[° ,
—оо
Точный анализ уравнения (7), при произвольных значениях входящих в него пара метров, не представляется возможным. Ниже рассматривается анализ этого уравнения при малых по сравнению с периодом волновых возмущений ¿о временах релаксации дефектов (г <С ¿о). В этом случае интегральный член в (7) можно заменить дифференциальным. Для этого функцию — г) разложим в ряд Тейлора в окрестности £. Ограничиваясь в этом разложении первыми тремя слагаемыми, имеем
2 Ри <?и , КПд,т2ь(Ри ( Шт2 2 Л (Ри
(« + = (8)
где с3 = са(1 — КП1дст/рс2)1^2 - скорость звука, перенормированная за счет дефектно-деформационного взаимодействия.
В уравнени (8) появление слагаемого с третьей производной от смещения (от ветственного за диссипацию энергии волны), очевидно, связало с генерационно-рекомбинационными процессами. Кроме того, конечность скорости рекомбинации дефектов (т-1), дает дополнительный вклад в дисперсионный параметр д, что может сказаться на характеристиках нелинейных волн.
После однократного интегрирования по £ и использования граничных условий (1и/(1£|{-*±оо — 0), получаем уравнение, совпадающее с первым интегралом стационарного уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса [11]
«0 - «I+т
а = V2 - с], д = д - КП^р-1т2(ть2 + £>),
8 = KVljqtт2vp Уравнение (9) с граничными условиями
е(-оо) = б0, е(+оо) = 0 (10)
допускает аналитическое решение в виде ударных волн. Зависимость скорости волны V от ее амплитуды бо определяется формулой
и2 = с2 + бо Ря. (11)
Из анализа асимптотического поведения волны следует, что решение, удовлетворяющее граничным условиям (10), существует, если скорость волны V > с3. Тогда, при /5дг > 0, согласно (11), возбуждаемая волна будет волной растяжения (е0 > 0), а при < 0 - волной сжатия (бо < 0).
Структура ударной волны характеризуется величиной параметра диссипации (¿) в уравнении (9). Если 8 > 6* волна имеет монотонный профиль, если же 8 < 8. осцилляционный [11]. Критическое значение параметра диссипации (8„) определяется формулой <5* = ^4а\д\. С учетом (11), это равенство можно записать в виде е0 = ес, где критическое значение амплитуды
(КПд^т2)2
-
\Pn\\9P — KílqtT2(rv2 + D)\
При значениях параметров (характерных для вакансий) К = 5 ■ 1011 дин/см, q0r = 1019 см~3, /Зк — Ю12 дин/см, р — 8 г/см3, |0| = Ю-23 см3 получаем ес = 4 • Ю-2. Таким образом, при |е0| > бс ударная волна будет иметь осцилляционную структуру, а при |бо| < ес ~ монотонную.
Пространственный масштаб изменения решения уравнения (9), определяет ширину ударной волны L [11]. Оценка дает
1=Щ/6)у/£±¡b (12)
у/ес + б0 - у/Гс '
Период осцилляции d находится из решения уравнения (9), линеаризованного в окрестности однородного решения е = 2ар/Pn- В результате получаем
d = dQ\ T~r-, do = 4*9/8. (13)
V ко - бс
Согласно (13), период осцилляции с ростом амплитуды волны е0 уменьшается и в пределе е0 е* принимает значение, равное d. rj /p\eQ\.
В твердых телах с отрицательной дисперсией (д > 0) осцилляции будут возникать перед фронтом волны, а с положительной дисперсией {д < 0) - за ним.
Так как параметры Lud осцилляционных ударных волн определяются величиной параметра д, то для появления этих волн необходимо наличие дисперсии в системе. Монотонные же ударные волны могут существовать и в системах без дисперсии.
Обсудим теперь вклад дефектов в дисперсионное слагаемое в уравнении (9). Поправка за счет неравновесных дефектов к дисперсионному параметру д важна, если KCigtT2(v2T + В)р~1 > д. Отсюда находим ограничение на концентрацию дефектов: qoT > кТ(ра/КПт)2 (а - постоянная решетки). Это условие может выполняться для достаточно больших концентраций дефектов q0T > 1019 см~3, характерных для мощных импульсных лазерных воздействий на твердые тела. Однако если упругие линейные модули решетки и дилатационный объем дефектов и время их релаксации велики, то поправки за счет дефектов могут быть существенными и при меньших значениях их концентраций.
В другом предельном случае т t0, путем интегрирования по частям, интегральное слагаемое в (7) представляем в виде разложения по степеням т~х. Ограничиваясь главными членами в этом разложении, приходим к уравнению
2 ßNd?udu dAu Küqedu KQ,qt . .
(» " " у = — щ + —^u. (14)
Здесь с] = c2s - q^.
В правой части этого уравнения первое слагаемое отвечает за затухание нелинейной волны, а второе - за ее усиление. В этом случае ударные волны в среде не образуются, а возмущения деформации распространяются в виде уединенных волн (солитонов) или последовательности солитонов (движущихся периодических структур). Наличие генерационно-релаксационных процессов в подсистеме дефектов при этом приводит к перенормировке скорости распространяющейся волны деформации, а дисперсионные свойства среды не меняются. Подробный анализ решения этого уравнения был проведен в работе [7].
Таким образом, в твердом теле, находящемся под воздействием лазерных импульсов, приводящих к генерации точечных дефектов, распространение волны деформации
может происходить в виде ударных волн. Ударные волны могут иметь как осцилляци-онный профиль, так и монотонный. Существование таких волн определяется диссипа-тивными процессами генерации и рекомбианации дефектов, дисперсией среды, а также упругими свойствами решетки и подсистемы дефектов. Получены модельные уравнения, описывающие распространение нелинейных продольных волн в упругой среде с учетом взаимодействия полей деформации и концентрации дефектов. Приведены оценки вкладов в линейные модули упругости и пространственную дисперсию, обусловленны конечным временем рекомбинации дефектов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Энгельбрехт Ю. К., Н и г у л У. К. Нелинейные волны деформаций. М., Наука, 1981, с. 245.
[2] С а м с о н о в А. М., Дрейден Г. В., Порубов А. В., Семенова И. В. Письма в ЖТФ, 22, N 21, 61 (1996).
[3] Дрейден Г. В., О с т р о в с к и й Ю. И., С а м с о н о в A.M. ЖТФ, 58, N 10, 2040 (1988).
[4] Т о д а М. Springer Series in Solid State Sciences. 20. Theory of nonlinear lattices, Springer, Berlin, 1981.
[5] Л я м ш е в Л. М. УФН, 135, N 3, 637 (1981).
[6] К о с е в и ч А. М. Основы механики кристаллической решетки. М., Наука, 1972, с. 280.
[7] М и р з о е в Ф., Ш е л е п и н Л. А. ЖТФ, 71, N 8, 23 (2001).
[8] К а р а б у т о в А. А., Платоненко В. Т., Руденко О. В., Чупрына В. А. Вестник МГУ. Сер. физ., 25, N 3, 88 (1984).
[9] М и р з о е в Ф., II а н ч е н к о В. Я., Ш е л е п и н Л. А. УФН, 166, N 1, 3 (1996).
[10] Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М., Наука, 1980, с. 350.
[11] К а р п м а н В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М., Наука, 1973, с. 176.
Поступила в редакцию 24 сентября 2001 г.
