CC BY
23
УЛК 623.373.8
СВЯЗАННЫЕ ВОЛНЫ УПРУГИХ СМЕЩЕНИЙ, КОНЦЕНТРАЦИИ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ В ЦЕНТРОСИММЕТРИЧНЫХ КРИСТАЛЛАХ
Ф. X. Мирзоев, Л. А. Шелепин
Исходя из плотности свободной энергии упругого континуума, учитывающей генерацию точечных дефектов (ТД) и флексоэлектрический эффект, выведена замкнутая систсма уравнении, описывающая распространение самосогласованных полей упругих полей, концентрации ТД и электрической поляризации в центр о симметричных кристаллах. В линейном приближении получены дисперсионные соотношения связанных линейных волн упругих смещений, концентрации ТД и поляризации. Дисперсионное уравнение имеет три корня: один из них характеризует диффузионную моду с коэффициентом диффузии, перенормированным за счет деформационного взаимодействия и флексоэлектрического эффекта, а остальные два - описывают дисперсию упругих волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
Исследование динамики упругих волн с учетом их взаимодействия с дефектами структуры представляет несомненный теоретический и практический интерес, в частности, при анализе механизмов аномального массопереноса, обнаруженного при лазерной и ионной имплантации материалов [1], при изучении процессов механической активации компонентов при твердофазных химических реакциях. Распространяющаяся в конденсированной среде с дефектами волна упругих деформаций несет информацию об искажениях формы и скорости деформаций и о потерях энергии, связанных с дефектной структурой [2], что необходимо для оптико-акустической диагностики различных параметров и структуры твердых тел.
Локальные проявления дефектов в акустических свойствах кристалла могут быть разнообразными. Так, деформации в упругой волне вызывают перемещение точечных дефектов (ТД) (вакансий, междоузельных атомов) в кристалле (деформационно-индуцированный дрейф); модулируют вероятности генерации и рекомбинации термо-флуктуационных ТД путем изменения их энергетических параметров: соответственно энергии активации образования и миграции [3].
В центросимметричных полупроводниковых кристаллах, таких как германий, кремний, наряду с перечисленными выше нелинейностями, определяющую роль может играть флексоэлектрический эффект, связанный с возникновением диэлектрической поляризации решетки, пропорциональной градиенту упругой деформации [4 9]. Флексоэлектрический эффект приводит к появлению дополнительных локальных токов ТД баротоков, аналогичных деформационным, что сказывается на их кинетике. Кроме того, создается флексоэлектрический потенциал, который влияет на значения энергии активации образования и миграции дефектов, приводя к изменению локальной концентрации дефектов и, как следствие, к их пространственному перераспределению. Флексоэлектрический эффект теоретически был предсказан К. Б. Толпыго с сотрудниками [4] и впоследствии исследован другими авторами [5 - 9]. В отличие от пьезоэффекта, флексоэлектрический эффект описывает возникновение поляризации в непьезоэлектрическом кристалле под действием неэлектрического воздействия. Учет флексоэлектрического эффекта оказался существенным при исследовании взаимодействия свободных носителей (электронов) с полем деформации в непьезоэлектрических кристаллах. Согласно [9], флексоэлектрический эффект и деформационный потенциал обеспечивают одинаковую энергию взаимодействия между носителями тока и акустической волной. Исследование роли флексоэлектрического эффекта в облучаемых полупроводниках (германий, кремний) показало, что электростатический потенциал, обусловленный этим эффектом, составляет заметную величину и оказывает сравнимое с потенциалом, обусловленным свободными носителями, влияние на электрофизические свойства областей дефекто-образования, а в ряде случаев полностью определяет их свойства [7].
Цель данной работы - разработка самосогласованной аналитической модели кинетики накопления ТД в облучаемых центросимметричных кристаллах с учетом упругого я флексоэлектрического взаимодействии.
Изучение процессов распространения возмущений упругой деформации в облучаемых центросимметричных кристаллах предполагает решение связанной системы уравнений, описывающей взаимодействия в них электромагнитных и упругих колебаний, а
также полей концентрации ТД. Такая система включает в себя нелинейное уравнение теории упругости с учетом сил, действующих на решетку со стороны ТД и влияния фяексоэлектрйческого аффекта, уравнение Максвелла, и уравнение баланса для концентрации ТД.
Уравнения динамики для упругих смещений решетки в приближении анизотропного упругого континуума, с учетом генерации ТД, запишем в виде:
д2щ д(Тгк ад
где Нг - компонент вектора электрической индукции; рч(г) - плотность заряда, I* пространственная координата.
Для нахождения и //, воспользуемся выражением для плотности свободной энергии Р.
Энергия взаимодсиствия ТД опрсдслястся двумя вкладами — энергией деформационного и электростатического взаимодействия. Электростатическое взаимодействие дефектов, помимо кулоновского притяжения, определяется также взаимодействием через поляризацию среды и может проявиться вследствие неоднородной деформации кристаллической решетки вокруг дефектов.
При неоднородной деформации среды ее электрическая поляризация Р, может быть представлена в виде
р _ 1 ( <94 , дЧк \
2^Ш\дхкдх, дх;дх,)' ( )
где ~ тензор флексоэлектрических модулей.
Соответствующий вклад в свободную энергию системы можно представить в виде
1 „ ( д2и_ д2ик 4
о Рф^ы ^—о--Ь
2 1 13 \dxkdxi дх]дх1) Считая деформации среды достаточно малыми, ограничимся в разложении свободной энергии по инвариантам тензора деформации величинами до третьего порядка (ангармонизм третьего порядка). Таким образом, для плотности свободной энергии упругого континуума с учетом генерации ТД и флексоэлектрического эффекта, можно записать следующее выражение
г с 1 . 1а ,
г — Г о = - СЦЫтЩкЩт + ^Р{к1тп»Щки1тпип> + ЯМтпаЩк'
- Z) KWikuikrij -
1
№iklm rv f^ilkm r\
\Jjb-rn. CJX'
duki , дщк
) , (3)
/
где ^о - значение свободной энергии недеформированного кристалла, = дщ/дхк тензор деформации, \ikim и /?штПл ~ тензоры линейных и нелинейных модулей упругости, выражающиеся через константы упругости второго и третьего порядков; дштпз тензор дисперсионных постоянных решетки, определяющий пространственную дисперсию линейных модулей упругости; Е% - соответствующий компонент вектора электрического поля; - диэлектрический тензор; £1\к - симметричный тензор, характеризующий деформацию решетки за счет появления в ней единичного ТД типа ], К - модуль всестороннего сжатия.
В кристаллах без центра симметрии пьезоэлектрические модули отличны от нуля 1г]к ф 0 и при однородной деформации имеет место пьезоэлектрический эффект. Однако положение меняется для кристаллов с центром симметрии, для которых обычный пьезоэлектрический эффект отсутствует (7¿^ = 0). Тем не менее неоднородная деформация может вызвать пьезоэлектрический эффект другого типа - так называемый флексоэлек трический эффект, поскольку в такой среде флексоэлектрические модули ц^ы ф 0. Для качественных оценок флексоэлектрических модулей можно воспользоваться формулой \Hijki | ~ /(¿о [5], где 2е1 - заряд электрона, ¿0 - параметр решетки.
Первые три слагаемых в выражении (3) описывают упругую энергию, четвертое -энергию взаимодействия дефектов с полем упругой деформации. Последние два слагаемых учитывают вклад в свободную энергию флексоэлектрического эффекта. Тензор деформации связан с компонентами упругих смещений соотношением
Так как тензор механических напряжений сг%к = {дЕ/дигк)Е,т,п, с учетом (3) получаем
пространственную дисперсию, четвертое - влияние флексоэлектрического эффекта на решетку, а последнее - напряжения, обусловленные ТД; tpei - электростатический потенциал.
В (4) второе слагаемое в правой части учитывает ангармонизм среды, третье
Далее, используя соотношение (4), а также связь между Щ и Р в виде //, = 4:т(дР/дЕ{)ии,т,п, для потенциала получаем следующее уравнение
-^•У.У^е, = 4тг - /ЦЫт^ ^1 ^ • (5)
Правая часть уравнения (5) определяется плотностью носителей заряда (рч) и флек-соэлектрическим эффектом.
Уравнения (1) - (5) необходимо дополнить уравнением для концентрации ТД. В рамках термофлуктуационных представлений, генерация дефектов из узлов кристаллической решетки определяется температурой и упругими напряжениями, и поэтому может изменяться под влиянием распространяющейся упругой волны. Деформация в упругой волне и флексоэлектрическое явление воздействует на характеристики самих ТД. Так, при прохождении продольных волновых возмущений упругой деформации, в областях растяжения и сжатия изменяется энергия образования ТД. Перенормированную за счет деформации и флексоэлектрического эффекта энергию активации образования дефектов (Щ), в линейном по деформации приближении, можно представить в виде: Щ — — 1?ф<Нуг« + Zc¡^pe¡. Модуляция энергии образования приводит к соответствующей модуляции функции источника ((7) дефектов
О^ — С ¿о + О^С +
где (т^о ~ значение функции источника в отсутствие деформации.
Благодаря взаимодействию с полем упругой деформации и флексоэлектрическому эффекту, кроме модуляции скорости генерации, возникает также дрейфовое движение ТД, что приводит к их дополнительному пространственному перераспределению. Если \]\п1 = КГ1^их - энергия взаимодействия ТД типа ] с полем деформации [10], то сила, действующая со стороны поля деформации Р^ = —д1/-^/дх, вызывает движение дефектов со скоростью V] = Е^В^квТ (Б] - коэффициент диффузии ТД типа ], Т - темпе-ратура). Следовательно, суммарный поток дефектов составляет Jj = Х*1 + 3)2 + «/¿з? где — —В^П] - обычный диффузионный поток, = щУ] ~ деформационно-индуцированный поток дефектов, Jjзm = 2е1П303Чт^р^/квТ - поток дефектов за счет действия флексоэлектрического эффекта.
С учетом вышесказанного, для концентрации nj, в линейном по деформациям приближении, можно записать следующее диффузионно-кинетическое уравнение
9П1 I Л' TJ П (&ikUik , Zd<Pel\ rij
аГ + d,vJ» = G° + ьт ) - v (6)
Ji = - + (7)
Здесь D3am - тензор коэффициента диффузии дефекта типа j- т<ф - время релаксации дефектов типа j\ nj0 = Go^rfj — стационарное значение концентрации ТД, Go - темп генерации ТД в отсутствие деформации. В правой части уравнения (6) первое слагаемое в круглых скобках учитывает деформационную добавку в генерацию, связанную с деформационным потенциалом; второе слагаемое - вклад в генерацию за счет флексо-электрического эффекта. Последнее слагаемое в выражении (6) учитывает релаксацию дефектов, определяемую рекомбинацией на нейтральных стоках. Выражение (7) определяет а — компонент потока J^ дефектов типа j, в котором первое слагаемое описывает обычную диффузию; второе - деформационно-индуцированный дрейф, третье - влияние флексоэлектрического эффекта. Объемная взаимная рекомбинация разноименных дефектов не учитывается.
С целью упрощения дальнейшего изложения рассмотрим далее случай изотропных кристаллов с кубической симметрией. Дополнительно положим, что в кристалле имеется только один тип подвижных ТД, например, вакансий, и положим в (5) - (7) п] = п, DJam = Dam, Qjk = Clik. В системе кристаллических осей тензор диэлектрической проницаемости диагонален e,j = £0<$,j. Также диагональны тензоры диффузии и дилатации: Dam = D8 ami ^ik — iim 6ik. Тогда из (5) - (7) получаем следующую систему уравнений
^ = с2ТАи + (с? - + ^У(сМ)2 + дVД<1пги - - ^Уп, (8)
ох 2р р
47Г
Д^е/ =--(рч(г) - /¿дат«), (9)
е0
дп п0ОКПт ^ п0ге1О \ п
- - (т„г|1У7/. -4- (т..(/5.1--ЛгПУ»! -I--/\т . Л. I )Лп--
т " ■ -^г- квТ ■ квТ -г« ■ у-.
Здесь с/, ст - продольная и сдвиговая скорости линейного звука в кристалле, р, = Рх + 2ц2 [7], аг и КсР0/р.
При получении системы (8) - (10) учитывалось, что для изотропных сред [11]
\klrn = + А2(£,/£тА: + ^гт^и), ЙЬ = + ^{^И¿тк + ¿.'т^ыК
где - символ Кронекера; Ах, Л2 - упругие модули Ламе; - флексоэлектрические
модули.
Система уравнений (8) — (10) замкнута и полностью определяет взаимообусловленное поведение полей упругих смещений, флексоэлектрического потенциала и концентрации ТД в нелинейных упругих средах.
В случае продольных одномерных волн система (8) - (10) принимает вид
д2и 2 д2и Рх д2и ди д4и К£1т дп _
+ р "д~х + ~ '
дп. Я2 п Г) Ян. Я3 9/ Я2(0 »
+ - ^ + (12)
£о~= ~47Г^(ж) + 47Г/Ха^' (13)
где и = их - проекция вектора смещения на ось х, = DZe^na¡kвT, — ВпоКПт/квТ.
Рассмотрим решение системы уравнений (11)—(13) в виде плоской волны
п, и, 1ре1 ~ ехр[г(&ж — ш{)\ (14)
в пренебрежении ангармонизмом упругого континуума (к, и - волновой вектор и частота волны соответственно). После подстановки (14) в (11)—(13) получим дисперсионное уравнение
{Ик2 + т^1 - гш)(с2к2 -и? - дРк4) = ^Штр~хкА. (15)
Здесь
\
X___..2 ~____ —л---
У/* — У ^"^о ) чи — ни — у^ -1/1 Р/ оо,
с2 - квадрат скорости продольного звука в отсутствие ТД и флексоэлектрического эффекта. При выводе (15) мы пренебрегли модуляцией скорости генерации дефектов за счет деформационного потенциала и флексоэлектрического эффекта (С?е = — 0).
В предельном случае <?£> = 0 (отсутствие взаимодействия ТД с полем деформации и флексоэлектрического эффекта) уравнение (15) распадается на два независимых закона дисперсии:
ш = -¿(£>к2 + т^1), ш2 = с\к2{ 1 - 4]к2). (16)
Первое из них в (16) описывает диффузионную моду, второе соответствует распространению акустических волн в среде с дисперсией в отсутствие дефектов и флексоэлектрического эффекта.
Для исследования уравнения (15) в общем случае (¡в ф 0, решение представим в виде ш(к) = с(к)к. Тогда из (15) получим следующее уравнение для фазовой скорости звуковой волны
(с')3 + ¿ах(с')2 - а2с' - га3 = 0. (17)
Здесь введены следующие безразмерные переменные
с — с/С\, аг = (Бк2 -(- т^ХАгсх)-1, а2 — 1 - (¡вк2Су2,
а3 = {Бк2 + т^){с\ - дГк2)к-г - доКП^к.
Решая (17) с помощью формул Кардано и учитывал малость параметров аг, а2, а3, приходим к следующим выражениям для частот колебаний (после перехода к размерным величинам)
ил = -¿[(Ш2 + 0(1 - дк2с{2) - двШтк21рс\],
Ш2,з = ±с(к)к — гГ (к).
Первое из этих решений характеризует диффузионную моду с перенормированным за счет дефектно-деформационного взаимодействия и флексоэлектрического эффекта коэффициентом диффузии, а остальные два - описывают дисперсию упругих волн, рас-
V
прострапяющихся вдоль И Против оси X.
Коэффициент затухания акустических волн (Г) определяется формулой
= + + (18) 4 сх Рс 1
Заметим, что как затухание, так и дисперсия определяются дилатационным объемом, модулем упругости и флексоэлектрическими модулями, а также температурой и
Таким образом, предложена и развита самосогласованная модель кинетики накопления ТД в облучаемых центросимметричных кристаллах, с учетом упругого и флексо-электрического взаимодействий. Получены дисперсионные соотношения для связанных линейных волн упругих смещений, концентрации ТД и диэлектрической поляризации.
[1] Быковский Ю. А., Неволин В. Н., Фоминский Ю. В. Ионная
и лазерная имплантация металлических материалов. М., Энергоатомиздат, 1991. [21 Мипяпев Ф. X.. Шелепив Л. А. ЖТФ- 71, N 8, 2-3 (2001).
L J А ' 7 7 7 V /
[3] М и р з о е в Ф. X., Панченко В. Я., Шелеп ин Л. А. УФН, 166, N 1, 3 (1996).
[4] М а ш к е в и ч В. С., Толпыго К. Б. ЖЭТФ, 32, вып. 3, 520 (1957).
[5] Т а г а н ц е в А. К. ЖЭТФ, 88, вып. 6, 2108 (1985).
[6] Инденбом В. Л., Логинов Е. Б., Осипов М. А. Кристаллография, 26, вып. 6, 1157 (1981).
[7] Ем цев В. В., Маш овец Т. В., Михнович В. В. ФТП, 26, вып. 1, 22 (1992).
[8] К о г а н Ш. М. Физика твердого тела, 5, 2829 (1963).
[9] Ж е л у д е в И. С. Кристаллография, 14, 514 (1969).
[10] Косевич А. М. Основы механики кристаллической решетки. М., Наука, 1972.
[11] Л у р ь е А. И. Нелинейная теория упругости. М., Наука, 1980.
ЛИТЕРАТУРА
Поступила в редакцию 11 марта 2005 г.
