CC BY
19
УДК 621.539
СОЛИТОНЫ ПЛОТНОСТИ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ
В КРИСТАЛЛАХ
Ф. Мирзоев, Л. А. Шелепин
Предложена модель возбуждения солитонов плотности точечных дефектов в кристалле при импульсном лазерном воздействии. Показано, что солитоны возникают благодаря нелинейности процесса генерации дефектов, связанной с уменьшением энергии дефектообразования вблизи кластеров при учете поля упругих напряжений. Получены условия возбуждения нелинейной волны и ее основные характеристики (профиль, скорость распространения).
Известно, что воздействие мощных лазерных импульсов на твердое тело может привести к генерации точечных дефектов (ТД) (вакансий, междоузлий) с плотностью, значительно превышающей термодинамически равновесную. В процессе эволюции неравновесные ТД интенсивно взаимодействуют между собой и характер этого взаимодействия управляется параметрами излучения, а также состоянием облучаемой поверхности и другими внутренними параметрами, такими как температура, наличие исходной примеси и ее концентрация, плотность дислокаций и кластеров ТД (пор и дислокационных петель) в кристалле и т.д. При определенных критических значениях внешних и внутренних параметров (например, плотности потока излучения или температуры среды, плотность стоков и т.п.), поле концентрации ТД может претерпевать сложные динамические превращения, приводящие к самоорганизации различного рода локализованных структур: кластеров ТД или сверхрешеток плотности ТД (а также статической деформации решетки) [1 - 4]. В достаточно плотных полях ТД благодаря 5-образной концентрационной зависимости функции генерации ТД из узлов кристаллической решетки может наблюдаться распространение волны переключения плотности дефектов, переводящей систему из состояния с некоторым минимальным значением плотности
Пт{п в состояние с максимальным значением птах [3, 4]. Теория бистабильной кинетики системы ТД позволила интерпретировать фазовый переход из кристаллического состояния в аморфное в лазерных полях, не вызывающих плавления решетки (твердофазная аморфизация) [3, 4].
Эффекты динамического упорядочения и самоорганизация различных локализова ных структур ТД проявляются и в более неравновесных ситуациях, в системах с бол шей начальной концентрацией макроскопических дефектов.
В настоящей работе предложена модель возбуждения нелинейных уединенных центрационных волн (УКВ) - солитонов точечных дефектов в кристалле, первоначал но содержащем кластеры ТД. Получены критические условия возбуждения нелинейной волны и ее основные характеристики (профиль, скорость распространения).
Поверхности различных макроскопических дефектов (пор, границ зерен, дислокац онных петель и т.д.), как имеющихся в кристалле, так и генерирующихся в процес се лазерного воздействия, служат эффективными источниками ТД в кристалле. При возникновении флуктуации поля упругой деформации вблизи кластеров происходит гч деформационное "испарение", в результате которого плотность ТД в матрице увели чивается. Интенсивность генерации ТД пропорциональна скорости изменения размеров кластеров Д, которая, в свою очередь, зависит от плотности дефектов. Размер кластера быстро подстраивается к мгновенному изменению плотности ТД, так что функция Я(п I представляет собой некоторую убывающую функцию от плотности ТД.
Исследование возбуждения нелинейной волны дефектов проведем на основе си< : мы уравнений, описывающих совместное поведение ТД и их кластеров. Учитывая, -п основными процессами, контролирующими динамику плотности дефектов, являю п я генерация, рекомбинация и диффузия, в одномерном случае (для простоты) имеем
дп п ~д2п
_ = + (!)
В (1) первое слагаемое описывает деформационно-стимулированную генерацию ТД кластерами сферической формы (Л - радиус кластера; р, = 47г./УоОоN0 - плотность кластеров, Г2о - атомный объем; а = К^12И/кТ, К - модуль упругости, - активацион-ный объем образования ТД, И - коэффициент диффузии ТД, к - постоянная Больцмана, Т - температура), второе слагаемое - рекомбинацию на центрах (скорость рекомбинации: 0 — /?0ехр( — \VfkT) = г-1, 0о = рив,о, г - время жизни ТД; р - плотность ценфов рекомбинации; и - дебаевская частота; ¿о ~ период решетки; - энергия активам; диффузии дефекта), а третье - их пространственную диффузию.
Уравнение, описывающее динамику изменения во времени размеров кластеров при их деформационном испарении, запишем в виде
Ж осп п д2Я
_ = __ + дя_ (2)
где ~ коэффициент диффузии кластера. Так как Дк << -О, в дальнейшем подвижностью кластеров будем пренебрегать.
Система уравнений (1) и (2) замкнута и описывает динамику распространения нелинейных волн в ансамбле ТД. Она может иметь решение в виде уединенных волн для плотности точечных дефектов (солитонное решение).
Переходя к автомодельной переменной £ = х + из (1) и (2) получаем
Ж ап
"К = -Х' (3)
дть д^ть
~ = ~ 13П' ^ €
Интегрируя (3) и (4) и вводя функцию т](£) — J пс1£, после несложных преобразо-
. — оо
ваний получаем
Для производной 1р'п имеем: = 3р.аЯ — /3. Очевидно, что ^(0) = ЗцаЯо — /3 > 0, если аЯ0 > /?/3/х. Кроме того <^(77) < так как функция 11(г],у,11о) с ростом //
убывает.
Таким образом, мы свели задачу (1) и (2) к задаче Колмогорова - Петровского Пискунова [5]. Используя аналогию с этой задачей, можно утверждать, что в системе кластер - ТД может возбуждаться волна, и спектр возможных скоростей распространения этой волны ограничен снизу значением
«о = 2^£(3/хаЯ0 - Р). (6)
Поскольку = п(£) и при £ —> =роо ¿^/¿^ —> 0, то волна плотности ТД предста-
вляет собой уединенную солитоноподобную волну.
Из формулы (6) следует, что ЗцаЛо > 0. Таким образом, для возбуждения УКВ дефектов в кристалле необходимо, чтобы начальный размер кластера превышал некоторый критический: > где = 0/3ца.
Определим теперь профиль УКВ. Из (3) имеем: Я2 — Щ — 2аг]/у. Далее представим Я(г1) в виде разложения Я « Яо — ат]/уЯ0 + ... и подставим в уравнение (5). Сохраняя слагаемые порядка а2, получаем следующее уравнение волны
= + ~ Я>)Ф(1 ~ Ф),
<1£ <1?
где ф = аг!/ьЯо(Яо — Я,).
Точное решение этого уравнения имеет вид
0(О = [1 + (ч^-1)ехР(ЧЛ)Г2. (7)
Следовательно, для профиля УКВ получаем
п(0 = Аехр(-£Л)[1 + (л/2 - 1)ехр(-^)]-3, (8)
где Л = 20тг(ч/2 - - Я,/Яо)2, £ = ^/б£>//ш(#0 - Я,) - ширина солитона
Для скорости, соответствующей волновому решению (8), имеем
V = 5^/ра(Я0 - Д.)Я/2. (9)
Из (6) и (9) следует V = 1>о(1 + с), е << 1- Это позволяет утверждать, что формула (8) удовлетворительно описывает профиль волны.
Анализируя (8) и (9), заметим, что условия возникновения УКВ дефектов, ее про филь и скорость распространения существенно зависят от начальных значений раз меров кластеров. При более высоком начальном радиусе кластера, волна плотное!; дефектов распространяется с большей скоростью и имеет более резкий максимум, волна, распространяющаяся в среде с меньшим начальным радиусом кластера.
Заметим, что распространение УКВ возможно также в рамках модели
являющейся обобщением модели (1) и (2).
Здесь Г (Я, М) - монотонная функция Я, {М} - набор параметров, характеризующих среду, Б (Я) - площадь поверхности кластера.
Таким образом, показано, что в системе ТД и кластеров, описываемой уравнен, (1) и (2), возможно возбуждение солитонов плотности точечных дефектов. Скорость га кой нелинейной волны однозначно определяется свойствами самой среды. Это явлен т
носит пороговый характер и имеет место, когда начальный размер кластера в облучаемом кристалле превышает некоторое критическое значение. Критические значения размеров кластеров определяются плотностью центров рекомбинации, модулем упругости, дилатационным объемом образования ТД, а также температурой среды. При значениях параметров, характерных для дефектов вакансионного типа кТ — 0.04 эВ, О = 10~6 сж2с-1, К О = ЪэВ, N0 = 1014 см~3, р — Ю10 см~2 для критического радиуса кластера и скорости распространения волны имеем соответственно Я — 3 • Ю-' см и V = 0.6 см/с. Движение УКВ может сопровождаться локальным изменением различных физических свойств среды. Соответствующие процессы достаточно медленные (скорость волны несколько миллиметров в секунду) и могут легко наблюдаться. В сильно ангармонических кристаллах могут возбуждаться солитоны плотности дефектов, распространяющиеся со звуковыми или сверхзвуковыми скоростями.
В заключение отметим, что рассматриваемые в данной работе нелинейные концентрационные волны дефектов во многом похожи на популяционные волны в экологических системах типа ресурс (кластеры) - потребитель (точечные дефекты) [6]. Уединенные концентрационные волны несут информацию о дефектной подсистеме твердых тел и могут быть использованы для ее неразрушающей диагностики.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Б о й к о В. И., Л у к ь я н ч у к Б. С., Царев Е. Труды ИОФАН, 30, 6
(1991).
[2] Мирзоев Ф. X., Панченко В. Я., Шелепин Л. А. УФН, 165, N 1,
3 (1996).
[3] Мирзоев Ф. X., Шелепин Л. А. Письма в ЖТФ, 22, вып. 13, 28 (1996).
[4] М и р з о е в Ф. X. ЖТФ, 68, N 8, 73 (1998).
[5] Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. Бюлл.
МГУ, Математика и механика, 1, N 6, 1 (1937).
[6] Г и г а у р и А. А., С в и р е ж е в Ю. М. ДАН СССР, 258, N 5, 1274 (1981).
Поступила в редакцию 22 апреля 1999 г.
