CC BY
21
УДК 532.696:534.121.1 Б0Г: 10.15350/17270529.2019.3.37
РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ ВИБРИРУЮЩЕЙ ПЛАСТИНЫ
АЛЕКСАНДРОВ В. А., КАРПОВ А. И.
Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Исследованы периодически распределенные течения на поверхности жидкости, создаваемые вибрирующими гибкими пластинами. Прямоугольные пластины со свободными краями при вибрациях в виде изгибных колебаний на поверхности жидкости вблизи межфазной границы возбуждают капиллярные колебания и волны с распределенной амплитудой. Вследствие передачи жидкости энергии и импульса, плотности которых имеют квадратичную зависимость от амплитуды, капиллярные волны на поверхности жидкости напротив пучностей изгибных колебаний пластины создают потоки, направленные в сторону от краев пластины. Эти потоки разделяются на два вихревых плоских течения, обратное движение жидкости в которых в сторону края пластины направлено к узлам колебаний краев пластины. Картина капиллярных волн и течений зависит от распределения пучностей колебаний краев пластины. При параметрическом возбуждении поперечных капиллярных волн вблизи границы слоя жидкости, смачивающей поверхность пластины, направление течений в вихрях становится противоположным. Высокочастотные вибрации пластины создают на поверхности жидкости дополнительно вторичные вихри.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: пьезоэлектрический преобразователь, изгибные колебания, вибрации пластины, поверхность жидкости, капиллярные волны, вихревые течения.
ВВЕДЕНИЕ
В экспериментальных исследованиях и численных расчетах представляет интерес поведение жидкости при вибрациях. Жидкости со свободной поверхностью в больших объемах исследуются при низкочастотных вибрациях, при которых происходит инерционное возбуждение поверхностных гравитационных волн и образование внутренних течений. В случае развитой поверхности жидкости при вибрациях возможно возникновение распределенных течений. Так, пространственно распределенные течения в жидкости исследованы при возбуждении гравитационных волн Фарадея в водном растворе бромида калия толщиной 20 мм в прямоугольной емкости из прозрачного оргстекла размером 190,5^25,4x69,6 мм [1]. Вертикальные вибрации емкости с частотой в интервале 7^11 Гц возбуждают на поверхности жидкости волны Фарадея с частотой в два раза меньшей частоты вибраций и внутри вибрирующей жидкости формируются периодически распределенные вихревые течения. Установлено, что количество пар вихревых течений внутри жидкости равно числу пучностей гравитационных колебаний поверхности жидкости. Визуализация течений для дальнейшего РГУ-анализа осуществлялась с использованием плоского света лазера и высокоскоростной камеры. Проведен численный расчет полученных результатов.
Колебания свободной поверхности жидкости в виде гравитационно-капиллярных волн возбуждаются с увеличением частоты вибраций жидкости. При инерционном возбуждении волн в жидкости в объеме ограниченных размеров колебания поверхности жидкости могут представлять собой двумерные стоячие волны. Такие колебания в свою очередь создают одновременно внутренние и поверхностные течения. В работе [2] исследованы вихревые распределенные течения на поверхности дистиллированной воды в емкости цилиндрической формы диаметром 65 мм, глубиной 10 мм и квадратной формы со стороной 50 мм и глубиной 10 мм при вертикальных вибрациях емкости с водой в интервале частот 20^50 Гц. Возникновение течений авторы связывают с возбуждением пар волн с неколлинеарными волновыми векторами, распространяющихся по поверхности жидкости.
Микроскопические вихревые структуры в жидкости возможны при вибрациях в них погруженных пластин, совершающих гармонические колебания. Исследования колебаний твердой стальной пластины в вязкой жидкости и анализ колебаний деформируемой формообразующей пластины в жидкости вблизи стенки проведены в [3, 4]. Картины течений в жидкости вблизи краев вибрирующей пластины получены с использованием лазера и стеклянных шариков в качестве трассерных частиц. Авторами проведен анализ различных гидродинамических режимов возбуждения вихревых течений вблизи краев вибрирующей пластины. Исследование гидродинамических процессов при вибрациях тонкой деформируемой пластины являются важными для разработки датчиков, сенсоров и исполнительных элементов в микромеханических системах, работающих в жидкости. Для случая вибраций в жидкости деформируемых пластин вблизи неподвижных стенок предполагается снижение гидродинамических потерь.
Для создания вибраций больших объемов жидкости и пластин в жидкости обычно используются электродинамические преобразователи, в качестве которых в большинстве случаев служат громкоговорители. При исследованиях взаимодействия вибрирующей пластины с жидкостью на свободной поверхности в качестве источника вибраций удобнее использовать пьезоэлектрические преобразователи с дискообразным корпусом -акустические пьезоизлучатели, работающие на изгибных модах. Пьезоизлучатели имеют простую конструкцию, меньшую энергоемкость, рабочие частоты в области высоких звуковых частот. Недостатком является малая амплитуда колебаний по сравнению с амплитудой колебаний мембраны громкоговорителя. Устройство с вибрирующей пластиной содержит саму пластину и пьезоизлучатель, на электрические выводы которого подается электрическое напряжение от функционального генератора, позволяющего возбуждать в корпусе пьезоизлучателя и пластине изгибные колебания в широком диапазоне частот. Из-за конечности размеров пластины при частотах вынуждающих колебаний пьезоизлучателя, совпадающих с собственными частотами пластины, вследствие явления резонанса амплитуда изгибных колебаний пластины возрастает. При этом изгибные колебания переходят в вибрации. Частоты вибраций пластины зависят от формы и условий закрепления. В своих исследованиях мы используем пластины со свободными краями, при этом одним краем пластина присоединена к корпусу пьезоизлучателя. Вибрации пластин на поверхности жидкости приводят к различным гидродинамическим явлениям, которые представляют практический и теоретический интерес.
Вибрации пластины в частичном контакте с жидкостью приводят к таким явлениям как перемещение слоя жидкости по поверхности пластины, скапливание жидкости на участках поверхности пластины с пучностями изгибных колебаний, возбуждение двумерных капиллярных волн на поверхности слоя жидкости на вибрирующей пластине, распыление жидкости путем отрыва частиц жидкости от гребней стоячих капиллярных волн конечной амплитуды, при частичном погружении вибрирующей пластины в жидкость под углом образуются струи жидкости, исходящие из-под участков краев пластины с пучностями колебаний [5]. В тонком слое и отдельных каплях на поверхности вибрирующей пластины обнаруживаются капиллярные колебания и вихревые течения, вязкая жидкость стремится занять участки поверхности пластины с пучностями колебаний, образуя отдельные капли, в которых одновременно наблюдаются капиллярные волны, внутренние и поверхностные течения в виде струек, гидродинамическая кавитация с образованием скоплений пузырьков воздуха [6]. Эти процессы позволяют создавать вихревые течения в отдельных каплях микроскопических размеров и активно перемешивать жидкости в объеме отдельной капли. Исследованиями колебаний слоя жидкости в виде мыльных пленок на отверстиях в вибрирующей пластине также выявили двумерные капиллярные волны и вихревые течения в тонких слоях жидкости, ограниченной двумя свободными поверхностями [7]. В мыльных пленках воды при вибрациях дополнительно наблюдаются утолщение пленки в пучностях изгибных колебаний пленки, течения в виде вихревых структур и микроскопических струек. Движение слоя жидкости к пучностям колебаний на поверхности пластины при
высокочастотных вибрациях и капиллярные колебания на поверхности отдельных капелек являются следствием инерционного возбуждения инерционных капиллярных колебаний жидкости и при определенных граничных условиях возможен их численный расчет [8, 9].
Образование струи вибрирующей пластиной вызвало интерес к исследованию поверхности жидкости на межфазной границе на участках свободных краев пластины. Было установлено, что капиллярный подъем жидкости, смачивающей поверхность пластины и ее краев, при возбуждении пластины значительно увеличивается, указывая на изменение среднего давления в жидкости. С увеличением амплитуды вибраций происходит возбуждение капиллярных волн, поперечных к линии смачивания жидкости, которые модулируют капиллярные волны, бегущие в направлении от краев пластины. При этом создаются вихревые течения с общим потоком в направлении к поверхности пластины. Дальнейшее увеличение амплитуды вибраций пластины приводит к отрыву потока от свободной поверхности жидкости. Было установлено, что эти процессы являются пороговыми и носят параметрический характер [10, 11]. Экспериментальные результаты в основном были получены с устройством, в котором консольно закрепленная к пьезоизлучателю прямоугольная пластина для обеспечения необходимой геометрии взаимодействия с жидкостью была изогнутой. При этом струя создавалась вибрациями свободного торцевого края на поверхности жидкости. Было замечено образование струй и боковыми краями пластины в случае смачивания жидкости этих краев в местах пучностей изгибных колебаний. Оказалось, что возбуждение вихревых течений на поверхности жидкости возможно также пластинами, совершающими низкочастотные вибрации.
С целью выявления механизма формирования вихревых течений капиллярными волнами проведены исследования взаимодействия вибрирующей вертикально установленной пластинки с поверхностью жидкости [12]. Частично погруженная в жидкость пластинка, совершающая нормальные колебания, вследствие передачи энергии и импульса жидкости, на свободной поверхности жидкости возбуждает капиллярные волны с пространственно распределенной плотностью энергии и импульса. Пластинка при колебаниях вследствие конечности размеров разделяет поверхность жидкости на области, возмущенные и невозмущенные капиллярными волнами. В результате на поверхности жидкости образуются градиенты давления, приводящие поверхностный слой жидкости в движение в виде вихревых течений. Вибрирующая недеформируемая пластинка на поверхности жидкости создает 2 пары вихревых течений, в которых общие потоки исходят от противоположных поверхностей пластины. В деформируемой пластине возможны вибрации в виде изгибных колебаний с образованием нескольких пучностей и узлов, как в пределах поверхности, так и на краях пластины. Было обнаружено, что прямоугольная пластина со свободными краями, горизонтально расположенная на поверхности воды при смачивании водой нижней поверхности и краев пластины, при возбуждении вибраций становится источником капиллярных волн и распределенных течений на свободной поверхности воды [13]. Вибрирующая пластина создает одновременно несколько пар плоских вихревых течений, которые в свою очередь выявляют особенности распределенных колебаний пластины.
Целью настоящей работы является исследование генерации течений на поверхности жидкости вибрирующей пластиной с распределенными изгибными колебаниями при возбуждении пьезоэлектрическим преобразователем.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Экспериментальное устройство, схема которого приведена на рис. 1, содержит упругую прямоугольную пластину 1, дисковый пьезоэлектрический преобразователь 2, держатель 3, штатив 4, емкость 5 с жидкостью 6, столик 7, генератор низкой частоты 8, усилитель 9, осциллограф 10, частотомер 11, цифровую камеру 12, полупроводниковый лазерный 13 и светодиодный 14 источники света, генератор прямоугольных импульсов 15. В качестве пьезоэлектрических преобразователей применяются коммерческие пьезоизлучатели
FML-20T-6.0A1-100, FML-20T-4.5A1-100, работающие на изгибных модах. Пластина одним из коротких краев присоединена к пьезоизлучателю в одной плоскости с его корпусом. Пластина и пьезоэлектрический преобразователь присоединяются к держателю противоположными краями, образуя полуволновой резонатор изгибных колебаний или консольно краем пьезопреобразователя с противоположной стороны от пластины, образуя четвертьволновой резонатор изгибных колебаний. В экспериментах также применялись прямоугольные стальные пластины и пластины из полиэтилентерефталата (PET), а также пластины с отверстием квадратной (6*6 мм ) и круглой (0 6 мм) формы.
Рис. 1. Экспериментальная схема: 1 - пластина, 2 - пьезопреобразователь, 3 - держатель, 4 - штатив, 5 - емкость, 6 - жидкость, 7 - столик, 8 - генератор низкой частоты, 9 - усилитель, 10 - осциллограф, 11 - частотомер, 12 - цифровая камера, 13 - полупроводниковый лазерный источник света, 14 - полупроводниковый источник света, 15 - генератор прямоугольных импульсов
Пластина подводится к свободной поверхности жидкости в емкости, установленной на подвижном столике, до получения мениска смачивания поверхности пластины жидкостью. При этом может наблюдаться подъем жидкости непосредственно под поверхностью пластины за счет сил смачивания и искривление свободной поверхности жидкости вблизи краев пластины. При подаче переменного электрического напряжения на электроды пьезоизлучателя от усилителя сигналов генератора низкой частоты Г3-35 за счет обратного пьезоэлектрического эффекта в корпусе пьезоизлучателя возбуждаются изгибные колебания, которые передаются пластине. Амплитуда и частота переменного напряжения на электродах пьезоизлучателя контролировались двухканальным осциллографом С1-55 и частотомером Ч3-34. При совпадении частоты электрического напряжения с собственной частотой колебаний пластины амплитуда изгибных колебаний пластины возрастает, что приводит к возбуждению вибраций пластины. Вибрации пластины передаются жидкости и возбуждают на ее свободной поверхности капиллярные колебания, распространяющиеся вдоль свободной поверхности в виде капиллярных волн в поперечном направлении к краям пластины. В экспериментах использовались различные емкости прямоугольной и круглой формы. Наиболее удобной емкостью оказалась стеклянная чашка Петри диаметром 100 мм и высотой 18 мм, прозрачность которой позволяет наблюдать волновые процессы на поверхности жидкости на белом и черном фонах, визуализируя течения микрочастицами порошков различного цвета. Экспериментальное устройство и картина капиллярных волн и течений, создаваемая стальной пластиной 57*8*0,1 мм, вибрирующей частотой 172 Гц на поверхности воды в чашке Петри, показаны на рис. 2.
Гидродинамические процессы, создаваемые в жидкости вибрациями пластины, записывались на цифровой фотоаппарат Canon EOS 650D и передавались на компьютер. Отдельные участки поверхности жидкости с капиллярными волнами и вихревыми течениями наблюдались с помощью микроскопа JW-15T, оснащенного цифровой камерой OMAX
А35140Ш. В качестве жидкости использовались дистиллированная и техническая вода при нормальных условиях. Визуализация течений осуществлялась мелкодисперсным порошком графита, люминофора и серы (0,01^0,05 мм).
а) Ь)
Рис. 2. Экспериментальное устройство (а) и картина волн и течений на поверхности воды в чашке Петри (Ь), создаваемой вибрирующей консольной стальной пластиной
Волновые процессы на поверхности жидкости фиксировались освещением светодиодными источниками света, частота импульсов света которых регулировалась электронным ключом, управляемым генератором прямоугольных импульсов. Сигналы от этого генератора дополнительно подавались на вход второго канала осциллографа.
Течения на поверхности и в толще жидкости наблюдались при освещении жидкости через стенки чашки Петри лучом полупроводникового лазерного источника света FA-016, излучающего зеленый свет на длине волны 532 нм. При этом для визуализации внутренних потоков в жидкость добавлялся родамин 6Ж.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Картина течений и капиллярных волн на поверхности воды в прямоугольной емкости 90x35x15 мм, создаваемая стальной пластиной 45x6x0,1 мм и пьезоизлучателем FML-20T-4.5A1-100, прикрепленными с двух противоположных краев и вибрирующими частотой 300 Гц, представлена на рис. 3, а. Течения симметрично расположены по обоим краям пластины, движение частиц жидкости в общем потоке в соседних вихревых течениях напротив пучностей колебаний пластины направлено от краев пластины, напротив узлов колебаний пластины - к краям пластины. В представленном случае на длине пластины расположены 2 пучности 3 узла изгибных колебаний. Экспериментально установлено, что типичная картина течений возникает и при вибрациях пластины с частотами, при которых на свободных краях пластины образуются одна или несколько пучностей изгибных колебаний. Более того, при достаточно большой амплитуде электрического напряжения, подаваемого на электроды пьезоизлучателя, возможны колебания пластины с возбуждением течений в некотором интервале частот, отличающихся от собственной частоты изгибных колебаний пластины. Для этого достаточно, чтобы пучность колебаний пластины приходилась между краем пьезоизлучателя и противоположным закрепленным краем пластины так, что для данной частоты вибраций половина длины изгибной волны оказалась равной расстоянию от пучности колебаний до закрепленного края пластины. Стробоскопическая визуализация капиллярных волн, исходящих от межфазной границы жидкости на краях пластины, указывает на то, что участки гребней плоских волн напротив пучностей колебаний пластины движутся с опережением, создавая искривленные волновые фронтальные линии.
В том случае, если пластина приподнята над горизонтальной частью свободной поверхности жидкости достаточно высоко, но при этом нижняя поверхность остается смоченной, становится возможным возбуждение вибраций пластины более высокой частоты (1 кГц и более). При этом вихревые течения на поверхности жидкости вблизи межфазной границы становятся мелкомасштабными, общее течение в парах вихрей становится направленным в сторону края вибрирующей пластины. С увеличением амплитуды вибраций пластины эти течения переходят в струи, исходящие из-под края пластины в местах пучностей изгибных колебаний (рис. 3, b). Ранее такие явления нами наблюдались в экспериментах с консольной изогнутой пластиной, в которых струя исходит из-под торцевого края вибрирующей пластины или бокового края вибрирующей пластины, частично погруженной в жидкость под углом. Картина капиллярных волн и течений, создаваемая вибрирующими PET пластинами, является аналогичной этой же картине, получаемой от стальной пластины. Вследствие разной природы материала пластины вибрации PET пластин возбуждаются при более низких частотах по сравнению с частотами вибраций стальной пластины.
а) Ь)
Рис. 3. Картина капиллярных волн и течений на поверхности воды в прямоугольной емкости, создаваемой стальной пластиной, вибрирующей частотой 300 Гц (а) и струек, исходящих из-под краев пластины при вибрациях частотой 1,2 кГц (Ь)
Капиллярные волны и поверхностные течения воды, возбуждаемые вибрирующей консольной пластиной, несколько отличаются от течений, создаваемых пластиной, закрепленной двумя краями. Консольная пластина, горизонтально расположенная на поверхности воды, при вибрациях возбуждает на свободной поверхности воды капиллярные волны, бегущие в направлении от боковых краев и торцевого края (рис. 4, а). Линии гребней волн напротив торцевого края пластины при этом оказываются сильно изогнутыми (рис. 4, с - вверху), что указывает на относительное движение волн с большей скоростью, по сравнению со скоростью волн, возбуждаемых боковыми краями. При засеве поверхности воды трассерными частицами и возбуждении вибраций пластины на свободной поверхности воды обнаруживаются течения в виде плоских струй, исходящих от межфазной границы напротив пучностей колебаний боковых краев и напротив центра торцевого края (рис. 4, Ь). Каждая струя по боковым краям пластины распадается на 2 вихревых течения так, что обратный поток в этих течениях направлен к узлам колебаний краев пластины.
Свободный торцевой участок консольной пластины с противоположной стороны от пьезоизлучателя вибрирует с максимальной амплитудой. В результате струя, создаваемая волнами напротив центра торцевого края пластины, оказывается с максимальной скоростью движения частиц жидкости. Обратное движение частиц жидкости в вихревых течениях, расположенных по сторонам струи, исходящей от торцевого края пластины, направлено к углам пластины (рис. 4, с - внизу). Изгиб линий гребней капиллярных волн напротив пучностей колебаний краев пластины объясняется наложением волн на плоские струи.
а) Ь) с)
Рис. 4. Капиллярные волны и течения на поверхности воды в чашке Петри, создаваемой стальной консольной пластиной: а) - при вибрациях частотой 176 Гц; Ь) и с) - при вибрациях частотой 172 Гц
Экспериментально установлено, что вибрирующая пластина, расположенная над поверхностью жидкости с воздушным зазором и возбужденная пьезоэлектрическим преобразователем на низкочастотных модах изгибных колебаний, также возбуждает капиллярные волны и течения на поверхности жидкости. Амплитуда вибраций пластины на воздухе при этом достигает 0,5 мм, а зазор составляет около 1 мм. Для сравнения, амплитуда вибраций пластины в контакте с жидкостью меньше толщины самой пластинки и не превышает 0,05 мм.
Исследования вибраций горизонтально установленной на свободной поверхности жидкости пластины, касающейся жидкости одной из поверхностей, показали, что картины течений, создаваемые противоположными краями пластины, являются практически симметричными. С увеличением частоты вибраций пластины увеличивается число вихрей с одновременным уменьшением их размеров (рис. 5). При высоких частотах начинают проявляться поперечные моды вибраций пластины, что приводит к искажению симметричности картины течений (рис. 5, $). Необходимо заметить, что противоположные свободные края горизонтально установленной вибрирующей пластины совершают синфазные колебания.
а) Ь) с)
Рис. 5. Картина вихревых поверхностных течений на поверхности воды от стальной пластины, вибрирующей частотой 176 Гц (а), 245 Гц (Ь), 358 Гц (с) и 1,43 кГц (Я)
Геометрию взаимодействия пластины со свободными краями и жидкости можно выбрать так, что пластина касается поверхности жидкости краем только с одной стороны. На рис. 6 представлены картины течений на поверхности воды, создаваемые консольной PET пластиной 56x7^0,35 мм, касающейся поверхности воды краем одной из длинных сторон и возбуждаемой пьезопреобразователем FML-31T-4.0A1-10. Поверхности пластины со
смачиваемым жидкостью нижним краем, находятся в вертикальной плоскости и совершают колебания по отношению к жидкости в противофазе, так как в каждый из полупериодов колебаний пластины одна из поверхностей движется в сторону жидкости, другая - в сторону от жидкости. Вибрирующая пластина в этом случае возбуждает капиллярные волны в жидкости обеими поверхностями. Течения на поверхности жидкости, создаваемые капиллярными волнами, при этом имеют противоток, направленный к торцевому краю пластины. Так, на рис. 6, а показана картина течений, создаваемая пластиной с 2 пучностями и 2 узлами изгибных колебаний. При высокочастотных изгибных колебаниях пластины (рис. 6, Ь) одновременно наблюдаются крупномасштабные течения с общим потоком, направленным к торцу пластины и процессы распыления жидкости на участках поверхности пластины с пучностями колебаний. Так как нижний край пластины находится в контакте с поверхностным слоем жидкости, при вибрациях пластины жидкость тонким слоем перемещается к участкам поверхности пластины с пучностью колебаний. На поверхности этого тонкого слоя жидкости возбуждаются двумерные капиллярные волны конечной амплитуды, от гребней которых периодически с частотой вибраций пластины отделяются микрочастицы жидкости с образованием аэрозоли частиц. В результате вибрирующая пластина представляет собой микромеханическое устройство перемещения жидкости.
а) Ь)
Рис. 6. Течения на поверхности воды в чашке Петри, создаваемые стальной пластиной, установленной в вертикальной плоскости к поверхности воды, при вибрациях частотой 97 Гц (а) и 1,55 кГц (Ь)
Эксперименты с использованием пластин с отверстиями показали, что при вибрациях пластин на поверхности воды капиллярные волны и течения одновременно возникают как за краями пластин, так и в отверстиях (рис. 7). При этом капиллярные волны, возбуждаемые краями пластин, являются бегущими. В отверстиях вследствие ограничения их размеров капиллярные колебания жидкости представляют собой двумерные стоячие волны. Эти колебания наблюдаются в виде ряби Фарадея, в квадратном отверстии они представляют прямоугольную решетку волн (рис. 8), в круглом отверстии - интерференцию радиальных и азимутальных волн (рис. 9). При засеве поверхности жидкости в отверстиях трассерными частицами выявляются вихревые течения в поверхностном слое жидкости. При низких частотах вибраций пластины в отверстиях обычно создаются два вихревых течения. С увеличением частоты вибраций пластины более крупные течения в отверстиях создают вторичные вихри, картина течений при этом становится разномасштабной. В целом, капиллярные колебания и поверхностные вихревые течения в жидкости, ограниченной краями отверстий в вибрирующей пластине приводят к интенсивному перемешиванию жидкости так же, как и в каплях жидкости на вибрирующих подложках.
a)
b)
Рис. 7. Капиллярные волны и течения на поверхности воды, создаваемые вибрирующими PET пластинами с квадратным отверстием частотой 245 Гц (а) и с круглым отверстием частотой 82 Гц (b)
a)
b)
с)
Рис. 8. Картина течений в квадратном отверстии в PET пластине, вибрирующей на поверхности воды частотой 132 Гц (а), 169 Гц (b) и 570 Гц (с)
а) Ь) с)
Рис. 9. Капиллярные волны и вихревые течения в круглом отверстии в стальной пластине, вибрирующей на поверхности воды частотой 208 Гц (а), 475 Гц (Ь) и 1,15 кГц (с) (стрелками показаны направления движения частиц, визуализирующих течения)
Для оценки амплитуды капиллярных волн, возбуждаемых вибрирующей консольной пластиной на поверхности воды в чашке Петри, были проведены эксперименты с использованием полупроводникового лазерного источника БЛ-016. Сфокусированный
лазерный луч при этом направлялся на внешнюю стенку чашки Петри таким образом, что после прохождения прозрачной стенки чашки луч света распространялся вдоль поверхности воды к торцевому краю пластины (рис. 10, а). Визуализация волн лазерным лучом происходит за счет пространственной модуляции луча волнами. Для получения неподвижной картины лазерный источник света подключался к источнику питания через полевой транзистор, управляемый генератором прямоугольных импульсов. Неподвижная картина волн, освещенная лазерным лучом, достигается при совпадении частоты вибраций пластины с частотой импульсов света лазера (рис. 10, Ь). Исходя из известной толщины пластины, которая составляла 0,1 мм и из изображения лазерного луча можно сделать вывод, что амплитуда капиллярных волн не превышает 0,05 мм.
а) Ь)
Рис. 10. Луч лазера, направленный вдоль поверхности жидкости к торцевому краю вибрирующей консольной пластины: а) - вид сверху, Ь) - вид сбоку
Освещение поверхности воды лучом лазера при наличии капиллярных волн и течений сопровождают и другие интересные световые эффекты. Во-первых, в воде всегда находятся микроскопические включения в виде пузырьков воздуха. В течениях эти пузырьки движутся вместе с частицами воды. Свет лазера частично отражается от поверхности пузырьков так, что движущиеся пузырьки представляют микроскопические источники отраженного света и позволяют визуализировать поверхностное течение. При этом светящиеся пузырьки в луче лазера играют роль трассерных частиц и дают возможность определения скорости движения жидкости в течениях (рис. 10).
а) Ь) с)
Рис. 11. Световые треки частиц жидкости в поверхностных течениях при освещении лазерным лучом: а) - луч направлен к центру торцевого края пластины, Ь) и с) - закрученные треки частиц жидкости в луче, смещенном от центра края пластины картины светового жгута при разных амплитудах вибраций пластины
Во-вторых, сам лазерный луч, распространяющийся в воде, имеет определенный диаметр. При рассмотрении такого луча через микроскоп обнаружилось, что в поверхностном потоке лазерный луч создает треки, выявляющие особенности течения в жидкости. Например, если луч направлен перпендикулярно к торцевому краю вибрирующей пластины в ее центре, то треки представляют практически прямые линии (рис. 11, а). Общее течение жидкости, создаваемое капиллярными волнами, возбуждаемыми торцевым краем вибрирующей пластины, направлено вдоль линии, перпендикулярно пересекающей этот край в центре. Параллельное смещение луча от центра края пластины, приводит к тому, что луч распространяется вдоль поверхности жидкости с вихревым течением. Световые треки,
создаваемые частицами жидкости, при этом представляют винтовые линии (рис. 11, b и с), которые образуют закрученный световой жгут. Степень закрученности этого жгута увеличивается с увеличением амплитуды вибраций стержня и, соответственно, скорости частиц жидкости в вихревых течениях. Проявление световых треков в виде винтовых линий указывает на то, что вихревые течения, создаваемые капиллярными волнами в глубокой воде, присутствуют только в поверхностном слое. Движение частиц жидкости в вихревых течениях в слое жидкости является трехмерным. Это частично было подтверждено экспериментами с добавлением в воду родамина 6Ж, проявляющего флуоресценцию в зеленом лазерном свете. При освещении лучом зеленого лазера воды с родамином в чашке Петри под углом к свободной поверхности и возбуждении капиллярных волн вибрирующей пластиной наблюдение светового среза воды в вертикальной плоскости показывает, что движение частиц воды происходит только в верхнем поверхностном слое воды. Результаты экспериментов с лазерной визуализацией волн и течений указывают на возможность получения информации в локальных участках жидкости и экспериментальные исследования в дальнейшем должны быть направлены на получение результатов, пригодных для компьютерной обработки.
Анализ возбуждения капиллярных волн и создания течений проведем исходя из того, что изгибные колебания краев вибрирующей пластины с распределенной амплитудой можно записать в виде колебаний в стоячей изгибной волне
щ = щ sin (kby) cos ot, (1)
где щ - амплитуда в пучности изгибных колебаний краев пластины, o - частота колебаний, къ - модуль волнового вектора изгибных волн в пластине вместе со слоем жидкости, y - координата в направлении вдоль краев пластины. Скорость колебательного движения краев пластины найдем через производную
v = йЩdt = що sin (kby) sin ot. (2)
Отсюда амплитуда скорости краев вибрирующей пластины равна
vo =Щ° sin (кьУ). (3)
Частицы жидкости вблизи краев пластины на межфазной границе приобретают импульс, пропорциональный скорости колебательного движения краев пластины и кинетическую энергию с плотностью, пропорциональной квадрату скорости краев пластины
w = (р2) v2 = (р/2)Що2 sin2 (kby) sin2 ot. (4)
Это выражение перепишем в виде
w = (р4)що2о2 sin2 (кьУ )(1 - cos 2ot), (5)
которое указывает на то, что жидкость получает от вибрирующей пластины энергию, плотность которой имеет постоянную и переменную составляющие. Постоянная составляющая плотности энергии равна плотности энергии в среднем за период колебаний пластины
W = (р4)щ2о2 sin2 (кьУ) . (6)
Переменная составляющая плотности энергии жидкости вблизи краев вибрирующей пластины изменяется с удвоенной частотой вибраций пластины
w = (р 4)щ2о2 sin2 (kby) cos2ot, (7)
ее величина в среднем за период колебаний равна нулю. Движение поверхности вибрирующей пластины в жидкости за период колебаний происходит таким образом, что это движение за время первой половины периода направлено в сторону жидкости, за время второй половины периода - от жидкости. В результате пластина при вибрациях периодически вытесняет и затягивает за собой определенный объем жидкости. Вследствие несжимаемости жидкости и наличия ее свободной поверхности вблизи краев пластины, вытесняемый объем жидкости, за каждый полупериод колебаний пластины, создает
дополнительную искривленную поверхность. При этом частицы жидкости вытесняемого объема движутся со скоростью движения участка края пластины. Такой периодический процесс возбуждает капиллярные колебания в жидкости вблизи краев вибрирующей пластины, которые в дальнейшем распространяются по свободной поверхности жидкости в виде капиллярных волн.
Скорость сс капиллярных волн определим из дисперсионного уравнения
с2 =(alp) к3с th (ксН ), (8)
где с - частота волн, кс = С С = 2л// - волновое число, / - длина капиллярной волны, а - поверхностное натяжение, p - плотность и H - глубина жидкости. После деления обеих частей дисперсионного уравнения на квадрат модуля волнового вектора к 2 получаем выражение для квадрата скорости волн в виде
Сс2 = {а/р) kth (kH). (9)
При глубине жидкости, превышающей половину длины капиллярной волны H >//2 гиперболический тангенс th (ксН) = 1. Отсюда можно получить выражения для плотности энергии Wc и скорости капиллярной волны, соответственно, в виде
Wc =РСС =акс и (10)
Сс =4(*/р) kc . (11)
Через плотность энергии определяются вектор Умова, по модулю равный плотности потока энергии S = wccc и плотность импульса PcS = wc¡cc, переносимые волной.
Пластина, вибрирующая на поверхности жидкости, является источником распределенных капиллярных колебаний, энергия которых переносится капиллярными волнами. В ближней зоне непосредственно вблизи краев пластины плотность энергии частиц жидкости равна их плотности энергии в среднем за период колебаний пластины. Тогда модуль вектора Умова и плотность импульса в капиллярной волне на поверхности жидкости вблизи краев пластины равны
S = Wcc и (12)
PcS = WC . (13)
Эти выражения также могут быть записаны через амплитуду скорости краев вибрирующей пластины в виде
s = (р/4)( v2/c2) Сс3 и (14)
Pcs =(p/4)(v2/cc2) Сс. (15)
Полученные выражения указывают на квадратичную зависимость плотности потока энергии и плотности импульса капиллярных волн, возбуждаемых вибрирующей пластиной на поверхности жидкости, от скорости колебаний краев пластины. В связи с тем, что скорость колебательного движения краев пластины пропорциональна амплитуде колебаний, максимумы плотности потока энергии и плотности импульса в капиллярной волне приходятся напротив пучностей изгибных колебаний краев пластины.
Так как импульс, переносимый капиллярными волнами, передается поверхностному слою жидкости, скорость Их этого слоя в направлении распространения волн (в направлении от краев вибрирующей пластины) составит
ux = Pcs/Р = (1/4)( v0/c2) Сс. (16)
Эту скорость можно выразить через амплитуду колебаний краев вибрирующей пластины равенством
ux =|>okc74)sin2(kby)]cc )sin2(kby)]cc. (17)
Для скорости поверхностного слоя получили выражение, в котором множитель в скобках ж2щЦЯс2 является безразмерным. При малых амплитудах и частотах колебаний этот множитель намного меньше 1. С увеличением амплитуды вибраций пластины и частоты колебаний и, соответственно, с уменьшением длины капиллярной волны, становится возможным условие, что этот множитель окажется близким к 1 и скорость поверхностного течения станет равным скорости капиллярной волны. Так как в пучности колебаний пластины sin2 (kby) = 1, течение со скоростью капиллярной волны можно получить при вибрациях пластины с амплитудой в пучности колебаний краев, равной щ = hc¡ я = 2/kc.
Наблюдениями в экспериментах было установлено, что на поверхности воды амплитуда колебаний пластины с пьезопреобразователем, закрепленных противоположными краями, не превышает половину толщины пластины. Величина амплитуды колебаний краев пластины в пучностях не превышает величину щ = 0,05 мм (50 мкм). Амплитуды колебаний
пластины, близкие к этой величине, наблюдались в предыдущих работах по исследованию взаимодействия жидкости и пластины, возбужденной пьезоэлектрическим преобразователем.
Проведем оценку безразмерного множителя Я2 в полученном выражении для
скорости частиц жидкости в поверхностном слое воды, при возбуждении капиллярных волн вибрирующей пластиной на различных частотах f = o/2п . Поверхностное натяжение воды
—3 3 3
составляет < = 73 • 10 Н/м, ее плотность - р = 1-10 кг/м . Из дисперсионного уравнения или уравнения плотности энергии в капиллярной волне для глубокой воды получаем выражение для скорости капиллярных волн в зависимости от частоты в виде
сс = pnf <р . (18)
Расчеты для частот f = 300 Гц, f = 1 кГц и f = 5 кГц дают, соответственно, следующие значения для скорости капиллярных волн: сс = 0,52 м/с, сс = 0,77 м/с и С = 1,32 м/с. Длину капиллярных волн найдем из соотношения Яс f = сс, что дает Я = 1,73 мм, Я = 0,77 мм и Я = 0,26 мм. Безразмерный множитель ж2щ1/ Я2 для этих длин волн при щ = 50 мкм составит, соответственно, 0,008, 0,04 и 0,36.
Таким образом, вибрирующая пластина с распределенными изгибными колебаниями, контактирующая с жидкостью, на свободной поверхности жидкости вблизи межфазной границы создает капиллярные колебания с распределенной плотностью энергии. Капиллярные волны, распространяясь по поверхности жидкости, в свою очередь, вследствие передачи распределенного импульса частицам поверхностного слоя жидкости, создают поверхностные течения с распределенными плотностями энергии и импульса и потоком энергии.
Вибрации консольной пластины на поверхности жидкости позволяют получить колебания торцевого края с большей амплитудой, по сравнению с амплитудой колебаний боковых краев. При колебаниях края пластины на поверхности жидкости с амплитудой в щ = 0,1 мм безразмерный множитель увеличится в 4 раза по сравнению с колебаниями с
амплитудой в щ= 50 мкм. Картины течений в экспериментах с вибрациями консольной
пластины на поверхности воды показывают, что напротив торцевого края пластины скорость поверхностных течений больше скорости течений, исходящих от боковых краев пластины. Это связано с тем, что из-за квадратичной зависимости плотности энергии жидкости на межфазной границе от амплитуды колебаний края пластины, импульс, переносимый капиллярными волнами и сообщаемый поверхностному слою жидкости, оказывается больше напротив торцевого края вибрирующей пластины.
Картина волнового поля, создаваемого вибрирующей пластиной на свободной поверхности жидкости, получается при наложении бегущих волн на течения. Наблюдаемую
картину с изгибающимися гребнями волн можно объяснить тем, что волны движутся таким образом, что в неподвижной системе координат их скорости равны
Uc = ux + cc =[(л2%7/2)sin2(kby) +1]c . (19)
Максимальное смещение гребней бегущих капиллярных волн при этом приходится на участки поверхности жидкости вдоль линии в плоскости пучностей колебаний пластины.
Эксперименты также показывают, что течения на свободной поверхности жидкости, создаваемые вибрирующей пластиной, являются вихревыми. При этом поверхностный слой движется и в направлении вдоль края пластины. Это движение можно объяснить тем, что поверхностный слой жидкости получает импульс в направлении от краев пластины, зависящей от координаты вдоль края пластины. Плотность кинетической энергии движущегося поверхностного слоя при этом равна
(Р 2) u2 = PcS/2 р. (20)
В соответствии с законом Бернулли, давление в движущейся жидкости меньше на величину гидродинамического давления, равного плотности кинетической энергии движущейся жидкости. Вследствие этого жидкость приобретает ускорение, пропорциональное градиенту давления. В данном случае давление изменяется в направлении вдоль края вибрирующей пластины. Тогда ускорение частиц жидкости в поверхностном слое можно найти из выражения
duy/dt = (1/p)dEjdy = (PcJp2)д^/ду . (21)
Так как PcS =(p¡ 4)( v^c;2) cc, находим, что
duy/dt = (v0/16c2)dvJdy = (illa4/16cc2)kb sin3 (kby)cos(kby) . (22)
Это выражение можно привести к виду
duy/dt = (v0/16cc2 )dvJ dy = (lokbkc /32) acb sin2 (kby) sin(2kby) . (23)
В правой части полученного выражения для ускорения в направлении вдоль края пластины множитель (i4klk2/32) и тригонометрический множитель sin2 (kby)sin(2ky)
являются безразмерным. При этом максимумы тригонометрического множителя величиной 0,65 приходятся на линии, пересекающей пластину в поперечном направлении, отстоящей от узлов колебаний пластины на расстоянии шестой части длины изгибной волны: Ay = // 6. Само ускорение оказывается пропорциональным произведению частоты вибраций пластины и скорости изгибных волн: duy!dt ~acb.
В случае консольной вибрирующей пластины имеем четвертьволновой резонатор изгибных колебаний, в котором максимальная амплитуда колебаний приходится на торцевой край пластины. При низких частотах вибраций пластины изгибные колебания торцевого края отсутствуют и этот край вместе с углами пластины и частично с участками боковых краев вблизи углов в контакте со свободной поверхностью жидкости совершает колебания с одинаковой амплитудой по всей ширине. Направления импульсов, переносимых капиллярными волнами, исходящими от межфазной границы напротив торцевого края и бокового края пластины вблизи ее углов, являются взаимно поперечными. Скорости волн, распространяющихся в поперечном направлении к краям пластины, можно считать одинаковыми.
Выше было отмечено, что при контакте поверхности пластины с жидкостью на ее свободной поверхности наблюдается капиллярный подъем жидкости. Такой подъем объясняется тем, что кривизна поверхности с радиусом ^ в жидкости вблизи межфазной
границы и давление Лапласа в жидкости являются отрицательными: ApL = —а/. В слое жидкости вдоль линии боковых краев и в центре торцевого края давление Лапласа является примерно одинаковым.
Свободная поверхность жидкости вблизи межфазной границы с пластиной напротив ее углов отличается от поверхности напротив прямолинейных участков краев наличием дополнительной положительной кривизны с радиусом . В таком случае величина давления Лапласа в слое жидкости, смачивающей угловые поверхности пластины, должна быть меньше величины этого давления в жидкости вблизи прямолинейных участков краев пластины: Арь =—&/^ +&/Я2. При этом объем капиллярно приподнятой жидкости напротив углов пластины также является меньше по сравнению с объемом напротив краев пластины. Кроме этого, участки углов вибрирующей пластины являются источником цилиндрических капиллярных волн, амплитуда которых обратно пропорциональна расстоянию от источника. Плотность энергии цилиндрической волны при этом оказывается обратно пропорциональным квадрату расстояния от источника. Вблизи прямолинейных участков краев вибрирующей пластины на свободной поверхности жидкости капиллярные волны являются плоскими. Вследствие этого, амплитуда импульса капиллярных волн, возбуждаемых торцевым краем прямоугольной пластины, является распределенной. Максимум импульса волн, передаваемых поверхностному слою жидкости приходится на участок в центре торцевого края пластины. Согласно проведенному анализу волн, исходящих от боковых краев пластины, давление на поверхности жидкости с распределенным импульсом капиллярных волн, меньше на участке с большим импульсом волн. Соответственно, частицы жидкости поверхностного слоя получают ускорение, направленное к центру торцевого края так, что течение становится двумерным и вихревым. При наложении капиллярных волн на течение, направленное от центра торцевого края пластины, гребни волн искривляются течением.
Амплитуда скорости колебаний вибрирующей пластины и плотность импульса, передаваемого жидкости участками пластины, прямо пропорциональна амплитуде и частоте колебаний. С увеличением амплитуды вибраций пластины в пучностях колебаний возможно получение амплитуды скорости участков края пластины, близких к скорости капиллярных волн, возбуждаемых на поверхности жидкости вблизи краев пластины. Для этого при вибрациях пластины на поверхности воды частотой / = 300 Гц, / = 1 кГц и / = 5 кГц амплитуда колебаний в пучностях должна составить щ = 1,73 мм, щ = 0,77 мм и щ = 0,26 мм. Плотность энергии, сообщаемой вибрирующей пластиной частицам жидкости на межфазной границе, изменяется с удвоенной частотой колебаний пластины. С увеличением частоты вибраций пластины длина изгибных волн и расстояние между узлами колебаний в пластине уменьшаются. При этом межфазная граница разделяется на локализованные участки с распределенной амплитудой капиллярных колебаний так, что становится возможным параметрическое возбуждение капиллярных колебаний в виде стоячей волны, поперечной линии смачивания. При наложении капиллярных колебаний на колебания слоя жидкости в месте участка края пластины в пучностях колебаний, плотность кинетической энергии жидкости возрастает. По сравнению с участками поверхности жидкости, находящимися относительно дальше пучностей колебаний краев пластины, давление в вибрирующем слое жидкости с капиллярными стоячими волнами меньше. Вследствие возникновения градиента давления в поверхностном слое жидкости появляется ускорение, создающее течение, направленное к линии смачивания - к межфазной границе жидкости. Поперечные стоячие волны в свою очередь представляют собой суперпозицию двух волн, бегущих навстречу друг к другу по поверхности слоя жидкости вдоль линии смачивания. Эти волны несут импульс, предаваемый частицам жидкости. В результате такого процесса вибрирующая пластина на поверхности жидкости создает течения, направленные к краям самой пластины напротив пучностей колебаний. При достаточно большой амплитуде колебаний краев пластины вместе со слоем жидкости капиллярные колебания накладываются на течения и создают струи, исходящие из-под краев вибрирующей пластины в местах пучностей колебаний.
ВЫВОДЫ
Картина поверхностных течений, создаваемых вибрирующей пластиной на поверхности жидкости зависит от пространственного распределения плотности энергии и плотности импульса, переносимых по свободной поверхности жидкости капиллярными волнами, возбуждаемыми пластиной с распределенными изгибными колебаниями на поверхности жидкости вблизи межфазной границы. Вследствие квадратичной зависимости плотности энергии капиллярных колебаний частиц жидкости вблизи краев и поверхности вибрирующей пластины от амплитуды изгибных колебаний в пластине, частицы жидкости в поверхностном слое получают больший импульс от капиллярных волн, исходящих от участков межфазной границы напротив пучностей колебаний пластины. Гребни капиллярных волн напротив пучностей колебаний краев пластины деформируются течениями в результате увеличения скорости волн в неподвижной системе координат.
Работа выполнена при поддержке Комплексной программы фундаментальных научных исследований УрО РАН (проект № 18-1-1-18).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Périnet N., Gutiérrez P., Urra H., Mujica N. and Gordillo L. Streaming patterns in Faraday waves // Journal of Fluid Mechanics, 2017, vol. 819, pp. 285-310.
2. Филатов C. В., Бражников М. Ю., Левченко А. А. Формирование вихревого течения волнами на поверхности жидкости // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2015. T. 102, № 7-8. С. 486-490. https://doi.org/10.7868/S0370274X15190066~
3. Shrestha B., Ahsan S. N., and Aureli M. Experimental study of oscillating plates in viscous fluids: Qualitative and quantitative analysis of the flow physics and hydrodynamic forces // Physics Fluids, 2018, vol. 30, pp. 013102.
4. Ahsan S. N. and Aureli M. Small amplitude oscillations of a shape-morphing plate immersed in a viscous fluid near a solid wall // Journal of Applied Physics, 2018, vol. 124, pp. 134502.
5. Александров В. А. Гидродинамические явления при взаимодействии колеблющейся консольной пластины с жидкостью // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 2. С. 308-313.
6. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. Vortex flows in the liquid layer and droplets on a vibrating flexible plate // Microgravity Science and Technology, 2018, vol. 30, iss. 1-2, pp. 85-93.
7. Александров В. А., Копысов С. П., Тонков Л. Е. Возбуждение вихревых течений в мыльной пленке на отверстиях в пластине под действием изгибных колебаний // Химическая физика и мезоскопия. 2017, Т. 19, № 4. С. 581-587.
8. Alexandrov V. A., Kuzmin I. M., Tonkov L. E. Numerical simulation of capillary dynamics of thin liquid layers at high-frequency oscillations of deformable substrate // Journal of Physics: Conference Series, 2019, vol. 1158, iss. 2, pp. 022010.
9. Alexandrov V. A., Kuzmin I. M., Tonkov L. E. The numerical simulation of constrained low-frequency oscillation of a liquid drop // Journal of Physics: Conference Series, 2019, vol. 1158, iss. 2. pp. 022009.
10. Александров В. А., Копысов С. П., Тонков Л. Е. О механизме генерации струи с поверхности жидкости вибрирующей пластиной // Химическая физика и мезоскопия. 2017. Т. 19, № 1. С. 119-128.
11. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. Jet formation at interaction of a vibrating plate with liquid // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2017, vol. 208, conference 1, pp. 012001.
12. Александров В. А., Копысов С. П., Тонков Л. Е. Возбуждение вихревых течений на свободной поверхности жидкости вибрирующей пластиной // Журнал технической физики. 2019. Т. 89, № 7. С. 998-1005. http://dx.doi.org/10.21883/JTF.2019.07.47787.234-18
13. Александров В. А. Периодические течения на поверхности воды вблизи вибрирующей пластины // Тезисы докладов XXI Зимней школы по механике сплошных сред. 18-22 февраля 2019 г., Пермь. Пермь: Изд-во ПФИЦ УрО РАН, 2019. С. 27.
DISTRIBUTED FLOWS ON A LIQUID SURFACE NEAR A VIBRATING PLATE
Aleksandrov V. A., Karpov A. I.
Udmurt Federal Research Center, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Capillary waves and periodically distributed flows on the surface of a liquid initiated by plates with free edges under vibrations in the form of bending oscillations are experimentally studied. Under the plate vibration with the conditions of wetting the surface and the plate edges by the liquid near the interfacial boundary, the traveling capillary waves with a
distributed amplitude are initiated on the liquid free surface, which magnitude has maximums opposite the antinodes of bending oscillations of the plate edges. Due to the transfer of energy and momentum of capillary waves (the densities of which have a quadratic dependence on the wave amplitude) to the liquid, flows in the form of plane jets are created with liquid flow direction from the edges of the plate. Far from the plate, each flow is divided into two flat vortex flows with a reverse flow directed to the oscillation nodes of the plate edges. The pattern of the flows depends on the distribution of the antinodes of the oscillations; as a result of the superposition of waves on the flows, opposite to the antinodes of the oscillations of the plate edges, the wave crests bending is observed. In experiments with a cantilever plate, vortex flows with a maximum fluid velocity are created by vibrations of the end edge of the plate. Vibrations of the plates with holes allow the excitation of capillary oscillations and create flows on the surface of the liquid bounded by the edges of the holes. Laser visualization of waves and flows showed that capillary waves create flows only in the surface layer of a liquid. The analysis of the flows near the edges of the plate indicates the presence lateral acceleration proportional to the vibration frequency of the plate and the speed of the bending waves in the plate.
KEYWORDS: piezoelectric transducer, bending vibrations, plate vibrations, liquid surface, capillary waves, vortex flows. REFERENCES
1. Périnet N., Gutiérrez P., Urra H., Mujica N. and Gordillo L. Streaming patterns in Faraday waves // Journal of Fluid Mechanics, 2017, vol. 819, pp. 285-310. https://doi.org/10.1017/jfm.2017.166
2. Filatov S. V., Brazhnikov M. Y., Levchenko A. A. Generation of a vortex flow by waves on the surface of a liquid. Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters, 2015, vol. 102, no. 7, pp. 432-436. https://doi.org/10.1134/S0021364015190054
3. Shrestha B., Ahsan S. N., and Aureli M. Experimental study of oscillating plates in viscous fluids: Qualitative and quantitative analysis of the flow physics and hydrodynamic forces. Physics Fluids, 2018, vol. 30, pp. 013102. https://doi.org/10.1063/h5001330
4. Ahsan S. N. and Aureli M. Small amplitude oscillations of a shape-morphing plate immersed in a viscous fluid near a solid wall. Journal of Applied Physics, 2018, vol. 124, pp. 134502. https://doi.org/10.1063/1.5046545
5. Aleksandrov V. A. Gidrodinamicheskie yavleniya pri vzaimodeystvii koleblyushcheysya konsol'noy plastiny s zhidkost'yu [The hydrodynamic phenomena at interaction of the vibrating console plate with liquid]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2014, vol. 16, no. 2, pp. 308-313.
6. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. Vortex flows in the liquid layer and droplets on a vibrating flexible plate. Microgravity Science and Technology, 2018, vol. 30, iss. 1-2, pp. 85-93. https://doi.org/10.1007/s12217-017-9579-0
7. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. Vozbuzhdenie vikhrevykh techeniy v myl'noy plenke na otverstiyakh v plastine pod deystviem izgibnykh kolebaniy [Excitation of vortex flows in the soap film on the holes in the plates under the action of bending vibrations]. Khimicheskayafizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2017, vol. 19, no. 4, pp. 581-587.
8. Alexandrov V. A., Kuzmin I. M., Tonkov L. E. Numerical simulation of capillary dynamics of thin liquid layers at high-frequency oscillations of deformable substrate. Journal of Physics: Conference Series, 2019, vol. 1158, iss. 2, pp. 022010. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/2/022010
9. Alexandrov V. A., Kuzmin I. M., Tonkov L. E. The numerical simulation of constrained low-frequency oscillation of a liquid drop. Journal of Physics: Conference Series, 2019, vol. 1158, iss. 2, pp. 022009. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/2/022009
10. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. O mekhanizme generatsii strui s poverkhnosti zhidkosti vibriruyushchey plastinoy [About the mechanism of a jet generation from the liquid surface by vibrating plate]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2017, vol. 19, no. 1, pp. 119-128.
11. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. Jet formation at interaction of a vibrating plate with liquid. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2017, vol. 208, conference 1, pp. 012001. https://doi.org/10.1088/1757-899X/208/1/012001
12. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. Excitation of vortex flows on the free surface of a liquid by a vibrating plate. Technical Physics, 2019, vol. 64, iss. 7, pp. 939-946. https://doi.org/10.1134/S106378421907003X
13. Aleksandrov V. A. Periodicheskie techeniya na poverkhnosti vody vblizi vibriruyushchey plastiny [Periodic flows on the surface of water near a vibrating plate]. Tezisy dokladov XXI Zimney shkoly po mekhanike sploshnykh sred [XXI Winter School on Continuum Mechanics]. 18-22 fevralya 2019 g., Perm'. Perm: PFITs UrO RAN Publ., 2019, pp. 27.
Александров Владимир Алексеевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ИМ УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: ava@udman.ru
Карпов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией физико-химической механики ИМ УдмФИЦ ИМ УрО РАН, e-mail: karpov@udman. ru
