CC BY
40
УДК 532.696:534.121.1
О МЕХАНИЗМЕ ГЕНЕРАЦИИ СТРУИ С ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ ВИБРИРУЮЩЕЙ ПЛАСТИНОЙ
АЛЕКСАНДРОВ В. А., КОПЫСОВ С. П., ТОНКОВ Л. Е.
Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Экспериментально исследован механизм образования струи на поверхности жидкости вблизи края вибрирующей пластины, частично погруженной в жидкость. Воздействие на жидкость вибрирующей пластины в условиях резонансных изгибных колебаний возбуждает на поверхности слоя жидкости, смачивающей поверхность пластины, капиллярные колебания в виде ряби Фарадея. Двумерные капиллярные волны возникают также на искривленной поверхности жидкости вблизи краев вибрирующей пластины. Колебания участка пластины на поверхности жидкости создают гидродинамическое давление, которое приводит к возникновению вихревых поверхностных течений. При определенном положении вибрирующей пластины в жидкости капиллярные колебания в виде стоячих волн образуются вдоль границы смачивающего слоя жидкости непосредственно под свободным краем пластины. Колебания края пластины модулируют эти волны в поперечном направлении, в результате которого происходит периодическое изменение кривизны поверхности смачивающего слоя жидкости с отрицательной на положительную. Наложение периодически изменяющихся сил инерции с частотой вибраций пластины и давления Лапласа в возбуждаемых капиллярных стоячих волнах на поверхностное течение под краем пластины инициирует периодический выброс частиц жидкости, создающих струю.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: пьезоэлектрический преобразователь, вибрации пластины, струя жидкости, капиллярные волны, поверхностное течение.
ВВЕДЕНИЕ
Возбужденные пьезоэлектрическим преобразователем высокочастотные вибрации изогнутого стержня с клиновидной торцевой поверхностью и загнутой пластины со свободными краями, частично погруженных в жидкость под углом, могут привести к распылению жидкости в смачивающем слое на участках с пучностью колебаний и генерации струи жидкости из-под торцевой поверхности стержня и, соответственно, из-под края пластины [1, 2]. В случае с прямоугольной пластиной, закрепленной к источнику колебаний с одного края, струя может создаваться также участками с пучностью изгибных колебаний на боковых краях пластины. Условием для образования устойчивой струи являются большая амплитуда колебаний стержня или пластины и сохранение определенного положения конца стержня и края пластины относительно свободной поверхности жидкости. Ранее в [1] было сделано предположение, что механизмом образования струи жидкости вибрирующим стержнем может являться высокочастотный кумулятивный эффект, связанный с периодическим вхождением в жидкость под углом плоского участка торцевой поверхности стержня. В этом случае амплитуда скорости движения свободной поверхности смачивающего слоя жидкости должна быть больше амплитуды колебательной скорости поверхности стержня.
При исследовании колебаний пластины в жидкости обнаружилось, что в условиях генерации струи пластиной на других участках поверхности пластины с пучностью изгибных колебаний при наличии смачивающего слоя жидкости на поверхности этого слоя наблюдаются стоячие капиллярные волны в виде ряби Фарадея [3]. Кроме этого, как при полном погружении свободного края пластины в жидкость, так и при отсутствии смачивающего слоя жидкости на краю пластины струя не образуется. Поведение жидкости вблизи свободного края вибрирующей пластины, частично погруженной в жидкость, еще не исследовалось.
Изгибные колебания пластины представляют собой нормальные колебания с распределенной амплитудой. Вибрации поверхности пластины при этом являются максимальными в пучностях и отсутствуют в узлах колебаний. Возбуждение изгибных колебаний пластины, частично погруженной в жидкость, приводит к вибрациям слоя жидкости на межфазной границе. В зависимости от геометрии взаимодействия пластины с жидкостью, толщина и площадь свободной поверхности слоя, смачивающего поверхность пластины, могут быть различными. Слой жидкости на участке поверхности вибрирующей пластины представляет собой объем жидкости, ограниченный свободной поверхностью и поверхностью контакта с пластиной. Возникновение ряби Фарадея на поверхности этого слоя обусловлено параметрическим возбуждением капиллярных волн, теория которого приведена в [4].
Целью настоящей работы является исследование механизма генерации струи при взаимодействии с жидкостью вибрирующей пластины, возбужденной пьезоэлектрическим преобразователем.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТОВ
В экспериментальной установке, схема которой показана на рис. 1, прямоугольная пластина 1 была изготовлена из прозрачного полиэтилентерефталата (PET). С одного края пластина приклеена к дисковому пьезопреобразователю 2, который служит источником изгибных колебаний.
1 - пластина, 2 - пьезопреобразователь, 3 - держатель, 4 - направляющая, 5 - шток, 6 - усилитель, 7 - генератор, 8 - жидкость, 9 - камера
Рис. 1. Экспериментальная схема
Пьезопреобразователь с противоположной стороны от пластины припаивался к металлическому держателю 3, закрепленному к устройству, содержащему вертикально установленный шток 4 и цилиндрическую направляющую 5 с ползунком с возможностью регулировки ее положения с помощью винта. Перемещение пластины с пьезопреобразователем вместе с направляющей контролировались микрометром. Пластине вблизи свободного края придавалась изогнутая форма. Для возбуждения изгибных колебаний пластины на электроды пьезопреобразователя подавалось переменное электрическое напряжение амплитудой до 20 В от усилителя 6 сигналов, вырабатываемых генератором 7 звуковой частоты Г3-35. Пластина подводилась к поверхности жидкости 8 до смачивания вогнутой части с верхней и нижней стороны так, что при частичном погружении в жидкость свободный край оказался выше поверхности жидкости. Гидродинамические процессы на поверхности жидкости вблизи пластины и на поверхности слоя жидкости, смачивающей пластину, фиксировались цифровой камерой 9 Canon EOS 650D.
После возбуждения изгибных колебаний пластины частота сигналов генератора подстраивалась до значения, при которой наблюдается образование струи, исходящей из-под края пластины. Амплитуда напряжения и частота сигналов контролировались осциллографом С1-55 и частотомером Ч3-34. При необходимости производилась подгонка длины пластины с целью получения струи при минимальном значении амплитуды колебаний. В качестве пьезопреобразователя использовался коммерческий пьезоизлучатель БМЬ-20Т-4,5Л1-100. Пластина имела размеры 48,80x4,60x0,36 мм. Частота резонансных колебаний устройства в целом при взаимодействии пластины с жидкостью с генерацией струи составила 4,7 кГц. Вибрации пластины при этом возбуждались на 10-й моде изгибных колебаний. Амплитуда колебаний свободного края пластины на воздухе достигала 60 мкм. В качестве жидкости использовались дистиллированная вода и этиловый спирт.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Генерация струи вибрирующей полимерной пластиной при взаимодействии с жидкостью представлена на рис. 2. Амплитуда колебаний края пластины в условиях генерации струи составляла 30^40 мкм, при частоте 4,7 кГц максимальное значение мгновенной скорости края пластины равнялась 0,9^1,2 м/с. Скорость движения капелек в струе воды и спирта, соответственно, составляла 1,0^1,6 м/с и 1,4^1,7 м/с, что немного превышает скорость колебательного движения края пластины.
Рис. 2. Генерация струи спирта вибрирующей PET пластиной, возбужденной пьезоэлектрическим преобразователем
Одновременно с образованием струи наблюдается распыление жидкости от слоя в пучности изгибных колебаний вблизи межфазной границы со стороны пьезопреобразователя (рис. 3). На поверхности слоя жидкости, смачивающего верхнюю сторону пластины, на участках поверхности пластины с пучностями колебаний возникают также двумерные капиллярные волны в виде ряби Фарадея. С нижней стороны пластины в центре пучностей колебаний в результате искусственной гидродинамической кавитации образуются полости с микроскопическими пузырьками воздуха.
Рис. 3. Рябь Фарадея, полости с пузырьками воздуха под пластиной и распыление жидкости в местах пучностей изгибных колебаний
Частичное погружение в жидкость под углом изогнутой пластины и смачивание ее поверхности жидкостью приводит к капиллярному подъему жидкости по поверхности пластины на границе фаз (рис. 4, а). При возбуждении изгибных колебаний пластины пьезоэлектрическим преобразователем высота капиллярного подъема жидкости на межфазной границе увеличивается (рис. 4, б). Дополнительный капиллярный подъем слоя жидкости по поверхности вибрирующей пластины указывает на то, что в этом слое жидкости давление меньше по сравнению со слоем жидкости, смачивающей поверхность невозбужденной пластины. Это связано с тем, что слой жидкости непосредственно вблизи поверхности вибрирующей пластины приобретает колебательную скорость и энергию, в результате чего возникает динамическое давление, равное удельной кинетической энергии жидкости р=р v2/2, где р - плотность жидкости, V - скорость участка поверхности пластины.
а) б)
Рис. 4. Капиллярный подъем жидкости по поверхности полимерной пластины в отсутствии колебаний (а) и при вибрациях с частотой 4,7 кГц (б)
Достаточно длинная узкая пластина со свободным краем представляет собой четвертьволновой резонатор изгибных колебаний с несколькими пучностями, одна из которых приходится на свободный край. При вибрациях пластины ее распределенные изгибные колебания близки по форме к стоячим волнам. Тогда смещения поверхности пластины можно представить
s = s0(coskbxx)coswt, (1)
где s0 - амплитуда колебаний в пучностях изгибных колебаний, kbx - волновое число изгибных волн, зависящее от параметров пластины, ш - круговая частота.
Скорость v поверхности вибрирующей пластины равна производной
v = ds/dt = täs0(coskbxx)sinwt. (2)
Частицы жидкости, смачивающей поверхность пластины, имеют такую же скорость, и поэтому удельная кинетическая энергия Wi жидкости равна
Wl = (p/2){^s0(coskbxx)sin^t}2, (3)
или
Wl = (p/4)u>2s02cos2kbxx — (p / 4)u>2s02cos2kbxxcos2Mt. (4)
Второе слагаемое в правой части полученного равенства (4) изменяется с удвоенной частотой колебаний пластины, соответственно, удельная кинетическая энергия слоя жидкости на поверхности вибрирующей пластины и гидродинамическое давление в этом слое являются пульсирующими. Величина этого слагаемого за период колебаний равна нулю и удельная энергия слоя жидкости, колеблющегося на поверхности вибрирующей пластины, в среднем равна
Wi = (p/4)u2s02cos2kbxx. (5)
Величина удельной энергии слоя жидкости, колеблющегося вместе с участком поверхности пластины, зависит от координаты и максимальна на участках пластины с пучностью изгибных колебаний. Явление перемещения слоя жидкости по поверхности вибрирующей пластины к пучностям колебаний указывает на наличие градиента гидродинамического давления
gradp = dWi/dx = —(p/4)u>2s02sin2kbxx. (6)
Максимальная величина этого градиента давления приходится на слой, смачивающий участки поверхности пластины в центре между пучностями и узлами колебаний.
Увеличение амплитуды колебаний пластины приводит к проявлению двумерных капиллярных волн в виде ряби Фарадея на поверхности слоя жидкости, смачивающей поверхность пластины в пучностях колебаний.
В условиях погружения в жидкость вогнутой части пластины образуются две границы смачивающего слоя жидкости, огибающие поверхность пластины с нижней и верхней стороны, при этом одна из них образуется вблизи свободного края пластины. Вертикальное перемещение пластины позволяет изменять расстояние от границы смачивающего слоя жидкости до кромки свободного края пластины и подобрать положение пластины таким, чтобы граница слоя жидкости оказалась вблизи края пластины. При возбуждении изгибных колебаний пластины амплитуда на участке поверхности свободного края является максимальной. Соответственно такие же колебания передаются и слою жидкости на смачивающей границе.
Экспериментально установлено, что при колебаниях пластины в жидкости на межфазной границе происходит параметрическое возбуждение капиллярных волн, гребни которых направлены перпендикулярно к границе смачивающего слоя жидкости и краю пластины (рис. 5). Ширина стальной пластины на рис. 5, а составляет 8,8 мм, PET пластины на рис. 5, б - 4,6 мм. Выполненные расчеты для разных частот возбуждения капиллярных волн как PET пластиной, так и стальной пластиной, показали, что расстояние между гребнями волн равно половине длины капиллярной волны, возбуждаемой колебаниями с
частотой в два раза меньшей частоты колебаний пластины. Кроме этого, увеличение амплитуды колебаний пластины приводит к увеличению интервала частот колебаний, при которых сохраняется стоячая капиллярная волна, что характерно для возбуждения параметрических колебаний [5].
Было также замечено, что длина стоячих двумерных капиллярных волн на поверхности тонкого слоя жидкости на поверхности пластин на участках с пучностями колебаний немного меньше по сравнению с длиной волн на искривленной поверхности жидкости вблизи края пластины.
Рис. 5. Капиллярные волны на поверхности воды под свободным краем стальной пластины при вибрациях с частотой 5,4 кГц (а) и под краем PET пластины при вибрациях с частотой 4,7 кГц (б)
Зависимость длины $ капиллярных волн от частоты % возбуждающих колебаний получим из выражения для зависимости круговой частоты ш от волнового вектора к для капиллярно-гравитационных волн на поверхности жидкости [6]:
ш2 = (дк + ok(/p)thkH, (7)
где д - ускорение свободного падения в поле тяжести Земли, о - поверхностное натяжение, р - плотность и H - глубина жидкости, множитель thkH - гиперболический тангенс от произведения волнового вектора и глубины.
Для чисто капиллярных волн, возбуждаемых вибрирующей пластиной, первое слагаемое в правой части этого равенства можно не учитывать и тогда
ш2 = ok3thkH /р. (8)
Учитывая то, что ш = 2+f и k = 2п/$, получим следующую зависимость длины капиллярных волн от частоты:
X3 = (2no/pf2)th(2nH/X). (9)
Выражение (9) можно использовать для тонкого слоя жидкости толщиной Н < $/2, когда величина th(2+H/Ä) < 1. При этом возникает необходимость экспериментального определения толщины слоя жидкости, на поверхности которого возбуждаются капиллярные волны.
Для капиллярных волн в глубокой жидкости и в слое жидкости толщиной Н > $/2 величина th(2nH/X) = 1 и выполняется соотношение
$3 = 2+o/pf2. (10)
Это выражение применимо для капиллярных волн на поверхности жидкости вблизи краев вибрирующей пластины. Поверхностное натяжение воды
о= 72,3-10 Н/м и ее
3 3 3
плотность р = 1000 кг/м , для спирта - о = 22,3-10- Н/м и р = 790 кг/м . Из этих значений получим удобные для анализа выражения для длины капиллярной волны в миллиметрах на поверхности воды и спирта, соответственно, $ = 0,77f~2/3 и $ = 0,56f~2/3, где частота задается в килогерцах.
Параметрическое возбуждение капиллярных волн в слое жидкости, контактирующей с поверхностью вибрирующей пластины, обусловлено тем, что при колебаниях пластины частицы в слое жидкости приобретают не только импульс, но и ускорение
d2s/dt2 = ы2з0созкЬхх соэшЬ. (11)
Объем участка АБ слоя жидкости толщиной Н имеет массу т = рАБН. При ускоренном движении эта масса слоя жидкости оказывает действие на пластину с силой, равной силе инерции
9 = тd2s/dt2 = рАБНи>2з0созкЬхх соэшЬ. (12)
Соответственно, в слое жидкости при колебаниях вместе с пластиной возникает давление сил инерции р:, которое в пучности колебаний пластины равно
р: = 9/АБ = рН(£2з0 соэшЬ. (13)
Величина давления сил инерции в слое жидкости зависит от толщины в направлении колебаний и периодически изменяется с частотой колебаний участка пластины. При этом за каждый период колебаний с началом движения пластины в сторону слоя жидкости давление имеет максимальное положительное значение и в момент времени изменения направления движения в сторону от слоя жидкости - максимальное отрицательное значение. Давление сил инерции действует и на участки искривленной поверхности на межфазной границе, при периодическом изменении давления сил инерции возбуждаются колебания границы смачивающего слоя. Такой процесс можно рассматривать как периодическое изменение площади свободной поверхности жидкости вследствие действия дополнительных периодически изменяющихся поверхностных сил, обусловленных силами инерции. Это приводит к параметрическому возбуждению капиллярных колебаний в виде стоячих волн на границе слоя жидкости, смачивающей поверхность пластины.
Увеличение амплитуды колебаний пластины вызывает пространственную модуляцию капиллярных волн в поперечном направлении, в результате которой капиллярные волны становятся двумерными (рис. 5, б). Более того, если граница слоя жидкости в процессе колебаний достигает кромки края пластины, то периодически меняется кривизна свободной поверхности слоя жидкости вдоль края пластины. Вследствие этого, гребни двумерных капиллярных волн вытягиваются вплоть до отрыва от них частиц жидкости. Этот процесс в целом приводит к распылению жидкости в слое, смачивающем поверхность вибрирующей пластины.
Установлено, что на искривленной свободной поверхности под краем вибрирующей пластины возникают поверхностные вихревые течения по разные стороны от края пластины. Поверхность жидкости в этих течениях движется в противоположных направлениях таким образом, что между ними создается восходящий поток, движущийся под край пластины в направлении, перпендикулярном к этому краю (рис. 6, а). Наблюдаемое движение жидкости можно объяснить тем, что давление жидкости под ее свободной поверхностью вблизи вибрирующей пластины меньше по сравнению с давлением под невозмущенной поверхностью вдали от пластины. Разность давления, как было указано выше, определяется удельной энергией жидкости, полученной от участка вибрирующей пластины.
Дальнейшее увеличение амплитуды изгибных колебаний пластины приводит к периодическому инерционному отрыву относительно крупных капелек жидкости из-под края вибрирующей пластины, создающих струю. Образование струи жидкости вибрирующей пластиной происходит в результате одновременного возникновения поверхностного течения на искривленной поверхности жидкости и возбуждения двумерных капиллярных волн на этой движущейся поверхности жидкости (рис. 6, б).
капли
пластина
жидкость
капиллярная волна ерхностное течение
б)
Рис. 6. Поверхностное течение и капиллярные колебания в жидкости под краем вибрирующей пластины (а) и механизм образования струи под свободным краем вибрирующей пластины (б)
В целом рассмотренные процессы взаимодействия жидкости и вибрирующей пластины, изгибные колебания которой возбуждаются пьезопреобразователем, являются пороговыми. Если для возбуждения капиллярных волн пластиной на электроды пьезопреобразователя достаточно подать напряжение порядка 1 В, то генерация струи происходит при амплитуде напряжения не менее 15^20 В. На рис. 7 приведены области амплитуд и частот напряжения на электродах пьезопреобразователя, в пределах которых вибрирующая пластина заданных размеров и частично погруженная в воду возбуждает капиллярные волны, производит распыление и образует струю.
Рис. 7. Область амплитуд и частот напряжения на электродах пьезопреобразователя ЕМЬ-20Т-6,0Л1-100 при возбуждении в воде капиллярных волн (7), распыления (2) и генерации струи (3) стальной изогнутой пластиной 40,0x8,6x0,1 мм
ВЫВОДЫ
Вибрации пластины, частично погруженной в жидкость, возбуждают капиллярные волны не только на поверхности слоя жидкости, смачивающей поверхность пластины, но и на искривленной поверхности жидкости вблизи краев пластины. Первоначально образующиеся капиллярные волны на границе слоя жидкости, смачивающей поверхность участка пластины вблизи свободного карая, модулируются колебаниями пластины, в результате которого создаются двумерные капиллярные волны. Капиллярные колебания с частотой вибраций пластины периодически изменяют кривизну поверхности смачивающего слоя жидкости вблизи края пластины с отрицательной на положительную. Кроме этого, вследствие возникновения гидродинамического давления в колеблющейся жидкости из-за вибраций пластины, в жидкости вблизи пластины создаются поверхностные вихревые течения. Под свободным краем вибрирующей пластины течение жидкости направлено вверх в сторону этого края. Механизм образования струи при воздействии на жидкость вибрирующей пластиной связан с периодическим инерционным отрывом частиц жидкости из-под края пластины вследствие одновременного наложения давления инерционных сил, давления Лапласа двумерных капиллярных волн на поверхностное течение, создаваемое вибрациями пластины в жидкости.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 16-41-180276 р урал а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров В. А. Взаимодействие вибрирующего стержня и жидкости на межфазной границе // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 1. С. 116-126.
2. Александров В. А. Гидродинамические явления при взаимодействии колеблющейся консольной пластины с жидкостью // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 2. С. 308-313.
3. Faraday M. On a peculiar class of acoustical figures; and on certain forms assumed by groups of particles upon vibrating elastic surfaces // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1831, vol. 121, pp. 299-340. http://www.jstor.org/stable/107936
4. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Черепанов А. А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 216 с.
5. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Колебания линейных систем (Том 1). М.: Машиностроение. 1999. 504 с.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
ABOUT THE MECHANISM OF A JET GENERATION FROM THE LIQUID SURFACE BY VIBRATING PLATE
Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Experimentally investigated the formation mechanism of the jet on the liquid surface near the edge of the vibrating plate, partially immersed in the liquid. Impact on liquid vibrating plates in conditions of resonant bending vibrations excite on the surface of the fluid layer wetting the surface of the plate, capillary fluctuations in Faraday ripples. Two-dimensional capillary waves arise on the curved surface of the liquid near the edges of the vibrating plates. The fluctuations of the phase plate on the surface of the liquid creates a hydrodynamic pressure that leads to the emergence of eddy surface currents. At a certain position of the vibrating plate in the liquid capillary oscillations in the form of standing waves are formed along the border of the wetting layer of liquid directly under the free edge of the plate. Fluctuations in the edge of the plate modulate these waves in the transverse direction, in which there is a periodic change of curvature of the surface wetting layer of liquid with negative to positive. Imposing a periodically varying forces of inertia with the frequency of the vibration plate and the Laplace pressure in the capillary of the excited standing waves in the surface flow under the edge of the plate initiates a periodic ejection of liquid particles, creating the jet.
KEYWORDS: piezoelectric transducers, plate vibrations, liquid jet, capillary waves, surface flow. REFERENCES
1. Aleksandrov V. A. Vzaimodeystvie vibriruyushchego sterzhnya i zhidkosti na mezhfasnoy granitse [Interaction of the vibrating rod and liquid on interphase border]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2013, vol. 15, no. 1, pp. 116-126.
2. Aleksandrov V. A. Gidrodinamicheskiye yavleniya pri vzaimodeystvii koleblyushcheysya konsol'noy plastiny s zhidkost'yu [The hydrodynamic phenomena at interaction of the vibrating console plate with liquid]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2014, vol. 16, no. 2, pp. 308-313.
3. Faraday M. On a peculiar class of acoustical figures; and on certain forms assumed by groups of particles upon vibrating elastic surfaces. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1831, vol. 121, pp. 299-340. http://www.jstor.org/stable/107936
4. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Cherepanov A. A. Dinamika poverkhnostey razdela v vibratsionnykh polyakh [Dynamics of interfaces in vibration fields]. Мoscow: FIZMATLIT Publ., 2003. 216 p.
5. Vibratsii v tekhnike. Spravochnik v 6 tomakh. Kolebaniya lineynykh sistem (Tom 1) [Vibrations in the art. Guide in 6 volumes. The vibrations of linear systems (Volume 1)]. Moscow: Mashinostroyeniye Publ., 1999. 504 p.
6. Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoreticheskaya fizika. T. VI. Gidrodinamika. [Theoretical Physics. ^ VI. Hydrodynamics]. Мoscow: Nauka Publ., 1986. 736 p.
Александров Владимир Алексеевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ИМ УрО РАН, e-mail: ava@udman. ru
Копысов Сергей Петрович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ИМ УрО РАН, e-mail: s. kopysov@gmail. com
Тонков Леонид Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, заместитель директора по научной работе ИМ УрО РАН, e-mail: [email protected]
