CC BY
4
V.V. K o n n o v THE CRITERION of CUBIC HYPERSURFACES
The algebraization problem for a smooth submanifold in a projective space is to find a differential-geometric criterion at which the given submanifold in a projective space becomes some algebraic variety (or some submanifolds in a projective space belong to one algebraic variety). In this work the differential-geometric criterion of cubic hypersurfaces has been found. For a smooth hypersurface V in a projective space Pn the manifold V xV \ diag(V x V) of pairs of its various points is considered. The three-valence covariant symmetrical tensor Cijk on the manifold VxV\diag(VxV) is constructed. The equality to zero of the tensor C>vt is the criterion of cubic hypersurfaces.
The found criterion can be applied when it is necessary to prove that two or more hypersurfaces belong to one cubic hypersurface. This criterion contains only derivatives not exceeding the third order and he can be easily applied in practice.
УДК 514.75
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
И.Е. Л и с и ц ы н а
(Балтийский военно-морской институт)
Дано задание регулярной гиперполосы SHm , базисная поверхность которой несет сопряженную пару 8(Д,Д*) распределений: распределение Д г-мерных линейных элементов и распределение Д* 8-мерных линейных элементов (8=ш-г ). Рассмотрены аналитические условия и геометрическая интерпретация голоном-ности распределений. С помощью фокальных образов, ассоциированных с распределениями Д и Д*, найдено поле инвариантных нормалей 2-го рода гиперполосы SHm, которое названо полем ребер Грина. Построено поле нормалей Фосса 1-го рода гиперполосы ЗНт^Ап, которое сопряжено относительно поля соприкасающихся гиперквадрик гиперполосы SHm полю ребер Грина.
В работе придерживаемся следующей схемы индексов: р,д,1,...= 1,г; а,Ъ,е,...= г + 1,т; а,(,у,...= т + 1,п - 1; а,, (3, у ,... = ш+1,п; у,к,...= 1,т; А,В,С,...= 1,г, т + 1,п- 1; и,у^,...=г + 1,п- 1; УД,К,...= 1,п.
§ 1.Задание сопряженной пары 8(А,А) распределений на регулярной гиперполосе 8Ыш
Рассмотрим п-мерное аффинное пространство An со структурными уравнениями.
D ю¥ = ю ь л ю^, D ©К = лю К, (11)
отнесенное к подвижному реперу, состоящему из точки А0 и п векторов е 15е2,...,еп. Инфинитезимальное перемещение такого репера определяется дифференциальными уравнениями
dAo= ю у еу, d еу = ю |ек. (1.2)
Пусть в пространстве An задана m- мерная гиперполоса Нп с базисной поверхностью Vm. Предположим, что поверхность Vm несет двухкомпонентную неприводимую сопряженную систему $(Д,Д*) [1]. Это означает: а) в каждой точке A поверхности Vm существует пара сопряженных направлений Д и Д* соответственно размерностей г и s ( r+s=m), линейная оболочка которых совпадает с касательной плоскостью Т»; б) направления Д и Д* не содержат полных сопряженных подсистем или асимптотических направлений.
Присоединим к точке А поверхности Vm, несущей сопряженную систему S(Д,Д*), подвижной репер, совместив его вершину Ао с точкой А, векторы { е }
расположим в плоскости Д, { еа } в плоскости Д*, а векторы { еа } поместим в характеристику хп-т-1 = X. Так как векторы { ер ,еа } мы расположили в касательной плоскости Тп к поверхности Vm, то имеют место равенства
юа = 0. (1.3)
Дифференцируя соотношения (1.3) внешним образом и разрешая по базисным формам ю р и юа, найдем
Юр = ЛарЧ ю 4 + Лара ю а , ю( = ЛЙаЧ ю 4 + ЛааЬ Ю Ь ,
где
Да = Да Да = Да Да = да Л ря Д яр' Д ра Д ар, Д аЬ =Д Ьа .
Асимптотические квадратичные формы поверхности Vm принимают при этом вид
фа =Д<рч юр юя + 2Д(ра юр юа +Д(Ь юа юЬ.
Направления Д и Д сопряжены на поверхности V
п , поэтому члены, содержащие произведения юр юа, в формах фа должны отсутствовать. Условия сопряженности этих направлений принимают вид:
Дара = 0. (1.4)
Следовательно, для форм ю( и ю ( мы получаем выражения
ю( = ДйрЧ ю ю( = Д(ь ю Ь. (1.5)
Так как при фиксации главных параметров сопряженные плоскости Д и Д* остаются неподвижными, то формы юа и ю р не должны зависеть от дифференциалов вторичных параметров, и значит их можно записать в виде
ю Р = Ярчю 4 + *рь ю Ь = Яр ю1, ю Р = 8^ ю 4 + ю ь = 8р ю1. (1.6)
В силу того, что характеристика х гиперполосы Нт также остается неподвижной при фиксации точки А, аналогично формулам (1.6) можно записать:
ю« -1 ач ю4 +1 аь юь -1 а1 ю1, ®а -1 ач ю41 аь юь -1 а ю1. (1.7)
Продолжение уравнений (1.5), (1.7) и юп — 0 [2] приводит соответственно к дифференциальным уравнениям:
V Лпрч -Лпрф ю1, V Лпаь =Лпаь1 ю1,
V ЛарЧ +Лпр4юа -Л^ю\ V Лааь +Лпаьюа - Л«^ю1,
V Ярч - Я^ю1 - 1 ачЛ<рю< +Лпр4юП - Ярч1 ю
V Ярь - Я^ ю1 - 1«ьЛарЧю ч - Ярыю1,
V 8^ - 8^ ю1 - 1«чЛ«ьюь - 8^ю1,
V 8рь - 8^ ю1 - 1 «ьЛ«аСюС +ЛпаьюП - 8ркю1, (1.8)
V 1 «р - 1 «ьЯр1ю 1 - Яар1 «1ю 1,
V 1«ь - 1 ю1 - Ярь1«1 ю1 - 1«ь1 ю1,
V 1«ч - 8рд1 «1 ю1 - 1«ьЯ$1 ю1 - 1«ч1 ю1,
V 1 р - 8ра 1 «1 ю1 - 1 р^ ю1 - 1 «аю1
и соотношениям
Iр Дп = 0 Iа Лп = 0 |а Лп - Iр Лп = 0 (Т)
1 «[РЛ 1]р 0, 1 а[Ь Лс]а - 0' 1 аq ЛаЬ 1 аЬЛpq - 0. (Т)
Здесь величины Л«рч1, Л«^ симметричны по всем нижним индексам, а величины Яру, 8^, - по двум последним нижним индексам. Кроме того, продолжая (1.5), в силу Л<ра - 0 имеем
д« _ Л«Т? ь _ Л« СI Л« __л« [Э с _ д« Ср оч
Лрча - - ЛаьЯрч Лр18ач , ЛаЬр - - Лас^рЬ Лрр°аЬ' (19)
Из соотношений (1.9) следует
Л^рра - Л«ас КрЬ + Л«рр ^ - Б*,) - 0,
^Р^'ар - ^р^'ар + Л«аьКр - ^рр ) - 0-
Таким образом, гиперполоса Нт, базисная поверхность которой несет двух-компонентную сопряженную систему S(Д,Д*), определяется уравнениями:
ю< - 0, ю« - 0,
ю« - Л<рчюю« - Л«ьюь, юр - Яр1 ю1, (1.10)
юр - 8р1 ю1, ю«- 1«1 ю1, ю« - 1 «1 ю1, а также уравнениями (1.8) и соотношениями (1),(11). Такие гиперполосы аффинного пространства Ап в дальнейшем будем обозначать SHm. Геометрический
объект Г2 ={ Л«рч, Л(«ь, Яр1, 8р, 1«1, } является фундаментальным объектом [3] 2-го порядка гиперполосы ЗНт^Ап .
§2. Тензор неголономности сопряженной системы 8(Д,Д*)
1. Найдем условие голономности системы плоских элементов Д на поверхности Уп. В этом случае система уравнений
ю а = 0, (2.1)
определяющая эти плоские элементы на Vm, является вполне интегрируемой тогда и только тогда, когда
* аря] = (2.2)
Это условие, таким образом, и является условием голономности системы плоских элементов Д. Геометрически голономность распределения Д интерпретируется следующим образом. Базисная поверхность Vm гиперполосы SH п представляет собой s-параметрическое семейство г- мерных поверхностей Уг, касательными плоскостями которых являются плоские элементы Д сопряженной системы S(Д,Д*).
Система уравнений (2.1), (1.10), (1.8), (1),(11) задает регулярную гиперполосу Нг^Ап, поле характеристик которой скомпоновано [4], т.е. Хп-г-1 = [Хп-т-1' Д* ]. С другой стороны, базисная поверхность Уп представляет собой тангенциально вырожденную поверхность У^ ранга г. Эти же уравнения определяют тангенциально вырожденную гиперполосу СН гт, характеристика которой в каждом центре А распадается на две плоскости х и Д* [5].
2. Аналогично всякая интегральная кривая распределения Д* удовлетворяет системе
ю а = 0, (2.3)
которая является вполне интегрируемой тогда и только тогда, когда
S раЬ] = 0. (2.4)
Условие (2.4) является условием голономности системы плоских элементов Д*. Геометрически голономность плоских элементов Д* означает, что базисная поверхность Уп гиперполосы SHm представляет собой тангенциально вырожденную поверхность У^. Система уравнений (2.3), (1.10), (1.8), (I), (II) задает в
общем случае тангенциально вырожденную гиперполосу СН ^ с распадающимся полем характеристик [5]. С другой стороны, эта система определяет регулярную гиперполосу Нэ^Ап с распадающимся [4] полем характеристик
X п-8-1 _ п-Ш-1 ' Д].
3.Тензоры {Яаря]} и ^рЛ]} будем называть [6] тензорами неголономности
соответственно распределений Д и Д*. Если каждое распределение сопряженной системы S(Д,Д*) голономно, то будем говорить, что эта сопряженная система вполне голономна, а если только одно из распределений Д и Д* голономно, то будем говорить, что сопряженная система S(Д,Д*) полуголономна. Тензор {Яаря] ^ раЬ]} будем называть тензором неголономности сопряженной системы
S(Д,Д*).
§3. Фокальные образы
1. Определение. Точка М, принадлежащая плоскости распределения А*, называется фокусом, соответствующим некоторому направлению из А, если она не выходит из А* при инфинитезимальном смещении точки А в этом направлении. Последнее называют фокальным направлением, соответствующим фокусу
[7]. ^ ^
Произвольную точку плоскости А* можно представить в виде М = А + хаёа.
Если точка М является фокусом, то должно выполняться условие а М еА* и при этом ю а = 0 (т.к. направление смещения принадлежит А):
а М /юа=0 = (ю р + х^ ю ч)ер + (аха + хь ю аь)ёа. Отсюда получаем
ю р + ю 4 = 0, х р =х а =х п =0. (3.1)
Итак, координаты фокуса М должны удовлетворять уравнениям, выражающим существование нетривиального решения системы (3.1). Направления, определяемые этими решениями, называются фокальными направлениями. Множество всех фокусов называется фокальной поверхностью. Уравнение фокальной
А*
имеет вид:
аеИ! 5 р + х^!! = 0, х р =х а =х п =0. (3.2)
Таким образом, все фокусы плоскости распределения А* лежат на алгебраической поверхности (3.2) порядка г размерности 8-1. Каждой точке фокальной поверхности (3.2) соответствует фокальное направление из А, определяемое системой (3.1).
Аналогично получаем, что уравнение фокальной поверхности распределения А имеет вид:
ае!!! 5 а + хр:Кра!! = 0, ха =х а =х п =0, (3.3)
а фокальное направление, соответствующее точке N = А + хрёр поверхности
(3.3), определяется системой уравнений:
ю а + х^^ ю а = 0, х а =х а =х п =0. (3.4)
2. Найдем линейную поляру точки А относительно алгебраической поверхности (3.2) - фокальной поверхности распределения А*. Линейной полярой будет являться плоскость размерности т-г-1, определяемая уравнениями
1+ хаБа = 0, х р =х а =х п =0, (3.5)
где
1 1
^ а = ^, V Эа = рО^ю' + I А«аь юь + Э^О. (3.6)
Аналогично находится поляра точки А относительно фокальной поверхности распределения А. В результате получается (г-1) -плоскость
1+Хр^ = 0, х а =х а =х п =0, (3.7)
р
где
Яр - 1 Яра^Яр - —(Яр^ю' + 1 «аЛ«рЧюч + Ярчю(3.8)
ш - г ш - г1^-1
В случае обращения в нуль тензоров ^а} и {Яр} фокальными поверхностями распределений плоскостей Д и Д* соответственно являются несобственная (т-г-1)- плоскость и несобственная (г-1)- плоскость.
3. Рассмотрим (т-1)-мерную плоскость От-1, проходящую через линейные поляры точки А относительно фокальных поверхностей распределений Д и Д* . В силу (3.5) и (3.7) она определяется уравнениями
От-1: X« =хп =0, 1+ хрЯр + ха8а - 0. (3.9)
Следуя работам [8], [9], полученную плоскость От-1 будем называть ребром Грина сопряженной системы S(Д,Д*). Таким образом, доказана
Теорема 1. В дифференциальной окрестности 2-го порядка инвариантным образом присоединяется поле внутренних нормалей 2-го рода гиперполосы SHm-поле нормалей Грина, определяемое уравнениями (3.6), (3.8). Относительно локального репера ребро Грина задается уравнениями (3.9).
4. Рассмотрим инвариантную прямую [А, Фп ], внутренним образом
присоединенную к гиперполосе SHm в дифференциальной окрестности 2-го порядка, определяемую вектором
Ф п = еп +Л<П ё«+ ЯП ёа + 8р ёр, (3.10)
где
Л«. -1 (лИД« + ЛаьЛаь), (3.11)
ш
1
^«п - — (-2ю « -Л«рр ДП Л^ю1 -Л«аь Л? ЛЬпС Лпс)с I ю1 + Лрр Л«рр1ю1 + ЛапЬ Л«аЫю1);
т
1
*а - - др?^, (3.12)
vяп - 1(лрпч1«чд<рю* +лрпчярч1 ю1 +лрпчярья;1 ю1 -ярчлрпл^п8лп,ю1 -юп);
8р - — Лап8рь, (3.13)
т - г
v Эр (ЛапЬ1 «Ь Л«ас ю с + ЛапЬ Брь I ю 1 + ЛапЬ эр( Э'ы ю1 - эрь Л? ЛЬс Л^ю1 -ю р).
т - г
Следуя работе [10], прямую ф назовем прямой Фосса, ассоциированной с двух-компонентной сопряженной системой S(Д,Д*). Плоскость Фп_ш - [А, Ф1, X], натянутую на прямую Фосса Ф1 и характеристику х гиперполосы SHm, назовем нормалью Фосса 1-го рода гиперполосы SHm, порожденной сопряженной системой S(Д,Д*).
5. Найдем поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик [2] гиперполосы SHm
Л"хрхЧ + ЛпяЬхахь + 2АП|1хрхп + 2Ахахп +
РЧ ав рп ап /"} 1 /I л
+ Ьархахр + Т0(хп)2 + 21ахахп - 2хп - 0, '
относительно которых в каждой точке А базисной поверхности Уш ребро Грина Ош-1 и нормаль Фосса Фп-ш 1-го рода гиперполосы 8Иш полярно сопряжены. Из условия полярной сопряженности плоскостей Фп-ш и Ош-1 относительно поля гиперквадрик (3.14), найдем
Арп =-Яр -Л-рчБЧ, Аап =-8а -Лпаьяп. (3.15)
Учитывая охваты (3.15) в формуле (3.14), приходим к предложению:
Теорема 2. В дифференциальной окрестности 3-го порядка внутренним инвариантным образом присоединяется к гиперполосе 8Иш поле соприкасающихся гиперквадрик
Лпрчхрхч +ЛпаЬхахь -2(Яр +Лпрч84п)хрхп -2(Яа +ЛпаЬЯп)хахп + + Ьархахр + Т0(хп)2 + 21ахахп -2хп -0, относительно которых поля нормалей Фосса и ребер Грина полярно сопряжены.
Библиографический список
1. Акивис М.А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.7 -31.
2. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос. Калининград, 1983. 82 с.
3. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. М., 1953. Т.2. С.275-383.
4. Попов Ю.И. Основа теории трехсоставных распределений проективного пространства. СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1992.172 с.
5. Попов Ю.И. Внутренние оснащения вырожденной ш-мерной гиперполосы И^
ранга г многомерного проективного пространства // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 1976. N6. С.79-85.
6. Лаптев Г.Ф. Распределения касательных элементов // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т.3. С.28-48.
7. Акивис М.А. Фокальные поверхности ранга г // Изв. вузов. Мат. 1957. Т.1. С.9-19.
8. Благонравов В.В. Распределения на гиперповерхности аффинного пространства / Деп. в ВИНИТИ. N4552. 20 с.
9. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
10. Акивис М.А. О нормалях Фосса поверхности, несущей сеть сопряженных линий // Мат. сб. М., 1962. Т.58. N2. С.695-706.
I.E. L i s i t s y n a
DISTRIBUTIONS ON THE REGULAR HIPERSTRIP OF THE
AFFINE SPACE
We give regular hyperstrip SHm, basic surface of which carries conjugate pair S(A,A*) of distribution: the distribution A of r-dimensional linear elements and the distribution A* of S-dimensional linear elements (S=m-r). Analytical conditions and geo-
metrical interpretation of holonomic of the distribution are considered. By means of focal images, associated with the distributions A and A* , normal of 2-nd kind field of hyperstrip SHm is found, which is called field of Grin's ribs. УДК 514.75
двойственный образ центрированной тангенциально
ВЫРОЖДЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ СН'
- r " m
Т.Ю. М а к с а к о в а
(Балтийский военно-морской институт)
Продолжается изучение внутренней геометрии центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы СН ^. Показано, что в дифференциальной окрестности 2-го порядка гиперполоса СНгт [1]-[3] индуцирует проективное пространство РП(УГ), двойственное исходному РП(УГ) относительно инволю-тивного преобразования J, порождаемого гиперполосой СН Ш. Введен в рассмотрение двойственный образ оснащенной гиперполосы СН гт относительно преобразования J.
В работе придерживаемся обозначений и терминологии работ [1]-[3] . Индексы пробегают следующие значения:
0,п ; p,q,r = 1,г ; а,Р, у = ш + 1,п -1; = г + 1,ш.
Для гиперполосы СН Тт в дифференциальной окрестности 2-го порядка введем в рассмотрение аналогично работе [4] симметричные невырожденные тензоры
ёеГ
(1)
def
еП = di^e
ij
i vkj, ^«p
def
n = dny e.
для которых, следовательно, можно ввести обратные тензоры 2-го порядка
elj e«p
wn ' n
'n '"ki
Vej + ej ш 0 = e;p®p
ejken = S j e py en = Sp en eki = °i, en eya = °a ,
Ve^ + e^ ш 0 = e«pp ш
ap ap 0
Veij - eij ш 0 = eij ш p = -eikeljen ш p
Ven enш0 = enpш = en eneklpшo>
vpap — papm0 — papm p — — p^p^pn mp-
Ven en ш 0 _ enpш = en en ey^pш o>
Vej + 2ej ш 0 + «-an, ш n) - 0.
Ve «p p + 2e a p p ш 0 + e ap
p qp
(шp-aqpшn) - 0.
(2)
(3)
p
