CC BY
5
УДК 514.76
ПРИЗНАК КУБИЧЕСКИХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
В.В. К о н н о в
(Самарский государственный педагогический университет)
Как известно, проблема алгебраизуемости для гладких подмногообразий проективного пространства состоит в том, чтобы найти дифференциально-геометрический критерий того, что заданное подмногообразие (несколько подмногообразий) проективного пространства является некоторым алгебраическим многообразием (принадлежат некоторому одному алгебраическому многообразию). В настоящей работе находится дифференциально-геометрический признак кубических гиперповерхностей в проективном пространстве. Для гладкой гиперповерхности К рассматривается многообразие VхУ\йга§(УхУ) пар ее различных точек. На V хУ \ ^а^У хУ) строится трехвалентный ковариантный симметрический тензор С, обращение которого в нуль является необходимым и достаточным условием вырождения гиперповерхности V в гиперкубику. Тензор С выражается через производные не выше третьего порядка, поэтому этот критерий легко может быть применен для практического распознавания кубических гиперповерхностей. Если У, У2, ..., У - конечная система гиперповерхностей,
то найденный критерий может быть модифицирован в признак принадлежности этих гиперповерхностей одной гиперкубике.
Условимся, что в дальнейшем индексы будут принимать следующие значения: и, V, у,... = 0,1,..., п; г, ], к,... = 1,2,..., п -1. Кроме того, будем предполагать, что п > 2 .
Пусть Ж - вещественное векторное пространство размерности п+1, Р(Ж) -порожденное им проективное пространство, р: Ж ^ Р(Ж) - каноническая проекция (отображение проективизации). Обозначим через Е(Р(Ж)) многообразие всех базисов В = {е0, е1,..., еп} пространства Ж, нормированных условием е0 л е1 л... л еп = 1. Здесь через е0 л ех л... л еп обозначен определитель, составленный из координат векторов е0, е, .••, еп относительно некоторого фиксированного базиса В0. Каждый базис В = {еи } е (Р(Ж)) однозначно определяет проективный репер {Еи, Е} в Р(Ж) с базисными точками Еи = Р(е„) и единичной
п
точкой Е = р(^ еи). Многообразие Е(Р(Ж)) отождествляется с группой Ли
и=0
8Ь(п +1), которая изоморфна связной компоненте единицы РОЬй (п) полной проективной группы РОЬ(п).
Каждый вектор еи базиса В е ^(Р(Ж)) можно рассматривать как гладкую Ж-значную функцию (еи : В ^ еи) на группе Ли РОЬ0 (п +1). Поэтому йеи - это
гладкая Ж-значная 1-форма на РОЬ0 (п +1). Раскладывая ее по базису В пространства Ж, получим:
¿еи -С ® ем. (1)
Формы являются левоинвариантными формами группы Ли РОЬй (п +1) и удовлетворяют структурным уравнениям Маурера-Картана:
¿а: -а: л а, (2)
С +а1 +... + а"п - 0. (3)
Алгебра Ли группы Ли РОЬ0 (п +1) изоморфна алгебре sl(n+1) бесследовых квадратных матриц порядка п+1. Если X - произвольное левоинвариантное векторное поле на РОЬ0 (п) (т.е. элемент алгебры Ли sl(n+1), X - (хи), XI - 0), то значением формы йеи на X является вектор ¿еи (X) = &: (Х)еи - Х1еи, соответствующий инфинитезимальному смещению вектора еи в направлении X. Каждому дифференцированию X из алгебры Ли sl(n+1) соответствует инфинитезимальное проективное преобразование, переводящее проективный репер с вершинами Аи - р(еи) в репер с вершинами Л'и -р(Хчиеи). В силу этого, систему равенств (1), в
которой формы а1 удовлетворяют уравнениям (2), (3), принято называть уравнениями инфинитезимальных перемещений репера проективного пространства, а уравнения (2), (3) - структурными уравнениями проективного пространства [2].
Пусть V - гладкая гиперповерхность в Р(Ж). Обозначим через ¥(V) семейство реперов из ¥(Р(Ж)), определенное следующим образом: А0 - р(е0) е V, А = Р(е„) е V, Л е РТ^ (V) п РТА (V). Здесь и далее через РТА (V) обозначается
проективная касательная гиперплоскость к гиперповерхности V в точке Л. Семейство реперов ¥(V) является гладким подмногообразием в ¥(Р(Ж)). Обозначим через / отображение вложения ¥(V) ^ ¥(Р(Ж)), а через в: - /Си - сужение форм а: на ¥(V). Формы в: удовлетворяют уравнениям (2), (3) и уравнениям:
воп-во -0. (4)
Если рассмотреть гладкую проекцию
ж: ¥ (V) XV \ diag(V XV), (5)
сопоставляющую каждому базису В - {е0, е1,..., еп} е ¥(V) пару точек Л0 и Лп гиперповерхности V, то многообразие ¥ (V) можно считать тотальным пространством для главного расслоения {¥(V), VXV\diag(VXV), ж, О } со структурной группой О с РОЬ0 (п), являющейся подгруппой изотропии пары точек А0, Ап. Горизонтальными формами расслоения (5) являются линейно независимые 1-формы {в'0, в'п}. Интегральными многообразиями вполне интегрируемой системы Пфаффа
в0 =в'п -0 (6)
являются подмногообразия реперов из ¥ (V), каждое из которых проектируется в фиксированную пару точек (А0, Ап) гиперповерхности V.
Система форм { в'0, в'п } содержит две вполне интегрируемых подсистемы:
в = 0, (7)
вп = 0. (8)
Система (7) определяет семейство реперов из ¥ (У), проектирующихся в пару (А, А) с фиксированной точкой А. Аналогично, система (8) определяет семейство реперов с фиксированной точкой А. При этом, формы { в'0} образуют базис кокасательного пространства к гиперповерхности V в точке А, а формы { в'п} определяют аналогичный базис в точке А. Пусть Г^ (У) - касательное векторное пространство к гиперповерхности V в точке А, а } - базис в Г^ (У), сопряженный кобазису { вП}. Каждый вектор V можно отождествить с касательными векторами к проективной прямой АА в точке А (см., например, [3]). Аналогично, если {1у1} - базис в Г^ (У), сопряженный кобазису {в'п }, то вектор Vi является касательным вектором к проективной прямой А А в точке А.
Применяя к системе (4) оператор внешнего дифференцирования и используя лемму Картана, получим:
в: = ав, ау = ап; (9)
0° = ав, а^ = ап. (10)
Повторяя указанную процедуру к системам уравнений (9) и (10), найдем:
йац- ав - ав + а„(в0 +01) = Лв, Л =^ ; (11)
^ -ав -авк + *„в +вп) = Л1]квк, Л]к =Лп . (12)
Величины а являются компонентами относительно инвариантного тензора в точке А , который называется асимптотическим тензором гиперповерхности V. Величины а у являются компонентами асимптотического тензора гиперповерхности V в точке А. В дальнейшем будем предполагать, что гиперповерхность Vявляется тангенциально невырожденной [1], т.е. Ае^а^) ф 0 и Ае^а^) ф 0.
Можно показать, что функции А = а - О,- определяют относительно инвариантный тензор на УхУ\diagVхУ. Легко видеть, что равенство А = 0 является необходимым и достаточным условием вырождения гиперповерхности V в гиперквадрику (подробное доказательство см. в [1]). Действительно, если аг> = ау, то из (11), (12) следует (в силу линейной независимости форм вП ,в'п),
что Лк = Лф = 0. Поэтому в каждой точке А гиперповерхности V равен нулю
тензор Дарбу =Л--- Лат (здесь Л = Лка]к и а] - обратный тензор для
П П п +1 ]) П
а^). Но условие = 0 является тензорным признаком гиперквадрики [4]. Обратно, если V - невырожденная гиперквадрика, то в любом репере из ¥ (У) она может быть задана уравнением: ^хгх] - 2х0хп = 0. Так как эту квадрику порож-
дает относительно инвариантная квадратичная форма, заданная на векторном пространстве Ж, то по основной теореме тензорного анализа имеем:
- дв - ОиЖ+дв=о, (13)
где д00 = дпп = д^ = дт = о, д0п = -1, а в - некоторая 1-форма на ¥(V). Раскрывая условие (13) для различных пар индексов, получим, что д = а^ = ау, т.е.
4=0 ■
Далее будем рассматривать общий случай, когда тензор Аг>. является невырожденным для любой пары точек А0, Ая. Величины Хук и Хук, входящие в
уравнения (11), (12), не образуют тензоров, а являются геометрическими объек-
3 — - 3 -тами на V [4]. Обозначим через В = X--- А А]к) и В = X--- А А бес-
1 1 п +1 1 1 п +1
следовые части объектов Хук и Хук относительно тензора Аг> соответственно. Здесь А = АрчХрч1, А = АрчХрч1 и А1 - обратный тензор для Ау. Кроме того, обозначим: е1]к =1 В1]к, е1]к = 1 В1]к, где В = ^А^'А^В^ и В = ^А1р А*%чВрП ■
В В
Несложно проверить, что система функций С^ = еук - еук определяет на VXV\(diagVXV) относительно инвариантный трехвалентный симметрический тензор.
Теорема. Тангенциально невырожденная гиперповерхность V с невырожденным тензором Аг>. является кубической гиперповерхностью тогда и только
тогда, когда в любом репере из ¥(V) имеет место равенство Сук = 0.
1. Доказательство необходимости. Пусть V - кубическая гиперповерхность в Р(Ж). В репере из ¥(V) кубику V можно задать уравнением:
^х^Х = о, (14)
где дооо = доог = д,пп=дппп =0, доопдопп=1. условие относительной инвариантности кубической формы дит1хихухк на пространстве Ж имеет вид:
dд - д вр - д вр - д вр + д в = о, (15)
где в - некоторая 1-форма на ¥(V). Введем обозначения: д00и = д, д0ии = д ,
догп = д1 , д0у= д», дп1] = д1] . Тогда система (15) перепишется в виде:
- 2дв - дв,п=о, - щв] - дво = о, (16)
dд - д(2во +вп -в) - 2дв = о, ёй - д (2в: +во-в) - 2дв = о, (17)
dдl] - дв - дв + ду (в-во) - дв - дв - дв = о, (18)
ёд -1 -двк+д(в-в:)-дв] -дв -дв = о, (19)
dд1 - дв - дг (во + вп -в) - д^] - дв - дво - двп =о, (20) dдI]k=дв+дв + дв - д«в+зд Л + зд в ■ (21)
Дифференцируя тождество
дд = 1, (22)
получим:
в =
2
3 _
в = - в +вп)+00в0 + ЯЯпвп. (23)
Из (9), (10) и (16) найдем:
а ц =-2дЯ ], ау. =-200] . (24)
Дифференцируя равенства (24), получим:
Л]к = -20 (Зад + дЫ]), Лк = -20-а^ + 0] ) .
Исключая из последних соотношений величины дк, найдем:
дЛ]к - аЛк=6 А( д). (25)
Свернув равенство (25) с тензором АП, получим выражение для коэффициентов 0к:
&=- аАк). (26)
2(п +1)
3 __3 _
Равенство (25) перепишется в виде: 0(Л к--А А ) = д(Л--А А ), т.е.
П п +1 П ) П п +1 П '
0В П]к = а В]к. (27)
Умножим равенство (27) на тензор В и свернем результат с А1рАмАк:
0А1рА9АкВ1]кВрдг = 0А*рАкАкВ]кВрдг . (28)
Аналогично, умножив (27) на В и свернув результат с А'р А9 Ак, найдем:
0А 1р Ак Ак В 1]к В рдг = 0А1рА-"'АкВ1]кВрдг. (29)
Из равенств (28), (29) получим:
02 В2 =В 202, (30)
V
В л В — , 0 = у = . Теперь
Используя условие (22), из пропорции (30) находим: 0 =
равенство (27) примет вид: ^-^В^ = ^-ВВук. Следовательно, — В^ =1 Вук, т.е.
ыВ ^В В В
сук = Сук. Итак, С# = 0. Необходимость доказана.
2. Доказательство достаточности. Пусть V - тангенциально невырожденная гиперповерхность в Р(Ж), для которой тензор С^ тождественно равен нулю
в любом репере из ¥ (У). Для гиперповерхности V выполняется система дифференциальных уравнений (4), (9)-(12). Для каждой пары точек А0, Ап гиперповерхности V определим кубическую гиперповерхность У (А0, А), которая задается уравнением (14), имеющим следующие коэффициенты:
0000 0-001 0-1пп О-ппп 0 , 000п 0
В, а =0=М,
В , °0пп 0 у в '
00]=-0а1], 0П1] = -, 00^=0 = 0■ А -0 ■ А1),
дщ=- д Хук- за(идк)=- д Хик- за(идк) ■
Используя дифференциальные следствия уравнения Сук = о и учитывая (9)-(14), можно проверить, что для кубики V (А0, Ап) будет выполняться условие ее инвариантности (15). Итак, кубическая гиперповерхность V (А0, Аи) остается постоянной для любой пары точек А0 и Ая. Но так как кубика V(А0, Ап) проходит через точки А0 и Ая, то все точки гиперповерхности V принадлежат этой кубике. Теорема доказана.
Замечание. Пусть U и V - пара гиперповерхностей в Р(Ж). Рассмотрим вместо многообразия реперов ¥(V) многообразие ¥(иV) с ¥(Р(Ж)), определяемое условиями: А = р(в0) е и, Ап = р(вп) е V, А е РТАо (и) пРТ4 (V). Тогда { в'0, в'п} -горизонтальные формы для расслоения ж: ¥ (и, V) ^и XV; {вП } - линейно независимые базовые формы на и; {в1п } - линейно независимые базовые формы на V; {аг>} - асимптотический тензор гиперповерхности ^ {ау} - асимптотический тензор гиперповерхности V; {Аг>.} и {Сук} - тензоры на и XV ■ Равенство А =о
является необходимым и достаточным условием того, что гиперповерхности U и V принадлежат одной гиперквадрике, а равенство Сук = о эквивалентно
тому, что гиперповерхности U и V принадлежат одной гиперкубике. Если V, V, • ••, V - конечная система гиперповерхностей, то, разбивая гиперповерхности на пары, найденный критерий может быть применен при доказательстве принадлежности всех этих гиперповерхностей одной гиперкубике.
Отметим, что найденный признак кубических гиперповерхностей отличается от обобщенной теоремы Абеля, доказанной М.А.Акивисом в работе [1]. Применение обобщенной теоремы Абеля в рассматриваемом случае потребовало бы анализа локальных характеристик гиперповерхности для каждого набора из трех ее точек, лежащих на одной прямой.
Библиографический список
1. Акивис М.А. О некоторых задачах алгебраизуемости в проективно-дифферен-циальной геометрии // Изв. вузов. Математика. 1992. № 6. С.3-14.
2. AkivisM.A., Goldberg V.V. Projective Differential Geometry of Submanifolds. North-Holland. 1993. 362 p.
3. Griffith Ph., Harris J. Algebraic geometry and local differential geometry // Ann. scient. Ec. Sup., 4 serie. 1979. № 12. P.355-452.
4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // ТММО. 1953. Т.2. С.275-382.
5. Коннов В.В. Дифференциальная геометрия некоторых классов алгебраических многообразий. Самара: Изд-во СамГПУ, 1998. 108 с.
V.V. K o n n o v THE CRITERION of CUBIC HYPERSURFACES
The algebraization problem for a smooth submanifold in a projective space is to find a differential-geometric criterion at which the given submanifold in a projective space becomes some algebraic variety (or some submanifolds in a projective space belong to one algebraic variety). In this work the differential-geometric criterion of cubic hypersurfaces has been found. For a smooth hypersurface V in a projective space Pn the manifold V xV \ diag(V xV) of pairs of its various points is considered. The three-valence covariant symmetrical tensor Cijk on the manifold VxV\diag(VxV) is constructed. The equality to zero of the tensor Cijk is the criterion of cubic hypersurfaces.
The found criterion can be applied when it is necessary to prove that two or more hypersurfaces belong to one cubic hypersurface. This criterion contains only derivatives not exceeding the third order and he can be easily applied in practice.
УДК 514.75
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
И.Е. Л и с и ц ы н а
(Балтийский военно-морской институт)
Дано задание регулярной гиперполосы SHm , базисная поверхность которой несет сопряженную пару 8(Д,Д*) распределений: распределение Д г-мерных линейных элементов и распределение Д* 8-мерных линейных элементов (б=ш-г ). Рассмотрены аналитические условия и геометрическая интерпретация голоном-ности распределений. С помощью фокальных образов, ассоциированных с распределениями Д и Д*, найдено поле инвариантных нормалей 2-го рода гиперполосы SHm, которое названо полем ребер Грина. Построено поле нормалей Фосса 1-го рода гиперполосы знш^ап, которое сопряжено относительно поля соприкасающихся гиперквадрик гиперполосы SHm полю ребер Грина.
В работе придерживаемся следующей схемы индексов: р,дД,...= 1,г ; а,Ъ,е,...= г + 1,ш; а,(,у,...= m + 1,п - 1; а,, (3, у ,... = ш+1,п; у,к,...= ; А,В,С,...= 1,г, ш + 1,п- 1; и,у^,...=г + 1,п- 1; УД,К,...= 1,п.
