НОРМАЛИЗАЦИЯ ФОССА - ГРИНА ГИПЕРПОЛОСЫ HM(Λ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.Н. Юрьева

С.Н. Юрьева

(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)

НОРМАЛИЗАЦИЯ ФОССА — ГРИНА ГИПЕРПОЛОСЫ Нт(Л)

Построена нормализация Фосса — Грина специального класса гиперполос Нт(Л) аффинного пространства Ап.

Схема использования индексов такова:

^ ^ к = 1,ш а, в = ш + 1,п -1, р, ^ г = 1,г, а, Ь, c = г + 1,ш, I, I, К,Ь = 1,п .

1. В п-мерном аффинном пространстве Ап рассмотрим т-мерную гиперполосу Нт(Л) [4], т.е. т-параметрическое семейство таких гиперплоскостных элементов (А, т), при которых точка А описывает базисную поверхность Ут гиперполосы, а каждая гиперплоскость т(А) касается поверхности Ут в соответствующей точке А £ Ут. Гиперплоскости т(А) называются главными касательными гиперплоскостями гиперполосы Нт(Л) с Ап. Рассматриваемые гиперполосы Нт(Л) оснащены полем г-мерных касательных плоскостей Л. Поле Л-плоскостей порождает сопряженное ему поле касательных (т-г)-мерных плоскостей Ь относительно асимптотического пучка тензоров базисной поверхности Ут гиперполосы Нт(Л) [4].

Отнесем п-мерное аффинное пространство Ап к подвижному реперу К = {МД} , дифференциальные уравнения ин-финитезимального перемещения которого имеют вид ёМ = юК ёК, ёё; = юК еК . Совместим вершину М репера Я с текущей точкой А базисной поверхности Ут. Векторы е поместим в касательную плоскость Л(А), а векторы еа — в (т-г)-мерную плоскость Ь(А). Векторы ер поместим в характеристику Хп_т-1(А), а вектор е пусть занимает произволь-

161

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

ное положение, образуя с векторами ер, еа, ер репер {А, ег}

пространства Ап. Канонизированный таким образом репер назовем репером 1-го порядка Я1. В выбранном репере гиперполоса Нт(Л) задается следующими уравнениями [4]:

п „ а „ п „ п п □ п пЬ

ю = 0, ю = 0, ю = 0, ю = а ю , ю = а , ю ,

' "а "рр^"ааЬ"

а а □ а а Ь а Ла 1 р Лр 1

ю = а„„ ю , ю = а ,ю , ю = Л .ю , ю = Л .ю ,

р р^" а аЬ " р р1 а а1 "

а ,а 1 р ,р 1

ю = Л ю , ю = Л ю.

а а1 ' а а1

2. Определение. Точка М, принадлежащая плоскости Ь(А) (элемент Ь-подрасслоения), называется фокальной точкой плоскости Ь(А), соответствующей некоторому направлению I из Л(А), если она не выходит из Ь(А) при инфинитезимальном смещении точки А в этом направлении I.

Направление I называют фокальным направлением, соответствующим фокальной точке М. Произвольную точку плоскости Ь(А) можно задать вектором М = А + ха еа.

Если точка М является фокальной, то должно выполняться условие сМ е Ь(А) и юа = 0 (так как направление смещения принадлежит Л(А)):

|иа=0 = (юр + ха ^ ю^)ер + (Сха + хЬюЬ)еа.

Отсюда получаем

юр + ха Лрч юч = 0, хр = х а= хп = 0. (1)

Итак, координаты фокальной точки М должны удовлетворять уравнениям, выражающим существование нетривиального решения системы (1). Направления, определяемые этими решениями, называются фокальными направлениями. Множество всех фокальных точек называется фокальной поверхностью. Уравнение фокальной поверхности элемента Ь(А) Ь-подрасслоения в плоскости Ь(А) имеет вид

162

С.Н. Юрьева

ёеф? + хаХ!ч| = 0, хр = хи = хп = 0. (2)

Таким образом, все фокальные точки плоскости L(A) лежат на алгебраической поверхности (2) порядка г размерности ^-1). Каждой точке фокальной поверхности (2) соответствует фокальное направление из Л(А), определяемое системой (1).

Аналогично получаем, что уравнение фокальной поверхности распределения Л(А) (при смещении точки А вдоль кривых, принадлежащих L-подрасслоению) имеет вид

ёе^Ъ + х%ъ| = 0, ха = х а = хп = 0, (3)

а фокальное направление, соответствующее точке N = А + х рер поверхности (3), определяется системой уравнений

юа + хр ХарЬ юъ = 0, ха = ха = хп = 0. (4)

3. Найдем линейную поляру точки А относительно алгебраической поверхности (2) — фокальной поверхности распределения L(A). Линейной полярой будет являться плоскость размерности s-1, определяемая уравнениями

1 + ха X а = 0, хр = х а= хп = 0, (5)

р а п 1 + х Xа = 0, хр -- -- -

где

Ха = 1 ХРр, УХ = X ю1. (6)

ар?

г

Аналогично находится поляра точки А относительно фокальной поверхности распределения Л(А). В результате получается (г-1)-плоскость

1 + хрХр = 0, ха = х а= хп = 0, (7)

где

X Ха , УХ =Х ю1. (8)

рт _ г ра' р р1

а

163

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

В случае обращения в нуль тензоров {Ла} и {л р | фокаль-

ными поверхностями распределения плоскостей Л(А) и Ь(А)

соответственно являются несобственная (8-1)-плоскость и несобственная (г-1)-плоскость.

4. Рассмотрим (т-1)-мерную плоскость Ош-1, проходящую через линейные поляры точки А относительно фокальных поверхностей распределений Л(А) и Ь(А). В силу уравнений (5) и (7) она определяется уравнениями

х а= хп = 0, 1 + хрл р + ха Ла = 0. (9)

Следуя работам [2; 3], полученную плоскость Ош-1 будем называть ребром Грина сопряженной системы 8(Л(А), Ь(А)). Таким образом, доказана

Теорема 1. В дифференциальной окрестности 2-го порядка инвариантным образом присоединяется поле внутренних нормалей 2-го рода гиперполосы Нт(Л) — поле нормалей Грина, определяемое уравнениями (6; 8). Относительно локального репера ребро Грина задается уравнениями (9).

5. Рассмотрим инвариантную прямую Ф1 = [А, Фп ], внутренним образом присоединенную к гиперполосе Нш(Л) в дифференциальной окрестности 2-го порядка, определяемую вектором

Ф п = ёп +Лапёа+А,Рер, (10)

где

Л*П =1 (лрчЛи +ЛаЬ лаь), УЛап + юа = Л>'; (11)

ла =1 ЛрчЛа , УЛа +юа = Лап1ю1; (12)

п^прч' п п П1 ' V/

лр ЛаЬ Лр УЛр + юр = лрп1 ю1. (13)

пт _ г п аЬ' п п п

Следуя работе [1], прямую Ф1 назовем прямой Фосса, ассоциированной с двухкомпонентной системой 8(Л, Ь).

164

С.Н. Юрьева

Плоскость Фп-ш = [A, Ф1, %], натянутую на прямую Фосса Ф1 и характеристику % гиперполосы Нш(Л), назовем нормалью Фосса 1-го рода гиперполосы Нш(Л), порожденной сопряженной системой 8(Л, L).

6. Найдем поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик гиперполосы Нш(Л):

Anpqxpxq + AnAxaxb + 2Apxpxn + 2Aaxaxn + Laß x°xß + T0(xn)2 + (14)

+ 2laxaxn - 2xn = 0,

относительно которых в каждой точке А базисной поверхности Vm ребро Грина Gm-i и нормаль Фосса Фп-m 1-го рода гиперполосы Нт(Л) полярно сопряжены. Из условия полярной сопряженности плоскостей Фп-Ш и Gm-1 относительно поля гиперквадрик (14)найдем

Ap =-Хp -AnpqXqn, Aa =-Ха -Anab(15)

Учитывая охваты (15) в формуле (14), приходим к следующей теореме.

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 3-го порядка внутренним образом к гиперполосе Нш(Л) присоединяется поле соприкасающихся гиперквадрик

Anpqxpxq + Anabxaxb -2(Xp + AnpqXqn)xpxn -2(Xa + AnabXb)xaxn +

+ Laßxaxß + To(xn)2 + 2laxaxn -2xn = 0,

относительно которых поля нормалей Фосса и ребер Грина полярно сопряжены.

Список литературы

1. Акивис М.А. О нормалях Фосса поверхности, несущей сеть сопряженных линий // Мат. сб. 1962. Т. 58. № 2. С. 695—706.

2. Благонравов В.В. Распределения на гиперповерхности аффинного пространства / Деп. в ВИНИТИ. № 4552.

3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

165

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

4. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос: Учеб. пособие // Калининград, 1983.

S. Yureva

THE FOSS — GREEN'S NORMALIZATION OF HYPERSTRIP Нт(Л)

The Foss — Green's normalization of special class of hyperstrips Нт(Л) of affine space An is constructed.

166