CC BY
39
УДК 533.15; 536.25
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ СМЕШИВАЮЩИХСЯ КОМПОНЕНТОВ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗИОННОМ КАНАЛЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ПЕРЕПАДЕ
ДАВЛЕНИЯ НА ЕГО КОНЦАХ
© 2010 В.Д.Селезнев1, И.В.Поярков2
'Уральский государственный технический университет, г. Екатеринбург 2Научно-исследовательский институт экспериментальной и теоретической физики при КазНУ им. аль-Фараби, г. Алматы, Казахстан
Поступила в редакцию 11.01.2010
В данной статье рассматривается нелинейное распределение концентрации смешивающихся компонентов по длине диффузионного канала. Получена система одномерных уравнений локальной неравновесной термодинамики, позволяющей описать неизобарное смешение тройных газовых смесей в вертикальном канале.
Ключевые слова: диффузионный мост, вынужденная конвекция, концентрация компонентов.
Исследования процесса смешения в трехком-понентных газовых смесях показали, что при определенных термодинамических параметрах системы (давление, температура, концентрация компонентов) и геометрических характеристиках диффузионного канала (характерный размер, число и форма канала) процесс смешения может быть диффузионным или конвективный. Исследования в основном проводились в замкнутой системе, например двухколбовом аппарате, в котором конвективный массоперенос происходит при изобарических условиях [1-3]. В открытых системах, например диффузионном мосте, схема которого приведена на рисунке 1, опыты носили эпизодический характер, так как были связаны со значительными трудностями в возможности варьирования термодинамическими параметрами системы и их реализации в экспериментальном стенде. Но все же, несмотря на эти трудности метод диффузионного моста, остается привлекательным, так как есть возможность в управлении процесса смешения через создаваемый перепад давления, на концах диффузионного канала - Ар [4].
В настоящее время достаточно хорошо разработана теоретическая модель, описывающая смену диффузионного процесса на конвективный, реализуемый при равенстве давлений на концах диффузионного канала. Согласно этой модели распределение концентрации компонен-
Селезнев Владимир Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры молекулярной физики. E-mail: selvd@yandex.ru.
Поярков Игорь Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник лаборатории тепломассопереноса. E-mail: p-igor@inbox.ru.
тов по длине диффузионного канала нелинейное. В настоящее время нет теории, позволяющей описать переход "диффузия-конвекция" при произвольном перепаде давления на концах диффузионного пути. В представленной статье рассматривается распределение концентрации смешивающихся компонентов по длине диффузионного канала.
Как и для бинарных смесей, процесс смешения в трехкомпонентной смеси сопровождается диффузионным бароэффектом [5]. Для вязкого режима величена отношение перепада давления меджу концами диффузионного канала и давле-
ния в системе -
Ар
имеет порядок Kn2 и яв-
ляется пренебрежимо малой, поэтому бароэф-фект обуславливает выполнение условия:
Ь = схих + с2и2 + с2и3 = 0 , (1)
где с. - концентрация г-го компонента.
Диффузионные скорости компонентов и. определяются из уравнений Стефана-Максвелла [6]:
Сл С->
— (( - u3)+(( - u2 )= - Vc
D
СС
D
DC2 (2 - )+ D3 ( 2 - U3 )= -Vc2
c2 . (2)
x12 ^23
Используя уравнения (2), определение для
среднечисловой
C =
n1u1 + n2u2 + n3u3 n
среднемассовой - uo =
p1u1 + p2u2 + p3u3 P
ско-
и
шзлиоинимй 11ШШ I I
I ОЖБЩИ НИН КЯЛЯ.1 ¡1
I
"л |-;и г'
р
ди0 ы
+ (ц,У)
ио
п
= -Ур + пА^о +1 3 + £ Nd.lv и о + р
^ + ¿0 Ус = ^((с + А* Ус2),
(3)
дс^
дл
+
соУс2 = ^(д* Ус + А* УС2),
дп
= -п Шыю,
где § - ускорение силы тяжести, п и £ - коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости, А* -матричные коэффициенты многокомпонентной диффузии, определяемые через коэффициенты взаимной диффузии А. следующими соотношениями [6]:
Д* = А13 [С1Д23 +(с2 + С3 )Д12 ] \ 1
С1Д23 + С2 А13 + С3 Д12
Д * = — С1Д23 (Д12 - А13 )
12
С1Д23 + С2 А13 + С3 А12
на настолько, что время поперечного выравни-
г = г У
вания концентрации /д. мало по сравне-
нию со временем движения смеси вдоль канала
= = _ Ь2
Ь и0х г
2
Рис. 1. Принципиальная схемадиффузионного моста
ростей, плотность компонента - pi = с1т1 ( т1 -масса г-го компонента), получим систему уравнений, описывающей макроскопическое движение трехкомпонентной газовой смеси:
—(ар )
Аi - истинный коэффици-
1 , 8кТ где п = -р\\—
2 V пт
ент диффузии. Из условия гг << гЬ легко получить следующие ограничения на Ар:
АР бар Ь
Ар ~Р§2Ь
2 2 р Г Г
или
Ар -pg.br г
--2—7 << 1, где X - длина свободно-
р X Ь
го пробега молекул, Арбар - величина диффузионного бароэффекта. Если наложенные ограничения выполняются, то в поперечном сечении успевает сформироваться определенный, почти однородный состав. В соответствии с условиями поставленной задачи силы Ур и р§ действуют только в направлении оси х , поэтому будем принимать во внимание только проекцию уравнения Навье-Стокса на ось х , которая может быть записана так:
ди0х р—г^ + Р
(
да др
= —— + п дх '
и
ди0 х
дх
ди0 х
ду
ди
Л
V
( д2и д2и ди ^
и и0 х + и и0 X +и и0 X
дх
дх2
ду2
дх2
+
+
п
3 дх
д ( диох +ди
дх
ду
оу + Ц. ^
(4)
дх
+ Р§х ■
А =■
22
Д23 [с2 Д13 +(с1 + С3 )Д12 ]
с1 А23 + с2 А13 + с3 А12
Д * =—_ С2 А13 (Д12 Д23 )
21
с1 А23 + с 2 А13 + с3 А12
Отношение инерциального члена к вязкому члену можно оценить так:
Рио
ди
о х
дх = г г ар -Р§хЬ
п
д 2и
о х
ах2
Рассмотрим движение тройной смеси в вертикальном плоском канале с длиной Ь и полушириной г, ось 2 направлена вдоль оси канала
вверх, рис. 1. Будем считать, что уЬ << 1, разность давлений на концах канала Ар ограниче-
но в соответствии с наложенными ограничениями на Ар это отношение много меньше единицы, поэтому инерционными членами можно пренебречь. В вязком члене, очевидно, можно пренебречь продольной производной, так как
2
г
д Ч
дх7
дх2
V
-. Член с Суи0 дает такое же
отношение.
Опуская малые члены, вместо (4) имеем:
Л
Р-
ди.
-Ох- + дР = П
д? дх
(д 2и
ах2
-+-
дч
ду2
У
+ Р. (5)
Перейдем к анализу уравнений непрерывности и конвективной диффузии системы (3). В процессе конвективного течения в вертикальном длинном канале вдали от торцов можно принять, что сх = су = 0 . Запишем более подробно правую часть уравнений диффузии:
сИу (в*1У с1 + В^У с 2)
+
дх
ду д
В
+. дс1 дх дс
+ В*'
дс 2 дх
+
В * + В * 11 12 ду ду
\
(6)
+
_ * дс _ * дс2 +—I В11 —1 + В12 —2 дх I дх дх
так как с1 и с2 слабо зависят от поперечных координат, то (6) можно переписать в виде:
сИу (в^У с1 + В^У с 2 ) =
= ВПЛ± С1 + В12 Л±С 2 +
+ ■
дх
В"^+В
дх
дс 2
(7)
д2с д2с - + -
Где ^С1 = дх2 ■ ду2
Учитывая условие сх = су = 0 и (7), перепишем уравнения диффузии для условий нашей задачи с учетом пренебрежения малыми величинами:
дс дс * *
—1 + с —к = ВГ, Л , с + В* Л, с0 + д?
+ —I В
дх
дс1 дх
* дс.
1 + В *
11 12
'дх 'дх
Рассмотрим теперь стационарное смешение при отсутствии свободной конвекции, но учтем, что при этом возможно наличие вынужденной конвекции, реализующейся под действием разности давлений на торцах вертикального канала. Это соответствует условиям наблюдения смешения в установках диффузионного моста, в которых вертикальный канал омывается на его концах смесями газов с поддержанием фиксированных значений как разности концентраций, так и разности давлений. Учитывая стационарность процесса, вместо (5) имеем:
др
-Рёх I = ПЛ!°0
(9)
Решение уравнения (9) , соответствующее др/ и рё2 от поперечной ко-
независимости
д х
ординаты, имеет следующий вид [7]:
(х2 - я2) (др_
дх
-Сч) В
4п
дс1 3 дх1
Рёх
-с™ В
дс 2 дх
где с
(и) 13
с
(и) 23
константы диффузионного скольжения для среднемассовой скорости, которые отражают тот факт, что скорость и0х на боковой границе канала равна скорости диффузионного скольжения.
Интегрируя этого выражения по площади сечения канала, получим:
_ г ( др
°о х =- 8^
дс.
23 1
дс2
23 23 дх дх
С учетом соотношения между и0 и с в виде и0 - с = В1Ус1 + В2Ус2, для среднечисловой скорости можно записать:
8п
др их
Рёх
д с
д с
-С13 В13^ С23 В 23^
дх дх
где с13, с23 - константы диффузионного скольжения для среднечисловой скорости.
Вместо (8), усредняя по сечению канала и учитывая стационарность процесса, имеем:
дс2 дс2 —2 + с —2- д? х дх = В*21Л± с1 + в22 Л± с2 + _ дc, сх —L х дх п в; дс1 "дТ + в*2 дс 2 1 дх У
+ —( в* ^ дх ^ дх ■+ В'22 дс2 1 , 22 дх У _ дс 2 сх —- х дх д х! ' В *1 д с1 "дТ -+ В И д с 2 д х
дп дсх
— = п-1
д? дх
(8)
дс _£
дх
= 0
(10)
2
г
23
д
2
г
Так как в соответствии с уравнением непрерывности в (10) не зависит от х , то прямое однократное интегрирование уравнения диффу-
зии по х дает:
®хС1 - А11
дс1
"дТ
-А*
дс1
'21 '
® хС2 - Д2*1 ^ - Д2^1Г = 62
дх
дс2 дх
дс2
= 01,
дх
(11)
где 01 и 02 - некоторые константы, независящие от х и имеющее физический смысл парциальных плотностей объемного потока первого и второго компонентов.
Рассмотрим систему уравнений (11) для случая малых концентраций самого тяжелого компонента. В этом случае выражения для матричных коэффициентов диффузии упрощаются, и мы получаем следующую систему уравнений для парциальных плотностей объемного потока компонентов:
01 = 0С1 - А
дс1 "дТ;
Решение дифференциальных уравнения (12) с граничными условиями, поставленными в соответствии с устройством диффузионного моста, С1 (°) = сш , С2 (°) = С211 , С1 (Ь) = си ,
с2 (Ь) = с21; р(Ь) = р11; р(о) = р1, рисунок 1, имеют вид:
с 1(х )= с 1
с1п ехР
с 11 с 1II ехр
А13
X I +
А13
1 - ехр
0_ А13
1 - ехр
А13
С21 - С2ТТ еХР| ^^ Ь
1-ехр| х | +
А
А23 А13 ) А23А12 &13
х|ехр Ак, х I-ехр( А:х I
1-ехр| —х )+ А
А23 А13 ) А23 А12 фА13
ехр|^ Ь|- ехр( °Ь
От
+ с ТТ ехр-х
°2 = 0С2 + С2
А13 (А12 - А23 ) С1А23 + С3 А12 дх
А23 А12 дС2 С1А23 + С3 А12 дх
(12)
С11 С111 ехр
где Ф = А12 -(А12 - А 23 )
^1 А13 )
1 - ехр
А13 )
z
+
х
Ь
Л
+
г
13
А23А13
Рис. 2. Распределение концентрации о длине диффузионного канала: сплошная линия - аргон; пунктирная линия - фреон-12; линия из точек - гелий. 1 - система 0,046 Вг12 + 0,954 Не - Аг, 2 - система 0,194 Вг12 + 0,806 Не - Аг
Ç = (D23 - Я, )-
eiii eii
( - exp
—-L
V D(3 У
тяжелого компонента смеси получено решение для распределения концентрации по длине диффузионного канала, которое нелинейно, по мере уменьшения содержания тяжелого компонента приближается к линейной.
и
В случае малости потока Q « 0, для газовой системы Аг - Не + ¥т12 на рис. 2 представлено распределение концентрации гелия и фреона-12 по длине диффузионного канала Ь=0,16 м.
Нетрудно заметить, что для системы гелий-+фреон-12 - аргон, в которой выполняется условие В12, В13 > В23, имеет место нелинейное распределение концентраций по длине диффузионного канала. С уменьшением начальной концентрации тяжелого компонента (фреона-12) в бинарной смеси распределение концентрации становится линейным. Мы считаем, что нелинейное распределение концентрации способствует образованию конвективного массопереноса недиффузионной природы.
В заключение сформулируем некоторые выводы. Получена система одномерных (усредненных по сечению диффузионного канала) уравнений локальной неравновесной термодинамики для описания неизобарного смешения тройных газовых смесей в вертикальном канале. В приближении малых концентраций самого
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Косое В.Н., Селезнев В.Д., Жаврин Ю.И. О диффузионной неустойчивости в изотермических трехком-понентных газовых смесях // Теплофизика и аэромеханика. 2000. Т. 7. № 21. С.127-135.
2. Zhavrin Yu.I., Kosov V.N., Kul'zhanov D. U, Poyarkov I. V., Ankusheva N.B. Effect of the cell rotation speed upon mutual diffusion in a three-component gas mixture // Technical Physics Letters. 2003. V. 29. N 2. P. 108-110.
3. Жаврин Ю.И., Косое ВН., Кульжанов Д. У, Поярков И.В., Асембаева М.К. Исследование влияния природы и концентрации газа-разбавителя на диффузию двух основных компонентов // Известия НАН РК. серия физико-математическая. 2006. №6(250). С. 25-30.
4. Косов Н.Д., Корзун И.Н., Поярков И.В. Устройство для измерения коэффициентов диффузии. АС СССР №1681203.1991. Бюл. №36.
5. Волобуев В .П., Суетин П.Е. Кинетическое рассмотрение бароэффекта // ЖТФ. 1966. Т.36. №7. С.1292-1296.
6. Косов В.Н., Селезнев В.Д. Аномальное возникновение свободной гравитационной конвекеции в изотерми-ческох тройных газовых смесях. Екатеринбург: УрО РАН, 2004. 151 с.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с.
DISTRIBUTION OF CONCENTRATION OF MIXING COMPONENTS IN A PLANE DIFFUSION CHANNEL AT FREE PRESSURE GRADIENT ON THE ENDS
© 2009 V.D. Seleznev1, I.V. Poyarkov2
'Ural State Technical University, Yekaterinburg 2 Research Institute of Experimental and Theoretical Physics at al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan
Non-linear distribution of concentration of components along the length of diffusion channel is considered in a present article. System of one-dimensional equations of local non equilibrium thermodynamics describing non isobaric mixing of three component gaseous mixtures in the vertical channel is obtained. Key words: diffused bridge, forced convection, concentration of components
Vladimir Seleznev, Doctor of Physics and Mathematics, Professor at the Molecular Physics Department. E-mail: selvd@yandex.ru
Igor Poyarkov, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Senior Fellow of the Laboratory of Heat-and-Mass Transfer. E-mail: p-igor@inbox.ru
