CC BY
98
УДК 533.15; 536.25 ББК 30
Поярков Игорь Викторович
кандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теплофизики, стандартизации и метрологии Казахский национальный университет им. аль-Фараби
г. Алматы Poyarkov Igor Viktorovich Candidate of Physics and Mathematics,
Assistant Professor Kazakh National University named after Al-Farabi
Almaty
Влияние температуры на устойчивость процесса смешения в трехкомпонентных газовых смесях Temperature Influence on Mixing Processes Stability in Three-Component Gaseous Mixtures
На основе линейной теории устойчивости проведен численный эксперимент по определению границы перехода «устойчивая диффузия - концентрационная гравитационная конвекция» для трехкомпонентных систем при различных температурах. Показано, что учет ограниченности и массонепроницаемо-сти цилиндрического канала позволяет найти температуру смены процесса смешения, которая согласуется с экспериментальными данными в пределах погрешности опыта.
Numerical experiment on the defining the transition border «stable diffusion -concentration gravitational convection» for ternary systems under various temperatures is carried out on the basis of the linear theory of stability. It is shown that accounting limitation and absence of mass-transfer through cylindrical channel walls permits to find temperature of mixing process changes, which are in agreement with experimental data in the limits of the experiment.
Ключевые слова: диффузионная неустойчивость, газовая система, конвективный массоперенос, коэффициент диффузии, термодинамический параметр, температура, давление, число Релея, области устойчивости.
Key words: diffusion instability, gaseous system, convective mass-transfer, diffusion coefficient, thermo-dynamical factor, temperature, pressure, Rayleigh number, stability areas.
При изучении диффузионного процесса смешения в трехкомпонентных изотермических газовых смесях в 80-х годах прошлого века был обнаружен конвективный поток, интенсивность которого во много раз превышает гидродинамическое течение смеси, вызванное бароэффектом. Эту особенность различные авторы называют гравитационной неустойчивостью механического равновесия [1], аномальной гравитационной неустойчивостью [2] или диффузионной неус-
тойчивостью. На основании экспериментальных исследований было показано, что возникновение диффузионной неустойчивости в трехкомпонентных газовых смесях связано с выполнением ряда необходимых условий [3], которые представляют собой соотношения между плотностями компонентов.
Необходимые условия для возникновения конвекции при диффузионном смешении должны быть дополнены достаточными условиями. Одно из этих условий заключается в следующем: неустойчивость возникает, если смесь газов, размещенная на одном конце диффузионного канала, состоит из компонентов, коэффициенты диффузии которых в чистый газ, расположенного на другом
конце, отличаются в несколько раз (например, больше ^Аг-Ы2 примерно в три раза). Как известно коэффициент диффузии отражает подвижность молекул газа, которая в свою очередь изменяется при изменении температуры.
Определение границы перехода системы из устойчивого состояния в неустойчивое и обратно, является одним из основных факторов при изучении смены режимов смешения. Для анализа перехода от диффузии к концентрационной гравитационной конвекции в основном используют две методики. Первая это сравнение результатов экспериментального исследования с расчетами в предположении диффузии [4]. Вторая расчет по определению положения точек, отображающих эксперимент, относительно линии монотонной неустойчивости, полученная методом малого параметра [5].
Экспериментальные исследования показали, что устойчивый диффузионный процесс с повышением температуры останется таким же, и будет описываться обычными законами диффузии, а неустойчивый теряет свою интенсивность и стремится к устойчивой диффузии [4, 6]. Понижение температуры может вызвать у диффузионно-устойчивой системы переход в неустойчивое состояние. Опыты, представленные в работе [6], проводились двухколбовым методом при постоянном давлении равном р=2,54 МПа, температура менялась от Т=293,0 К до Т=353,0 К. Газовая смесь 0,6192Не+0,3808Аг, размещалась в верхней колбе диффузионного аппарата, чистый И2 - в нижней. На рис. 1 приведена зависимость безразмерного критерия а, равному отношению экспери-
ментальных значений коэффициентов диффузии компонентов (КД) к вычисленным, в предположении диффузионного процесса смешения, от температуры.
10
а
273
I
293
I
313
I
333
I
353
-I
373 Т, К
Сплошная линия - расчет в предположении устойчивой диффузии. Точки, экспериментальные данные: д,а - аргон+азот; □,■ - гелий +азот; ◊,♦ - гелий + аргон, определяющие устойчивое и неустойчивое состояние, соответственно.
Рис. 1. Зависимость параметра а от температуры для системы 0,6192Не+0,3808Лг-М2 при давлении р=2,54 МПа
Согласно рис. 1, при температуре Т=353,0 К экспериментальные и вычисленные значения КД компонентов совпадают, что свидетельствует о том, что в системе наблюдается устойчивый процесс смешения. Для рассматриваемой системы при температуре Т=323,0 К вычисленные и измеренные значения
^аг-М2 , расходятся примерно в два раза, ^Не-Аг и ^Не-М2 практически совпадают. При уменьшении температуры до Т=293,0 К различие в КД тяжелых компонентов системы увеличивается, при этом наблюдается расхождение в значениях
^Не-Ы2. Такое отличие экспериментально найденных КД от рассчитанных в предположении диффузионного процесса свидетельствует о том, что при температуре ниже Т=293,0 К система ведет себя неустойчиво, в ней наблюдаются конвективные течения.
Макроскопическое движение изотермической тройной газовой смеси можно описать общей системой уравнений гидродинамики, которая включает в се-
8
6
4
2
0
бя уравнения Навье-Стокса, сохранения числа частиц смеси и компонентов. Принимая во внимание условие независимой диффузии, при которой для изо-
3 р 3
1Л = 0 I с. = 1
термической газовой смеси г=1 ; г=1 , эта система уравнений имеет сле-
дующий вид [2, 7]: Р
— + (pVp) = -Vp + TfV 2p + (П + AvdivS + PgP,
dt
3
— + div(n Vs) = O ^ + Vvc = -divp. dt V ’ dt ' Л
у
Jl
-(d;,vc,+d,;vc2 )
j =-(D*1Vc1 + DhVc,), (1)
p PiUi + P2U2 + P\U\ p n,p + n2p2 + n3p
где p - среднемассовая скорость, n -
среднечисловая скорость тройной смеси, р - плотность, р - давление, с - концентрация i-го компонента, g - ускорение силы тяжести, п и £ - коэффициенты
р
сдвиговой и объемной вязкости, - плотность диффузионного потока i-го
D *
компонента, iJ - практические коэффициенты диффузии, определяемые через коэффициенты диффузии Dj соотношениями [8, 9, 10]:
D * — D13 [<C [2 + (С2 + С3 )D12 ] D * — — C1D23 (D, 2 — D13 )
11 _ D , 12 _ D ,
D* — D23 [3 + (c1 + C3 )D12 ] ]* — — C2D13 (D12 — D23 )
22 _ D , 21 _ D ,
D — c1 D23 + c2 D13 + c3 D12
Уравнения (1) дополняются уравнением состояния среды
р — р(с1, с2, р), T — const, которое связывает термодинамические параметры в (1).
Решая систему уравнений (1) метод малых возмущений, используя при этом следующие масштабы единиц измерения: расстояния - 2r, времени -
(2г )2
п
22
у , скорости - 2г , концентрации /-го компонента - , давления -
(2г) . [5, 7]. Учитывая, что при длине диффузионного канала - Ь много
больше его радиуса - г, различия между возмущениями среднечисловой ^и среднемассовой и скоростей будут несущественны [2], окончательная система уравнений гравитационной концентрационной конвекции для возмущенных значений в безразмерных величинах примет вид [7]:
А 2г
А
дг
дс.
А
Р=% -(£) = А 2 о, + V 2с
дг
А2
= -Vp + V гії+(К,тпс, + К с,)
Р =
V
где
11 п*
- диффузионное число Прандтля,
К =
4 8вЛг4 vD *
(2)
парциальное
п *
4 Б *
число Рэлея, 22 - параметры, определяющие соотношение между практи-
в =--
ческими коэффициентами диффузии, Рі
го расширения.
кдт у
- коэффициент объемно-
Рис. 2. Цилиндр конечной высоты. Геометрия задачи.
*
Рассматривая в цилиндрической системе координат, рис. 2, периодические
і к = Уі
по ф движения и удовлетворяя условиям на твердых границах г=±к ( ' 2Г -
геометрический параметр, характеризующий устойчивость), можно записать аппроксимацию скорости в виде [7, 11]:
и
и
и
4 (к2 - г2) и (г )соб пф,
г (к2 - г2 )и(г )соб пф, ■■г (к2 - г2 )®(г )біи пф,
(3)
где п = 0, 1, 2, ... - мода возмущений. Радиальные функции и, и, т должны обращаться в нуль на твердой боковой поверхности цилиндра (при г =1). Из уравнения непрерывности следует соотношение, которое связывает эти функции:
1 й ( \ п
------(ги)+ —ю - и = 0
г йг г
Причем
и
Л(кг) Л (к)
и =--------/ (кг)-3 (к)гп+1 ]
к3п (к) л } л } -1
ю =
п
к'- Л (к )
п+1
(4)
где
3п (кг )
- функция Бесселя п-го порядка, а параметр к находится из уравнения:
кзп(к )=(п+1)3 (к)
(5)
дс.
= 0
Полагая для первых двух уравнений (2), что д , найдем концентрации
компонентов из уравнений:
V2 сі = -и К. і = 1,2
Будем считать, что
с. = /г (г, г )соб пф
тогда
п
г
д1к+1 дА - г +д!Ь.
дг2 г дг г2 1 дг2
л (кг)
3. (к)
(к! - і ! )2 К,
Полагая, что на торцевых поверхностях исчезают возмущения концентраций, из (6) вытекают дополнительные условия - обращение в нуль второй про/ 2
изводной /дг на торцах диффузионного канала. Таким образом, при
= / = о,М = 0
г = ±к , дг , что позволяет выбрать следующую аппроксимацию:
/. (г, і) = (к2 - і )(5к2 - і )С, (г)
(7)
С і(г)
где - радиальная функция концентрации.
Для определения С/ (г) применим метод Канторовича. Подставляя (7) в (6), умножая на зависящую от г часть функции / (г , г) и интегрируя в пределах от -
к до +к, получим уравнения:
С" +1С'.-
г г
г
С = -
11
248
3п (кг) - гп
3 (к)- г
К
(8)
153
а
где 62к , 1=1,2
При нахождении концентраций компонентов уравнения (8) решались с гра-
дС,.
ничным условием
г
= 0
г=1
, тогда конечное в центре решение имеет вид [12]:
с =
11К {к2 -12 )к2 -12 )совпф 248а2 (к2 +а2)
а
іМ+ім\(+к2 +а
3п(к) ап &)
(9)
Для определения границы монотонной устойчивости рассматриваемой задачи умножим скалярно третье уравнение системы (2) на вектор и и проинтегрируем по всему объему V диффузионного канала при условиях, что
Ур = о, — = 0 дг :
| SV 2Ц,йУ + К1т111 исхйУ + К21 игс2 йУ = 0.
(10)
п
г
К
а) массонепроницаемый цилиндрический канал
(б) для плоского цилиндрического слоя ММ - линия монотонных возмущений;
Ур = 0 - линия нулевого градиента плотности;
= 0 - линия равной плотности;
Точки о,^ - данные, определяющие устойчивое и неустойчивое состояние, при изменении температуры: 1-Т=293,0; 2-Т=323,0; 3-Т=353,0 К.
Рис. 3. Области устойчивой и неустойчивой диффузии для системы 0,6192Не+0,3808Лт-^2, при р=2,54 МПа.
Линия, полученная при интегрировании уравнения (10), линия монотонных возмущений - ММ, делит плоскость чисел Релея, рис.3, на область устойчивого диффузионного процесса смешения, лежащей под ней, и область конвективного массопереноса, расположенной выше нее. Область, лежащая между линией монотонных возмущений и линией нулевого градиента плотности, является областью аномальной диффузионной неустойчивости. В этой области существует конвективный массоперенос в поле силы тяжести при устойчивой стратификации плотности.
На рисунке рис. 3 также изображены точки, отображающие выше рассмотренный эксперимент для системы 0,6192Не+0,3808Аг-И2. При расчете парциальных чисел Релея температурную зависимость КД находили по формуле
^ £>12 = п ^ Т + Ь с параметрами п и Ь полученным из работы [13].
Из рис. 3(а) видно, что при температуре Т=353,0 К и Т=323,0 К рассматриваемая система находится в области устойчивой диффузии. Это удовлетворительно согласуется с данными, приведенными на рис. 1. Согласно рис. 3(а) точка, соответствующая температуре Т=293,0 К, располагается практически на линии монотонных возмущений, что свидетельствует о том, при данной температуре в газовой системе наблюдается переход «диффузия-конвекция».
Отображение экспериментальных данных системы 0,6192Не+0,3808Аг-И2 на плоскости чисел Релея, в случае плоского вертикального слоя приведено на рис. 3(б). Как мы видим, все точки находятся в области устойчивого диффузионного смешения. Более того, радиальная прямая, аппроксимирующая экспериментальные данные, параллельна линии монотонных возмущений. Параллельность линий говорит, что в изучаемой системе при любой температуре процесс смешения только диффузионный, что противоречит результатам экспериментального исследования, рис. 1.
Таким образом, сопоставление экспериментальных данных, приведенных на рис. 1, с теоретическими расчетами, представленными на рис. 3, свидетельствует о том, что учет массонепроницаемости цилиндрического канала позво-
ляет не только качественно отображать области диффузионного и конвективного процесса смешения, но и количественно определять термодинамические параметры, в данном случае температуру, смены устойчивого диффузионного процесса на конвективный массоперенос.
Библиографический список
1. Miller L. Oscillating instabilities in multicomponent diffusion [Текст]/ L. Miller, E. A. Mason // Phys. Fluids, 1966. - V. 9, N 4. - P. 711 - 721.
2. Косов В.Н. Аномальное возникновение свободной гравитационной конвекции в изотермических тройных газовых смесях [Текст] / В.Н. Косов, В. Д. Селезнев - Екатеринбург: УрО РАН, 2004. - 151 с.
3. Жаврин Ю.И. Разделение многокомпонентных газовых смесей в режиме диффузионной неустойчивости [Текст] / Ю.И. Жаврин, В.Д. Селезнев, В.Н. Косов, С.А. Красиков // Вест. ТГТУ, 1998. - Т.4. № 2-3. - С. 297-306.
4. Жаврин Ю.И. Влияние температуры на процесс диффузионной неустойчивости [Текст] / Ю.И. Жаврин, В.Н. Косов // ИФЖ, 1988. - Т. 55, № 1. - С. 92-97.
5. Косов В.Н. О диффузионной неустойчивости в изотермических трехкомпонентных газовых смесях [Текст] / В.Н. Косов, В.Д. Селезнев, Ю.И. Жаврин // Теплофизика и аэромеханика, 2000. - Т.7. № 1. - С. 127-135.
6. Косов В.Н. Влияние температуры на диффузионную устойчивость в некоторых трехкомпонентных газовых смесях [Текст] / В.Н. Косов, И.В. Болотов, Ф.З. Курмакаев // Материалы науч. конф. молодых ученых физ. фак-та КазГУ. - Алма-Ата: КазГУ,- Деп. в Каз-НИИНТИ 07.05.87, 1986. - № 1665, Ка. 87. - С. 96-99.
7. Гершуни Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости [Текст] / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий - М.: Наука, 1972. - 392 с.
8. Arnold K.R. Unsteady diffusion in ternary gas mixtures [Текст] / K.R. Arnold, H.L. Toor // A. I. Ch. E. Journal, 1967. - Vol. 13, № 6. - P. 909-914.
9. Ферцигер Дж. Математическая теория процессов переноса [Текст] / Дж. Ферцигер, Г. Капер / Пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 556 с.
10. Буждан Я.М. О симметрии коэффициентов диффузии в многокомпонентных системах [Текст] / Я.М. Буждан // ЖФХ, 1990. - Т. 64, № 4. - С. 1041-1046.
11. Жаврин Ю.И. Аномальная гравитационная конвекция трехкомпонентной газовой смеси в вертикальном цилиндре конечной высоты [Текст] / Ю.И. Жаврин, В.Д. Селезнев, И.В. Поярков, О.В. Федоренко // Вест. ТГТУ, 2005. - Т. 11, № 1 А. - С. 94 - 102.
12. Жаврин Ю.И. Влияние длины диффузионного канала на интенсивность конвективного смешения [Текст] / Ю.И. Жаврин, И.В. Поярков, О.В. Федоренко // Известия НАН РК. Сер. физ.-мат, 2006. - № 2. - С. 60 - 63.
13. Косов Н.Д. Температурная зависимость коэффициентов самодиффузии и взаимной диффузии газов [Текст] / Н.Д. Косов, Б.П. Солоницын // Теплофизические свойства веществ и материалов. - М.: Изд-во Стандартов, 1982. - Вып. 17. - С. 4-24.
Bibliography
1. Arnold, K.R. Unsteady Diffusion in Ternary Gas Mixtures [Text] / K.R. Arnold,
H.L. Toor // A. I. Ch. E. Journal, 1967. - Vol. 13, № 6. - P. 909-914.
2. Buzhdan, Ya. M. About Symmetry of Diffusion Coefficients in Multicomponent Systems
[Text] / Ya.M. Buzhdan // Zh. Phys. Chem., 1990. - Vol. 64, № 4. - P. 1041 - 1046.
3. Fertziger, J. Mathematical Theory of Transport Processes [Text] / J. Fertziger, H. Caper /
Translation from English - M.: Mir, 1976. - 556 p.
4. Hershune, G.Z. Convective Instability of Incompressible Liquid [Text] / G. Z. Hershune, E. M. Zhukhovitsky. - M.: Nauka, 1972. - 392 p.
5. Kosov, V.N. Anomalous Appearance of Free Gravitation Convection in Isothermal Ternary Gaseous Mixtures [Text] / V.N. Kosov, V.D. Seleznev. - Yekaterinburg: UrO RAN, 2004. -151 p.
6. Kosov, V.N. The Diffusion Instability of Isothermal Three-Component Gas Mixtures [Text] / V.N. Kosov, V.D. Seleznev, Yu.I. Zhavrin // Thermophysics and Aeromehanics, 2000. -Vol. 7, No. 1. - P. 127-135.
7. Kosov, V.N. Temperatures Influence on Diffusion Stability in Some Three- Component Gaseous Mixtures [Text] / V.N. Kosov, I.V. Bolotov, F.Z. Kurmakaev // Materials of the Scientific Conference of the Young Scientists of Physical Department of KazSU. - Alma-Ata: KazSU. - Deposited in KazNIINTI 07.05.87, 1986. - № 1665, Ka 87. - P. 96 - 99.
8. Kosov, N.D. Temperature Dependence of Self-Diffusion and Binary Diffusion Coefficients of Gases [Text] / N.D. Kosov, B. P. Solonitsyn // Thermophysical Properties of Substances and Materials. - M.; Publishing House of Standards, 1982. - Issue 17. - P. 4 - 24.
9. Miller, L. Oscillating Instabilities in Multicomponent Diffusion [Текст]/ L. Miller, E. A. Mason // Phys. Fluids, 1966. - Vol. 9, N 4. - P. 711 - 721.
10. Zhavrin, Yu.I. Anomalous Gravitation Convection of Ternary Gaseous Mixture in the Vertical Channel of Final Height [Text] / Yu. I. Zhavrin, V.D. Seleznev, I.V. Poyarkov, O.V. Fedorenko // Bulletin of TSTU, 2005. - Vol. 11, № 1A. - P. 94 - 102.
11. Zhavrin, Yu.I. Influence of Diffusion Channel Length on the Intensity of the Convective Mixing [Text] / Yu. I. Zhavrin, I.V. Poyarkov, O.V. Fedorenko // Proceedings of NAN RK. Phys.-Math. Series, 2006. - № 2. - P. 60 - 63.
12. Zhavrin, Yu.I. Separation of Multicomponent Gas Mixtures in the Regime of Diffusion Instability [Text]/ Yu.I. Zhavrin, V.D. Seleznev, V.N. Kosov, C.A. Krasikov // Bulletin of TSTU, 1998. - Vol. 4, № 2 - 3. - P. 297 - 306.
13. Zhavrin, Yu. I. Temperature Influence on the Process of Diffusion Instability [Text] / Yu.I. Zhavrin, V.N. Kosov // Engin. Phys. Journal, 1998. - V. 55, № 1. - P. 92 - 97.
