Распределение календарного времени обслуживания неприоритетных заявок в системах с абсолютными приоритетами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 681 зоб В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Омский государственный технический университет

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАЛЕНДАРНОГО ВРЕМЕНИ ОБСЛУЖИВАНИЯ НЕПРИОРИТЕТНЫХ ЗАЯВОК В СИСТЕМАХ С АБСОЛЮТНЫМИ ПРИОРИТЕТАМИ

Исследуются системы массового обслуживания класса 011|01|п с абсолютными приоритетами и дообслуживанием заявок. В предположении роста интенсивности прерываний устанавливаются асимптотические свойства, которые имеют распределение вероятностей времени выполнения неприоритетной заявки. На основе установленных свойств разрабатывается эффективный метод расчета вероятности «хвоста» распределения. Полученные результаты могут использоваться для анализа и оптимизации систем с ограничениями на время выполнения неприоритетных заявок.

Введение

Анализ и расчет приоритетных систем представляет собой одну из наиболее трудных задач теории массового обслуживания, Известные точные результаты, полученные в этой области исследований и не привязанные большим количеством детальных оговорок к узко специализированным прикладным вопросам или объектам, охватывают в основном лишь одноканальные системы с пуассоновскими потоками заявок [1-3]. Для систем с абсолютными приоритетами попытки обобщения точных результатов на мно-

гоканальные системы до настоящего времени не увенчались заметным успехом даже при использовании пуассоновских входных потоков. В области приближенных подходов можно отметить результат, полученный в работе [4] в виде формулы, которая выражает среднюю длительность периодов занятости в многоканальных системах. Формула представляет собой удачно подобранную аппроксимацию, настроенную с помощью имитационного моделирования. Однако и эта аппроксимация существенно использует предположение о пуассоновском виде входного потока заявок.

К задачам, не укладывающимся в непосредственное использование экспоненциальных вероятностных распределений, принято подходить с традиционных позиций, учитывающих потенциальную возможность приближенного представления любого закона распределения в виде композиции смесей и сверток экспоненциальных распределений. На этом пути исследованы возможности применения аппроксимационных схем, связанных с именами Эрланга, Кокса, Ньютса и других авторов и состоящих в использовании эрланговских, гиперэрланговских, гиперэкспоненциальных распределений, распределения Ньютса и т. д. [2-7]. Недостатком этой распространенной стратегии является, во-первых, то, что отнести ее к точным методам можно лишь условно, поскольку заданные распределения вероятностей изначально заменяются некоторыми их аппроксимациями. Во-вторых, получаемые на этом пути аналитические решения имеют частный характер, поскольку аппроксимации, удовлетворительные для одного вида распределений, становятся неудовлетворительными для другого их вида. В-третьих, существенный недостаток рассматриваемой стратегии состоит в том, что композициями экспоненциальных функций трудно аппроксимировать распределения, заданные на конечных интервалах. Число компонентов композиции, необходимых для достижения требуемой точности аппроксимации, в таких случаях резко возрастает, и потенциальная возможность получения решений в аналитической форме становится практически нереализуемой [2].

Вместе с тем анализ приоритетных систем является актуальной для инженерной практики задачей [8-11], особенно в связи с проектированием и применением вычислительных систем (ВС). При этом применение вероятностных распределений, заданных на конечных интервалах времени, становится насущной необходимостью, когда речь идет о системах с жесткими ограничениями на время обслуживания, связанными с возможностью катастрофических последствий запаздывания управляющих сигналов со стороны ВС.

В статьях [12-15] для анализа и расчета приоритетных систем разрабатывается асимптотический подход, который в ряде случаев может рассматриваться как альтернатива вышеупомянутой традиционной стратегии. Этот подход основан на выявлении вложенных сопряженных процессов восстановления и накопления и последующем применении к ним асимптотических результатов хорошо развитой математической теории восстановления. Данный асимптотический подход не накладывает ограничений на вид исходных вероятностных распределений, задающих систему, и позволяет находить точные (в асимптотическом смысле) расчетные соотношения. В целях верификации этих расчетных соотношений и определения области их практической применимости в [12-15] выполнены необходимые исследования точности и сходимости. Они показывают, что, как правило, приемлемая точность достигается уже при условии, что обслуживание неприоритетной заявки прерывается в среднем один-два раза. Такая интенсивность прерываний в системах с абсолютными приоритетами является скорее нормой, чем исключением, поэтому найденные соотношения можно использовать непосредственно для расчета или оптимизации таких систем. В [ 15] поставлена задача нахождения безусловного распределения вероятностей для времени

обслуживания неприоритетных заявок. Эта задача решается в настоящей статье.

1. Переход к безусловному распределению вероятностей

Продолжая рассматривать системы С12|С2|п с разделяемой неприоритетной работой на предмет анализа календарного времени обслуживания неприоритетных заявок, для которого в [ 15] найдены асимптотические выражения условных и безусловных вероятностных характеристик, будем использовать эти выражения в качестве исходных соотношений. Итак, известно, что в система GI.jG.Jn при увеличении интенсивности прерываний выполняются следующие асимптотические соотношения для условного календарного времени ут обслуживания неприоритетной заявки:

Ут

п(\-р)

Д(Ут) ~

тТ

V

-рЧ^+С;),

пТ{\-р)

■(C'i+cl

(1)

(2)

(3)

где ут, 0(ут), Су — соответственно среднее, дисперсия и квадратичный коэффициент вариации для ут, (символ надчеркивания везде означает взятие математического ожидания случайной величины), - символ сходимости с нулевой относительной погрешностью,

Т — фиксированное значение чистого времени (трудоемкости) х' обслуживания неприоритетной заявки, г, х — интервал поступления и интервал обслуживания приоритетных заявок — случайные величины, п — число каналов в системе,

р — коэффициент загрузки системы приоритетными заявками,

Сг2, С* — квадратичные коэффициенты вариации сл. в. г, х, соо-^ветственно,

а также следующие асимптотические соотношения для безусловного календарного времени у:

(4)

(5)

(6)

п(1-р)

Щу) ~

с;

Т X

Р(х') _

п2(\-р? "" n(l-p)s

р'ЛС^С]),

Cl +

(1-р) X

где у, D(y), Су — соответственно среднее, дисперсия и квадратичный коэффициент вариации времени у, х' — чистое время обслуживания неприоритетной заявки — случайная величина (сл. в.), £>(*'), С' — дисперсия и квадратичный коэффициент вариации сл. в. х'.

Из приведенного в [ 15] вывода соотношений ( 1 ) -(6) видно, что они справедливы при разных способах выбора приоритетными заявками доступных им каналов системы. Это может быть случайный выбор одного из доступных каналов, проверка каналов в определенном порядке и занятие (захват) первого доступного, выбор любого фиксированного канала и «упрямое» ожидание момента возможности его захвата (независимо от состояния других каналов) или даже распараллеливание обслуживания приори-

тетнои заявки между произвольным подмножеством доступных каналов. Единственное ограничение на способ выделения каналов приоритетным заявкам заключается в том, чтобы коэффициент загрузки любого канала не превосходил единицы.

Предельные соотношения (1)-(6) уже при одном -двух (в среднем) прерываниях каждой неприоритетной заявки могут использоваться в качестве приближенных расчетных формул. На их основе можно получить и формулы для искомого распределения вероятностей времени у.

Асимптотическое представление для безусловного распределения вероятностей сл. в. у может быть найдено одним из двух способов. Первый способ основан на переходе от асимптотического условного распределения календарного времени обслуживания, установленного в [15], которое для фиксированного х' = Тприближается нормальным (гауссовым) распределением с параметрами (1)-(3) к безусловному относительно Т распределению. Получаемое этим способом безусловное распределение сл. в. у назовем интегральным представлением, поскольку оно строится на основе интегрального преобразования, необходимого для перехода от условного распределения вероятностей к безусловному распределению.

Второй способ нахождения асимптотического безусловного распределения сл. в. у основан на пренебрежении вариабельностью условного календарного времени прерываний ут при фиксированном Т. Коэффициент вариации (3) с ростом интенсивности прерываний действительно сходится к нулю, поскольку в (3) величина т уменьшается пропорционально интенсивности прерываний. Выполнение асимптотического анализа сл. в. у при отбрасывании вариации (3) тривиально, т. к. условное время обслуживания ут в данном случае принимается равным константе, а именно — своему условному математическому ожиданию (1), и, следовательно, безусловное календарное время обслуживания оказывается просто пропорциональным чистому времени обслуживания заявки:

(7)

п(1-р)

Получаемая таким переходом плотность распределения вероятностей (п. р. в.) для сл. в у представляет собой непрерывную смесь вида:

/уИ= |Ь,(5)/у(ф)с(5,

(8)

где ЬДя) - известная п. р. в. чистого времени х обслуживания неприоритетной заявки, Г ((| б) — условная п. р. в. календарного времени обслуживания для условия х' = 5.

Используя в качестве приближенного выражения для функции /у | з) ее асимптотическое представление в виде гауссовой плотности с параметрами (1) и (2), при подстановке которых в (8) следует заменять Т на в, получаем из (8) следующую приближенную формулу:

Щ ~ ]

Ь,(5)

-Дж-сг(в)

" 2"2|*) йз

(9)

где а(э) =

л(1 -р)

, ст(.5) =

(С] + С2х)р2Г п(1 -р?

Основной недостаток полученного интегрального приближения (9) состоит в том, что при конечной интенсивности прерываний определяемая им п. р. в. / (О оказывается положительно в небольшой области отрицательных у. Этот недостаток обусловлен тем, что нормальная плотность, входящая в смесь (9) и аппроксимирующая условное распределение календарного времени у, определена на интервале (-со < 1: < оо).

В связи с возможностью появления отрицательного времени у приходится применять к (9) поправку, которая состоит в переходе от п. р. в. 7 (?) скорректированной усеченной п. р. в. fy+{l), определяемой в виде:

о,

¡¡у№

(с О, и О,

(10)

Поскольку этот способ асимптотического анализа учитывает только среднее время прерываний, он может быть назван методом первого порядка, в то время как интегральное преобразование, учитывающее также и дисперсию времени прерываний, - методом второго порядка. Можно было бы ожидать, что при невысокой интенсивности прерываний метод второго порядка окажется более точным. Однако более основательное изучение этого вопроса показывает, что соотношение точности рассматриваемых двух методов несколько более сложное и определяется не только интенсивностью прерываний, но и рассматриваемой областью возможных значений сл. в. у. Каково именно это соотношение, видно из результатов, излагаемых ниже.

2. Интегральное представление безусловного распределения

Безусловное распределение сл. в. у можно найти переходом к нему от условного асимптотически нормального распределения времени ут, рассматриваемого при фиксированной трудоемкости х' = Т.

и учитывающей требование нормирования п. р. в. Необходимость введения этой поправки приводит к дополнительному этапу численного интегрирования и немного усложняет применение интегрального приближения. Тем не менее, компьютерная реализация интегрального приближения (9), (10) элементарна, а время, затрачиваемое на соответствующие расчеты, ничтожно мало по сравнению со временем, затрачиваемым на имитационное моделирование системы массового обслуживания (СМО).

При использовании асимптотических представлений величины ут в целях ускорения имитационных экспериментов [13] интегральное преобразование не используется, поскольку разыгрывается условное время прерываний (как нормальное), а проблема отрицательных значений календарного времени решается за счет простой замены таковых значений нулем. Как показывают специально выполненные тестовые эксперименты, этот метод исключения отрицательного времени не добавляет ощутимых погрешностей к основной погрешности используемых аппроксимаций благодаря редкости появления отсекаемых отрицательных значений времени.

3. Метод первого порядка: масштабное

представление

В целях экспресс-анализа календарного времени выполнения заявки более удобной оказывается аппроксимация плотности [уЩ методом первого порядка, абстрагирующимся от ненулевого коэффициента вариации сл. в. ут. Метод первого порядка позволяет относительно легко получить приближенное представление плотности/)г(<), одновременно учитывая его погрешность с помощью простых асимптотических оценок (4)-(6).

Масштабное представление (приближение первого порядка) находим, предполагая условный коэф-фициент вариации (3) равным нулю. При этом, исходя из пропорциональной зависимости (7), безусловная п. р. в. / (£) определяется в виде соответствующего масштабного преобразования п. р. в. Ь,(£) чистого времени*':

Щ ~ Ь,(л(1-рИ). (П)

Это же соотношение получается из интегрального преобразования (9), если в нем выполнить предельный переход к плотности вырожденного нормального распределения с сг^) = 0. Вырожденная плотность представляет собой бесконечный импульс в точке Г = а(й), который имеет нулевую ширину и единичную площадь.

4. Эксперименты

На рис. 1-6 приводятся результаты предварительных испытаний интегрального (9), (10) и масштабного (11) приближения. Эти испытания и все описанные далее эксперименты выполнялись для четырех тестовых СМО, в которых распределения сл. в. х' выбраны таким образом, чтобы упростить оценку искажений формы п. р. в. /у(?), обусловленных неточностью приближений. Действительное распределение для определялось посредством имитационного моделирования с контролем точности, обеспечивающим ее заведомо достаточный для решения рассматриваемых вопросов уровень. Во всех испы-таниях статистический расчет проводился при длине прогона, определяемой прохождением через систему 105-10" неприоритетных заявок. Это гарантирует, по меньшей мере, две точные значащие цифры во всех используемых ниже экспериментальных данных.

В СМО-1 чистое время обслуживания х' неприоритетной заявки имеет симметричное треугольное распределение на отрезке (0, 50) с вершиной в точке { = 25. Соответственно, в СМО-1 имеем среднее время обслуживания х' = 25 и квадратичный коэффициент вариации с\. =0(х)/(х')2 = 1/6. Время х обслуживания приоритетной заявки имеет в СМО-1 гипер-экспоненциальное распределение с плотностью Ь(Г) = р/+ (1 -р)• ¿¡е"''1, где Л, = 1,9608, л,, = 0,03923, р = 0,9804. Такой выбор параметров Я,, Я.,, р обеспечивает высокое значение квадратичного коэффициента вариации С\ = 25. При указанных Я,, Лу р имеем х = 1 (для простоты время везде задается в условных единицах). Параметр х можно изменять, увеличивая генерируемые в модели значения х в требуемое количество раз, коэффициент вариации Сл при этом не изменится. Высокое значение коэффициента С; = 25 выбрано намеренно, поскольку оно сильно ухудшает сходимость проверяемых приближений. Сл. в, Д и т! определены в СМО-1 как равномерные.

Mean: 32.970

S.D.: 48.159

юаооо ,

nHfflTiffimnrmnlj6

Рис. 1. Распределение fy(() в СМО-1 при v =1,33

Meon: 33.303

в.Р.: 23.567

60000

Рис. 2. Распределение fy[t) в СМО-2 при v =1,33

з.й.: 23.261

100000

Рис. 3. Распределение ГуШ в СМО-1 при v =8,33

Mean: 33.322

3B000 _

Рис. 4. Распределение /у(1) в СМО-2 при v =8,33

I I I I I I I I I I I I I II I I II I I 1 Igg

Mean: 33,250 Б.О.: 19.562

зеооо 0 J

Рис. 5. СМО-3: трансформация двухмодальной п. р. при V =8,33

Mean: 24.999 S.O.: 11.194

60000

Рис. 6. СМО-4: трансформация эрланговской п. р. в. при ¡7= 8,33

Mean: 35.041 S.D.: 22.026

Рис. 7. Приближение /у* (() для СМО-1 при у = 8,33

В СМО-2 задано равномерное распределение сл. в. х' на отрезке (0, 50). Здесь С\. = 1/3. Сл. в. х, Д иД' имеют экспоненциальное распределение вероятностей.

В СМО-Здлясл. в.х' на отрезке (0,50) задана двух-модальная плотность. Ее симметричный график составлен боковыми сторонами двух одинаковых несимметричных треугольников. Основания треугольников лежат на отрезках (0,25) и (25,50), а вершины — н точках с координатами (10; 0,04) и (40; 0,04). Гистограмма этой п. р. в. показана на рис. 5 сверху. Для этой системы х' =25, О(х') =204,167, С]. =0,32667. Сл. в. х, ги /здесь, как и в СМО-2, все имеют экспоненциальное распределение вероятностей.

СМО-4 отличается от СМО-1 только тем, что чистое время обслуживания х' в ней имеет распределение Эрланга пятого порядка (с тем же средним х' = 25) и сверху не ограничено. Это распределение имеет форму, близкую к квазинормальным распределениям, возникающим при различных способах пакетирования заявок, которые характерны для циклических СМО [15].

Моделирование проводилось при различной интенсивности прерываний. Интенсивность прерываний изменялась путем одновременного (пропорционального) изменения среднего интервала поступления г и среднего времени обслуживания х приоритетных заявок. Вид всех исходных распределений, задающих систему, оставался при этом неизменным.

На рис. 1 и 2 представлены гистограммы распределений /уЩ для календарного времени у, полученные путем имитационного моделирования СМО-1 и С N'10-2 при относительно небольшом среднем числе г прерываний обслуживания рядовой заявки. Здесь в обеих системах х = 6,25, т = 25, х' = 25, Г = 50, поэтому среднее число Г прерываний обслуживания неприоритетной заявки, оцениваемое по формуле

_ х'

\> - -, составляет здесь приблизительно 1,33.

пт(\-р)

На рис. 3 и 4 показаны безусловные распределения времени у (соответственно, в СМО-1 и

СМО-2), полученные при значении v = 8,33, которое соответствует заданным здесь средним х = 1 и г = 4. На рис. 5 (в нижней части) находится гистограмма п. р. в. fy(t) для СМО-3. На рис. 6, по аналогии с рис. 5, в верхней части изображена гистограмма плотности Ь, (f), а в нижней — плотность fy(t) (дляСМО-4).

Результаты испытаний показываю т, что масштабное приближение (11) удовлетворительно описывает общую форму безусловного распределения / (f) календарного времени у. Вместе с тем, масштабным приближением не объясняется и не учитывается наблюдаемый эффект нелинейного сноса плотности вправо и возникновения хвостов распределения в области высоких значений у.

На рис. 7 показано приближение /y+(i). полученное путем вычисления интегрального преобразования (9), (10). Как видно из сравнения рис. 7 срис. 3, в области малых значений интегральное приближение хуже отражает форму действительного распределения /y(i), нежели более простое масштабное преобразование (11). Заметное завышение вероятностей малых значений в интегральном приближении объясняется тем, что асимптотическая аппроксимация условного календарного времени ут, используемая в (9), имеет при малых Т большую погрешность.

В целом результаты экспериментов показывают, что масштабное приближение (11) лучше описывает п. р. в. календарного времени у при малых f, а интегральное приближение (9), (10), соответственно, становится более точным при больших i, особенно в части хвоста распределения fy(t). Первая часть этого вывода подтверждается всеми приведенными результатами экспериментов, а вторая — точно установленными асимптотическими свойствами используемых в интегральном приближении условных распределений. С учетом этого вывода масштабное приближение (11) можно рекомендовать для проведения предварительного экспресс-анализа распределения календарного времени обслуживания, а интегральное представление (9), (10) - для оценки вероятности хвоста распределения fy(t).

5. Экспресс-анализ календарного времени

Обобщая результаты имитационных эксперимсп -тов и асимптотического анализа, можно для решения практических задач рекомендовать простую методику экспресс-анализа календарного времени, которая сводится к применению масштабного приближения (11), т. е. к простому «растягиванию» в (л (1 -£>))"' раз вдоль оси времени графика известной п. р. в. b,(i). Качественную оценку допускаемой при этом погрешности и «тяжести» неучтенных хвостов можно получить путем сравнения коэффициента вариации сл. в. х' (который не изменяется при масштабных преобразованиях и поэтому характеризует также вариацию получаемой п. р. в. для у) с более точной оценкой вариации (6). Чем ближе С . к оценке (6) тем меньше погрешность экспресс-анализа.

В табл. 1 предлагаемый метод качественной оценки точности экспресс-анализа проиллюстрирован на примере первых двух тестовых систем. Сопоставляя сближение масштабной оценки С = Сх. с оценкой (6), с одной стороны, и сближение этой же масштабной оценки Сх. с точным значением С , определенным экспериментально, с другой стороны, можно видеть (см. табл. 1), что предлагаемый качественный способ учета погрешности экспресс-

К анализу точности масштабного приближения по оценкам С

Тестовая СМО Среднее число прерываний V Оценки для Су

Масштабная оценка: Су = С^ Формула (6) Имитационный эксперимент

СМО-1 1,33 0,408 0,782 1,460

СМО-1 8,33 0,408 0,488 0,701

СМО-2 1,33 0,577 0,707 0,707

СМО-2 8,33 0,577 0,600 0,600

анализа вполне приемлем в условия* отсутствия экспериментальных данных. Чем ближе расчетные коэффициенты вариации Сх. и оценка (6), тем ближе С5, к точному экспериментальному значению Су, и, следовательно, тем более оправдано пренебрежение вариациями времени прерываний, на котором основано масштабное приближение.

6. Приближения для вероятности хвоста распределения

При ограниченных интервалах 0 < £ < 1Н, на которых обычно задается п. р. в. Ь,(() в циклических системах [15], важно не только качественно оценивать форму п. р. в./у(?) календарного времени у, но и по возможности точно определять вероятность выхода уза пределы расчетного масштабированного

интервала 0 < I < —-— , т. е. определять вероятность п(1 -р)

хвоста распределения. Вероятность р хвоста играет важную роль в циклических системах в связи с тем, что определяет соответствующие потери эффективности их функционирования при обслуживании пакетов заявок. В более общем случае необходимо гарантировать низкую вероятность р = Р{у > Г0}, не обязательно считая порог Т(| равным масштабированной границе ———.

п(1-р)

В «нулевом» приближении вероятность р можно оценить сверху, используя асимптотические оценки (4)-(6) вместе с неравенствами Маркова, неравенствами Чебышева и т. д. [2], справедливыми при любых распределениях. Например, используя неравенство Чебышева, получаем:

р = Р{у>Тп} = Р{у-у>Тп-у} <

< Р{|у-у|>Г0-у}<

. Р(у) с2у-у2

"(Vy)2

L

л(1-р) л(1-р)

X

или, кратко:

С;

Ро =

1'

(12)

тестовых CMC при различной интенсивности прерываний. В табл. 2 три вида расчетных оценок сопоставлены с экспериментальными данными для

t

типичного порога Тк =

= 66,667, Как видно

Л(1-р)

из табл. 2, верхняя оценка, основанная на неравенстве Чебышева, везде получается сильно завышенной.

Можно предложить другой приближенный способ оценки вероятности р хвоста, лучше учитывающий скорость убывания п. р. в. времени у, и основанный на следующем простом эвристическом рассуждении. Предположим, что календарное время обслуживания у описывается в части хвоста п. р. в. приблизительно нормальным законом распределения. Тогда естественно предположить и то, что вероятность хвоста р можно оценить по такой нормальной сл. в., которая имеет те же среднее и дисперсию, что и сл. в. у. Исходя из этого, запишем для р следующую формулу:

ряр1=1-ф

То-У

■Му)

(13)

где для приближенного определения Су можно использовать (6). В экспериментах, частично проиллюстрированных на рис. 1-7, вероятности хвостов при различных значениях порога Т0 вычислены для

в которой у и П(у) определяются соотношениями (4) и (5), а через Ф обозначена интегральная функция распределения вероятностей (ф. р. в.) стандартной (нормированной и центрированной) нормальной сл. в.

Эвристическая оценка (13) представляет собой «первое приближение» для вероятности хвоста и дает неплохие результаты при не слишком большой интенсивности прерываний (см. табл. 2), что некоторым образом соответствует области применения, на которую ориентированы и другие разрабатываемые здесь асимптотические приближения. Однако, в отличие от них, она не обладает строгой обоснованностью, и на ее пригодность в столь же широких пределах рассчитывать не приходится. Тем не менее, по поводу применения подобных эвристических формул, аппроксимирующих моделируемые зависимости на каких-либо интервалах изменения аргумента, заметим, что они могут эффективно использоваться в методах двухуровневой градиентной оптимизации, основанных на адаптивной аппроксимации поверхности отклика. С этой точки зрения подобные эвристические формулы имеют самостоятельную ценность для развития методов аналитико-имитационной оптимизации.

Третью, наиболее строгую и точную — асимптотическую оценку вероятности хвоста р найдем с помощью интегрального приближения (9), (10). Для этого разобьем интервал 0<(<1М возможных значений ограниченной сл. в. х' на N равных отрезков точками ¿0 = 0, =Д(, 1г = 2Дг,= ЛШ,

Сравнение точности оценок для вероятности хвоста р

Тестовая СМО Среднее число прерываний ¡7 Оценки для вероятности хвоста р

Неравенство Чебышева Эвристическая формула (13) Имитационный эксперимент Интегральная оценка (14)

СМО-1 1.33 0,61 0.254 0,02 0,24

8,33 0,24 0,080 0,05 0,091

41,67 0,18 0.019 0,0298 0,025

83,33 0,17 0,013 0,016 0,014

СМО-2 1,33 0,5 0,079 0,08 0,097

8,33 0,36 0,048 0,03 0,043

41,67 0,34 0,043 0,0199 0,020

83,33 0,33 0,042 0,014 0,0142

СМО-3 8,33 0,34 0,044 0,022 0,019

83,33 0,32 0,041 0,0021 0,0021

где Д/ = t.м/N, и выразим искомую вероятность р = Р{у > Т()} через условные вероятности Р {у > Г0| х' = Л} следующим образом:

р = 11Ш X^ X' < (,,,} • Р{у > Г(1| I, < х' < } =

Л/-1

lim Y.b\(ti) - At'

/V-*cо j=0

1 -Ф ГТо-аЛ

1 <г/ J.

(14)

i.

и ft^C^f.^

1/2

где а, = - ... , ,

л(1-р) ^ л(1-р)

Из (14) получаем интегральную асимптотическую оценку для вероятности хвоста:

р-1- ¡0,(1) 0

■а(1)

а(1)

dt

(15)

где среднее а (¿) и стандартное отклонение а (Г) под знаком стандартной нормальной ф. р. в. ФЦ) опре-

деляются в виде а(£) =

t

п(1-р)

и ег(() =

(С2 + С])р'т

1/2

л(1-р)

В табл. 2 интегральная оценка (15) рассчитана численным методом по формуле (14) при числе точек /V, приблизительно равном 5-10 тысячам. Такой расчет требует небольших затрат машинного времени, которые на несколько порядков меньше затрат на имитационное моделирование СМО (на обычном персональном компьютере — доли секунды против многих минут имитационного модели-рования).

Заметим, что в рассматриваемых случаях время имитационного эксперимента многократно возрастает вместе с увеличением V , поскольку при этом возрастает и степень разномасштабности моделируемых процессов [12]. Одновременно приходится экспериментально оценивать малую вероятность р, что представляет для имитационного моделирования самостоятельную специфическую проблему, приводящую к еще большему росту времени моделирования. Асимптотическая оценка (15) решает одновременно и проблему разномасштабности, и

проблему малых вероятностей. Из табл. 2 видно, что при среднем числе прерываний рядовой заявки Р > 50 асимптотическая оценка (15) становится практически точной. С ее помощью нетрудно, например, при V = 200 (обычный уровень показателя у при моделировании ВС) вычислить для тестовых СМО-( зависимость вероятности р от порога Т0 (табл. 3).

Анализ данных, приведенных в табл. 3, показывает, что в СМО-1 скорость убывания вероятности хвоста (на рассмотренном участке изменения порога Т0) больше, чем экспоненциальная.

Скорость убывания рсмо.2(Г0) и рСМСК)(Г0) имеет неровный характер, отражающий не унимодальную, резко изменяющуюся вблизи границ форму п. р. в. Ь,(0. задающей чистое время обслуживания в СМО-2 и СМО-3.

Обращает на себя внимание более быстрая сходимость вероятности хвоста к нулю в СМО-3 по сравнению с другими тремя СМО. Объяснить такую быструю сходимость малой дисперсией сл. в. х' в СМО-3 нельзя, поскольку она почти вдвое выше, чем в СМО-1 (и немного ниже, чем в СМО-2). При этом средние значения сл. в. х' во всех четырех системах одинаковые. Следовательно, быстрая сходимость связана здесь с формой п. р. в. £>,(£), возможно, с тем, что в СМО-3 часть ее общей «массы» значительно смещена в сторону малых значений, а значения, близкие к математическому ожиданию, являются наименее вероятными.

Отсюда можно видеть, что найденной интегральной оценкой для р можно воспользоваться и для оптимизации формы распределения вероятностей сл. в. х'. Задача оптимизации п. р. в. Ь,(£) относится к типу вариационных задач. Ее постановка и решение, ставшие возможными благодаря найденной оценке (9), (10), могут найти конструктивное применение в проектировании схем алгоритмов и программ [16] или вычислительных сетей [17]. Как правило, такие системы допускают многовариантные реализации, приблизительно эквивалентные с точки зрения аппаратных затрат и с точки зрения среднего времени обработки заявок, но не эквивалентные с точки зрения его дисперсии и тем более с точки зрения его распределения вероятностей. Выбор вариантов, оптимизирующих распределение Ь,(£). по-

Таблица 3

Зависимость вероятности хвоста р от порога Гд при V- 200

7"„ 60 65 70 75 80

р,м<м(Т„) 0,031 0,0098 0,0021 0,00027 0,000019

РсмоЛ) 0,100 0,027 0,00014 2,В ¡10'° 0

РсмоЛТо) 0,051 0.0048 1,510" 2,930IS 0

Pcnio.I7») 0,031 0,012 0,0032 0,00052 0,000046

зволит проектировать системы, «мягко» поглощающие прерывания и тем самым обеспечивающие низкую вероятность превышения предельно допустимого времени выполнения заявок. Это актуально, например, при проектировании систем управления атомными электростанциями, летательными аппаратами или в военном деле. .

Выводы

В статье изложены новые результаты, касающиеся свойств систем GI.JG.J1 и С12|С2|п с абсолютными приоритетами и дообслуживанием прерванных заявок. В этих системах распределение вероятностей для календарного времени выполнения неприоритетных заявок выражается двумя неэквивалентными асимптотическими представлениями (приближениями) — интегральным и масштабным.

Масштабное приближение позволяет выполнять экспресс-анализ формы распределения вероятностей для календарного времени выполнения Неприоритетной заявки, обслуживание которой прерывается приоритетными заявками.

Интегральное приближение позволяет оценить вероятность хвоста распределения календарного времени. Вероятность хвоста эффективно вычисляется в случаях, когда имитационное моделирование становится малополезным из-за совместного действия фактора разномасштабности моделируемых процессов и фактора малости оцениваемой вероятности. При этом чем более жестким становится влияние этих факторов на осуществимость имитационного моделирования, тем более точной становится расчетная оценка вероятности хвоста. Найденная оценка имеет достаточно быструю сходимость к точному значению искомой вероятности, и ее точность подтверждается описанными имитационными экспериментами.

Быстрое и точное вычисление вероятности хвоста позволяет определять потери эффективности функционирования в циклических системах [15) и решать соответствующие оптимизационные задачи. В области проектирования ВС с жесткими ограничениями на время выполнения заявок становится возможным ставить и решать задачи проектирования систем с мягким поглощением прерываний. Свойство мягкого поглощения прерываний может достигаться без изменения среднего чистого времени выполнения неприоритетной заявки, т. е. без изменения требо-ваний к быстродействию используемых каналов (аппаратных ресурсов), но только за счет конструк-тивных решений, изменяющих форму распределения вероятностей чистого времени обслуживания.

Библиографический список

1. Гнеденко Б. В., Даниэлян Э. А., Димитров Б. Н. и др. Приоритетные системы обслуживания. — М.. Издательство Московского университета, 1973, — 447 с.

2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / Пер. с англ. /Пер. И. И. Грушко; ред. В. И. Нейман. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

3. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. Пер. с англ. /Под ред. Б. С. Цыбакова. - М.: Мир, 1979. - 600 с.

4. Рыжиков Ю. И. Имитационное моделирование в обосновании методик расчета многоканальных приоритетных систем. — Первая всероссийская научно-практическая конференция по вопросам применения имитационного моделирования в промышленности «Опыт практического применения языков и программных систем имитационного моделирования в проммшлепности и прикладных разработках (ИММОД - 20СЗ). - СПб; ФГУП ЦНИИТС - 2003.

5. Рыжиков Ю. И. Имитационное моделирование. Теория и технологии. - СПб.: КОРОНА принт: М. : Альтекс-А, 2004. -ЗВ4 с.

6. Сох D. R. Use of Complex Probabilities in the theory of Stochastic Processes.//Proc. of the Cambridge Phil. Soc. -1955. - v.l. - P. 313.

7.Джейсуол H. К. Очереди с приоритетами/ Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 279 с.

8. Хомоненко А. Д. Вероятностный анализ приоритетного обслуживания в многопроцессорных системах//АВТ. — 1990. - Ns 2. - С. 55-61.

9. Gail Н. R., Hantler S. L., Taylor В. A. Analysis of a non-preemptive priority multiserver queue//Advances in applied prob. - 1988. - v. 20. - P. 852.

10. Феррари Д. Оценка производительности вычислительных систем: Пер. с англ. А. И. Горлина, Ю. Б. Котова и А. В. Ухова /Под ред. В. В. Мартынюка. — М.: Мир, 1981 — 576 с.

11. Максимей И. В. Функционирование вычислительных систем (Измерения и анализ). - М.: Советское радио, 1979. -272 с.

12. Задорожный В. Н. Разработка методов ускоренного моделирования разномасштабных по интенсивности процессов обслуживания. — Омский научный вестник. — 2004. — №3(28) - С/49-54.

13. Задорожный В. Н. Методы ускоренной имитации процессов с интенсивными прерываниями. — Имитационное моделирование. Теория и практика: Материалы 2-й всероссийской конференции Том 1. — СПб: ФГУП ЦНИИТС, -2005. - С.101-106.

14. Задорожный В. Н. Анализ систем с приоритетами методом декомпозиции. — Омский научный вестник. — 2005, - №3(32) - С.126-132.

15. Задорожный В. Н. Асимптотический анализ периодов повышенной нагрузки в приоритетных системах. -• Омский научный вестник. - 2006. - № 3(36), С. 117-124.

16. Задорожный В. Н., Мызникова Т. А. Рекурсивный анализ чувствительности для метода Байцера. // Деп. в ВИНИТИ, № 5490 - В88. - 1988. - 29 с.

17. Задорожный В. Н., Пуртов А. М. Анализ чувствительности в имитационном моделировании сетей массового обслуживания // Омский научный вестник, 2005. №4 (33) - С. 165-171.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры АСОИУ.

Статья поступила в редакцию 18.10.06. © Задорожный В. Н.