CC BY
20
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК681 3 06 В.Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Омский государственный технический университет
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДОВ ПОВЫШЕННОЙ НАГРУЗКИ В ПРИОРИТЕТНЫХ СИСТЕМАХ
Предлагается новый подход к задачам планирования и распределения нагрузки в многоканальных приоритетных системах. Снимаются ограничения, требующие задавать исходные законы распределения вероятностей экспоненциальными функциями или их композициями. Для показателей качества выводятся асимптотические формулы и тестируется их точность при использовании в приближённых расчётах. Обсуждаются возможные практические применения полученных результатов.
Введение Неприоритетная заявка иди пакет обслуживается системой в перерывах между обслуживанием при-В существующих системах массового обслу- оритетных заявок, т. е. в фоновом режиме. Способ живания (СМО) часто используется пакетирование формирования пакетов (планирование фоновой на-поступающих заявок, т. е. их регулярное накопле- грузки) влияет на длительность Л периодов фонового ние с целью повышения тех или иных показателей обслуживания пакетов, называемых далее периодами эффективности функционирования системы. Наи- повышенной нагрузки (ППН), в отличие от периодов более часто пакетирование осуществляется по сниженной нагрузки, свободных от фоновой работы, отношению к неприоритетным заявкам. Приори- Кроме пакетирования заявок в СМО возможны тетные заявки обслуживаются по мере поступления, различные способы распределения работы по обслу-в соответствии с той или иной дисциплиной их выбо- живанию пакетов. Например, вместо выполнения одра из очереди приоритетных заявок, а неприори- ного пакета заявок одним каналом (обрабатывающим тетные пакеты — по мере их формирования. Такое устройством, исполнителем и т. д.) может приме-разделение заявок по приоритетам производится няться параллельная работа нескольких или всех обычно по причине их разной срочности. В ряде каналов над одним пакетом. Распределение работы о случаев в качестве приоритетных заявок можно рас- также влияет на ППН.
сматривать сбои оборудования, отвлечения пер- Еще одной важной особенностью многих суще-
сонала от работы и т.д. ствующих СМО является циклическая — сменная или
сезонная — организация их функционирования, при которой периоды работы системы разделены значительными перерывами или периодами с измененным режимом работы. С точки зрения формального математического анализа таких циклических систем существенно, что в начале каждого цикла их работы можно считать восстановленными одни и те же известные вероятностные условия. Последействие в этих системах ограничивается пределами одного цикла работы, и особенности достигаемого в любом цикле конечного состояния нивелируются до начала следующего цикла соответствующими организационными мерами. Это справедливо и для рассматриваемых далее систем с пакетированием заявок, в которых в начале каждого цикла начинает обрабатываться новый пакет, накопленный в течение предыдущего цикла, и ППН совпадает с календарным временем обслуживания пакета.
Анализ подобных приоритетных многоканальных систем представляет собой чрезвычайно трудную задачу для теории массового обслуживания (ТМО), не решенную точными методами даже при упрощающем предположении о пуассоновском характере входных потоков заявок [1,2]. Это делает актуальным формирование новых подходов к анализу таких систем. Подход, предлагаемый в статье, использует разработанную в [3] технику асимптотического анализа и не ограничивает вида законов распределения, описывающих случайные интервалы поступления и трудоёмкость заявок.
1. Постановка задачи
Рассмотрим вероятностные характеристики многоканальной циклической приоритетной системы G2|G2|n с абсолютными приоритетами, дообслужи-ванием прерываемых заявок и параллельным обслуживанием неприоритетной заявки всеми каналами. В такой системе обслуживание неприоритетной (рядовой) заявки идеально распараллеливается между всеми доступными каналами, а новая неприоритетная заявка не начинает обслуживаться, пока не завершится обслуживание предыдущей. Когда какой-либо канал освобождается от приоритетных заявок, на него тут же переносится часть незавершенного обслуживания выполняемой неприоритетной заявки. Если неприоритетная заявка обслуживается одновременно несколькими каналами, то работа делится между ними поровну, так что интенсивность обслуживания возрастает пропорционально числу каналов.
Обозначим, как и в [3], через г интервал поступления приоритетных заявок, и через л — время обслуживания (трудоёмкость) приоритетной заявки. Эти случайные величины (сл. в.) описываются функциями распределения вероятностей A(í) и Bit) соответственно. Аналогично через т! ид-'обозначим интервал поступления неприоритетных заявок и время обслуживания (трудоёмкость) неприоритетной заявки; эти сл. в., соответственно, описываются функциями распределения A, (Í) и B,(í). Средние значения перечисленных сл. в. будем обозначать, соответственно, в виде F, х, т',х'.
Интенсивности Лил' приоритетного и неприоритетного потоков выражаются через средние интервалы поступления заявок: к — 1 / т, X' = 1 / г' ■ Суммарный коэффициент загрузки системы pL положим меньшим единицы: ръ = р + 1, где р = fá/n — коэффициент загрузки п-канальной СМО приоритетными заявками, р' = Х'хЧп — коэффициент её загрузки неприоритетными заявками.
Условимся далее везде надчёркиванием выражений обозначать переход к их средним значениям, дисперсию любой сл. в. ^обозначатьв виде й(т}) или сг^, а коэффициент вариации, соответственно, в виде С . Расшифровку этих общепринятых обозначений в случаях, когда соответствующая сл. в. т) определена, будем опускать.
Требуется определить вероятностные характеристики календарного времени у обслуживания одной неприоритетной заявки и календарного времени Л обслуживания пакета неприоритетных заявок с учетом времени всех прерываний обслуживания и при различных способах пакетирования заявок.
2. Безусловные моменты календарного времени обслуживания
В качестве отправной точки будем использовать следующее найденное в [3] для системы С2|С2|п асимптотическое свойство времени прерываний. Если неприоритетная заявка имеет фиксированное чистое время обслуживания х' = Т, то на обслуживание всех приоритетных заявок, поступающих в ходе обслуживания этой неприоритетной заявки, затрачивается суммарное время прерываний 2Т с характеристиками:
1 -р
■Т
Ch
пт
1 -р
(1)
(2)
где символ - обозначает сходимость с нулевой относительной погрешностью при Л/Я' —> оо (остальные обозначения оговорены выше). При этом распределение вероятностей сл. в. сходится к нормальному.
Предельные соотношения (1) и (2) могут использоваться в качестве приближенных формул, когда показатель Я/Я' достаточно велик. Поскольку формально предельный переход Я/Я' ->оо рассматривается в [3] как масштабное преобразование распределений А (0 и В (0 при фиксированных А, (^ и В, (£), то условие Я/Я' —> оо эквивалентно условию Я -»оо, или условию Т/т —> 00.
С помощью асимптотических приближений (1) и (2) можно определить безусловное среднее значение у , дисперсию 0(у) и коэффициент вариации Су календарного времени у обслуживания неприоритетной заявки. Календарным временем обслуживания заявки будем называть время, которое протекает между моментами начала и окончания её обслуживания. В системе с параллельным обслуживанием неприоритетной заявки оно легко определяется через эффективную трудоёмкость х заявки: у-х" / и, где х складывается из чистого времени обслуживания х' (чистой трудоёмкости) неприоритетной заявки и времени прерываний её обслуживания.
При х' = Т условная эффективная трудоёмкость хI представляет собой сумму х'т = Т + 2Т и, согласно (1) и (2), её среднее значение, дисперсия и квадратичный коэффициент вариации определяются следующим образом:
= Т + ZT
1 -р
1+-
1-/7.
■ т =
(3)
= /)(т + гт) - о(гт) =
- с2
— ^ /
_, иг Т т
/ С2 + С2 ^ 1-Р
(1-Р)
-Т2 =(4)
С2
игТ О-Р)3
5(4)
р2(с;+С2)
игр
Т(1-р)
(сг2+0. (5)
Применяя стандартный переход от условных моментов (3)-(5) к безусловным моментам (относительно условия, что чистая трудоёмкость неприоритетной заявки х = Т), находим:
1 ~Р'
Ж*)
Р(х') . птх' 2 (Г2^Г2Л
-5" + --Р ■ (Ст + Сх )
(1-р)2 (1-р)3
С2
С; +
птр
•(С;+С;).
(6)
(7)
(8)
Г(1 -р)
Поскольку приведенное время обслуживания у выражается через эффективную трудоёмкость л" в виде у = х* 1п , то из параметров (6)-(8) сл. в. х' легко определяются и параметры сл. в. у:
у ~
(9)
О(у)
ОД
"2(1-а>2
«О - р) '
РА (Сг +С^),(10)
с
с2, +
X
"(1-р)
пр
п (11)
(1-р) X
Из вывода исходных соотношений (1) и (2), данного в [3], видно, что эти соотношения справедливы при любом способе выбора приоритетными заявками доступных им каналов системы. Это может быть случайный выбор одного из доступных каналов, проверка каналов в определенном порядке и занятие (захват) первого доступного, выбор любого фиксированного канала и «упрямое» ожидание момента возможности его захвата (независимо от состояния других каналов), или даже распараллеливание обслуживания приоритетной заявки между произвольным подмножеством доступных каналов. Следовательно, соотношения (9)-(11) справедливы при тех же широких условиях. Единственное ограничение на способ выделения каналов приоритетным заявкам заключается в том, чтобы коэффициент загрузки любого канала не превосходил единицы.
Предельные соотношения (9)-( 11) при достаточно больших значениях х'/ 7 могут использоваться в качестве приближенных формул. На их основе можно получить и формулы для времени обслуживания пакетов в фоновом режиме при различных способах пакетирования заявок.
3. Типичные способы пакетирования заявок
Рассмотрим следующие наиболее простые и ти пичные способы пакетирования:
— формирование пакета по заданному периоду времени накопления заявок (Т-пакетирование);
— формирование пакета по заданному числу заявок (М-пакетирование);
— формироьание пакета по заданной суммарной трудоемкости заявок (Х-пакстирование).
Накопление заявок прг: Т-пакетировании производится в течение регулярно следующих друг за другом периодов врьмени, имеющих одинаковую длительно *ть Т„. По истечении каждого такого периода сформированный в нем пакет заявок устанавливается на вход приоритетной системы для обслуживания в фоновом режиме, и в следующем периоде накапливается новый пакет заявок. Во время обработки пакета в фоновом режиме, т. е. на протяжении ППН, суммарный коэффициент загрузки системы временно становится равен единице.
Планирование нагрузки посредством Т-паке-тирования наиболее характерно для систем, функционирующих в условиях влияния естественных (сезонных, суточных, сменных и др.) календарных циклов. Накапливаемые пакеты могут представлять собой почтовые отправления, контрольные работы студентов, файлы, передаваемые через Интернет, заказы в службах сервиса, созревающую сельскохозяйственную продукцию, и т. д.
При использовании Ы-пакетирования в пакете накапливается заданное число заявок Л/, а в случае X-пакетирования заявки накапливаются до тех пор, пока их суммарная трудоёмкость не достигнет заданного значения X. Эти способы пакетирования используются, например, при комплектации изделий, при регулировании материальных потоков в производстве и на складах, или при управлении грузопотоками на транспорте.
При любом из указанных способов пакетирования расчет характеристик сл. в. Л можно осуществлять, рассматривая приоритетную систему с пакетированием как обычную приоритетную систему, в которую в качестве потока неприоритетных заявок поступает поток полностью сформированных пакетов. Для такого рассмотрения достаточно определить соответствующие характеристики интервала 9 поступления пакетов и трудоемкости £ обслуживания пакета.
В рассматриваемых циклических системах пакеты, в отличие от приоритетных заявок, не накапливаются в очередях. Если требуемое время Л обслуживания пакета превышает время цикла, то не обслуженная часть пакета теряется, либо пакет обслуживается в срок за время, сокращаемое путем привлечения дополнительных ресурсов или за счет потери качества обслуживания. В силу того, что в одном цикле обслуживается один пакет, ППН совпадает с календарным временем обслуживания пакета.
4. Параметры потока пакетов
4.1. Т-пакетирование
При использовании Т-пакетирования интервал в поступления пакетов фиксирован: в = Т0. Если период пакетирования Т0 достаточно велик, то интервалы г1 поступления накапливаемых неприоритетных заявок можно рассматривать как поток восстановлений, сопряженный с процессом накопления трудоёмкости £ пакета, осуществляемым
последовательными приращениями трудоёмкостеи х неприоритетных заявок. Приращения трудоёмкости х' здесь независимы. Непосредственное применение к этому процессу восстановлений с приращениями соответствующих асимптотических формул теории восстановлений [4] дает следующие выражения для объёма пакета N и для его трудоёмкости £
N ~ ÎL i D(N)
D(t') .
Т •
'о
2 2 -/2 \ ¿■У , °У *
Ci
— •(С2, +с2,)
■г 4 X г ' ■ 'о
(12)
(13)
corrió N)
Cr■
С2, +с2,
Т X
^Q2
(14)
где <2 = Сх,/Сд. — относительная вариация времени обслуживания неприоритетной заявки.
Таким образом, при Т-пакетировании на входе системы создается регулярный (строго периодический) поток неприоритетных пакетов, трудоёмкость которых распределена асимптотически нормально с параметрами распределения (13). Эти параметры полностью определяются первыми двумя моментами сл. в. г' и х', и величиной Т„ периода накопления пакета.
Заметим, что если трудоёмкость х' неприоритетной заявки принять равной единице, то суммарная трудоёмкость пакета £ отождествляется с числом заявок в пакете N. При этом изх' = 1 следует х' = 1, Э(л') = 0, и формулы (13) превращаются в формулы (12), а коэффициент корреляции (14) становится равным единице.
4.2. Х-пакетирование
При использовании Х-пакетирования фиксируется заданное значение Хт трудоёмкости пакета. Неприоритетные заявки накапливаются, пока трудоёмкость пакета £ = х\ + х'2 + ... + х'ы не достигнет значения Хт или впервые его не превысит. В момент достижения этого условия пакет передается на вход системы.
Асимптотическая трудоемкость пакета фиксирована: Хт, откуда £ ~ Хт , —> 0. Учитывая среднее превышение трудоемкости £ над уровнем Хт добавлением среднего остаточного времени интервала х', имеем:
потока пакетов при Х-пакетировании легко определяются из соотношений (12)-(14) путем замены в них обозначений Л х', Т0, N и £ на х', г/, Хт, N и в соответственно. Выполняя такую замену, находим, что при Х-пакетировании число N заявок в пакете и интервал в поступления пакетов распределены асимптотически нормально с параметрами:
N
D(N)
Р(х') Г3
Хт , CN
Д*')
х ■ Л „,
в ~ D(d) - хя
х'
2 2 =.2^
Распределение вероятностей сл. в. N и ^асимптотически нормально, статистическая зависимость между ними выражается следующим коэффициентом корреляции:
С2 L0
corr{6, N)
X
* (Cj+Cj),
С»
№
+ C2
f^Q?
где О, = Cr /СА — относительная вариация трудоемкости неприоритетной заявки.
4.3. N-пакетирование
При N-пакетировании трудоемкость £ пакета представляет собой сумму Л/независимых сл. в. х'., а интервал ^поступления пакетов — сумму N независимых сл. в. тЛ. Средние значения и дисперсии сл. в. £ и в являются суммами средних и, соответственно, дисперсий слагаемых, поэтому
£ = N-x',e=N-f', D(Ç) = N ■ D(x'), D(Û) = N ■ D(r'). (16)
Асимптотические распределения сл. в. £ и в нормальные, и при N-пакетировании эти величины статистически независимы (как функции от двух независимых совокупностей величин).
5. Расчет характеристик ППН в циклических системах
Среднюю длительность ППН h и дисперсию D(h) в системе G.jG.Jn с абсолютными приоритетами и параллельным обслуживанием неприоритетной заявки можно найти с помощью соотношений (9) и (10). Для этого в них достаточно вместо параметров х и D(x') трудоёмкости х' заявки подставить, соответственно, выражения параметров f и D(£) трудоёмкости <f пакета. При разных способах пакетирования выражения для Ç и D(£) заданы соотношениями ( 13), ( 15) и ( 16). Подставляя в (9) и ( 10) эти варианты поочерёдно, упрощая результаты и приводя их к единообразному виду, находим искомые показатели ППН:
I - = Хт+х\\+С\)12,Щс]^0. (15)
2х
Трудоёмкости х' неприоритетных заявок при X-пакетировании суммируются до достижения уровня Хт, и промежутки времени / между приходами заявок представляют собой последовательные приращения, из которых накапливается интервал в поступления пакетов на вход системы. Здесь осуществляется процесс восстановлений с накоплениями, который в асимптотическом плане отличается от процесса, рассмотренного в п. 4.1, лишь обозначениями. Искомые предельные характеристики
h ~
N
п (1 -р)
С2 ~ 1. h Ñ
С2 +
(1-А) г х> *'
(17)
,(18)
где Лг — среднее число заявок в пакете и фактор С2 определяются для различных способов пакетирования следующим образом: — дляТ-пакетирования
А' = Т„
С2=С2+С2,
X Т
(19)
Таблица 1
Зависимость показателей от Ту при С',2 = 1/3 Зависимость показателей от Т„ при С; = 1
т„ 10 20 30 40 5(1 100 150 200 250 10 20 30 40 50 100 150 200 250
7 13 20 27 33 67 100 133 167 6,7 13,3 20,0 26,7 33,3 66,7 100,0 133,3 166,7
И
= 7 13 20 26 33 66 99 133 166 6,7 13,4 20,0 26,7 33.1 ы>,а 100,0 133,4 166,6
* 7 10 12 14 16 22 27 31 35 12,2 17,2 21.1 24,3 7.7,2 38,5 17.1 54.4 60.9
Сь „
8 10 13 14 16 22 27 32 35 12,2 17,? 21,1 24,4 27,3 38,7 47,1 54,5 61.0
Таблица 2
Зависимость показателей от Т„ при Сг = 0, 0208 Зависимость показателей от Т„ при С ~ = 27, 2
Т„ 20 30 40 50 100 150 200 '.¿50 10 20 30 40 50 100 150 200 250
7 13 20 27 33 67 100 133 167 1 13 20 27 33 67 100 133 167
И
6 13 19 26 33 66 99 133 166 7 14 20 27 34 68 101 136 170
2 2 3 4 4 6 7 8 9 64 90 110 127 142 201 246 284 318
3 4 4 5 5 6 8 8 9 54 76 94 1 11 124 178 222 262 296
— для Х-пакетирования
Й = Хт1х' + {\ + С\)1гХ2=Ъ, (20)
— для Ы-пакетирования
N = И .Сг = С2х,- (21)
В соотношениях (17) и (18) число каналов л неявно входит в коэффициент загрузки: р = Лх/п - х/(пт).
Распределение вероятностей сл: в. Л уже не обязательно асимптотически нормальное. Как показывают имитационные эксперименты, чаще всего гистограмма распределения сл. в. Л характеризуется ярко выраженной асимметрией и длинным «тяжелым хвостом». Аналитическое исследование распределения сл. в. Л сводится к переходу от условного нормального распределения времени прерываний пакета при его фиксированной трудоемкости Е, = Т, к безусловному распределению сл. в. Л (по аналогии с переходом (3)-(11) к бёзусловным моментам календарного времени выполнения заявки). Получаемое при этом распределение сл. в Л представляет собой непрерывную смесь нормальных распределений, выражаемую в виде опредёленного интеграла, точное решение которого не представи-мо в конечной форме. Поэтому его анализ и сведение к виду, удобному для практических целей, требуют отдельной работы, имеющей чисто технический характер. Вместе с тем, оценки вероятностей каких-либо критических событий, существенных для качества функционирования системы, можно находить и на основе двух моментов сл.в. И, если использовать неравенства Маркова, Чебышева идр.[5,6], справедливые при любых распределениях.
Таким образом, искомые показатели ППН выражены приближениями (17) и (18) в аналитической форме, с вариантами (19)-(21) для разных видов пакетирования. Но прежде чем предлагать эти приближенные формулы для практического использования, оценим их точность и дадим соответствующие рекомендации по применению. При этом основной параметр, от которого зависит точность
асимптотических приближений — среднее число прерываний обслуживания пакета — будем оценивать показателем р = (/УЗс') !{тп).
6. Имитационные эксперименты
Точность асимптотических формулдля ППН при Т-пакетировании оценим путем сравнения результатов их применения с точными решениями, полученными с помощью имитационного моделирования тестовых систем С2|С2|п. При имитационном моделировании необходимая точность решений была достигнута за счет затрат от 2 до 20 минут чистого компьютерного времени в каждом проверочном имитационном эксперименте (ИЭ). Этим в каждом ИЭ обеспечивалось прохождение через тестовую СМО сотен тысяч и миллионов заявок. Всего проведено около сотни таких ИЭ. Их результаты используются ниже в табл. 1 и 2.
В табл. 1 для разных значений периода пакетирования Т„ приводятся среднее значение И и среднеквадратичное отклонение С/, календарного времени Л обслуживания пакета. Результаты, полученные путем моделирования, находятся в строках с префиксом =, результаты приближенного расчета по формулам (17)-(19), соответственно, в строках с префиксом «. Параметры тестовой системы для табл. 1 имеют следующие значения: п = \, р = р' = 0,4; г = г' = ]0 , х = х' = 4 (время указывается в условных единицах). Поэтому здесь показатель /3 = 0,04Т0 и изменяется от 0,4 до 10. Левая часть табл. 1 получена при равномерном распределении интервалов поступления и обслуживания г, х, г1 и .г', когда все квадратичные коэффициенты вариации этих интервалов
С} е (сг2, С \, С], С 2 } равны 1/3. В правой части таблицы распределения интервалов показательные, и все четыре коэффициента вариации равны единице, При л = 1 и показательных распределениях сл. в. л и гформулы становятся точными. Поэтому данные ИЭ приводятся с лишним знаком, чтобы показать их высокую точность.
Если одновременно все четыре коэффициента вариации интервалов чрезмерно удаляются от единицы, то точность используемых приближений начинает снижаться. Так, некоторое ухудшение точности видно из левой части табл. 2, где показатели ППН найдены при «узком» равномерном распределении интервалов, дающем cj = 1 /48 (сл. в. х и х' распределены равномерно в диапазоне 4 ± 1; сл. в. гиг1 - в диапазоне 10 ± 2,5). В правой части этой таблицы сравниваются результаты расчёта и моделирования тестовой системы при ограниченном гиперболическом распределении [3] интервалов т, х, г' их', дающем с,2 = 27, 237. Здесь также наблюдается некоторое ухудшение точности. В табл. 2, как и в предыдущей, Р= 0,04 Т(| и изменяется от 0,4 до 10.
Точность приближений практически не зависит от других параметров приоритетной системы. Так, при числе каналов л = 3 и коэффициентах вариации Cf = 5,9 погрешность приближений на интервале пакетирования 300 < Т0< 800 (т. е. при 4 < Р < 10) составляет от 2 до 1 процента. При расчёте зависимости показателей от л в пределах 4 < л < 100, при Т0 = 100, х = 9, х = 20 (т. е. при (3 = 20/л, меняющемся от 5 до 0,2) и С2 = 1/3, относительная погрешность оценок находилась между 1 и 1,5 процентами. При более высоких коэффициентах вариации С,2 = 5,9 погрешности менялись между 2 и 5 процентами. Все эти изменения погрешностей обусловлены изменениями показателей Р и С,2 и практически не зависят от л.
Уровень точности приближений не снижается и в широком диапазоне изменений нагрузки. ПриТ0 = 100, равномерном распределении интервалов и изменении коэффициента загрузки р или р' от 0,1 до 0,9 (когда значение другого коэффициента сохранялось равным 0,4) погрешности приближенных оценок не превосходили 1,5%. Лишь в точке р' = 0,1 погрешность возросла до 3%, поскольку показатель р (здесь Р = Юр' ) достиг в этой точке своего наименьшего при изменениях нагрузки значенияР~\.
В ходе ИЭ изменялись все десять параметров п, Т0 , Г, С 2 , л , С } , Г', С 2 , Г, С 2 , характеризующих приоритетную систему с Т-пакетированием заявок. Показатель Ь в разных опытах принимал значения P~z 0,2, и во всех случаях обеспечивалась хорошая точность приближений. При среднем числе прерываний пакета р = 1-П0 относительная погрешность приближений составляет один - три процента, и с ростом рона снижается.
Относительно зависимости погрешностей от С,2 заметим следующее.
Если все коэффициенты вариации С,2 одновременно приближаются к нулю, то СМО начинает вырождаться в детерминированную систему. В ней появляются сильные зависимости между далеко отстоящими во времени событиями, «интерференция» потоков и т. п. явления. Естественно, что такие «маргинальные» системы выходят за рамки применения собственно ТМО и, быть может, им более соответствуют подходы с позиций теории расписаний. Тем не менее, как видно из табл. 2, этот случай всё ещё достаточно хорошо описывается найденными приближенными формулами даже при Р< 10.
Если же все коэффициенты вариации Cf одновременно достигают величины, в несколько раз превосходящей единицу, то система начинает выходить за пределы действия устойчивых законов теории вероятностей, т. е. из случайной вырождается в «неопределенную». Знание её статистических
показателей имеет мало шансов оказаться полезным на практике из-за очень нестабильного их соответствия поведению системы, даже если оно наблюдается на больших интервалах времени. Тем не менее, как показывает табл. 2, системы и в этой пограничной области параметров достаточно хорошо описываются приближенными формулами уже при Р< 10.
Аналогичные проверочные ИЭ с Ы- и Х-паке-тированием заявок показывают, что качество приближений (17) и (18) в этих случаях практически такое же, и точность приближений определяется теми же факторами, как и при Т-пакетировании.
Таким образом, исследуемые показатели ППН, выраженные для разных видов пакетирования в аналитической форме, обладают хорошей точностью уже при значениях Д составляющих несколько единиц, и могут быть рекомендованы для широкого практического использования при решении задач планирования и распределения нагрузки.
7. Пример применения
На практике для регулирования нагрузки привлекаются конкретные технико-экономические данные и соображения о зависимости показателей эффективности системы от характеристик ППН. При этом среднюю длительность ППН обычно оценивают и нормируют эмпирическими методами, но анализ дисперсии ППН, а тем более функции распределения вероятностей, чаще всего остаётся за пределами практического регулирования нагрузки. Возникающие отклонения ППН от средних значений приводят к расхождению ожидаемых и реальных эффектов, потере заявок, упущенной прибыли, срыву сроков или снижению качества обслуживания, и т. д.
В циклических системах общий уровень случайных отклонений ППН Л от ожидаемых значений — аритмичность нагрузки — можно оценить величиной коэффициента вариации Сп. Соотношения (17) и (18) могут при этом использоваться как для регулирования нагрузки с учётом конкретных технико-экономических данных, так и для анализа общих закономерностей её регулирования. В частности, эти соотношения позволяют выявить и использовать общие закономерности формирования аритмичности, присущие приоритетным системам с пакетированием заявок и параллельным обслуживанием.
Пусть некоторая система состоит из л идентичных одноканальных СМО, обслуживающих п независимых пуассоновских потоков заявок с одинаковой интенсивностью А, = ... = Лп = Л (рис. 1а). Рассмотрим возможности регулирования нагрузки посредством Ы-пакетирования заявок во всех л потоках (рис. 1Ь) и посредством объединения каналов в систему с параллельной обработкой пакетов (рис. 1с). Чтобы не усложнять рисунка, приоритетные потоки заявок на нём не изображены. В качестве меры аритмичности нагрузки будем использовать коэффициент вариации Сп календарного времени выполнения пакета.
В случае раздельного [Ч-пакетирования потоков (рис. 1Ь) показатель Сл определяется выражениями (18) и (21), причём в (21) имеем Сх, = 1, поскольку потоки пуассоновские. Следовательно, для этого случая
С2-С2
N
1 + -
0 -Р)
• (С2 +с2)~
(22)
с)
-Oi
* -ИНЬ* •
а) нерегулируемая нагрузка;
Ь) раздельное пакетирование; с) пакетирование и совместное обслуживание
Рис. 1. Варианты регулирования нагрузки
Если в этой формуле принять N = I, то она будет соответствовать случаю не регулируемой нагрузки (рис. 1а). Из (22) видно, что N-пакетирование потоков приводит к снижению квадратичного коэффициента вариации C2h в N раз, а показателя аритмичности С,|Р соответственно, в -Jn раз.
Предположим, размер пакета N зафиксирован исходя из средней длительности его обслуживания, или исходя из среднего интервала поступления пакетов. Чтобы не менять этого важного для циклических СМО параметра, при объединении каналов для параллельного обслуживания пакета (рис. 1с) зададим длину пакета равной nN. Как видно из (17), среднее время обслуживания одного пакета при этом не изменяется. Коэффициент вариации С, определяется из (18) следующим образом:
С2-С2
1
nN
1 -I——— (С 2 + С2) • — (1-/7) Г X'
■ (23)
Разделив (22) на (23), и извлекая квадратный корень, находим не зависящий от N коэффициент к гашения аритмичности при объединении каналов:
к =
снь
1 + Д
рг
hc
ll/и + Д
рг
где Д рГ определяется выражением
Арг =
(1 -р) х
(24)
(25)
Показатель АрГ , называемый далее приоритетным возмущением ритмичности нагрузки, характеризует вклад приоритетных заявок в нестабильность ППН. Если приоритетное возмущение
рг
О, то коэффициент гашения (24) достигает
максимального значения к- 4п ■ С увеличением А рг
исходная аритмичность (22) растёт, а коэффициент её гашения к падает, приближаясь к единице. Формула (25) показывает, какие параметры приоритетного потока и как именно формируют возмущение ритмичности нагрузки. Из этой формулы видно, что для снижения аритмичности можно уменьшать приоритетный коэффициент загрузки р, коэффициенты вариации Сг и Сх, или относительную длительность обслуживания прерывающих заявок х/х'.
В частности, например, если отвлечения от обслуживания необходимы, то жёсткая фиксация их длительности и периода появления снижает показатели С и С , — и вместе с ними приоритетное
возмущение (25) — до нуля. Тем самым не только минимизируется исходная аритмичность нагрузки (22), но и достигается максимальный коэффициент её гашения (24) при параллельной работе каналов.
В целом этот пример анализа показывает, что при концентрации ресурсов (рис. 1с) помимо прямых технологических эффектов кооперации происходит позитивное изменение статистических характеристик системы.
Но возможны и такие ситуации, когда полезно добиваться максимальной аритмичности функционирования системы (например, в целях проведения «стрессовых» испытаний информационных систем). Из соотношений (23) - (25) видно, что при любой сколь угодно малой заданной нагрузке р и малом среднем времени х можно обеспечить сколь угодно большую аритмичность за счет соответствующих значений коэффициентов вариации Сг и Сх,. Технически это можно реализовать путём применения датчиков случайных чисел для генерации прерываний с соответствующими вероятностными характеристиками. В средних показателях приоритетные воздействия при этом будут малы или незаметны, но аритмичность функционирования системы — высокой.
Заключение
Предлагаемые аналитические методы позволяют выразить асимптотические характеристики периодов повышенной нагрузки через известные параметры приоритетных систем. Найденные решения учитывают особенности циклического функционирования многих существующих систем массового обслуживания, охватывают различные способы накопления заявок и распараллеливания работы между каналами приоритетных систем. Они справедливы при самых общих предположениях о виде исходных распределений вероятностей.
Выполненный с помощью имитационного моделирования анализ погрешностей показал, что полученные асимптотические приближения имеют хорошую для практических целей точность. Уже при показателе /?, достигающем одного - двух прерываний на пакет, погрешности расчёта лежат в пределах одного - трёх процентов. При /?-» ос точность приближённых формул возрастает.
В конкретных системах, привлекая соответствующие технико-экономические данные, с помощью предлагаемых соотношений можно определять эффективность регулирования нагрузки и согласовывать структуру систем с вероятностными параметрами входных потоков заявок и с целями функционирования. Это существенно расширяет практические возможности анализа и оптимизации как существующих, так и проектируемых систем массового обслуживания.
Библиографический список
1. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания: Пер. с англ. / Л. Клейнрок; Под ред. В.И.Нейман; «Пер. ИИ. Грушко ». -М.: Машиностроение, 1979. — 432 с.
2. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями: Пер. сангл/ЛКлейнрок;Подред.Б.С. Цыбакова. — М.: Мир, 1979. — 600 с.
3. Задорожный В.Н. Анализ систем с приоритетами методом декомпозиции / В.Н. Задорожный // Омский научный вестник. - 2005. - №3(32). - 126-132 с.
4. Кокс Д Р. Теория восстановления: Пер. с англ. / Д.Р.Кокс , В.Л.Смит;.Под ред. Ю.К Беляева. - М.: Сов. радио, 1967 г. - 312с.
5. Уилкс С. Математическая статистика: Пер. с англ. / С. Уилкс; Под ред. Ю.В. Линника. - М.: ГРФМЛ, 1967 г. - 632 с.
6. Ширяев А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. - М.: Наука, ГРФМЛ, 1980. - 576 с.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры АСОИУ.
Дата поступления статьи в редакцию: 20.02.06 г. © Задорожный В.Н.
УДК 519 72 С. в> ЗЫКИН
Омский филиал института математики СО РАН
МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДАННЫХ ДЛЯ РАБОТЫ
С ИНФОРМАЦИОННЫМИ РЕСУРСАМИ
В работе рассматривается проблема формирования интерфейса между различными представлениями данных. В качестве основы построения используется метод межмодельных коммутативных преобразований. Предполагается отсутствие взаимнооднозначного соответствия состояний исходной и целевой моделей данных.
1.Введение
Проблема использования информационных ресурсов была сформулирована основоположником реляционной модели данных - Е. Коддом с соавторами [1]: "... обладание большой корпоративной БД имеет маленькое значение, если конечные пользователи не имеют возможностей легко синте-зироЕать необходимую информацию из этих запасов (складов) данных". Эта ситуация обусловлена тем, что весь сервис работы с информационными ресурсами создается прикладными программистами и, как следствие, необходимая информация к моменту ее получения перестает быть актуальной. Для решения указанной проблемы необходимо создание инструментария, ориентированного на организацию интерфейса между пользовательским представлением данных и информационными ресурсами.
Понимание этой проблемы вынуждает разработчиков программного обеспечения информационных систем дополнять свои продукты соответствующим инструментарием. Примером для сильноструктурированных моделей данных могут служить разработки: MS Access для Windows, Oracle Express, Delphi, InfoVizorT.A. Особенно популярны в настоящее время OLAP-технологии при построении гиперкубического представления данных (2,3,4,5]. Эти системы обладают широким спектром возможностей: быстрое создание форм для просмотра и редактирования данных, создание отчетов с возможностью расчета интегральных характеристик, вплоть до построения диаграмм, и т.д. Однако есть принци-
пиальное ограничение: эти разработки не используют формальное определение целевой модели данных и, как следствие, отсутствуют универсальные алгоритмы преобразования данных. Этот недостаток в существующих системах компенсируется программированием интерфейса по данным на встроенных языках, при этом, об оперативном предоставлении информации пользователю не может быть и речи.
2. Обобщенные состояния представления данных
Рассмотрим методику построения отображения исходной модели данных в целевую. Обозначим: ¿2= =<М, ДР,Р> — полностью определенная исходная модель, где М — логическая модель (схема) данных; О — совокупность допустимых состояний представления данных; Р — набор операций для модели М; Р — совокупность предикатов, ограничивающих допустимые состояния йМиБв совокупности являются носителем системы. Пусть С2= <М',1У,Р,Р'> — целевая модель, которую необходимо построить. Независимо от £2 может быть построена только схема целевой модели. Остальные компоненты определяются моделью £2, и механизмом их определения является отображение:
п => а.
Необходимо отметить, что исходных моделей может быть несколько, либо какие-то модели будут промежуточными, как в случае с построением гиперкуба [6]. Однако во всех случаях парное взаимодействие моделей должно быть самодостаточным, то есть независимым от других моделей. Достигается это свойство за счет парных алгоритмов
