CC BY
55
УДК 681.3.06
В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Омский государственный технический университет
КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ
Разрабатывается и исследуется комбинированный аналитико-имитационный метод для расчёта и оптимизации циклических систем массового обслуживания с абсолютными приоритетами. В методе используются асимптотические приближения для вероятностных характеристик календарного времени обслуживания неприоритетных заявок и пакетов заявок. Эффективность метода демонстрируется на примере решения типичной задачи расчёта и оптимизации циклической системы.
1. Введение
Комплекс асимптотических результатов, установленных в статьях [1-3] для распределения суммарного времени прерываний и для времени обслуживания пакетов заявок, предоставляет новые возможности для постановки и решения практически важных задач расчёта и оптимизации циклических систем обслуживания (ЦСО).
Циклическими системами, в соответствии с [2,4], здесь будут считаться такие системы массового обслуживания, функционирование которых носит явно выраженный циклический характер, связанный, например, со сменным или суточным режимом работы. Их основным отличительным признаком является широкое использование процедуры накопления заявок (пакетирования), которое представляет собой компромисс между стохастичностью потока заявок и необходимостью планомерного регулярного использования ресурсов системы для обслуживания заявок. Использованию пакетирования сопутствуют такие особенности ЦСО, как наличие потока приоритетных заявок («мелких» работ, срочно обслуживаемых в режиме абсолютного приоритета), наличие форсирующих воздействий, которыми обеспечивается завершение работ над очередным пакетом до начала следующего цикла, и статистическая независимость процессов, осуществляемых внутри разных циклов.
Расширения «классических» разомкнутых или замкнутых сетей массового обслуживания [5-8] включаемыми в них ЦСО будем называть циклическими сетями (ЦС). Простейшая ЦС состоит из единственной ЦСО. В общем случае ЦС может состоять из нескольких «классических» систем массового обслуживания (СМО) и нескольких ЦСО. При этом заявки на входе каждой ЦСО могут пакетироваться по-разному в зависимости от того, поступают ли они из внешней среды или с выходов других СМО.
Асимптотические приближения, разработанные в [2] для ЦСО, можно распространить и на ЦС. Эти соотношения могут быть использованы для расчёта систем с прерываниями или без них. Например, для ускоренного аналитико-имитационного моделирования очередей транспортных единиц (ТЕ), скапливающихся у светофоров, целесообразно
использовать полученные в [2] расчётные соотношения для характеристик Т-пакетирования заявок (с соответствующей их доработкой, учитывающей формирование очереди как суммы, состоящей из числа ТЕ, поступивших за время запрета движения, и числа ТЕ, остающихся от предыдущего цикла накопления). Примерами реальных систем, функционирование которых может адекватно представляться в виде ЦС, являются также почтовые службы (в том числе системы электронной почты, [9]), вычислительные центры и серверы, транспортные городские сети, учебные заведения, системы мониторинга и другие системы. Градиентные аналитико-имитационные методы моделирования стационарных сетей [10] могут быть развиты для моделирования и оптимизации транспортных сетей городов, если при этом учесть цикличность функционирования транспортных сетей и узлов. Здесь наряду с формированием пакетов-очередей ТЕ перед светофорами (или на остановках) следует учитывать и пакетирование на остановках заявок-пассажиров — это необходимо для оценки показателей наполняемости пассажирского транспорта. При оптимизации режимов работы вычислительных центров и серверов разработанные методы моделирования целесообразно использовать в варианте [1-3], учитывающем приоритетный характер разделения времени центральных процессоров.
2. Комбинированный аналитико-имитационный метод моделирования циклических систем
Аналитические методы расчёта приоритетных СМО редко позволяют решать задачи анализа и оптимизации таких систем, в которых имеются не экспоненциально распределённые интервалы поступления или обслуживания заявок, многоканальное обслуживание, не стационарные режимы и другая специфика, естественная для ЦСО и ЦС. В таких случаях приходится применять имитационное моделирование (если исключить натурные эксперименты, чаще всего весьма дорогостоящие).
Однако имитационное моделирование (ИМ) также имеет хорошо известные недостатки: большие затраты времени на имитационные эксперименты, частный (численный) вид результатов, сравнительно большая погрешность (снижение которой возможно многими путями, но трудоёмко), пробле-
матичность применения градиентных методов при оптимизации, проблематичность применения шаговых поисковых алгоритмов. В то же время широкое распространение ЦС.О и ЦС в производственной сфере, экономической логистике, транспорте, информационно-вычислительном сервисе и т. д. обусловливает важное практическое значение разработки комплексных методов, обеспечивающих возможность адекватной постановки задач моделирования ЦСО и ЦС и эффективного (быстрого, малозатратного и точного) их решения.
Это обусловливает актуальность разработки комплексного аналитико-имитационного (ускоренного) метода моделирования ЦСО и ЦС. Компоненты для комплексного метода разработаны и проверены в составе асимптотических результатов в [ 1 -3, 10, 11]. Такой комплексный метод — комбинированный аналитико-имитационный метод моделирования циклических систем — предлагается и экспериментально обосновывается в данной статье. Предлагаемый метод (как и всякий другой аналитико-имитационный метод) требует экспериментальной проверки и обоснования путём решения типичных задач моделирования. В типичных задачах моделирования циклических систем приходится иметь дело со следующими особенностями ЦСО и ЦС:
— наличием многоканальных узлов;
— обслуживанием заявок разных приоритетных классов по разным «технологический маршрутам»;
— пакетированием заявок;
— не экспоненциальным видом распределений, задающих исходные случайные величины в системе;
— не стационарностью режимов;
— сочетанием разномасштабных по интенсивности процессов;
— необходимостью оценивать малые вероятности (науровне 10~М0~8именее);
— необходимостью выбора оптимальных решений;
— медленным дрейфом параметров системы во времени и связанным с ним моделированием различных сценариев развития системы.
Задача, решаемая комбинированным методом ниже, заключает в себе все перечиненные особенности.
С учётом того, что составные части предлагаемого комбинированного метода достаточно полно излагаются в [ 1 -3], описание этого метода может быть сведено к следующему краткому изложению его основных шагов.
1. Выявляется наличие в модели известных факторов (параметров) сложности, затрудняющих непосредственное ИМ системы.
2. Оцениваются диапазоны изменения параметров сложности и выбираются те параметры, по которым можно перейти от непосредственного имитационного моделирования содержащих эти параметры процессов к их асимптотической аппроксимации и к соответствующему приближённо-эквивалентному преобразованию задачи моделирования к виду, в котором выбранные параметры сложности отсутствуют.
Рекомендации для определения таких диапазонов с учётом достигаемой в них точности асимптотических приближений изложены при выводе и исследовании этих приближений в статьях [1-3, 10]. Поскольку параметры сложности используются в приближениях в качестве параметров предельного перехода, то чем большую сложность вносит в
непосредственное ИМ такой параметр, тем большую точность даёт использующее его асимптотическое приближение и тем больший коэффициент ускорения ИМ достигается за счёт использования этого приближения. Кроме того поскольку все разработанные приближения имеют достаточно быструю сходимость, то параметры, значения которых оказываются недостаточно большими (для перехода к асимптотическим приближениям), лежат в диапазонах, вполне приемлемых уш непосредственной имитации соответствующих им процессов.
3. Выполняется моделирование одного или нескольких вариантов циклической системы в таких точках факторного пространства (ФП) модели, в которых параметры сложности находятся на границах диапазонов применимости асимптотических приближений. Моделирование выполняется двумя методами — методом непосредственного ИМ и ускоренным аналитико-имитационным методом, использующим приближения.
4. Результаты моделирования сравниваются, и если ускоренный аналитико-имитационный метод имеет приемлемую точность, то дальнейшие расчёты или оптимизация системы продолжаются ускоренными методами. Как правило, учёт рекомендаций из [1-3, 10] не приводит к необходимости корректировать границы применимости приближений. Но если такая необходимость появляется, корректировка может быть осуществлена путём смещения предполагаемых границ применимости в сторону увеличения соответствующих параметров сложности. При этом следует учитывать, что, в силу агрегированного характера имитационных моделей, ФП модели ЦС может состоять из разных зон, в которых свойства модели могут качественно различаться [11].
Испытаем возможности предлагаемого метода на примере решения типовой задачи моделирования циклической системы.
3. Задача моделирования серверного центра
Рассмотрим серверный центр (СЦ), состоящий из коммуникационной ЭВМ (КЭВМ) и мощного двухпроцессорного сервера, процессоры которого П, и П2 имеют общую полнодоступную оперативную память (рис. 1), позволяющую организовать общую очередь задач к процессорам. КЭВМ принимает из внешней сети и без задержки передаёт серверу оперативные задания, требующие немедленного выполнения. Кроме того, КЭВМ накапливает поступающие из внешней сети неприоритетные задания, производит их предварительную обработку и дважды в сутки, в установленный час, по сигналу таймера передаёт их пакетом для исполнения серверу. В этот же сигнализируемый таймером момент времени расформировывается ранее выполненный пакет заданий, и они рассылаются во внешнюю сеть приславшим их абонентам. Загрузка КЭВМ достаточно мала, очереди в ней не возникают, и задержками заданий при их передаче через КЭВМ можно пренебречь.
Кроме внешних заданий, поступающих из сети, сервер обрабатывает внутренние задания, которые поступают от пользователей и обслуживающего персонала локальной сети СЦ и обладают таким же высшим приоритетом, как и оперативные задания из внешней сети. Оба приоритетных потока — внутренний и внешний — пуассоновские. Неприоритетный внешний поток тоже пуассоновский, но характеризуется разной интенсивностью в разное
Рис. 1. Схема процесса обработки заданий в серверном центре
время суток. В течение первых 8 часов от условного момента начала суток средний интервал поступления неприоритетных заданий составляет г"]' = 15 мин, а в течение остальных 16 часов он равен т'2 = 5 мин.
Средняя трудоёмкость неприоритетных заданий х' = 5 мин постоянна. Распределение времени х — симметричное треугольное распределение на интервале от 0 до 10 мин. В силу возможности идеального распараллеливания пакетов неприоритетных заданий они обрабатываются п-процессорным сервером в режиме параллельного их выполнения с коэффициентом ускорения л. Начальная конфигурация сервера двухпроцессорная.
Приоритетные задания выполняются в однопроцессорном режиме: одно приоритетное задание выполняется одним процессором. Внешние приоритетные задания поступают со средним интервалом т\ = 1 мин и требуют для выполнения в среднем = 0,5 мин времени, внутренние приоритетные задания имеют средний интервал поступления т~> — 0,5 мин и выполняются в среднем в течение Х2 =0,1 мин.
На рис. 1 изображена схема процесса обработки заданий в моделируемой системе.
Время выполнения приоритетных внешних заданий имеет зрланговское распределение вероятностей 2-го порядка, время выполнения приоритетных внутренних заданий имеет гиперэкспоненциальное распределение вероятностей 2-го порядка и характеризуется квадратичным коэффициентом вариации, равным 2.
Кратко все указанные числовые параметры задачи приводятся в табл. 1.
В течение первых 8 часов все неприоритетные задания накапливаются в режиме Т пакетирования с интервалом накопления Т,+ 1> 8 ч, где Т, (ч) — момент начала профилактического перерыва. После 8 часов интенсивность поступления неприоритетных заданий изменяется, и они продолжают накапливаться в этом же первом пакете. В момент Т, + 1 завершения перерыва пакет заданий передаётся на исполнение сервером, и начинается накопление второго пакета, которое продолжается в течение всего оставшегося времени суток (23 — Т,) ч. Накопленный к условному началу суток пакет заданий сразу (по сигналу таймера) передаётся на сервер для выполнения. В этот же момент КЭВМ вновь начинает накопление первого в этих новых сутках пакета. Далее процесс повторяется циклически, изменяются только значения составляющих его случайных величин (сл. в.). Невыполненные задания любого пакета добавляются в следующий пакет, но доход от их выполнения снижается до нуля.
Очевидно, для адекватной постановки задачи моделирования описанного серверного центра более
предпочтительно его рассмотрение как ЦС, нежели как стационарной СМО или сети СМО. Исходя из асимптотических результатов [2] и [3] следует полагать, что распределение вероятностей для календарного времени обработки каждого пакета близко к нормальному распределению. Если ресурсы описанной системы достаточны, то пакет, накопленный в предыдущие сутки (во второй их половине — «второй» пакет), будет с достаточно большой вероятностью обслужен в первой половине суток до того, как начнётся обслуживание пакета, накопленного в первой половине суток («первого» пакета). Предполагается также, что между периодами обработки двух пакетов — «второго» и «первого» — должен найтись часовой интервал времени, на котором занятость СЦ обслуживанием пакетов маловероятна и который можно использовать для выполнения профилактических работ.
При моделировании серверного центра требуется определить:
1. Достаточны ли ресурсы СЦ для того, чтобы без ущерба для обработки пакетов можно было выделить время для часа профилактики.
2. Если ресурсы достаточны, то где на суточном интервале выбрать момент Т, для начала часа профилактики, так чтобы вероятности невыполнения в срок пакетов (первого и второго) были минимальны.
3. Как повлияет на функционирование СЦ дрейф параметров, прогнозируемый на ближайшие полгода (180 дней). Приблизительно линейный рост спроса на услуги СЦ приведёт к тому, что утренняя интенсивность Л{ =1 !Т{ и дневная интенсивность
=1/72 ежедневно будут расти на 0,5% каждая. В связи с этим прогнозируемым дрейфом необходимо определить, как он повлияет на качество обслуживания пакетов (на вероятность их невыполнения в срок). Если из-за недостаточного запаса производительности СЦ качество обслуживания будет заметно ухудшаться, то дополнительно необходимо:
а) определить число процессоров, которыми потребуется нарастить многопроцессорный сервер;
б) дать рекомендации по датам наращивания числа процессоров сервера;
в) проверить, не повлияет ли наращивание числа процессоров на оптимальный выбор момента Т, для часа профилактики (не придётся ли его существенно смещать).
4. Определение параметров сложности и выбор
подходящих асимптотических приближений
В рассматриваемой ЦС (см. рис. 1 и табл. 1) присутствуют следующие факторы сложности, затрудняющие использование непосредственного ИМ.
Таблица 1
Параметры моделируемого СЦ
Интервал Тип распределения вероятностей Среднее значение, мин Дисперсия, мцн' Квадратичный коэффициент вариации
ч Экспоненциальное Г, =1 С?,=1
Эрланговское ?! =0,5 а2л = >'8 С\2, 1 2
Экспоненциальное =0,5 = м Сг2 = 1
х2 Гиперэкспоненциальное х2 =0,1 а12 = 0,02 с;2 = 2
Л Экспоненциальное ?,' = 15 сг\ = |
т'2 Экспоненциальное 3.-5 сг% = 1
X Треугольное X' =5 а\. = 25/6 с]. = 1/6
Зависимость критических вероятностей от часа профилактики
Таблица 2
Т,, час
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Приближённый расчет Р. 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 410 6 0.023 0.598 0.989 1,00 1,00
Р2 0,9998 0,97 0.50 0,22 110 5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0.00
Имитационное моделирование Р\ 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 0,56 0,98 0,99 1,00
Р2 1,00 0,98 0,51 0,03 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1. Относительно интенсивные прерывания. Из табл. 1 видно, что интенсивность приоритетных заявок примерно на порядок выше интенсивности неприоритетных заявок (проблема разномасштаб-ности). Это приводит к увеличению времени непосредственного ИМ также примерно на порядок по сравнению со случаем близких интенсивностей. В то же время, согласно [ 1 ], при таком соотношении интенсивностей уже можно с приемлемой точностью использовать асимптотические приближения, позволяющие рассчитывать суммарное время прерываний и исключать имитацию приоритетного потока из модели.
2. Пакетирование заявок. В задаче необходимо определять характеристики обслуживания не отдельных неприоритетных заявок, а их пакетов. Это обусловливает ещё более высокий коэффициент разномасштабности (уже между интенсивностью пакетов и интенсивностью приоритетных заявок), повышающий необходимое для ИМ время на три-четыре порядка (пакеты появляются дважды в сутки, а заявок приходит несколько тысяч). В то же время это обстоятельство позволяет использовать асимптотические приближения и исключить из моделируемых процессов вместе с приоритетными заявками — неприоритетные, рассматривая только поток пакетов, трудоёмкость и характеристики календарного времени выполнения которых определяются формулами из [2].
3. Оптимизация. Выбор оптимального момента Т, для начала часа профилактики требует либо многократного повторения имитационного эксперимента (ИЭ) для перебора разных решений, либо использования градиентных методов, требующих проведения численного дифференцирования. Оба пути приводят к многократному увеличению времени ИМ (ещё на порядки). В то же время использова-
ние асимптотических приближений сводит задачу оптимизации к решению нелинейных алгебраических уравнений, которое выполняется на ПЭВМ за доли секунды. Далее будет показано, как это делается.
4. Оценка малых вероятностей. Из содержательного смысла задачи вытекает, что вероятности невыполнения в срок для обоих пакетов («второго» и «первого») должны быть установлены на уровне, не превышающем Ю-4, чтобы можно было гарантировать, что, скажем, в течение года не возникнет случаев просроченного выполнения заказов. Для оценки таких вероятностей необходимо выполнять моделирование любых суток работы СЦ много тысяч раз, что увеличивает при непосредственном ИМ затраты времени ещё на несколько порядков. В то же время асимптотические оценки вероятностей хвостов для распределения календарного времени обслуживания, найденные в [3], позволяют определять искомые малые вероятности тем точнее, чем они меньше.
Таким образом, для решения рассматриваемой задачи моделирования СЦ представляется целесообразным использовать асимптотические приближения, которыми описываются распределения календарного времени выполнения пакетов заявок в системах с абсолютными приоритетами [2], и те, которыми оцениваются вероятности хвостов распределения календарного времени [3].
5. Использование асимптотических приближений и их аттестация
Предварительные расчёты
Начальный момент профилактического перерыва Т, нужно выбрать так, чтобы обеспечить малую вероятность р2 невыполнения «второго» пакета до момента Тг Срок выполнения «первого» пакета, накапливаемого от начала суток до конца перерыва, т.е.
-Р1 : -Р2,
8 9 1011 1213141516 1718 Т1
О * * I * I * V* Ж-*-*-»* • X • X ■ X ■ X 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
а) расчёт по асимптотическим приближениям
б) сравнение с результатами моделирования
Рис. 2. Влияние момента Т1 начала профилактики на вероятности превышения сроков обработки
до момента Т, + 1, завершается в конце суток. При оптимальном выборе параметра Т, вероятности р, и р2 невыполнения в срок первого и второго пакетов соответственно будут одинаковыми. Смещение Т, в любую сторону от оптимума увеличивает время, выделяемое для обработки одного из пакетов, и уменьшает время, остающееся для обработки другого. Причём вместе с уменьшением времени обработки любого пакета увеличивается его объём, накапливаемый в противоположной половине суток.
Суммарный поток приоритетных заданий является пуассоновским потоком с интенсивностью Л = = Я, + = 1/г, +1/г2 = Змия"1 (как сумма пуассо-новских потоков). Трудоёмкость х заявок приоритетного суммарного потока имеет распределение вероятностей, представляющее собой смесь эрланговского и гиперэкспоненциального распределений (см. табл. 1), взятых с весами р, = Л, /(Л, +Л2) = 1/3 и р7 = /Ц /(Л, + Лз) = 2/3 соответственно. Отсюда нетрудно найти среднее время обслуживания приоритетной заявки (среднее смеси) х = + р2х2 = 7/30, его дисперсию
^=Р^+^) + р2(а12+х22)-х2 = 0,09055 и квадратичный коэффициент вариации С\ = = а] /х2 = 1,6633.
Продолжая эти элементарные рассуждения и расчёты, нетрудно определить и прочие показатели, необходимые для использования асимптотических приближений. Так, приоритетный коэффициент загрузки двухпроцессорного сервера составляет р = = 0,35. Неприоритетная нагрузка р' = 0,4058 (в среднем за сутки).
Асимптотический анализ функционирования СЦ как ЦСО
Часть первого пакета, накапливаемая за первые Т0 = 8 часов суток, имеет вероятностные характеристики суммарной трудоёмкости £ = ,, определяемые в соответствии с формулами Т-паке-тирования из [2] следующим образом:
т0 .
■X =
г:
= (480/15)'5 = 160 (мин),
= />(£,) ~ То
3 -12 \
а:,х
За время (Т, + 1 — 8) = (Т, — 7) ч, остающееся до конца перерыва (неотрицательное), поступает вторая часть первого пакета, трудоёмкость которой £ = 2 имеет моменты, определяемые аналогично. Применяя асимптотические формулы к этой части пакета, находим:
60 -(Т, -7)
х' -60- (Т, - 7)
й(£1л) ~ 60■ (Г, -7)
>2 \
Г'3
= 350-ГГ, - 7).
. "2 '2
Эти моменты зависят от начала часа профилактики Т,.
Характеристики первого пакета в целом — средняя трудоёмкость и дисперсия трудоёмкости — определяются как суммы соответствующих характеристик независимых слагаемых С,, и С, 2:
7 =7,+72 - 160 + 60-ГП -7) =
= 60 (Т1 - 4,333), (1)
) = £>«,., )+2?(#1>2) ~ 933,33 + 350(^-7), (2)
с(г,=Щ4Ж)2
(3)
и, таким ;образом, оказываются выраженными через Тг
Выражения для характеристик трудоёмкости второго пакета определяются аналогично с учётом того, что второй пакет накапливается на всём остающемся после перерыва интервале суток длительностью 60-(23 — Т,) мин, и имеют более простой вид, поскольку на этом интервале интенсивность заявок постоянна:
&-60-(23 -Т,), £>(£,) = 350 (23 - Т1)
(4)
Теперь выразим через найденные показатели (с помощью асимптотических формул из [2]) средние значения и коэффициенты вариации календарного времени у, и у2 выполнения «первого» и «второго» пакетов заданий соответственно:
Т
= 'о
о-;-
V7.
= 933,333 (мин2
= 480-(25/6/15 + 225-25/153) =
У,
«(1 -р)
(5)
С2 ~ С2 +
о-р) ' & ■
Управляющая часть модели*
72 EQU 12
HIPER FUNCTION (RNl>"'ee .7 ) , Z2
о, (Exponential(1,0,0.634))/1, (Exponential(1,0, 2 ,3<56)»
♦Флаг: утро-лень
GENERATE , , , 1
ALRM ADVANCE 480
SAVEVALUE FLAG,1
ADVANCE 960
SAVEVALUE FLAG,0
TRANSFER , ALRM
♦Утренний вход*
GENERATE (Exponential(1,0,15))
TEST E XSFLAG,0,TERM1
SAVEVALUE 1 + , (Trianyular(1,0,10, 5)) TERHlTERMINATE
'Дневной вход*
GENERATE (Exponential(1,0,5)}
TEST E X5FLAG,1,TERM2
SAVEVALUE 1 + , Triangular(1,0,10,5)) TERM2TERMINATE
«Управление пакетами •с учётом предыдущих суток
*и незавершенной оОраОотки предыдущим пакетов
./Ср.- накопл-е с пред.суток /Ждём начала перерыва /Ждём конца перерыва ;Ждём до конца суток
GENERATE « , . 1
SAVEVALUE 1,(60tt (23-T1))
РАК1 SPLIT XI,SERVER
SAVEVALUE 1,0
ADVANCE (6omi
TEST NE QSKSI,0,PING
SAVEVALUE OUT2+, 1
PING ADVANCE (60)
РАК2 SPLIT XI,SERVER
SAVEVALUE 1, 0
ADVANCE (60Й(2Э-Т1))
TEST NE Q$KSI, 0, PONG
SAVEVALUE OUT1+,1
PONG TRANSFER , PAK1
•ОБСЛУЖИВАНИЕ ПАКЕТОВ C.F.PBEPOM
SERVER QUEUEKSI .-Подсчёт объем.* неприор. работы
TRANSFER DOTH,PROC1,PROC2
PROC1SEIZE 1
ADVANCE 1
RELEASE 1
DEPART KSI
TRANSFER , end
PROC2 SEIZE 2
ADVANCE i
RELEASE 2
DEPART KSI
TRANSPEK , en i
•ГЕНЕРАЦИЯ ПРЕРЫВАНИЙ И ИХ ОБСЛУЖИВАНИЕ СЕРВЕРОМ
GENERATE (Fj-'ponentUl (1, 0, 1 ) )
ASSIGN 1 . •GAMMA(1,0,0.25,2))
TRANSFEK , SERV
GENERATE (Exponential(1,0,0.5))
ASSIGN 1,(0.1#FN$HIPER)
SERV TRANSFER BOTH,PROl,PR02
PROl PREEMPT 1
ADVANCE PI
RETURN 1
TRANSFER , end
PR02 PREEMPT 2
ADVANCE PI
RETURN 2
TRANSFER , end
end , TERMINATE
*Таймер прогона на 1.0 суток
GENERATE 14400
TERMINATE 1
Рис. 3. Текст имитационной модели серверного центра на языке GPSS World
У 2
С2 L>2
С2
"О -PY
-L. -Ж,
•■{СУ+ф. f (
(6)
О-р) " ь
где характеристики сл. в. и С2 определяются выражениями (1)-(4). Следовательно, формулы (5) и (6) выражают параметры асимптотического (нормального) распределения календарного'времени выполнения пакетов через точку перерыва Т, и число процессоров л.
Для того чтобы найти оптимальное значение Т|Р воспользуемся представлением вероятностей р, и р2 как вероятностей хвостов соответствующих нормальных распределений [3], выражающим их через функцию Ф распределения нормированной и центрированной нормальной сл. в.:
(
р, «1-Ф
7*0 -Ух
ЩуО
р2*\-Ф
Тр-Уг ЩУг)
(7)
где в формуле для вероятности р,, соответствующей «первому» пакету, порог календарной длительности обслуживания (в минутах) Т0 = 60-(23 - Т,). а в формуле для вероятности р2 «второго» пакета (обслуживаемого до профилактического перерыва) Т0 = бО-Тг Тогда условие равенства искомых вероятностей р, = р2 может быть переписано в виде условия равенства соответствующих аргументов Функции ф
бО-(23-Г,)-5?, _
4Щ)
60-7]-уг
Щу7) '
60^23-7,)-^, _60-Ту-у2
или
(8)
3vc„
У 1-е vi
Из последнего уравнения после подстановки в него выражений (6)-(1) в обратном порядке, подстановки числовых значений параметров из табл. 1 и известных р = 0,35 и п = 2 численным методом легко определяется оптимальное решение Т, « 12,5 (ч). При его округлении до значения Т, = t2,5 имеем р,= 3:10-", р2 = 3,5-10-в.
На рис. 2 а) изображены графики зависимости вычисляемых оптимальных значений р, и рг от выбранного часа профилактики. Значения оценок р, и р2 приведены в табл. 2. Здесь же приводятся
л л
соответствующие оценки р и р2, полученные в проверочном имитационном эксперименте. На
л л
рис. 26) значения р и р2 , вычисленные с помощью
имитационной модели, нанесены на график маркерами 4- и х (соответственно).
Обращает на себя внимание, насколько вероятности нарушения сроков обработки пакетов чувствительны к выбору момента Тг Заметим также, что при довольно высокой суммарной нагрузке р + р'= = 0,35 + 0,4058 = 0,7558 удаётся, благодаря оптимальному выбору времени профилактического перерыва, выделить для него час времени и обеспечить малую вероятность превышения календарных сроков для выполнения пакетов заданий.
Имитационное моделирование СЦ, проводившееся для проверки точности получаемых по асимптотическим аппроксимациям решений, выполнено на языке GPSS World [12]. Результаты моделирования (см. рис. 2 б) убедительно подтверждают пригодность полученных приближённых соотношений для исследования рассматриваемой ЦС. Текст модели приведен на рис. 3. Время непосредственного имитационного моделирования со-
-P1: -P2;
8 9 1011 12131415161718 T1
День 10, n =2
-P1.
- P2'
8 9 1011 12131415161718
День 30, n =2
T1
-pi ■
-P2Í
8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 T1
День 60, n = 2 {pmin a 0,02)
0.0 +
-P1 -P2
8 9 1011 121314 1516 1718 T1 День 60, n=3
Г:
:ñi -P2:
-P1j - P2!
8 9 1011 121314 1516 1718 T1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 T1
День 180, л=3 День 180, п = 4
Рис. 4. Характеристики р,(Т,) и р2(Т,| для различных сценариев развития серверного центра
ставляло в разных прогонах от 5 до 20 минут (на
А Л
вычисление оценок и р2 при фиксированном
Т,). При этом длина прогона модели соответствовала 100-кратному повторению суток работы ВС. На расчёт «эталонных» точек для графика (помеченных маркерами + и х на рис. 2 б) было потрачено около 2 часов компьютерного времени. Разумеется, 100-кратных испытаний далеко не достаточно для вычисления вероятностей, не превосходящих 0,001 (и тем более для их сравнения), поэтому 2-часовой имитационный эксперимент даёт значительно меньше информации о моделируемой системе, чем используемые асимптотические соотношения.
6. Использование аттестованных приближений для полного решения задачи
Решаемые далее вопросы из постановки задачи моделирования (п. 3), которые связаны с дрейфом параметров, предполагают анализ характеристик СЦ при увеличивающейся интенсивности потока неприоритетных заявок, и, следовательно, точность используемых для описания пакетов асимптотических формул может далее только увеличиваться. При увеличении числа процессоров снизится доля приоритетной нагрузки на сервер, что также повлечёт уточнение асимптотических аппроксимаций (см. [1]). Таким образом, используя соответствующее средство (например, программу Mat-Lab) для численного решения уравнения (8) при различных прогнозируемых интенсивностях поступления неприоритетных заявок и различном числе
процессоров л, можно рассчитывать характеристики р,(Т,) и р2 (Т,), необходимые для ответа на вопросы, связанные с дрейфом параметров системы. Для рассматриваемой задачи соответствующие решения уравнения (8) вычислялись средствами Ms Excel. На рис. 4 изображена часть графиков для характеристик рДТ,) и р2 (Т,), найденных для различных сценариев развития СЦ. Десятки таких графиков, полученных расчётным путём по асимптотическим формулам, потребовали затрат чистого компьютерного времени, составляющих в сумме долю секунды. При непосредственном ИМ на их вычисление ушло бы несколько суток с существенной потерей точности оценок малых вероятностей.
На рис. 4 показаны изменения характеристик р,(Т,) и р2(Т,) во времени, вызванные изменением прогнозируемой нагрузки. В первые дни постепенно сужается интервал времени суток, на котором можно начинать перерыв. На 60-й день оптимальная точка начала профилактики (12,5 ч) становится практически безальтернативной, притом вероятность нарушения сроков обработки возрастает до недопустимого уровня 0,02. Следовательно, до этого времени число процессоров в системе следует увеличить. Если к 60-му дню система будет обеспечена тремя процессорами, то, как показывают соответствующие кривые р,(Т,) и р2 (Т,), в системе появятся солидные гарантии соблюдения сроков обслуживания (см. рис. 4, День 60, л = 3). К 180-му дню, однако, трёх процессоров будет уже недостаточно. Как видно из последних двух диаграмм
рис. 4, к этому сроку следует нарастить число процессоров в системе до четырёх.
Непосредственно из рассчитанных зависимостей Р|(Т,)ир2(Т,) видно, что рост нагрузки на систему не повлияет на положение оптимальной точки Т * 12,5 ч для начала перерыва. С учётом соображений о неточности исходных данных, используемых при моделировании, а также о возможных случайных флуктуациях интенсивности запросов, отклоняющих её от линейного прогноза, оптимальный выбор Т « 12,5 ч обеспечивает системе наибольшую «робастность», т. е. наиболее устойчивое сохранение уровня её эффективности. При другом выборе Т, временно возможный недостаток ресурсов системы будет более ощутим.
7. Заключение
Предлагаемый комбинированный метод расчёта и оптимизации циклических систем обслуживания позволяет эффективно решать задачи, в которых присутствуют факторы (параметры) сложности, на порядки увеличивающие затраты компьютерного времени, необходимые для использования непосредственного имитационного моделирования. К таким параметрам сложности в циклических системах, как правило, относятся:
— многократно различающиеся интенсивности потоков заявок, в том числе интенсивности потоков заявок и потоков пакетов;
— малые вероятности: снижение до минимума вероятностей возможного превышения календарных сроков — типичное требование для циклических систем;
— поисковые задачи, включающие отыскание в факторном пространстве модели точек локальных экстремумов, нахождение граничных точек областей и связанное с этим решение неравенств или уравнений;
— медленный дрейф параметров (динамика развития) циклической системы, приводящий к необходимости многократного повторения экспериментов при различных значениях параметров системы и при различных сценариях её развития.
Поскольку «номинальные» затраты времени при имитационном моделировании составляют обычно от нескольких минут до нескольких часов непрерывной работы ПЭВМ средней мощности, то их увеличение (при наличии перечисленных выше параметров слож--ности) на порядки приводит, как правило, к отказу от решения подобных задач или к постановке этих задач в существенно ослабленной редакции [4].
Комбинированный аналигико-имитационный метод моделирования циклических систем, предлагаемый в данной статье, позволяет использовать параметры сложности как параметры предельного перехода, лежащего в основе асимптотических приближений, и сводить решение задачи моделирования или её соответствующей части к аналитической форме. Поскольку используемые при этом приближения являются приближениями второго порядка точности, т. е. учитывают два первых момента распределений исходных сл. в., то эти приближения достаточно быстро сходятся, и это делает возможным контроль их точности (ат-
Книжная полка
тестацию приближений) с помощью непосредственного имитационного моделирования, которое выполняется при относительно небольших значениях параметров сложности.
При этом аттестованные приближения могут использоваться, в частности, в форме аналитических (алгебраических) выражений, включающих часть или все исходные параметры системы в буквенном виде. Такое аттестованное аналитическое описание моделируемой системы может использоваться на всей области факторного пространства, где параметры сложности имеют худшие (с точки зрения непосредственного ИМ) значения, чем использованные при аттестации. При :^том точность аналитического описания может только увеличиваться, а достигаемый с его помощью относительный выигрыш в скорости решения задач измеряется порядками. Это позволяет рекомендовать предлагаемый комбинированный метод для широкого применения в задачах расчёта и оптимизации циклических систем.
Библиографический список
1. ЗадорожныйВ. Н. Анализ систем с приоритетами методом декомпозиции. - Омский научный вестник. — 2005. -№3(32) - С.126-132.
2. Задорожный В. Н. Асимптотический анализ периодоп повышенной нагрузки в приоритетных системах. — Омский научный вестник. - 2006. - №3(36) - С. 117-124.
3. Задорожный В. Н. Распределение календарного времени обслуживания нсприоритегных заявок в системах с абсолютными приоритетами. - Омский научный вестник. — 2006,— №8 (44),- С. 117-124.
4. Байцер Б. Микроанализ производительности вычислительных систем. - М.: Радио и связь, 1983. - 360 с.
5. Рыжиков Ю. И. Имитационное моделирование. Теория и технологии. — СПб.: КОРОНА принт; М.: Альтекс-А, 2004. — 384 с.
6. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. Пер. с англ./Пер. И.И. Грушко; ред. В.И. Нейман. — М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.
7. КлейнрокЛ. Вычислительные системы с очередями. Пер. с англ. /Под ред. Б.С. Цыбакова. - М.: Мир, 1979. - 600 с.
8/Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ. — М.: Радио и связь, 1988. - 192 с.
9. Вишневский В.М., Пороцкий С.М. Моделирование ведомственных систем электронной почты //АиТ. 1996. № 12-С. 48-57.
10. Задорожный В. Н„ Ершов Е. С., Канева О. Н. Двухуровневые градиентные методы для оптимизации сетей с очередями. — Омский научный вестник. — 2006. — No 7(43) -С. 119-126.
11. Задорожный В. Н., Пуртов А. М. Анализ чувствительности в имитационном моделировании сетей массового обслуживания // Омский научный вестник, 2005. №4 (33) -С. 165-171.
12. Руководство пользователя по GPSS World. /Перевод с английского/. — Казань: Изд-во «Мастер Лайн», 2002. - 384 с.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры АСОИУ.
Дата поступления статьи в редакцию: 28.10.06 г. © Задорожный В.Н.
Российская наука: мечта светла: Сб. науч.-попул. ст. / Под ред. В.И. Конова. - М.: Октопус - Природа, 2006. - 392 с.
