Анализ систем с приоритетами методом декомпозиции Текст научной статьи по специальности «Математика»

8

сч

я

С »*) а

ж

I ИНФОРМАЦИОННЫЕ 5 ТЕХНОЛОГИИ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

уДк 6813 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Омский государственный технический университет

АНАЛИЗ СИСТЕМ С ПРИОРИТЕТАМИ МЕТОДОМ ДЕКОМПОЗИЦИИ_

Приводятся новые теоретические результаты и методы, полученные при исследовании систем массового обслуживания с приоритетами — типовых математических моделей, широко используемых в задачах анализа и синтеза сложных информационно-вычислительных систем. Результаты установлены при самых общих предположениях о законах распределения времени между приходами заявок и времени их обслуживания.

Введение

Актуальность предпринятого в [ 1 ] и продолжаемого здесь исследования систем массового обслуживания (СМО) типа С2|С2| 1 обусловлена следующим. С одной стороны, в теории массового обслуживания (ТМО) отсутствуют точные решения, позволяющие определять средние характеристики очередей в таких системах. С другой стороны, расчет таких СМО методом имитационного моделирования отличается высокой трудоемкостью, особенно когда интенсивность Л приоритетных заявок намного больше интенсивности X неприоритетных (рядовых) заявок. В то же время такие СМО широко применяются в прикладных исследованиях, — например, для анализа влияния прерываний на производительность информационно-вычислительных систем (ИБС). Последним обстоятельством не только обосновывается актуальность данного исследования, но и предопреде-

ляется выбор дисциплины обслуживания с абсолютными приоритетами и с дообслуживанием прерванных заявок, которая типична для центральных процессоров мультипрограммных ЭВМ.

Для анализа системы С2|С2| 1 с абсолютными приоритетами при а = А/Я' -»со ниже используются предельные результаты теории восстановления [2]. Это позволяет найти ряд новых характеристик системы С2|02| 1, а также обобщить часть найденных результатов и на многоканальные системы С2|С.2|п. Увеличение показателя а = Л/Л' интерпретируется здесь как масштабное преобразование кумулятивных распределений А(£) и В (?) времени поступления и, соответственно, времени обслуживания приоритетных заявок в исходной системе. Эти распределения рассматриваются как заданные параметрически через некоторые фиксированные (не зависящие от значения а) базовые распределения А0(1) и ВпЦ):

А(Ц = Ап(сЛ), В(1) = Вп(а1).

(1)

Первые два момента базовых распределений A0(t) и B(t) предполагаются конечными.

Из масштабного соответствия (1) вытекает, что характеристики СМО, которые определяются только функциями A(t)uB(t)n имеют размерность времени, изменяю тсяпри увеличении «пропорционально оГ1. Как видно из дальнейшего, это позволяет непосредственно применять ряд предельных результатов теории восстановления для нахождения условных характеристик времени прерываний.

1. Основные положения

Обозначим символом г время между приходами смежных приоритетных заявок, х — время обслуживания приоритетной заявки. Эти случайные величины (сл. в.) описываются заданными функциями распределения A(t)aB(t) соответственно. Аналогично через г' и л'обозначим время между приходами рядовых заявок и время обслуживания рядовой заявки; эти сл. в. имеют заданные кумулятивные распределения AJt) и Вt(t). Средние значения перечисленных сл. в. будут обозначаться, соответственно, в виде F, х, F', Г (в дальнейшем среднее значение любой сл. в. будем изображать ее надчеркнутым обозначением).

Интенсивности X и X приоритетного и неприоритетного потоков выражаются через средние интервалы поступления заявок: Я = 1 /F, X = \/т'. Суммарный коэффициент загрузки pz положим меньшим единицы:

pz = р + р'<1, 12)

где р = Ах - коэффициент загрузки СМО приоритетными заявками, р' = Хх' - коэффициент ее загрузки рядовыми заявками.

Приоритетные заявки в системе «не ощущают» рядовых заявок, поэтому с их точки зрения рассматриваемая СМО является системой G|G|l с одним (приоритетным) входным потоком заявок. Такую систему, которая получается из заданной системы G2|G2| 1 исключением потока рядовых заявок, назовем системой S. Обозначим через я-длину периода занятости в этой системе, и через (*/ - длину периода незанятости. Период занятости и следующий за ним период незанятости образуют период регенерации [3]. Процессы в системе S, которые по определению принадлежат разным периодам регенерации, статистически независимы.

При больших «чистое время обслуживания х' рядовой заявки с высокой вероятностью многократно превышает среднюю величину W периода незанятости if/. Поскольку рядовая заявка обслуживается только во время таких периодов незанятости, то ее обслуживание завершается, когда их сумма перекрывает заданное значение времени ее обслуживания х' = Т. Независимость и одинаковое распределение всех периодов покрывающих в сумме заданное время Т, позволяют рассматривать их как поток восстановлений и применять к ним соответствующую хорошо разработанную теорию [2].

При таком подходе к анализу процесса обслуживания рядовой заявки, имеющей фиксированное чистое время обслуживания Т, последовательные периоды я; занятости СМО приоритетными заявками представляют собой приращения суммарного времени 2,-прерыБаний обслуживания. Между собой приращения я; независимы, как и периоды незанятости у/, т. к. принадлежат разным периодам регенерации системы S. Однако любые дна периода и if/,,

составляющие вместе один период регенерации, в общем случае зависимы. В работе [2] приводятся асимптотические соотношения для подобной последовательности интервалов восстановления (у нас это ц/) с независимыми приращениями (я;.), когдадопус-кается зависимость внутри соответствующих пар сл. в. (яг и (г/). Определяются первые два момента суммы приращений которая накапливается в процессе покрытия интервалами восстановления большого (относительно них) отрезка времени Т. Таким образом, схема процессов восстановления с приращениями оказывается вложенной в процесс обслуживания рядовой заявки, имеющей фиксированное чистое время обслуживания = Т. Поэтому характеристики сл. в. которые мы находим методами теории восстановления, являются условными характеристиками суммарного времени прерываний.

Наш подход к анализу обслуживания рядовых заявок в системе С2|С2| 1 при больших а будет состоять в том, чтобы перейти от нее к анализу системы 5' класса 1, которая получается скомпенсированным удалением из исходной системы потока приоритетных заявок. В системе 5" присутствуеттолько поток рядовых заявок, но общее (эффективное) время их обслуживания х' задается как сумма чистого времени обслуживания х' и времени прерываний, определяемого его условными характеристиками. Таким образом, приоритетная система С2|С2| 1 оказывается разложенной на две неириори гетных системы типа С|С| 1 — систему 5и систему 5', которые могут бы 1ъ рассчитаны последовательно. В общем случае сначала должна быть рассчитана система Б, затем система 5". В ряде частных случаев при такой декомпозиции системы С2|С2| 1 система 5* может быть рассчитана и без предварительного анализа системы Б.

Следует заметить, что период регенерации системы 5, на середину которого приходится начало обслу-живаиия рядовой заявки, может оказывать на ее обслуживание влияние, отличающееся от влияния последующих «целых» периодов регенерации. Влиянием начального периода регенерации пренебрежем; как вытекает из результатов [2], его относительный вклад в характеристики системы с ростом а сходится к нулю.

Формирование суммарного времени 2тпрерыва-ний рядовой заявки можно представить схемой процесса восстановлений с приращениями двумя способами: путем суммирования периодов занятости или путем суммирования периодов обслуживания приоритетных заявок.

2. Схема суммирования периодов занятости

Представляя сл. в. 2Т как сумму приращений я, накапливаемую в процессе восстановлений ц)? покрывающих заданное время Т, можно записать приведенные в [2] соотношения для условных характеристик сл. в. 2Тследующим образом:

Т л/if/,

DZT

74% + V

2(Jvajn

— О

ч>~

corr(ZT, ъ) -

1- —■ —г тх ег„

1 +

л~ а', л а I

(3)

(4)

(5)

где символ - обозначает сходимость с нулевой относительной погрешностью при а -»да, а,,<тг - средние квадратические отклонения сл. в. ли у/,

г — коэффициент корреляции сл. в. л и у, принадлежащих одному периоду регенерации, ут — число прерываний рядовой заявки с чистым временем обслуживания Т,

сотг(гг ут) — условный коэффициент корреляции времени прерываний и числа прерываний.

Учитывая, что р = л /(л+ ¡¡7 ), формулу условного среднего времени прерываний (3) можно переписать в виде

1 -р

(6)

а разделив (4) на квадрат выражения (3), получим следующее (уже известное из [1)) выражение второго момента сл. в. 27в форме коэффициента вариации:

-2т

- V.

С2 -2те С +С Т\ я п V V

\

(7)

где С7т - коэффициент вариации времени прерываний 2Т

Сп, Су — коэффициенты вариации сл.в. л и ^соответственно.

Формула (5) после простых алгебраических преобразований принимает вид:

Су

СОГТ (г , Ут) - ,

(8)

Подобным же образом использование асимптотических результатов теории восстановлений позволяет получить выражения первых двух условных моментов числа у прерываний обслуживания рядовой заявки:

Ут ~ Т/у ,

Сут - (¥/Т)-?

(9)

(10)

прерываний рядовой заявки, то оно разыгрывается как линейно зависимая нормальная сл. в. с параметрами (8)-(10).

Если система Б относится к классу М|С| 1, то этап ее предварительного расчета не необходим. В этом случае используемые в выражениях (7)-(10) характеристики известны: г = 0, ¡¡7 = т , С^ = 1 и С, = (С2„ + р)/(\-р). Подставляя их в (7) - (10), нетруд-но найти следующие условные характеристики времени и числа прерываний:

С2 ~ -

'1+сГ 1 -р

Ут

Т г

С2 - -Ут т '

согг(ут,гт) - с2'т,

(11)

Условное среднее время прерываний Тт задается формулой (6).

3. Схема суммирования периодов обслуживания

Формирование времени прерываний 2Т можно представить и в виде другого, менее очевидного механизма восстановлений и приращений, определяемого непосредственно через сл. в. ги х, которые имеют известные распределения вероятностей А(Ц и В(1). А именно, сл.в. 2Г может быть представлена как сумма длительностей обслуживания всех прерывающих заявок:

= х, + х2 +

+ х..

(12)

Пара случайных величин (2^ ут) при больших а сходится по распределению к двухмерной нормальной сл. в., которая имеет параметры, определенные выражениями (6)-(10). Эти выражения позволяютпо характеристикам г, у/ , Сл, Сц/ системы 5определить условное (нормальное) распределение эффективного времени х'т обслуживания рядовой заявки при фиксированном чистом времени ее обслуживания х'= = Т. Поскольку распределение сл. в. х' известно, то посредством соответствующею перехода можно сразу найти и безусловное распределение сл. в. х', и тем самым полностью определить систему 5*. Такой переход к безусловному распределению возможен для расчета системы Б' с помощью ее имитации, однако приводит к необходимости выполнения дополнительных вычислительных этапов.

Поэтому при имитационном моделировании системы 5* , включающей только рядовые заявки, эффективное время их обслуживания х' удобнее определять как сумму чистого времени обслуживания х'=Т, которое разыгрывается в соответствии с заданным распределением В'(1), и нормально распределенного времени прерываний с параметрами (6) и (7). При этом сл. в. х', как сумма константы х'=Т и нормальной сл. в. 2Г также распределена нормально. Ес-I ли задача моделирования требует учитывать и число

где ут—число прерывающих заявок. При этом утопределяется как такое число независимых слагаемых вида (т;-*,) в сумме (г,- х,) + (г2—х2) + ... +(т^-х^), при котором добавление еще одного слагаемого (г т+, — —х1Т+1) приводит к превышению заданного чистого времени Т обслуживания рядовой заявки.

Действительно, если в системе $ в некотором периоде регенерации обслуживается к заявок (к = 1,2,...), то его общая длительность — время между приходами 1-й и (к + 1)-й заявок в пустую систему — составляет г, + т2 + ... + тк, где г — время между приходами 1-й и (/+ 1)-й заявок. При этом формируется период занятости я= х, + х2 + ... + хк. Следовательно, на долю периода незанятости в этом периоде регенерации остается время

(13)

Такое представление времени, свободного от приоритетных заявок, в виде суммы независимых «потенциальных передышек» (т;— х^, распространяется и на всю последовательность периодов регенерации, во время которых обслуживается рядовая заявка. Число независимых слагаемых в сумме (13) случайно, а общее их число ут при обслуживании рядовой заявки определяется схемой восстановлений с приращениями (12).

Система пар сл. в. {х, х^}, (['= 0, 1, 2,..., 1/т) имеет, с точностью до обозначений, те же свойства, которые установлены выше для системы пар сл.в. {ягц/1), (/ = 0,1, 2,..., ут), за тем несущественным при больших «исключением, что «потенциальные передышки» (т — х) могут быть отрицательными. Следовательно, в соотношениях (6)-(10) все параметры сл.в. ли (¿/можно просто заменить соответствующими им параметрами сл.в. хи (т—х). Этотменее очевидный способ применения теории восстановлений приводит к более простым и хорошо интерпретируемым

формулам. В роли интервала восстановления ц/ здесь выступает сл. в. (г — х).

Выполняя после оговоренной замены параметров в формулах (6)-(10) алгебраические преобразования, учитывающие простые связи между разными представлениями моментов сл. в., получаем следующие результаты.

Во-первых, из (6) и (7) после соответствующих замен и упрощений находим:

■Т = -

-.2 _

1 -р

1 -Р

(14)

(15)

где Ст2иС2 - коэффициенты вариации сл. в. гихсо-ответственно.

Формулы (14) и (15) выражают моменты сл. в. 2Т непосредственно через характеристики сл. в. тих, имеющих известные распределения А(1) и ВЦ), вследствие чего отпадает необходимость предварительной имитации или расчета системы 5перед анализом системы Б'.

Во-вторых, преобразуя таким же способом соотношения (8) - (10), находим два первых момента числа прерывающих заявок ^

1

г (\-р)

(16)

С2 у г

1П1 \

Т_ С1+р'С: Т ^ 1-Р

(17)

а также коэффициент корреляции между ити

1 + рО2

(18)

где 0 = Сж/Сс - относительная вариация времени обслуживания.

Из неравенства Коши-Буняковского (^

* ПРИа=\,а^О,Ь=\,Ь2=рО сле-

дует, что в правой части соотношения (18) числитель никогда не превосходит знаменателя. В крайних, случаях, когда Ст = 0 либо Сх = 0 (т. е. когда интервалы поступления либо время обслуживания постоянны) коэффициент корреляции (18) равен единице. Во всех остальных случаях при загрузке р>0 коэффициент корреляции положителен и имеет минимум

2^[р/ (\ + р) при значении относительной вариации

О = 1 /^р ■

В-третьих, приравнивая выражения (7) и (15) одного и того же параметра и умножая получаемое равенство на Т, приходим к соотношению

, с]+с

2 Л

1 -р

119)

при двух разных техниках вывода подтверждает его достоверность.

Схема суммирования периодов обслуживания эквивалентна по точности схеме суммирования периодов занятости и позволяет находить характеристики системы 5* без предварительного расчета системы 5.

4. Интенсивные прерывания в многоканальных системах

По аналогии с системой С2|С,2| 1 в многоканальной системе С2|С2|п будем рассматривать вложенную в нее систему 5 класса С|С|п как систему, получаемую исключением потока рядовых заявок. Определим в многоканальной системе Б периоды занятости как периоды, в которых в системе непрерывно обслуживается хотя бы одна заявка. Период занятости и последующий период незанятости образуют период регенерации системы 5.

Схему суммирования периодов занятости, описанную выше для одноканальных систем, можно с небольшими поправками применять и на уровне отдельных каналов многоканальных систем. Основная поправка состоит в том, чтобы вместо сл. в. л и ц/ в формулах (7)-(10) использовать соответствующие им общее время занятости канала и общее время незанятости канала в течение одного периода регенерации системы 5. Однако анализ деталей этого метода применительно к многоканальным системам не входит в задачи данной статьи.

Что касается схемы суммирования периодов обслуживания, то она может быть распространена на многоканальные системы следующим образом.

Если в многоканальной системе Э в одном периоде регенерации обслуживается к заявок (А = 1,2,...), то выполняемая в нем системой работа составляет Е = =х, + х2 + ... + хк. При этом общая длительность периода регенерации, которая может быть определена как время между приходами 1-й и (1с+ 1)-й заявок в пустую систему, равна сумме г, + г2 + ... + тк. Следовательно, от общего ресурса (максимально возможной работы в этом периоде регенерации), равно-

го л(г, + т2 +

+ тк), после вычитания выполняемой

работы Е остается неиспользованный ресурс времени каналов, составляющий

(20)

которое обязано быть точным при а -*<ю и, следовательно, является точным при любом значении а, т. к. не зависит от него. Соотношение (19), таким образом, представляет собой инвариант, выполняющийся точно в любой системе С|С|1. Этот инвариант получен в [1) прямым выводом, не использующим теорем теории восстановлений, и единство результата

где все «передышки» (пт; — х,) независимы. Неиспользованный ресурс Уи работа Е за время, включающее несколько периодов регенерации, имеют вид таких же сумм, как и (20), но с иным, случайным числом слагаемых.

Предположим, что весь неиспользованный приоритетными заявками ресурс времени каналов расходуется на обслуживание одной рядовой заявки. Тогда при относительно большом заданном общем времени Гее обслуживания работа (х,-К..+х1Т) представляет собой время 2,-прерываний, накопленное в ходе покрытия ресурсом (пг, — х,) + ... + (лг.т — х1Т) заданного времениТ. Таким образом, здесь время ¿т определяется тем же механизмом восстановлений и накоплений, который рассматривался применительно к одноканальной системе, только место сл. в, т. в нем занимает сл. в. пг. Следовательно, соотношения (14)-(18), если заменить в них Т на пт , становятся справедливы и для многоканальной системы. Например, из (14) и (15) получаем:

гт

пт-х

-Т--

1 -р

-Г

лг

1 -р

(21)

(22)

где р = х/(пт) - коэффициент загрузки системы Б приоритетными заявками,

Т — чистое время обслуживания рядовой заявки, исчерпываемое промежутками незанятости всех каналов системы 5,

2Т — среднее суммарное время прерываний обслуживания,

С21Т — квадратичный коэффициент вариации этого времени.

Представим себе систему, в которой обслуживание рядовой заявки может идеально распараллеливаться между свободными каналами, а новая рядовая заявка не начинает обслуживаться, пока не завершится обслуживание предыдущей. Когда какой-либо канал освобождается от приоритетных заявок, на него тут же переносится часть работы уже выполняемой рядовой заявки. Формулы (21) и (22) описывают первые два условных момента суммарного времени прерывания такой «фоновой» рядовой заявки, имеющей чистое время обслуживания Т.

Если говорить о суммарном времени прерываний на отдельных каналах многоканальной СМО, то оно зависит от способа выбора заявками свободного канала, когда свободных каналов оказывается несколько. В общем случае время прерываний 2Т делится между каналами не поровну, и, как показывают имитационные эксперименты, характеризуется высокой корреляцией между его частями, приходящимися на отдельные каналы. С ростом загрузки каналов коэффициенты такой корреляции быстро приближаются к единице.

5. Точность асимптотических приближений

В системе С.2|С2| 1 безусловные моменты эффективного времени обслуживания рядовой заявки х" можно, применяя стандартные приемы перехода к ним от условных моментов (14) и (15), выразить так:

х

1 -р

у2(С2г+С]1 а Р'П-Р)

~ с2.1 1 Р (с'+с*)

(23)

(24)

системы 5 и Б*, которая основана на наших асимптотических соотношениях, позволяет точно определять средние характеристики очередей при любых значениях а.

Представление о точности декомпозиции системы С2|С2| 1 можно получить, используя формулу Кингма-на [5], которая при большой эффективной нагрузке р* дает для системы 5* следующее приближение средней длины очереди д ■:

<7'

/"■2 , „ .2 Сг+Р С,-

2(1-р-)

(26)

Параметры, помеченные знаком относятся к системе 5*. Поскольку г* = г', то с учетом (23)

р- = х-/Г = х'/(\-р)/7 = р'/(\-р) (25)

Все используемые нами асимптотические соотношения имеютточность, зависящую от показателя а. Чтобы её оценить, целесообразно сравнить получаемые с их помощью решения с решениями, которые дают другие методы. Например, из (23) и (24) нетрудно получить асимптотическое выражение для безусловного начального второго момента сл. в. х' (называемой в работе [4] циклом обслуживания заявки). Если сравнить его с приведенным в [4] точным выражением, известным для системы М2|С2| 1 (учитывая, что в этом частном случае Сг= 1), то сравниваемые выражения окажутся тождественными. Из этого вытекает, что декомпозиция системы М2|С2| 1 на неприоритетные

Точность формулы (26) возрастает с ростом р' и коэффициентов вариации С^ и Сх<. Применяя эту формулу вместе с (23) - (25), рассчитаем среднюю длину очереди в тестовой системе, которую зададим так, чтобы коэффициенты С^ и Сх-. были достаточно велики. Это следует сделать для того, чтобы обеспечить высокую точность формулы (26) и чтобы источниками ошибок были только проверяемые асимптотические соотношения. Результаты расчета тестовой системы сравним с результатами ее имитационного моделирования (табл. 1).

Тестовая система задается следующим образом. Сл. в. г, х' и / распределены равномерно в интервале от 0 до удвоенного среднего значения (отсюда следует, что их квадратичные коэффициенты вариации равны 1/3). При этом г = 1, Г = 10, т. е. а= 10. Коэффициент загрузки р" изменяется в пределах от 0,6 до 0,98. При этом сохраняется одинаковая загрузка системы приоритетными и рядовыми заявками: р = р'. Последнее условие вместе с равенством (25) однозначно определяет значения г и р', а тем самым и значения средних х = рт = р, х' = р'Т — Юр'.

Время обслуживания приоритетной заявки х задается как функция стандартной сл. в. т], равномерно распределенной на интервале [0,1 ]: х = Ь /(77 + 0,001 ' -~(1/\,00\)], т. е. имеет ограниченное гиперболическое распределение вероятностей. Такое определение сл. в. х обеспечивает достаточно высокое значение коэффициента С\ = 27,604 при любом требуемом х = 5,9098'Ь, которое можно задавать посредством параметра Ь.

Величина д" в табл. 1 представляет собой оценку средней длины очереди, получаемую при моделировании тестовой системы методом усреднения прерываний [1]. Заметная недооценка средней ддины очереди при использовании этого метода указывает на существенную роль, которую в данной системе играет дисперсность прерываний, от которой этот метод абстрагируется.

Из табл. 1 видно, что характеристики эффективного времени х' обслуживания рядовой заявки, рассчитанные по формулам (23) и (24), хорошо согласуются с экспериментальными данными, хотя параметр а= 10 еще невелик. При этом расхождение расчетных и экспериментальных значений среднего времени обслуживания х' лежит в переделах статистических погрешностей имитационного эксперимента, а относительная погрешность расчетного коэффициента вариации Сх, находится в пределах одного процента. Это свидетельствует о быстрой сходимости полученных асимптотических формул к точным значениям при увеличении а.

Рассчитанная по приближенным формулам средняя длина очереди получилась на несколько процентов ниже экспериментальной (в среднем разница составляет около 5%). Для практических задач моделирования ИВС такая погрешность невелика. Таким

Сравнение результатов расчета и моделирования тестовой <

Таблица 1

р' —* X с,. Чо я'

расчет эксперимент расчет эксперимент расчет эксперимент

0,50 5,00 5,00 1,32 1,31 0,15 0,77 0,82

0,60 6,00 6,00 1,42 1,41 0,27 1,32 1,47

0,70 7,00 6,99 1,51 1,50 0,50 2.42 2.70

0,80 8,00 7,99 1,60 1,59 0,99 4,94 5,17

0,90 9,00 8,99 1,69 1,68 2,63 13,20 13,71

0,95 9,50 9,50 1,73 1,72 5.79 30,29 30,52

0,97 9,70 9,70 1,74 1,73 10,25 53,28 54,19

0,98 9,80 9,81 1,75 1,75 15,43 82,07 83,84

образом, разработанные методы декомпозиции можно рекомендовать для практического применения уже при а >10.

Одной из важных для моделирования СМО проблем, которая может быть эффективно решена с помощью полученных и обоснованных выше результатов, является оценка точности метода усреднения прерываний, широко применяемого на практике в силу его простоты.

6. Точность метода усреднения прерываний

С помощью формул (23)-(26) теперь можно при условии болып ой нагрузки р' -»1 оценить в общем виде и погрешности метода усреднения. При р' -»1 нахождение среднего времени ожидания рядовых заявок методом усреднения равносильно применению формул (23)-(26) при значениях С, =0, Сх= 0. Подставляя эти значения в (24), нетрудно проверить, что получаемая при этом из (23)-(26) оценка среднего времени ы' ожидания рядовых заявок удовлетворяет приближенному соотношению:

\У -IV,,

и',,

1

р2р'

а (\-р)3

■о„

Ч -Чо

1

а П-РГ

■0„

(27)

где первое равенство вытекает из формулы Литтла [5], последнее - из условия р' = р' /{1 - р) ■* 1; <70' - средняя длина очереди в системе Б , получаемая в результате замены времени прерываний рядовой заявки его средним значением,

0„„ = 1С] + С\)/(С1 + С1) - показатель, который может быть назван относительной вариабельностью прерываний.

Из оценки (27) видно, например, что при относительной вариабельности Опр <1 и загрузке прерываниями р< 0,5 относительное занижение (уг'-уг'0)/уг'0 времени при использовании метода усреднения не превышает а~\ Поэтому в огрубленной форме можно рекомендовать метод усреднения при а >100 и/или при невысокой относительной вариабельности прерываний. Относительная недооценка (27) быстро убывает с уменьшением р. В общем же случае при любых фиксированных а, р погрешность метода усреднения сверху теоретически не ограниче-

на и пропорциональна относительной вариабельности прерываний.

Разработанные методы суммирования периодов занятости или суммирования периодов обслуживания, напротив, практически не вносят погрешности уже при а = 10 и учитывают условное время прерываний с точностью до распределения. При а = 10... 100, а также и при а> 100 (когда обычное усреднение прерываний из-за их высокой относительной вариабельности может оказаться неприемлемым) разработанные методы позволяют без потери точности ускорять имитационное моделирование, соответственно, примерно в а раз.

В случае больших нагрузок приоритетные СМО с интенсивными прерываниями можно рассчитывать и аналитически, как это было продемонстрировано выше. Если же поток рядовых заявок пуассоновский, то систему можно рассчитать аналитически при любых значениях коэффициентов загрузки, в сумме не превосходящих единицу.

7. Система с пуассоновским потоком рядовых заявок

Подкласс систем класса С2|С2| 1. в которых один, неприоритетный поток заявок — пуассоновский, обозначим, сохраняя стиль Кендалла-Башарина, в виде СМ2|С2| 1. В таких системах применение декомпозиции вычленяет систему 5' класса М|С| 1, и средние характеристики ее очереди можно рассчитывать по известным точным формулам. Естественно, что решения получаются приближенными, поскольку декомпозиция основана на применении асимптотических формул. Точные решения будут получаться лишь в случае системы М2|С2| 1, когда поток приоритетных заявок тоже пуассоновский.

В системе 5", определяемой путем декомпозиции системы СМ2|С2|1, среднее время ожидания в соответствии с формулой Поллячека-Хинчина [5] выражается следующим образом:

- ¿'-(х-)'

уг =-

2(1 -р-)

(28)

г

1

2

Умножая обе части этого равенства на А', получаем слева среднюю длину очереди (формула Литтла) , а справа, выразив начальный второй момент сл.

в. х* через ее коэффициент вариации (24) и среднее (23) и, произведя несложные алгебраические преобразования, получаем выражение, содержащее параметр а:

д. =

2 Ц-р£)

IC2 + C2J a(l-p) г х'

(29)

Выводы

Приоритетные системы массового обслуживания класса С2|С2| 1 во многих отношениях и в течение долгого времени остаются для ТМО неприступными объектами исследования, ведь и в более простых системах С|С| 1 до сих пор неизвестны явные выражения даже для средней длины очереди. Поэтому любые новые результаты в этой области представляют не только прикладной, но и значительный теоретический интерес.

Метод декомпозиции системы С2|С2| 1 на более простые системы типа С|С| 1 разработан с применением техники анализа условных моментов и распределений, которая позволила д ля случая интенсивных прерываний выявить в процессах обслуживания заявок вложенные в них процессы восстановления и получить соответствующие предельные результаты. Наиболее существенные из них следующие: описание метода декомпозиции с точностью до асимптотических распределений исследуемых случайных величин; обобщение обеих форм метода декомпозиции (схемы суммирования периодов занятости и схемы суммирования периодов обслуживания) на приоритетные многоканальные системы класса С2|С2|п; формулы для приближенного расчета системы ¿2|С12| 1 при большой нагрузке; формулы для приближенного расчета системы с пуассоновским потоком неприоритетных заявок а также явное выражение для оценки погрешности метода усреднения прерываний. Выполненный анализ точности метода декомпозиции

показывает, что его можно применять на практике уже при относительной интенсивности прерываний а = 10.

В отношении использованной нами техники анализа условных моментов и распределений можно заключить, что, по всей видимости, она представляет собой достаточно мощный инструмент исследования сложных стохастических систем; этот вывод подтверждается, в частности, и работой [6], где такая техника систематически применяется для эффективного решения задачи анализа надежности структурно сложных систем.

Библиографический список

1. ЗадорожныйВ.Н. Разработка методов ускоренного моделирования разномасштабных по интенсивности процессов обслуживания. - Омский научный вестник, №3. - Омск, 2004. — С. 49-54.

2. Кокс Д.Р. Теория восстановления /Кокс Д.Р, Смит В.Л.: Пер. сангл./Подред. Ю.К Беляева. — М.:Сов. радио, 1967г. - С. 312.

3. Iglehart D.L. The regenerative method for simulation analysis. In Current Trends in Programming Methodology, Vol. Ill: Software Modelling, K.M. Chandy and R,T. Yen, Eds,, Prentice-Hall, Engle-wood, Cliffs N.J., 1978, pp. 52-71.

4. Гнеденко Б.В. Приоритетные системы обслуживания /Гне-денко Б.В., Даниэлян Э.А., Димитров Б.Н.идр. - М.: Изд-во Московского университета, 1973. — С. 447,

5. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями: Пер. с англ./Под ред. Б.С. Цыбакова. - М.: Мир, 1979. - С. 600.

6. Кутузов О.И., Задорожный В.Н. Аналитико-статистический метод для расчета высоконадежных систем связи// Техника средств связи. Техника проводной связи. — 1990. - Вып.1:С.121-130.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры АСОИУ.

Российские научные журналы

Автоматизация в промышленности

Ежемесячный научно-технический и производственный журнал.

Свидетельство о регистрации средств массовой информации ПИ № 77-13085

С января 2003 г. начал выходить новый научно-технический журнал, ориентированный на специалистов по промышленной автоматизации. Это промышленные предприятия, заказчики средств и систем автоматизации, производители программных и технических средств автоматизации, фирмы-интеграторы, проектные и конструкторские организации, учебные заведения, кафедры автоматизации, все организации, специализирующиеся на разработке, усовершенствовании, внедрении и эксплуатации на производстве программно-аппаратных средств, программно-технических комплексов и низового оборудования, т.е. всех компонентов, необходимых для создания современных и модернизации действующих систем автоматизации производства.

В журнале подробно представлены сведения, отражающие этапы жизненного цикла конкретных систем: от особенностей разработки до проблем, возникающих при внедрении и эксплуатации; публикуется самая оперативная информация об отечественном и зарубежном рынках систем и приборов. Все представленные в журнале публикации неразрывно связаны с историей развития и деятельностью фирм уже давно и хорошо известных специалистам и фирм, которым еще только предстоит определить и укрепить свои позиции на рынке.

Цель журнала - посредством оперативной, достоверной и независимой информации помочь специалистам ориентироваться в многообразии отечественных и зарубежных фирм, работающих в России, в номенклатуре продукции, новых технических решениях и концепциях, предлагаемых ими. Страницы журнала — своеобразная трибуна, предоставляющая возможность специалистам поделиться опытом, информацией или задать вопросы коллегам.

В журнале подробно освещаются материалы традиционных международных семинаров и выставок по ПТК, промышленным АСУТП, контроллерам, ЗСАОА-системам и полевым приборам для АСУТП.