CC BY
13
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
удк «"-а В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Омский государственный технический университет
РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ УСКОРЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАЗНОМАСШТАБНЫХ ПО ИНТЕНСИВНОСТИ ПРОЦЕССОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ
Рассматривается проблема моделирования систем массового обслуживания, в которых интенсивности потоков приоритетных заявок могут на несколько порядков превосходить интенсивность потока неприоритетных заявок. При непосредственном имитационном моделировании таких систем затраты машинного времени возрастают также на несколько порядков. Предлагаются методы решения этой проблемы, приводятся новые теоретические результаты.
При имитационном моделировании информаци- быть многократно воспроизведено действие управ-
онно-вычислительных систем (ИБС) часто возникает ляющих программ. Поэтому общие затраты машин-
необходимость моделировать взаимодействующие иого времени на моделирование возрастают также
процессы, интенсивности которых различаются на на несколько порядков.
несколько порядков. Разномасштабные по интенсив- На один прогон ИМ таких сложных объектов, как
ности процессы приходится моделировать, напри- ИБС, даже при отсутствии разномасштабности тре-
мер, когда определяется влияние на производитель- буется обычно затрачивать машинное время в объ-
ность ИБС ее управляющих программ, которые не- еме минут, часов или дней. При наличии же разно-
надолго, но часто прерывают выполнение более "мед- масштабных процессов это время увеличивается на
ленных" прикладных программ. В подобных случаях несколько порядков. Еще более затрудняются или
в ходе воспроизведения в имитационной модели (ИМ) делаются невозможными многократные прогоны,
процесса выполнения прикладных программ должно без которых невозможно решать содержательные
Л2 х2
Рис. 1. СМО с двумя разномасштабными потоками заявок.
задачи анализа или оптимизации систем. Этим определяется актуальность разрабатываемых в статье методов ускоренного моделирования. Проблема роста затрат времени на несколько порядков в ИМ разномасштабных процессов далее кратко именуется проблемой разномасштабности.
Математический аппарат, необходимый для адекватного анализа проблемы разномасштабности и для разработки рекомендаций по ее решению, предоставляется теорией вероятностей [ 1,2], теорией массового обслуживания [3,4], и специальными исследованиями производительности ИБС, основанными на имитационном моделировании, аналитическом моделировании или измерении [5-9].
Центральный процессор ИБС представляется в виде одноканальной системы массового обслуживания (СМО) с несколькими классами заявок. Выделим в целях анализа проблемы разномасштабности два потока заявок: поток приоритетных заявок (заявки класса 1), который соответствует запускам управляющих программ и имеет высокую интенсивность Л,, и поток неприоритетных заявок (заявки класса 2), имеющий ординарную интенсивность Я^ и соответствующий запускам прикладных программ (рис. 1). Заявки класса 1 имеют абсолютный приоритет. Заявки одного и того же класса обслуживаются по дисциплине "первым пришел - первым обслужен". Если приоритетная заявка прерывает обслуживание неприоритетной заявки, то последняя при возобновлении ее обслуживания продолжает обрабатываться с "точки прерывания", т.е. имеет место дисциплина абсолютных приоритетов с дообслуживанием.
Обозначим через г, время между приходом любой заявки класса 1 и приходом следующей заявки этого же класса класса, х, - время обслуживания заявки класса 1; далее г2 - время между приходами заявок класса 2, и х2 - время обслуживания заявки клас-са2. Средние значения (м.о.) этих случайных величин (сл.в.) будут обозначаться, соответственно, в виде Tl,xi,T2,x2. В дальнейшем будем обозначать м.о. любой сл.в. знаком, состоящим из обозначения этой сл.в. и черты сверху. Это избавит нас от обязанности пояснять, к каким сл.в. относятся употребляемые обозначения м.о.
Потоки заявок в СМО будем считать стационарными. Тогда интенсивности (средние интенсивности) Л,, Л2 приоритетного и неприоритетного потоков, соответственно, легко выражаются через средние интервалы поступления заявок: Я, = 1/г1( = \/тг . Режим функционирования СМО в целом также будем считать стационарным, т.е. р - коэффициент загрузки СМО - меньше единицы:
p = pl+p2< 1,
где рх = - коэффициент загрузки СМО приоритетными заявками,
Рг = Л{хг - коэффициент загрузки СМО неприоритетными заявками.
Распределения сл.в. г,, xv tv х2, будем считать произвольными, чтобы не ограничивать общности получаемых результатов. Таким образом, исследование проблемы разномасштабности проводится
применительно к СМО класса С2|С2| 1, изучаемым в т.н. общей теории массового обслуживания (ТМО) [4]. Системы общей ТМО (включая и более простые системы С|С| 1) весьма трудны для теоретического анализа. Даже среднее время ожидания заявок в очереди не может быть точно выражено через параметры таких СМО [4,5].
Степень разномасштабности приоритетного и неприоритетного потоков заявок может быть охарактеризована коэффициентом разномасштабности а\
а = Л1/А2.
В условиях проблемы разномасштабности а= = ЮЧЮ4, т.е. достаточно велико. Это позволяет выполнить асимптотический анализ свойств СМО, которые она имеет при а ->оо , разработать методы решения проблемы разномасштабности при конечных а, определить их точность и очертить область применения.
Основные положения, на которых основан выполненный анализ, проиллюстрированы на рис. 2. Первая временная диаграмма (в верхней части рисунка) отображает процесс обслуживания заявок класса 1, который имел бы место, если бы заявки класса 2 в СМО не поступали. Короткими вертикальными стрелками отмечены моменты поступления заявок, темно-серыми прямоугольниками — периоды обслуживания заявок каналом. Прямоугольники, следующие без промежутков (один или несколько), образуют период занятости длительностью я (сл.в.), за ним следует период незанятости длительностью ¥ (сл.в.). Эти два периода образуют период регенерации. Известно, что процессы и сл.в., принадлежащие разным периодам регенерации, статистически независимы [3-5,8].
Вторая временная диаграмма (в средней части рис. 2) изображает процесс обслуживания заявок класса 2, каковой имел бы место, если бы в СМО не поступали заявки класса 1. Предположим, что в ИМ необходимо проимитировать прохождение ЛГзаявок класса 2, чтобы получаемые оценки для среднего времени ожидания у заявок класса 2 имели приемлемую точность. Тогда "основной цикл" моделирующей программы должен быть выполнен Л^раз.
Натретьей временной диаграмме (внижнейчасти рис. 2) показан процесс обслуживания заявок обоих классов. Длинные вертикальные стрелки отмечают моменты поступления заявок класса 2. Для того, чтобы воспроизвести процесс обслуживания N таких заявок, необходимо промоделировать еще примерно a^N заявок класса 1. Следовательно, основной цикл моделирующей программы должен быть выполнен N+a^N раз. При а= 1 (разномасштабности нет) затраты компьютерного времени оценивались бы величиной N+1 'N=2 *ЛГ; при а>>1 оценка затрат времени составляет ^а'Ы&а'М. Отсюда видно, что, вследствие разномасштабности, время имитационного моделирования возрастает приблизительно в (а№/(2,^=а/2 раз, т.е. практически также на два-четыре порядка. Процесс обслуживания приоритетных заявок на этой диаграмме изображен точно таким же, как и в верхней части рис. 2, т.к. при совместной обработке обоих потоков приоритетные заявки "не ощущают" наличия в СМО заявок класса 2.
Что касается неприоритетных заявок, то, как видим, влияние на их обслуживание со стороны приоритетных заявок проявляется двояко. Во-первых, время между началом и окончанием обслуживания неприоритетной заявки (цикл обслуживания И) увеличи-
1—1 !■ И1
III И I
II II
I III
Х*Р1/(1-Р1)
Рис. 2. Взаимосвязь процессов обслуживания двух классов заявок при X, » Х2
вается из-за прерываний в среднем достаточно кратковременных, но частых. Во-вторых, неприоритетная заявка может поступить в момент, когда других неприоритетных заявок в СМО нет и канал занят приоритетной заявкой. Тогда начало обслуживания неприоритетной заявки смещается на время, оставшееся до завершения периода занятости. Это смещение начала обслуживания неприоритетной заявки назовем фронтальной задержкой (рис. 2). На величине фронтальной задержки сказывается т.н. парадокс остаточного времени [4], что затрудняет ее исследование при конечных а. К счастью, эта задержка в условиях разномасштабности оказывается пренебрежимо малой, поэтому далее она учитываться не будет.
На практике при относительно высокой интенсивности прерывающего потока заявок его просто исключают из ИМ, а суммарное влияние всех прерываний на заявки класса 2 учитывают косвенно, в среднем [9]. Суммарное время у прерываний обслуживания одной заявки в среднем пропорционально чистому времени ее обслуживания х2:
Т.к. влияние приоритетных заявок можно просто вычислять по формуле (1), то в ИМ воспроизводят только поток неприоритетных заявок (следовательно, проблема разномасштабности устраняется). Для очередной неприоритетной заявки в ИМ сначала разыгрывается чистое время х2 ее обслуживания, затем оно наращивается на величину среднего суммарного времени прерываний у , вычисляемое по формуле (1), и, таким образом, полное время обслуживания Ъ определяется как сумма Ь = хг + у , которая далее используется в модели как время обслуживания заявки (скорректированное). Этот известный метод устранения разномасштабности назовем методом первого порядка. Система С-2|С2| 1 с помощью этого метода превращается в систему ¿|С| 1.
Заметим, что на среднее время ожидания заявок в системе 1 существенно влияет дисперсия времени их обслуживания, которая в методе первого порядка может оказаться существенно заниженной. Поэтому возникает задача определения не только и.о., но и второго момента сл.в. у (в форме диспер-
сии, второго начального момента или коэффициента вариации) или, если это возможно, даже условного распределения вероятностей с.в. у, которые она имеет при известном х=Х. Для решения этой задачи в статье предлагаются два метода. В связи с ограниченным объемом статьи результаты приводятся без подробных промежуточных выкладок.
Метод суммирования периодов занятости
Лемма (приводится без доказательства). Если сл.в. 7Г(| (в одном и том же ьм периоде регенерации) в СМО С|С| 1 имеют коэффициент корреляции, равный г, то две суммы Бл н 8 У, составленные по к периодам регенерации:
+ <
имеют то же самое значение коэффициента корреляции г (при любом к = 1,2...). При а-»оо эти суммы сходятся по распределению к двум нормальным сл.в., связанным линейной регрессией. Конецлеммы.
Обслуживание неприоритетной заявки с известным чистым временем обслуживания х=Х осуществляется во время периодов У,, ¥г...Ч'у незанятости системы приоритетными заявками (см. рис. 2 и 3). Число у (гамма) требуемых периодов незанятости случайно. Сл.в. уе{0, 1, 2, ...} представляет собой одновременно и количество периодов занятости, прерывающих обслуживание данной неприоритетной заявки.
Заметим, что суммарное время прерываний у-Ъл, где число слагаемых (л) есть сл.в. у.
Последовательность периодов незанятости (Р,,
... У, как видно из рис. 3, образует т.н. поток восстановлений. Поскольку при больших ас вероятностью, близкой к единице, имеем X » у/ , то, согласно установленным в теории восстановлений [10] предельным теоремам,
у = ^ + о(а~1) и а2г=^ + о(а~') , (2)
где у и у - м.о. сл.в у и !Р соответственно, Оу и о^. - дисперсии сл.в. у и Ф,
Рис. 3. Обслуживание неприоритетной заявки в периодах незанятости.
X - известное значение чистого времени обслуживания неприоритетной заявки.
В дальнейшем асимптотические соотношения, в которых относительная погрешность, определяемая явными слагаемыми и неявным членом о(((а)), сходится к нулю с ростом а, будем записывать с использованием специального символа сходимости =>. Например, соотношения (2) в подобной записи представляются так:
_ X
г=>— и V
2 ^ 'Г ^ — 3 "
V
(3)
При условии, что у=к (фиксированному числу) и что БЧ* = Х (известному значению) нетрудно найти первые два момента (разумеется, условных) асимптотически нормальной сл.в. Эти моменты выражаются через известное значение сл.в. БУ, принимаемое равным X, с помощью уравнения регрессии нормальной сл.в. $ж на нормальную сл.в БУ*. Уравнение регрессии одной нормальной сл.в. на другую можно найти, например, в [3]. Условное м.о. и остаточная дисперсия зависимой сл.в. 5л"выразятся при этом полиномами 1-й и 2-й степени соответственно; это будут полиномы от известных значений к и X независимых сл.в. утл Б У (соответственно). Затем следует применить стандартный прием перехода от условных моментов, рассматриваемых по условию у=к, кбезусловным, заменяя в этих полиномах члены к и /с2 соответственно, на первый и второй начальные моменты сл. в., которые легко определяются из (3). Произведя такую замену и выполнив алгебраическое преобразование (упрощение) полученного выражения, находим асимптотические выражения безусловных (относительно условия у=к) моментов сл.в. эти моменты остаются условными относительно равенства хг=Х, и, таким образом, устанавливаем в итоге справедливость следующей теоремы.
Теорема 1. Среднее значение У[х] и квадратичный коэффициент вариации Су/х/ суммарного времени прерываний обслуживания неприоритетной заявки, при чистом времени ее обслуживания X, определяются соотношениями
1 ' ц/
Р\
1 -А
X,
-.2 'Я-
'я- ц/
-г
(4)
(5)
где я - м.о. периода занятости,
Ся'Сц/ - коэффициентывариации сл.в. я-и Усоответ-
ственно. Остальные переменные определены выше.
Поскольку распределение суммарного времени прерываний при фиксированном Xасимптотически нормально и поскольку теорема 1 позволяет определить два момента этого распределения, то суммарное время прерываний в условиях разномасштабности стало известно нам с точностью до распределения, тогда как в известном методе первого порядка - только с точностью до среднего.
Однако, для того чтобы воспо льзоваться теоремой 1 для вычисления У[х] и Су/х; ■ необходимо знать два первых момента периода занятости п и периода незанятости У. Эти моменты можно определить, выполняя предварительно ИМ с системой 1, в которой присутствует только поток приоритетных заявок. Такой эксперимент тоже имеет "обычную" трудоемкость, т.к. не воспроизводит разномасштабных процессов. С учетом этого предварительного имитационного эксперимента моделирование СМО получается двухэтапным.
Разработанный двухэтапный метод исследован аналитическими и экспериментальными средствами. Аналитическая проверка точности выполнена для систем класса М2|С.,|1, т.е. для систем с пуассонов-скими потоками заявок. Доказано, что системы этого класса в двухэтапном эксперименте воспроизводятся точно при любом а, т.е. методическая погрешность для этого класса СМО при любом а равна нулю.
Экспериментальная проверка выполнена с помощью ИМ на языке СРБЗ для 64-х различных СМО класса С2|С2|1 и подтвердила высокую эффективность метода. Понятно, что чем больший получается выигрыш во времени моделирования (оно сокращается на два-четыре порядка), тем более высокой оказывается и точность метода, т.к. с ростом а точность асимптотических формул возрастает.
Основным недостатком метода является необходимость предварительного имитационного эксперимента для получения статистических оценок величин СЯ,С¥, используемых в качестве исходных данных на втором этапе эксперимента. Это несколько усложняет планирование имитационного эксперимента и анализ точности результатов моделирования, получаемых на втором этапе двухэтапного моделирования.
Метод суммирования периодов обслуживания приоритетных заявок
Механизм формирования суммарного времени прерываний у можно выразить и непосредственно через сл.в. х1 и тг распределение вероятностей которых бывает задано в постановке задачи моделирования СМО. Сл.в. у может быть выражена в виде суммы длительностей обслуживания каждой прерывающей заявки:
у = х, +хг + ... +ху,
где V - число прерывающих приоритетных заявок. Сл.в. определяется как число слагаемых в сумме (т^ - х{) + {т^- х2) +... + (г - х Д при котором добавление еще одного слагаемого - хглЛ) приводит к тому, что эта сумма превысит известное чистое время X обслуживания неприоритетной заявки. Система случайных величин {х1,(т1-х1)},1=0, 1,2,... V имеет, с точностью до обозначений, те же свойства, которые для системы сл.в. /я-,, Ф), л' = 0, 1, 2,... у, влекут справедливость утверждения теоремы 1. Следовательно, мы имеем основания подставить в (4) и (5) на место параметров сл.в. тт,и ^соответствующие параметры сл.в.
х и (т^х,), и тогда, после упрощения получаемых выражений, устанавливаем справедливость следующего утверждения.
Теорема 2. Среднее значение У/х; и квадратичный коэффициент вариации Су[Х] суммарного времени прерываний обслуживания неприоритетной заявки, имеющей чистое время обслуживания X, определяются асимптотическими соотношениями:
УIX]
Р\
X,
Су = —
у X
1 -Рх
( С2+с2
1 -рх
(6)
(7)
Все параметры в правых частях (6) и (7), в отличие от (4) и (5), определяются точно, формальными методами, из заданных распределений сл.в. хи г. Теорема 2 освобождает нас от предварительного этапа моделирования. Можно сразу моделировать СМО, в которой воспроизводится только поток неприоритетных заявок. Метод является одноэтапным. Проблемы с планированием эксперимента, возникавшие в двух -этапном методе, здесь отсутствуют. Чистое время обслуживания заявок класса 2, разыгрываемое в процессе имитации, наращивается на суммарное время прерываний у, которое определяется из (6) и (7) с точностью до двух первых моментов (и, следовательно, с точностью до распределения, т.к. сл.в. у распределена нормально).
Проверка точности этого метода выполнена для СМО класса М2|С2| 1 аналитическими средствами. Системы этого класса в двухэтапном эксперименте воспроизводятся точно при любом а.
На основе теоремы 2 установлена область пригодности известного метода первого порядка, не учитывающего дисперсность прерываний. При достаточно типичных для инженерной практики условиях он может применяться в случае, когда а > 640, не внося методической погрешности более одного процента. При меньших значениях разномасштабности в этих же условиях следует применять разработанный в статье метод второго порядка.
Одноэтапный метод второго порядка проверен, как и двухэтапный, на "испытательном полигоне" ИМ для 64 СМО класса С2|С2| 1. Установлено, что при типичных условиях этот метод можно применять уже при а >104-20. Высокая точность разработанного метода подтверждается также сопоставлением получаемых результатов с оценками Кингмана (для СМО с большими коэффициентами загрузки) [5].
Обнаружение универсального инварианта,
Приравнивая формально правые части приближенных равенств (5) и (7), используемых в двух разработанных методах, и умножая полученное равенство на X, получаем новое равенство
Щ(С1-21СХСШ+С1)=Г
' с)+с\ 1 -р
(8)
которое, вообще говоря, тоже должно было бы быть приближенным. Однако обращает на себя внимание то, что исчезло какое-либо указание на его асимптотический характер, т.к. вместе с величиной X из (8) исчезло какое-либо указание на величину коэффициента разномасштабности а. Все параметры, входя-
щие в это равенство, относятся к одному потоку заявок (класса 1). Полученное равенство выглядит как точное.
Поскольку автору доказать его пока не удалось, то были предприняты попытки его опровергнуть.
Первой была попытка опровержения равенства (8) путем его аналитической проверки на системах М|С| 1. Для этих систем равенство оказалось точным. Более того, известные из промежуточной теории массового обслуживания [4,5] соотношения для периодов занятости для систем М|С|1 легко выводятся как частные случаи проверяемого равенства (8). Равенство для этого класса СМО действительно точное.
Вторая попытка опровержения состояла в проверке равенства (8) на "бесконфликтных" СМО, которые относятся к общей теории массового обслуживания, но могут без труда рассчитываться аналитически в силу заведомого отсутствия очередей. Для этого класса СМО равенство также оказалось точным.
Третья попытка опровержения была предпринята на "испытательном полигоне" разнообразных имитационных моделей СМО С|СЗ| 1. Все отличия левой части равенства (8), вычисляемой по результатам моделирования, от правой части, вычисляемой аналитически, находились в пределах статистических погрешностей эксперимента и устремлялись к нулю с увеличением длины прогона ИМ.
Наконец, четвертая попытка состояла в трудоемком точном левой части (8) для нескольких СМО класса С|С| 1, не поддающихся аналитическому расчету. После подстановки результатов численного расчета в левую часть (8) равенство выполнялось с точностью до пяти-десяти значащих десятичных цифр, т.е. погрешнос ть вполне объясняется погрешностями численного метода расчета СМО.
Инвариант (8) автору не удалось доказать. Но поскольку все настойчивые попытки опровергнуть его приводили только к его подтверждениям, он приводится здесь в качестве научной гипотезы.
В заключение отметим, что проведенный в исследовании асимптотический анализ проблемы разномасштабности позволил установить ряд новых результатов, в том числе следующих:
1) разработаны методы сокращения затрат машинного времени на моделирование СМО с разномасштабными по интенсивности потоками заявок. Методы основаны на превращении системы С2|С2| 1 в систему С|С| 1, в которой не воспроизводится поток приоритетных заявок, но их влияние на обслуживание неприоритетных заявок учитывается путем адекватной коррекции сл.в. А - длительности цикла обслуживания неприоритетных заявок;
2) установлены границы применения известного ранее метода (первого порядка) решения проблемы разномасштабности. В диапазоне типичных задач и требований к точности этот метод может применяться при коэффициенте разномасштабности а > 640. Разработанные методы второго порядка в том же диапазоне условий можно применять уже при а > >10+20;
3) разработанные методы проверены и подтверждены экспериментально путем аналитического и имитационного моделирования большого числа разнообразных СМО;
4) найден универсальный инвариант, из которого известные в ТМО точные результаты для периодов занятости и незанятости выводятся как частные случаи. Для более сложных СМО, не имеющих аналити-
ческого решения, инвариант точно подтверждается численными расчетами;
5) установленные в работе соотношения позволяют определить влияние дисперсности управляющих прерываний в ИВ С на время обработки прикладных (пользовательских) программ. Это существенно упрощает процедуру натурного измерения или имитационного моделирования, а также расширяет возможности аналитического исследования и оптимизации структуры программного и технического обеспечения ИБС. Разработанные методы применяются на кафедре АСОИУ ОмГТУ для создания сетевой службы, непрерывно отслеживающей и прогнозирующей макродинамические показатели функционирования кафедральной сети и проектирующей оптимальные сценарии мероприятий по модификации - развитию сети и обеспечению безопасной удаленности ее параметров от границ области гомео-стазиса.
Библиографический список
1. Уилкс С. Математическая статистика. - М.: Наука. Гл. редакция физико-математической литературы, 1967. -632 с.
2. Ширяев А.Н. Вероятность. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980. -576 с.
3. Гнеденко Б.В., Даниэлян Э.А., Димитров Б! I, и др. Приоритетные системы обслуживания. - М.: Издательство Московского университета, 1973. -447 с.
4. КлейнрокЛ. Теория массового обслуживания. Пер. с англ./ Пер. И.И. Грушко; ред. В.И. Нейман. -М.: Машиностроение, 1979. -432 с.
5. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями: Пер. с англ. /Подред. B.C. Цьгбакова. - М.: Мир, 1979. - 600 с.
6. Феррари Д. Оценка производительности вычислительных систем: Пер. с англ. А.И. Горлина, Ю.Б. КотоваиЛ.В.Ухова /Под ред. В.В. Мартынюка. - М.: Мир, 1981 -576 с.
7. Кутузов О.И., Задорожный В.Н., ОлзоеваС.И. Имитационное моделирование сетей массового обслуживания: Учебное пособие. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2001. - 228 с.
8. IglehartD.L. The regenerative methodforsimulation analysis. In Current Trends in Programming Methodology, Vol. Ill: Software Modelling, K.M. Cliandy and R.T. Yen, Eds., Prentice-Hall, Engle-wood, Cliffs N.J., 1978, pp. 52-71.
9. Максимей И.В, Фуфункционирование вычислительных систем (Измерения и анализ). -М.:Советское радио, 1979.-272 с.
10. Кокс Д, Льюис П. Статистический анализ последовательности событий. - М.: Мир, 1969. -312 с.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры АСОИУ.
Информация
Организаторы:
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА РАН
извещают о проведении с 27 января по 2 февраля 2005 года семинара
на тему
СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И СМЕЖНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Области знаний
МАТЕМАТИКА
Тематика
• Действительный и комплексный анализ.
• Тригонометрические и ортогональные полиномы и ряды. •Аппроксимация функций действительного и комплексного
переменного полиномами.
• Граничные свойства аналитических функций.
• Приближение в функциональных пространствах.
• Оптимальное управление.
• Спектральная теория дифференциальных операторов.
• Современные разделы качественной теории краевых задач.
• Смежные проблемы математического моделирования.
• Проблемы преподавания математики в высшей и средней школе.
Адрес проведения: 394006, Россия, Воронеж, Университетская пл. 1, ВГУ.
Прием тезисов (предварительных) 20.11,2004
