Распознавание структур псевдослучайных последовательностей на основе использования алгоритма субоптимальной калмановской фильтрации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396

РАСПОЗНАВАНИЕ СТРУКТУР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АЛГОРИТМА СУБОПТИМАЛЬНОЙ КАЛМАНОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

© 2008 г. С.В. Соколов, П.А. Кучеренко

Введение

Задача создания надежных и эффективных систем распознавания сигналов, построенных на псевдослучайных последовательностях (ПСП) максимального периода становится все более актуальной. Решение подобных задач является необходимым в различных областях практической деятельности человека. В качестве примера можно привести активно развивающиеся сегодня системы телекоммуникации с кодовым разделением абонентов, спутниковые радионавигационные системы, системы защиты информации [1-3] и пр.

Существующие способы распознавания структуры принимаемой ПСП, основанные на использовании их корреляционных свойств, имеют достаточно хорошие показатели при малых отношениях «сигнал-шум», однако требуют для своей эффективной работы большого объема выборки значений наблюдаемых сигналов, т. е. не обеспечивают требуемой оперативности анализа. Кроме того, их реализация связана со значительными затратами вычислительных ресурсов. Отметим также тот факт, что в случае определения структуры принимаемой ПСП при условии ее временного сдвига относительно своей копии, генерируемой в приемнике, возникает необходимость расчета и анализа взаимокорреляционных функций для всех возможных значений временного смещения, что также приводит к необходимости существенного увеличения объема вычислений.

Появившиеся недавно методы оптимального распознавания, основанные на представлении псевдослучайных последовательностей цепями Маркова с несколькими равновероятными состояниями [4], а также методы, основанные на использовании параметрической модели в виде квазислучайного процесса [5], несколько снижают требования к объему аппаратурных затрат, но при этом не обладают достаточной оперативностью и точностью обработки, поскольку не учитывают в полной мере существующие внутриком-бинационные зависимости символов принимаемых псевдослучайных последовательностей.

Таким образом, задача разработки и исследования альтернативных способов представления и обработки сигналов, построенных на ПСП, позволяющих более полно учесть особенности структур используемых кодовых последовательностей, а также обеспечить их более надежный прием и повысить оперативность распознавания, представляется весьма актуальной.

Постановка задачи

Сформулируем задачу распознавания структур принимаемых ПСП следующим образом: имея на

выходе приемника искаженную помехами реализацию только одной ПСП из всего возможного ансамбля М-последовательностей заданной длины, требуется определить закон формирования ПСП и его параметры, т. е. иными словами, структуру принимаемой псевдослучайной последовательности.

Для выработки одного из возможных решений данной задачи проанализируем далее псевдослучайные последовательности с точки зрения их представления (с целью реализации последующей процедуры оценивания) как многомерных нелинейных конечно-разностных временных структур.

Синтез многомерной структуры ПСП

Сформированную по заданному рекуррентному правилу псевдослучайную последовательность (при технической реализации - с использованием регистра сдвига, охваченного обратной связью, задающей правило формирования последовательности) можно представить в виде модульного разностного уравнения следующего вида:

у[к + N] = a1 у^] © a2у^ +1] ©... © aNy[k + N -1], (1)

где у^] - значение генерируемой последовательности на ^м такте (принадлежит алфавиту G = {0,1}); ai, I = 1... N - коэффициенты, задаваемые правилом кодирования (также принадлежат алфавиту G = {0,1}); N - «память» последовательности.

(Операции сложения и умножения в (1) производятся по модулю 2).

Известно, что любой нелинейный сигнал, зависящий от произвольного конечного числа предшествующих значений, всегда можно описать как векторный процесс, представив его в виде системы разностных уравнений первого порядка [6, 7]. В рассматриваемом случае система уравнений будет иметь размерность, равную «памяти» последовательности N.

Введем следующие переменные состояния:

y[k ] y[k +1] y[k + 2]

= x^k ]; = x 2[k ];

= x 3[k ];

= xl[k +1]; = x 2[k +1];

(2)

y[k + N -1] = xN[k]; = xN_x[k +1]; y[k + N] = xn+j[k ]; = xn [k +1].

Перепишем далее последнее уравнение системы (2) с учетом (1). Тогда

у[к + п] = хы [к +1] = хы+1[k ] =

= а^[к] © а2х2[к] ©... © амхм[к].

Представим теперь соотношения (2) в виде следующей системы уравнений: х1[к +1] = х 2[к ]; х 2[к +1] = х 3[к ];

< х3[к +1] = х4[к]; (3)

хм[к +1] = а1х1[к] © а2х2[к] ©... © амхм[к].

Принадлежность значений генерируемой последовательности хг [к] и коэффициентов аг к алфавиту 0={0,1} позволяет представить операцию сложения по модулю 2 через обычные арифметические операции следующим образом:

агхг [к] © аг +1 xi +1 [к] =

= агхг [к] + аг +1 хг+1 [к] - 2агхг [к]аг +1 х+1 [к].

Тогда окончательно система уравнений (3) принимает следующий вид:

х1[к +1] = х 2[к ];

х 2[к +1] = х 3[к ];

х 3[к +1] = х 4[к ];

; (4)

N

хм [к + 1] = Е агхг [к ] + Ф( хч[к ]хг 2[к ]...хгг [к ],Г = 2...N),

где Ф(x,1 [k]xl2 [k]... xlr [k], r = 2... N) =

=i

r=2

N-(r-1)

(-2)r-1 I

¿1=1

N-(r-2)

W

I ... I (orjk^k]... xlr [k])

¿2=1+1 у ¿r=ir—1^1

//

а - постоянный коэффициент на очередном шаге вычислений, определяемый соотношением а = а^а^ ... аг .

Нелинейная фильтрация ПСП и ее структурная идентификация

Полученное представление псевдослучайной последовательности с точки зрения теории оптимального оценивания является описанием нелинейного дискретного объекта в пространстве его состояний (или же уравнением сообщения).

Сигнал, доступный непосредственному наблюдению на приемной стороне (сигнал наблюдения) z[к], в общем случае имеет вид

z[k ] = Нх [к ] + п 0[к ], (5)

где Н = [1 0 0 •••О] - вектор-строка размерности М; п 0[к] - белый гауссовский шум (БГШ) с дисперсией D0 и нулевым средним (далее БГШ наблюдения).

Уравнения (4) и (5) являются исходными для решения задачи формирования нелинейной оценки

л

X (к) вектора переменных состояния хг [к] с использованием широко разработанных методов оптимальной дискретной фильтрации. Здесь следует заме-

тить, что полученное представление ПСП - в силу определяемой уравнениями (4) функциональной взаимосвязи ее отдельных временных значений (символов), позволяет далее использовать алгоритмы, опирающиеся на самую исчерпывающую характеристику дискретной нелинейной стохастической последовательности - ее многомерную апостериорную плотность вероятности (в отличие от существующих методов, использующих конечный набор независимых рекуррентно вычисляемых значений апостериорных вероятностей отдельных символов, полученных в предположении их независимости).

Однако, ввиду того, что нахождение точного решения задачи нелинейной дискретной многомерной фильтрации представляет собой достаточно сложный рекуррентно-интегральный вычислительный процесс, рассмотрим далее возможность синтеза субоптимального алгоритма оценки вектора Х, допускающего его эффективную вычислительную реализацию.

Для этого линеаризуем нелинейную функцию, входящую в последнее уравнение системы (4).

Предположим, что удалось найти достаточно точные оценки хг [к],хг [к],...,хг [к]. Разложим функцию s(Xгl[Щ, хг2[к],..., хг [к]) = х г^Щ хг2[к]... х^ [к] в

ряд Тейлора в окрестностях этих оценок и ограничимся в нем только линейными членами:

s(хг1 [к] х2 [к],..., хгг [к]) = хг1 [к]хг2 [к] ... хгг [к] и

л л л

и s(Xгl [к], хг2 [к],..., хгг [к]) + дs(хг1 [к],хг2 [к],...,хг [к])

dxn[k ]

-(x4[k]-x4 [k]) +... +

ds( x4[k ], xt 2[k ],..., xlr [k ]) dxi [k]

(x, [k] - x, [k]) =

= (1 - r) x,.[k] xt 2[k ]... xlr [k] +

+хг1[к] хг2[к] ... хгг [к] + ... +

л л л л

+хг-.[к ] хн [к ]... хч-1 [к ] хч+1 [к ]... х гг [к ] +

лл

+хг [к ] хг1[к ]... хг-1[к ]. (6)

Учитывая (6), обозначим сумму произведений различных оценок при х1[к],х2[к],...,хм[к] соответственно как

Г11 x2 [k],...,xn[k]

Г 2 | х1 [к ], х 3[к ],..., хм [к ] J , ..., Г м| х1[к],..., хм-^к] а свободный член уравнения как

Г| х1 [к ], х 2[к ],..., хм [к]

Используя введенные обозначения, представим выражение (4) в векторной форме:

л

Л

Л

xl [k +1]

x 2 [k + 1]

xN-i[k + 1] xN [k +1]

0 1 00

00

a1 an

0 1

0

a

xx[k ] x 2 [k ]

xN-1 [k ] xN [k ] _

+

1

a

N

Г1 I x2 [k],..., xn [k]

Г j I xj[k],...,xj-¡[k],xj+1 [k],...,xn[k]

Г N I x1[k],...> x N-1 [k ]

x1 [k ] x 2 [k ]

x3 [k ]

xN [k ].

(7)

Г1 xj[k], x2 [k],..., xn [k]

Обозначим векторы состояния на ^м и ^+1)-м Уравнения субоптимального нелинейного дис-

шагах как кретного фильтра Калмана, обеспечивающие решение

поставленной задачи, в данном случае имеют вид [8]

x[k ] =

xx[k ] x 2 [k ]

xN [k ].

и x[k + 1] =

x1 [k +1] x 2[k +1]

xn [k +1]

сумму матричных коэффициентов в уравнении (7) при x[k], зависящую только от оценок переменных состояния х^],х],...,xN^], как коэффициент A[k], а свободный член уравнения - как B[k].

Тогда окончательно (7) можно представить в виде следующего линейного векторного разностного уравнения:

x[k +1] = A[k] x[k] + B[k],

(8)

где x[k] и x[k +1] - векторы переменных состояния на ^м и ^+1)-м шагах соответственно; A[k] и B[k] -матричные коэффициенты, зависящие только от оценок вектора переменных состояния x[k].

Полученные уравнения сообщения (8) и наблюдения (5) линейны относительно вектора переменных состояния x и, следовательно, к ним можно применить субоптимальный алгоритм фильтрации Калмана.

x[k +1] = A[k ] x[k ]+ B[k ] + K[k +1] (ф +1] -

-H(A[k ] x[k ]+ B[k ])); (9)

K[k +1] = К^ + 1]И1 (HR[k + 1]И1 + D 0)-1 ;

R[k +1] = А^ ]R[k ]А1 ^ ],

л л

где х^] и x[k +1] - векторы оценок переменных состояния на ^м и ^+1)-м шагах соответственно.

Корреляционная матрица ошибок К^ +1] удовлетворяет рекуррентному уравнению

К^ +1] = (I - К^ + 1]Н) R[k +1],

где I - единичная матрица размера N^N.

Полученный алгоритм фильтрации (9) оказывается весьма эффективным для решения поставленной выше задачи оперативного принятия решения относительно структуры принимаемой ПСП (т. е. установления факта соответствия (или несоответствия) значений коэффициентов a1, a2,..., aN , задающих правило формирования принимаемой ПСП, значениям этих коэффициентов, определяющих соответствующий фильтр).

+

+

+

л

Для решения задачи в подобной постановке в качестве критерия идентификации будем использовать текущее среднеквадратическое отклонение (СКО) полученных оценок фильтрации от значений исходной (распознаваемой) последовательности. Как будет показано ниже, определение среднеквадратического отклонения уже для первых 2N значений оценок позволяет получить удовлетворительные результаты идентификации ПСП, в отличие от корреляционного приема, использование которого не обеспечивает в данном случае уверенного распознавания структуры заданной последовательности.

Эффективность использования предложенного подхода покажем на следующем примере.

Рассмотрим процедуру оценивания и последующего распознавания четырех различных псевдослучайных последовательностей с «памятью» N = 4.

Зададим начальный вектор переменных состояния для каждой из четырех последовательностей

x[1] =

а также отличный от него вектор начальных оценок

вектор соответственно равен ап=[1,1,0,0], аш=[0,1,1,0] и oIV=[1,0,1,0]).

" х 1[1] " " 0"

х 2 [1] 1

х з[1] 1

_х4 [1]_ _ 0_

x[1] =

х 1[1] х 2[1] х з[1]

Л

х 4 [1]

1,5 I 1

II 1 0

1,5

III 1 0

1,5

IV 1

J | 1 J Л Г * J ! D

и 21

ft i s й i з □ Sil ; Ф g

1 3 I n | i

0 2 4 6 8 10 12 14 16 ; □ □ ; ; ;

И к „ л □ ; Ф ^

й ft D t + * + 5 i i i i : i

" ; 1 ¥ ; 5 ф й ; " ;

0 2 4 6 8 10 12 14 16

! ! ! й Ф ! ! п

♦ 8 о

; й ( 3 ] ft □ f

i m □ □ ?

0 2 4 6 8 10 12 14 16

'_______________!________________!________________!_______________й_______________!_______________]________________!_______D_______

if i 0 : : : : Ф

j ft ft 5 г § ■ | ! t : 1 * ü

1 ffl i i □ 1

Определив далее начальное значение корреляционной матрицы ошибок для первой итерации рекуррентного алгоритма как R[1] = 0,25 I, проведем моделирование процесса фильтрации последовательностей для указанных выше начальных условий.

Дисперсию БГШ наблюдения примем равной В0 = 0,25 .

На рис. 1 показаны совмещенные в дискретном времени значения элемента вектора переменных состояния незашумленного сигнала х 1 [к], рассчитанные по алгоритму (9) значения оценок Х1 [к] и значения сигнала наблюдения 2 (соответственно 1, 2 и 3 на рис. 1) для одного периода каждой из четырех исследованных в работе ПСП (на рис. 1 обозначены соответственно как I- IV).

Временные зависимости I на рис. 1 соответствуют процедуре фильтрации ПСП максимальной длины, структура которой идентифицируется реализуемым фильтром (соответствующий ей вектор коэффициентов, задающих правило кодирования, был принят равным а=[1,0,0,1]. Для зависимостей II, III и IV этот

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Рис. 1. Результаты моделирования процедуры фильтрации псевдослучайных последовательностей I—IV

Важно отметить, что выбор начального вектора

оценок х[1], как показали результаты моделирования, практически не оказывает влияния на эффективность алгоритма оценивания последовательности.

Как было отмечено выше, для решения задачи оперативной идентификации структуры принимаемой ПСП оказалось достаточно использовать лишь первые 2N значений оценок, вычисленных с помощью полученного алгоритма нелинейной фильтрации.

На рис. 2 представлены полученные в результате моделирования зависимости sest = f (sobs) для четырех ПСП (кривые ^ГУ). Через sest обозначено среднеквадратическое отклонение первых 2N полученных оценок фильтрации от исходных значений распознаваемой последовательности I (далее - СКО оценок фильтрации), sobs - среднеквадратическое отклонение первых 2N значений наблюдаемого на фоне помех сигнала от значений этой же последовательности (далее - СКО сигнала наблюдения).

sobs

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

II

IV /.........

III / j

I

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 sest

Рис. 2. Графики зависимостей Sest = /(Sobs ) для последовательностей ^^

Проанализируем полученные зависимости, сравнив их с рассчитанными при моделировании процесса корреляционного приема значениями ненормализо-

3

0

0

ванных взаимных корреляционных функций ^) вышеуказанных дискретных сигналов наблюдения (последовательности 1-1У) и копии распознаваемой последовательности, воспроизводящейся на приемной стороне, для одного периода этой последовательности при различных значениях величины их относительного временного сдвига Т (рис. 3). Дисперсию БГШ сигнала наблюдения, как и в предыдущем случае, выберем равной D0 = 0,25 .

е

ii

i\i

ii

IV

-15 -10

-5

0

5

10

Рис. 3. Взаимные корреляционные функции последовательностей I—IV

На представленном рисунке обозначения кривых I, II, III и IV имеют аналогичный смысл, что и для зависимостей, приведенных на рис. 2.

Как видно из рис. 3, отсутствие у взаимокорреляционной функции (ВКФ), построенной для случая наблюдения на фоне помех распознаваемой последовательности (зависимость I), сколько-нибудь явно выраженных пиков, позволяющих обеспечить решение задачи идентификации ПСП заданной структуры (по отношению к ВКФ, рассчитанных для случая приема остальных исследованных в работе последовательностей (зависимости II—IV)) делает использование такого подхода, в данном случае, малоэффективным.

Выводы

Итак, основываясь на результатах анализа всех вышеприведенных временных зависимостей, можно заключить, что полученные за половину периода распознаваемой ПСП значения СКО оценок фильтрации, основанной на полученной линейной рекуррентной модели последовательности (8), позволяют с высокой степенью надежности обеспечить ее распознавание, и, тем самым, решить задачу идентификации ее структуры.

Кроме того, предлагаемый подход за счет использования методов теории калмановской фильтрации обладает большей общностью по сравнению с известными методами, основанными на использовании свойств согласованных фильтров и ориентированными на фильтрацию только стационарных сигналов, так как его использование может быть легко обобщено и на широкий класс нестационарных процессов и сигналов.

Отметим, однако, что, как показали результаты моделирования, надежность принятия правильного решения о виде структуры ПСП с уменьшением отношения «сигнал-шум» на входе фильтра постепенно снижается, и при значении дисперсии БГШ наблюдения D о ~ 0,38 вероятность неправильного распознавания становится уже довольно значительной.

В то же время значение этого порога, как было установлено в ходе экспериментов, может быть значительно увеличено за счет дальнейшего уточнения предложенной дискретной модели псевдослучайной последовательности, а также более тщательного подбора начальных условий для алгоритма нелинейного дискретного фильтра.

Литература

1. Варакин Л.Е. Теория систем сигналов. М., 1978.

2. Соловьев Ю.А. Спутниковая навигация и ее приложения. М., 2003.

3. Иванова М.А., Чугункова И.В. Теория, применение и оценка качества генераторов псевдослучайных последовательностей. М., 2003.

4. Частиков А.В., Петров Е.П., Прозоров Д.Е. Методы фильтрации шумоподобных сигналов, сформированных на рекуррентных псевдослучайных последовательностях максимального периода // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. №5. С. 553-557.

5. Ярлыкова С.М. Математические модели принимаемых

шумоподобных сигналов в спутниковых системах мобильной связи с кодовым разделением каналов // Радиотехника. 2002. №12. С. 27-35.

6. Изерман Р. Цифровые системы управления. М., 1984.

7. Хуторцев В.В, Соколов С.В., Шевчук П.С. Современные

принципы управления и фильтрации в стохастических системах. М., 2001.

8. Тихонов В.И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М., 1991.

Ростовский государственный университет путей сообщения

13 марта 2008 г.

8

2

0