CC BY
12
УДК 511.176
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПСЕВДОСЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА ОСНОВЕ МНОГОМЕРНОГО КОНЕЧНОРАЗНОСТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
© 2008 г. П.А. Кучеренко, Р.А. Юнусметов, А.В. Ганжа
For the first time the multidimentional nonlinear difference equation representation of an arbitrary pseudo-random sequence (PRS) is obtained. On the basis of such representation
Все большее распространение в самых различных областях практической деятельности человека находит использование псевдослучайных последовательностей (ПСП). Особое внимание уделяется такому классу, как рекуррентные последовательности максимального периода, или М-последовательности. Они могут быть получены при помощи генератора псевдослучайных кодов, последний - на основе регистров сдвига с линейными обратными связями. Такие последовательности успешно применяются в системах радиолокации, связи, защиты информации и др. [1-4]. В связи с этим получение математической модели указанных ПСП, удобной для последующего ее использования с целью улучшения характеристик, построенных на ее основе систем, представляется весьма актуальным.
Синтез многомерной математической модели псевдослучайной последовательности
Для генерирования ПСП используют регистр сдвига, в который определенным образом вводится обратная связь, создаваемая на основе сумматоров по модулю 2 [2].
На рисунке приведена схема «-разрядного регистра сдвига для генерации линейной рекуррентной последовательности максимального периода с сумматорами по модулю 2, подключенными к выходу каждого из разрядов регистра сдвига.
Сформированную по заданному рекуррентному правилу ПСП можно представить в виде модульного разностного уравнения [4]
у[А'] = аху{к - и] © а2у[к - п +1] ©... © а„у[к -1] (1) или при использовании «восходящей» разностной схемы (рисунок)
у{к + и] = щу[Щ © а2у[к +1] ©... © апу[к + п -1], (2) где у[к] - значение генерируемой последовательности на к-м такте (принадлежит алфавиту 0={0,1}); а - коэффициенты, задаваемые правилом кодирования (также принадлежат алфавиту 0={0,1}); п -«память» последовательности. (Операции сложения и умножения в уравнениях (1), (2) производятся по модулю 2).
Известно [5], что любой нелинейный сигнал, зависящий от произвольного конечного числа предшествую-
Генератор псевдослучайных последовательностей разрядности п
щих значений, всегда можно описать как векторный процесс, представив его в виде системы разностных уравнений 1-го порядка. В рассматриваемом случае система уравнений будет иметь размерность, равную «памяти» последовательности п.
Введем следующие переменные состояния: у[к ] = х^к ]
у[к +1] =Х2[к ] =Х][к +1]
у[к + 2] = х3[к ] =х2[к +1]
(3)
y[k + n-1] y[k + n]
= *n-i[k +1] = xn [k +1].
= хп [к ] = хп+1[к ]
Перепишем последнее уравнение системы (3) с учетом (2). Тогда у\к + п | = хп [к +1] = Хп+1[к ] = = [А'] © а2х2 [А'] ©... © апхп [А']. Представим соотношения (3) в виде следующей системы уравнений: х1 [к +1] = х2 [к ] х2 [к +1] = х3 [к ] х3 [к +1] = х4 [к ]
(4)
хп[к +1] = а1х1[к]©а2х2[к]©...©апхп[к],
которую можно записать в форме векторного разностного уравнения
x1[k + 1] 0 1 0 . .. 0 Xl[k ]
x2^ + 1] 0 0 1 . .. 0 x2^ ]
= . (5)
■ 0 0 0. .. 1
_xn№ + 1] a1 a2 a3 . .. an xn [k ]
Отметим, что на данном этапе все операции сложения и умножения в уравнении (5) производятся по модулю 2.
Принадлежность значений генерируемой последовательности х1 [к] и коэффициентов а1 к алфавиту 0={0,1} позволяет представить операцию сложения по модулю 2 через обычные арифметические операции следующим образом: © аг+1хг+1[&] =
Тогда последнее уравнение системы (4) можно представить в виде
хп[к +1] = V а1 х11А'| + Ф(Л',! |А'| ■ Л',^ | Л' | ■... • х, [к],г = 2..п) , где
n
г=2
Ф(хг1 [к] -xl2[k]-...- xir [k],r = 2..«)
n-(r—V)l n—(r— 2)
(-2У
z
'1=1
12 =Z1 +1
i i-xh[k]-xl2[k}-..,xlr[k]\
»V-1+1 )
Здесь а - постоянный коэффициент на очередном шаге вычислений, определяемый соотношением
а = я, -я, •...• я, .
Ч г2 V
Окончательно система уравнений (4) принимает следующий вид:
х-1 [к +1] = Х2 [к ]
Х2 [к +1] = Х3 [к Х3 [к +1] = Х4 [к ]
(6)
Хп [к +1] = Е а1 Хг [к] + Ф(Хц [к] • х^ [к]•...• х^ [к],
1= 1
г = 2..п).
Таким образом, получена многомерная нелинейная математическая модель произвольной ПСП. Однако нелинейность, присущая полученной модели, может в ряде случаев накладывать некоторые ограничения на ее использование из-за существенного усложнения вычислительного процесса, что в свою очередь требует дополнительных аппаратурных затрат и делает применение такой модели нецелесообразным. В то же время в конкретном случае использования модели указанные ограничения можно частично преодолеть, воспользовавшись существующими способами линеаризации нелинейной функции, входящей в последнее уравнение системы (6). В этой связи получим линейную относительно переменных состояния х1 ( г —1,2. л ) модель последовательности применитель-
но к часто встречающейся на практике задаче нахождения оценок дискретных информационных параметров (например, в радиолокации, системах телекоммуникации и др.).
Для этого линеаризуем нелинейную функцию Ф(хг1 [к\ ■ х,2 [к] •... • хг [к], г = 2. .и) , которая входит в
последнее уравнение системы (6), используя разложение в ряд Тейлора.
Предположим, что удалось найти достаточно точные оценки элементов вектора переменных состояния
А А
Х^ [к],х^ [к],...,х1 [к]. Разложим функцию х^ [к],
х^ [к]) = xil [к] ■ х,2[к] ■...• х^ [к] в ряд Тейлора в
окрестностях этих оценок и ограничимся в нем только линейными членами:
5(хч [к],хн [к],...,х1г [к]) =
л л
= \ [к] • xh [к]•...• xir [к] ~ s(xh [к], xh [к],...,x^ [к]) +
л л
ds(xh [к],xH [к],...,xv [к])
dxh [к ]
л л л
ds(x, [к],x, [к],...,x, [к])
Ex, [к]
(xu [к]-x, [к]) + ...+
(x, [к]- x, [к]) =
лл
= (1-r)-xh [к]• xh [к]-...-x,r [к] +
л л
+ xix [к] • xj2 [k\...-xir[k~\+...+
л л л л
+ Xj. [к]■ хч [к}...-xlj X [к]-xlj+i [к]-...-х,г [к]+
•j- 1
л
(7)
+ х1г[к]-хч[к\...-х1г х [к].
Учитывая (7), обозначим сумму произведений различных оценок при Х1[к],Х2[к],...,хп[к] соответст-
( А А Л ( Г' А А Л
венно как Г,
x2[k xn[k ]
x1[k], x3[kxn[к]
x1[k L.. xn- 1[к ]
а свободный член уравнения -
у
Л Л
как Г
x1[k ] x2[к ],... , xn
[к]
Используя введенные обозначения, представим выражение (6) в векторной форме
x1[k +1]
x2[^ 1] =
xn[k +1]
0 1 0 0 0 1
0 0 0 Ü2
Xl[k ] X2[k ]
xn [к ]
/\
л
/\
л
/\
/\
2
/\
/\
/\
+
1
a
n
г1 х2[к ],..., хп[к]
Tj xi[к],...,xj_i[к],xJ+1[к],...,х„[к]
xi[k ] Х2[к ]
( л
xn-1
[к ]J
0 0
xj [к ]
xn [к ]
J
А А \
Хl[k ], Х2[k ],..., Хn[k ]
x^ ] x1^ + 1]
x2 [к ] ; х[к +1] = x2^ + 1]
xn [к]_ xn [к +1]
х[к ] =
А[к ] - сумма матричных коэффициентов в урав-
л
нении (8) при х[к], зависящая только от оценок х[к]; свободный член уравнения - В[к].
Тогда окончательно (8) можно представить в виде х[к + 1] = А[к]-х[к] + В[к].
Итак, изначально полученная нелинейная модель произвольной ПСП (6) представлена в виде линейного реккурентного векторного уравнения первого порядка.
Литература
(8)
1. Ярлыкова С.М. // Радиотехника. 2002. № 12. С. 27-35.
2. Иванова М.А. Теория, применение и оценка качества генераторов псевдослучайных последовательностей. М., 2003.
3. Соловьев Ю.А. Спутниковая навигация и ее приложения. М., 2003.
Обозначим векторы переменных состояния на к-м 4- Варакин Л.Е. Теория систем сигналов. М.. 1978. и (к+1)-м шагах через х[к], х[к +1]. 5- Изерман Р. Цифровые системы управления. М., 1984.
Ростовский государственный университет путей сообщения
21 февраля 2007 г.
+
+
Л
