CC BY
64
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Biham E., Shamir A. Differential Cryptanalysis of the Full 16-round DES, Crypto'92, Springer-Velgar, 1998. - P. 487.
2. Biham E., Shamir A Differential Cryptanalysis of DES-like Cryptosystems, Extended Abstract, Crypto'90, Springer-Velgar, 1998. - P. 2
3. Kelsey J., Schnier B., Wagner D., Key-Schedule Cryptanalysis of IDEA, G-DES, GOST, SARER, and Triple-DES // http://www.schnier.com - 1996.
4. . ., . . -
28147-89 // -
риалы К Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность». Ч. 2. - Таганрог: Изд-во: ТТИ ЮФУ, 2007 - С. 92-97.
5. Saarien M.-J. A Chosen Key Attack Against the Secret S-boxes of GOST // http://www.rn.-js.com - Helsinki University of Technology, Finland.
6. .. . . - .: -Петербург, 2009. - 576 с.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.
Бабенко Людмила Климентьевна
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, . , . , 2.
.: 88634312018.
Кафедра безопасности информационных технологий; профессор.
Ищукова Евгения Александровна
E-mail: [email protected].
Тел.: 88634371905.
Кафедра безопасности информационных технологий; доцент.
Babenko Lyudmila Klimentevna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
2, Chekhov Street, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634312018.
The Department of Security of Information Technologies; Professor.
Ischukova Evgeniya Aleksandrovna
E-mail: [email protected].
Phone: +78634371905.
The Department of Security of Information Technologies; Associate Professor.
УДК 519.7
С.А. Диченко, АЖ. Вишневский, О.А. Финько
РЕАЛИЗАЦИЯ ДВОИЧНЫХ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЛИНЕЙНЫМИ ЧИСЛОВЫМИ ПОЛИНОМАМИ
Разработан алгоритм распараллеливания генерации псевдослучайных двоичных последовательностей (ПСП) на основе представления систем порождающих рекуррентных логических формул посредством линейных числовых полиномов. Линейные числовые полиномы, в отличие от общей (нелинейной) формы, обеспечивают высокую скорость вычислений. «Арифметизация» генераторов ПСП позволяет применить известные арифметиче-
ские коды (например, AN-коды, коды системы остаточных классов) для контроля процесса генерации ПСП. Параллельная реализация генератора ПСП в сочетании с перспективными возможностями контроля ошибок вычислений позволяет строить высокопроизводительные и безопасные средства криптографической защиты информации.
Псевдослучайная последовательность; линейный числовой полином; арифметический полином; криптография; шифры; шифрующая гамма.
S.A. Dichenko, A.K. Vishnevsky, O.A. Finko
IMPLEMENTATION OF BINARY LINEAR PSEUDORANDOM NUMERICAL
POLYNOMIALS
An algorithm for parallel generation of pseudorandom binary sequences (PS) on the basis of representation systems generating recurrent logical formulas by means of numerical linear polynomials. Linear numerical polynomials, in contrast to the general (nonlinear) form, provide high-speed computing. "Arithmetization" Generator PS allows you to apply well-known arithmetic codes (eg, AN-codes, the system of residual classes) to control the generation of the PS. Parallel implementation of the PS generator coupled with promising error control capability allows you to build high-performance computing and secure means of cryptographic protection of information.
Pseudorandom sequence; numerical linear polynomial arithmetic polynomial; cryptography; ciphers encrypting range.
Введение. Генератор псевдослучайной последовательности (ПСП) имеет важнейшее значение для различных криптоалгоритмов и систем генерации ключевого материала [1-4]. Ужесточение требований к скорости шифрования и увеличение объема защищаемой информации вызывает необходимость построения параллельных алгоритмов генерации ПСП [1-6]. Наиболее распространенными и проверенными практикой являются алгоритмы генерации ПСП, основанные на рекуррентных логических выражениях и неприводимых полиномах [1-4].
В частности, регистр сдвига с обратной связью длины r, реализующий дан, r , ( -
ное) состояние (a0,...,ak,...,arч ^). После первого такта работы регистр сдвига выдаст a0 и перейдет в состояние (ах,..,ar), где ar = ai = ai+k_r ©ai_r. Про, , -ность {ai} i >0 [2].
Общий вид регистров сдвига с обратной связью показан на рис. 1.
Рис. 1. Общий вид регистра сдвига с обратной связью
Цель статьи - распараллеливание алгоритма генерации ПСП с использова-.
Рассмотрим характеристическое уравнение тринома
Б( х) = хг + хк +1, (1)
где г - степень тринома, г Е N , г > 3, 1 < к < г — 1, к £ N , которое имеет вид
а = а+к—г ® а—г, (2)
где а, а+к—г, а—г £ {о,1}, г >г, г£ N.
, г
(г + г + г — 1) примет вид
а = а.+к _г © а. _г, а,.+1 = а+к _г+1 © а _г+1,
где
к
а.
7 -г+1
а+г-і = а+к -і © а -і.
а,-1] - вектор начальных условий, [а, а.
+1
а.
(3)
-і]
- вектор участка ПСП, ак £ {0,1},к = г — г + 1,...,г + г — 1.
Выразим правые части системы (3) через заданные начальные условия:
а = аг+к—г © а
а,-+1 = а+к-г +1 © а
І - г + 1,
(4)
а,+г-1=©й-г<?а
где £г принадлежит «0» или «1» в зависимости от вхождения в формулу а{.
Представим систему (4) как систему г - булевых функций (БФ) от г - пере-
менных:
/і (а-г. а-г+і..... а-і) = а+к - г © а.
I - г.
+і (аі-г.а, - г+і..... а -і) = а+к -г+і © а
(5)
+г -і(а,-г. а-г+і..... а,-і) = ©і=1 - Г8г
Используем правило представления БФ в базисе й = {©.1} посредством одного ЛЧП [7-9]:
п п
/(Уі.У2.....Уп) = ©У, ^ Р(Уі.У2.....Уп) = ^ Уі.
і=і і=і
где результат вычисления БФ /(у1. у2..... уп) соответствует значению младшего
разряда двоичного представления результата вычисления Р( уі. у2..... уп).
(5) :
Рі (аі-г. аі-г+1.....аі-1) = аі+к-г + аі-г.
Рі+1(аі-г.аі—г+1.....аі-1) = аі+к-г+1 + аі-г+1. (6)
Рі+г-1(аі-г. аі -
г +1
і-1) = Х =-Г8Л
где Р (а,-г . аІ - г+1..... аі -1) соответствует /(а,-г.а,-г+1.....а,-1) системы булевых функций (5). у = І.І +1.....І + г -1.
І — г
(6) :
Р (а,-г.а,-г+1.....а, -1)=2,=1г а.
Pi+1(аi—г . а,-г+1..... аі-1) = =І-г «І + 1.,'
(7)
Р+г-1(аі-г . аі-г+1..... аі-1) = 2,=І-г «І + г-1.А .
где 9у, принимает значение « 0» или «1» в зависимости от вхождения ву-й ЛЧП а,.
Из формулы (7) следует. что результат вычисления у-го ЛЧП системы (7) можно представить двоичным машинным словом длины
= , . ^І-1
у
+ 1.
, г -
мы (7) в одном машинном слове необходимо произвести сдвиг влево результата вычисления у -го ЛЧП на количество разрядов, занимаемых результатами вычис-
, , (7).
(7)
Н(аг—г, аг—г+1 ^.^ аг—1) = Р{(а{—г, а(—г+1,..., аг—1) + г + г —1
+Х 2Л*Р(аі-г . аі-г+і..... аі-і ) =
8і. І-гаі-г + ... + «І. І-іаі -і+ ... +
>Л'+г-і „ а. +... + 2А+Г-1 9., .. .а. ,
о, + г-і.І-г І-г Оі + г-і.І -і І -і
(8)
= й; „а ,.+ <-г+іаі-г+і+... + 4-іаі-і.
І-г І-г
где А =
А = (Іу +і). є 2. , = І-г.І-г +1.....І -1.
Пример.
На рис. 2 представлен комбинирующий рекуррентный регистр сдвига (ЬББИ), охваченный логической обратной связью (обратная связь реализуется через сумматор по модулю два) [4]. Рассмотрим ЬББИ на 22 бита:
Рис. 2. Комбинирующий рекуррентный регистр сдвига
Образующий трином имеет вид
О(х) = х22 + х + 1 характеристическое уравнение:
а1 = а1-2\ ® а1 -22.
Система характеристических уравнений участка ПСП длины г имеет вид
а — а _ 21 © а _22,
а
'і +1
і+2
: аі _20 © аі _21, - аі_і9 © аі_20,
аі+3 аі _18 © аі _19 , аі+4 — аі _17 © аі _18,
а+5— а _16 © а ^
- — а _15 © а _^
+6
а+7— а _14 © а _^
а
+8
■ аі_1з © аі_14,
аі+9 — аі_12 © аі_13, а+10 — аі_11 © аі_12,
а і+11 — а _1 0 © а і _11
аі+12 — аі _9 ©а 1 ■ -10,
а +13 — а _8 ©а _ _ 9,
а +14 — а і_7 ©а _ _ 8,
аі+15 — а _6 ©а _ _ 7,
а +16 — а _5 ©а _ _ 6,
а і+17 — а _4 ©а _ _ 5,
аі+18 — а _3 ©а _ _ 4,
а +19 — а _2 ©а _ _ 3,
а +20 — а _1 ©а _ _ 2,
аі+21 — а © 21 _ а _22
Запишем систему характеристических уравнений как систему БФ с выраженными правыми частями равенств через начальные условия:
Л (ai_22, ..., аі_1) = Л+1(аі_22, ..., аі_1 Л+2(аі_22, ..., аі_1
1’ і+3(аі_22, ..., аі_1 Л+4(аі_22, ..., аі_1 Л+5 (аі_22, ..., аі_1
Л+6 (аі_22, ..., аі_1
Л+7 (аі_22, ..., аі_1 1 і+8(аі_22, ..., аі_1 Л+9(аі_22, ..., аі_1 1 і+10(аі_22, ..., аі_1
Ч_21 © аі_22,
а.
— аі — аі
— а,
—а
— а
— а.-15
— а _14 © а
—а —а
)— аі_11 © аі_
і_20 © аі_21, і_19 © аі_20,
і_18 © а і_19, і_17 © аі_18, і_16 © аі_17, і_15 © аі_16,
_13 © а _14, _12 © а _13,
11 _12
Получим систему ЛЧП:
Л+11(аі_22, ..., аі_ Л+12(аі_22, ..., аі_
Л+13(аі_22, ..., аі_ Л+14(аі_22, ..., аі_ Л+15(аі_22, ..., аі_
Л+16(аі_22, ..., аі_
1 і+17(аі_22, ..., аі_
Л+18(аі_22, ..., аі_
Л+19(аі_22, ..., аі_
Л+20(аі_22, ..., аі_ 1 і+21(аі_22, ..., аі_1
і_10 © аі_11,
—а —а
— а_8 © aї_9,
— аі_7 © aї_8,
—а
— аі_5 © а^
— аі_4 © aї_5,
—а
— аі_2 © aї_3,
— а _1 © а _2,
— а і_21 © аі_22 © аі_1
_9 © а _10,
1 і_6 © аі_7,
іі_з © aї_4,
а1-21 + а1-гг,
= а1-20 + а1-21, = а1-19 + а1-20, = а{-1& + а1-19, = а1-17 + а 1-18, = а1-\б + а1-Ц,
= а.
1-15
1-14
+ а■
V
+ а-
-16*
-15’
= а1-13 + а1-14, = а1-12 + а1-13,
= а-11 + а1-12>
р+11(а р+12(а р+ 13(а р+ 14(а р+15(а р+16(а р+17(а р+ 18(а р+ 19(а р+20(а р+21(а
р (а;-22,..., а-0 р+1(а1-22, ..., а1-р+2(а1-22, ..., а1-р+3(а1-22, ..., а1-р+4(а-22,..., а1-р+5(а1-22>..., а1-р+6(а1-22, ..., а1-р+7(а 1-22, ..., а1 р+8(а1-22, ..., а1-р+9(а1-22, ..., а1-р+10(а1-22, ..., а,
Получим ЛЧП:
Н (а1-22,..., а1-1%) = (4 10 + О6 а1 - 22 + (4 10 + 5 )16 а1-21 + (14 \б а1-20 +
+ (50 )16 а{_19 + (140 )16 а1-18 + (5 ' I0 )16 а1-17 + (4 ' 10 )16 а{-16 +
+ (5 • 103) а!_15 + (14 • 103) а!_и + (5 -104 ) а!_и + (14 -104 ) а!_и +
+ (5 • 105) а!_11 + (14 • 105) а!_ю + (5 • 106) а!_9 + (14 • 106) а!_8 +
+ (5 • 107 ) а._7 + (14 • 107 ) а._6 + (5 • 108) а._5 + (14 • 108 ) а._4 +
+ (5 • 109) а,■ -з + (14 • 109) а,.-2 + (5 • 1010 ) а,.^,
где запись (...)16 означает запись в 16-ричной системе счисления.
Пусть а!-22 = 1 , а1-2\ = ^ , а1-20 = ^ , а1-19 = ^ , а 1-1& = ^ , а1-П = ^ , а1-16 = ^ ’
-22, -22, - 22, - 22, - 22, -22, -22, - 22, - 22, -22, -22,
= а■ -10 + а 1-11, = а■ -9 + а1-ю, = а 1-8 + а 1-9,
= а 1 -7 + а 1 -8,
= а 1 -6 + а 1 -7,
= а 1 -5 + а 1 - 6,
= а 1 -4 + а 1 -5,
= а 1 -з + а 1 ^
= а 1 -2 + а1 -3,
= а 1 -1 + а 1 -2,
а
а
а-
= 0, а-10=1, а:
■1-9 =0, а1-&=0,
' 1-11 ^ ^ 1-10
а1-1 = 0 , а1-6 = 1 , а1-5 = 0 , а1-4 = 0 , а1-з = 0 , а1-2 = 0 , а1-1 = 1.
Тогда
Н =(4 Л#0 +1) Л + (4 •Ю10 + 5) • 0 + (14)16 • 0 + (50)16 • 0 + (140) • 0 +
+ (5 Л02) ^1 + (14 Л02 • 0 + (5 Л0 • 0 + (14 Л0 • 0 + (5 Л04• 0 +
+ (14 Л04• 0 + (5Л05• 0 + (14 ^1 + (5Л06• 0 + (14•Ю6• 0 +
+ (5-107 ^6 • 0 + (14-107 ^6 Л + (5 •Ю8^6 • 0 + (14 •Ю8^6 • 0 + (5 •Ю9^6 • 0 +
+ (14 • 109 )6 • 0 + (5 • 1010 )6 Л = (90141400501)16 =
= (1 00 10000000 10 100000 101 0000
^ 1+21 ^ 1+20 f¡ +19 f¡ +18 ^ 1+11 ^ 1+16 ^ 1+15 f¡ +14 f¡ +13 1* 1+12 1* 1+11 1* 1+10 ^ 1+9
000000010 10000000 1)2.
1 1+8 1\+7 1 1+6 1 1+5 1 1+4- 1 1+3 1 1+2 1 1+1 1 1
,
фрагмент ПСП длины г. В табл. 1 представлен пример для начальных условий:
а ¡—22 =1, а ¡-?^ = 0, а 1-20 =0, а1-19 = 0, а ¡-^R =0, а •'-м =1, а 1 -16 =0 а 1--15 =0,
аі-14 О, аі_ї2 0’ аі_11 0’ аі_10 1’ аі-9 О’ аі_% О, аі_1 О,
аі-6 = 1 ’ аі_5 = 0 ’ аі_4 = 0 ’ аі_3 = 0 ’ аі_2 = 0 ’ аі_1 = 1.
Таблица 1
Таблица истинности для тринома 0( х) = X22 + X +1
№ такта аі _1 аі_2 аі_3 аі_4 аі_19 аі _ 20 аі _21 аі_22 Выходная послед-ть Іп
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 /і_22
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1і_21
2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 і_20
3 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1і_19
4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 Іі_18
5 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1і_17
6 1 1 0 0 0 0 0 0 0 Іі_16
7 0 1 1 0 0 0 0 0 0 Іі_15
8 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1і_14
9 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Іі_13
10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1і_12
11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Іі_11
12 1 0 0 0 0 0 0 1 1 Іі_10
13 1 1 0 0 1 0 0 0 0 Іі_9
14 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 _8
15 0 0 1 1 0 0 1 0 0 І _ 7
16 1 0 0 1 0 0 0 1 1 І_ 6
17 1 1 0 0 0 0 0 0 0 І _5
18 0 1 1 0 1 0 0 0 0 І _4
19 0 0 1 1 1 1 0 0 0 І _3
20 0 0 0 1 0 1 1 0 0 /і_2
21 1 0 0 0 0 0 1 1 1 І _1
22 0 1 0 0 0 0 0 1 1 І
23 1 0 1 0 1 0 0 0 0 Їі+І
24 0 1 0 1 1 1 0 0 0 їі+2
25 0 0 1 0 0 1 1 0 0 їі + 3
Окончание табл. 1
№ такта —1 а-2 а—3 Щ—4 а1 —19 а1—20 а1—2\ а1—22 Выходная послед-ть /п
26 1 0 0 1 0 0 1 1 1 /¡+4
27 0 1 0 0 0 0 0 1 1 /!+5
28 1 0 1 0 0 0 0 0 0 /!+6
29 0 1 0 1 0 0 0 0 0 /+7
30 0 0 1 0 1 0 0 0 0 /г +8
31 0 0 0 1 1 1 0 0 0 /1+9
32 0 0 0 0 0 1 1 0 0 /1+10
33 1 0 0 0 0 0 1 1 1 /1+11
34 0 1 0 0 1 0 0 1 1 /¡+12
35 1 0 1 0 1 1 0 0 0 /1+13
36 0 1 0 1 0 1 1 0 0 /г+14
37 1 0 1 0 0 0 1 1 1 /¡+15
38 0 1 0 1 0 0 0 1 1 /¡+16
39 1 0 1 0 1 0 0 0 0 /г+п
40 0 1 0 1 0 1 0 0 0 /¡+18
41 0 0 1 0 1 0 1 0 0 /¡+19
42 1 0 0 1 0 1 0 1 1 /i+20
43 1 1 0 0 0 0 1 0 0 /¡+21
Преимуществом представления систем характеристических уравнений посредством ЛЧП является небольшая длина ЛЧП
L(Б(х)) = п,
которая определяется количеством слагаемых, и всегда равна количеству переменных, в отличие от сложности системы булевых формул, определяемой их длиной.
Длина булевой формулы С(/ (х)) определяется количеством вхождений в булеву формулу переменных.
Подсчитав общее количеством вхождений переменных во все булевы формулы системы (5), можно определить СЛОЖНОСТЬ С( ^ (х)) системы (5).
Таким образом, сложность системы БФ (5) при п = 2Ь и 1 < к < П —1,
2
п — 1
п = 2Ь +1 и 1 < к <---- определяется выражением С(F (х)) = 2(п — к) + 3к .
На рис. 3 демонстрируется зависимость выигрыша от представления систем характеристических уравнений посредством ЛЧП для заданного к и длины участка генерируемой ПСП п :
С (Р (х))
V =■
L( П(х))
Рис. 3. Оценка выигрыша представления системы характеристических уравнений
посредством ЛЧП
Полученный выигрыш от представления систем характеристических уравнений посредством ЛЧП будет равен V > 2.
Для условий п = 2Ь и к = П определяется выражением с(Р(х)) = 3п.
2 2
На рис. 4 демонстрируется зависимость выигрыша от представления систем характеристических уравнений посредством ЛЧП для заданного к и длины участка генерируемой ПСП п :
С (Р(х))
V =■
ЦП(х))
Рис. 4. Оценка выигрыша представления системы характеристических уравнений
посредством ЛЧП
Полученный выигрыш от представления систем характеристических уравнений посредством ЛЧП будет равен V = 1,5.
Для условий п = 2Ь, п = 2Ь +1 и к = п —1 определяется выражением
п ^ 3п — 4 С (Е (х)) = п п .
На рис. 5 демонстрируется зависимость выигрыша от представления систем характеристических уравнений посредством ЛЧП для заданного к и длины участка генерируемой ПСП п :
С (Е (х))
V =■
Ь( Я(х))
10 V
8
6 п
X У ' 1 10 15
Рис. 5. Оценка выигрыша представления системы характеристических уравнений
посредством ЛЧП
Полученный выигрыш от представления систем характеристических уравнений посредством ЛЧП будет равен V > 3.
Вывод. Таким образом, разработан метод распараллеливания алгоритма генерации ПСП на основе представления систем булевых функций числовыми фор-( ), , -ки. Данный метод является эффективным для реализации скоростных криптогра-
( , ).
Кроме того, как показано в [8], для числовых методов легко реализовать контроль ( ) -быточных арифметических кодов (например, А^кодов, кодов системы остаточ-.), -сти функционирования средств криптографической защиты информации.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Баб аш А.В., Шанькин ГЛ. Криптография / Под ред. В Л. Шерстюка Э.А. Применю.
- М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2007. - 512 с.
2. Тилборг. Основы криптологии. - М.: Мир, 2006. - 472 с.
3. Шнайер Б. Практическая криптография. - М.: Вильямс, 2005. - 424 с.
4. . . : / . .:
Пер. с англ. под ред. АЛ. Берлина. - М.: Интернет-Университет Информационных Тех: . , 2010. - 784 .
5. . ., , . .
арифметико-логическими полиномами // Теория и техника радиосвязи. - Воронеж, 2011.
- № 1. - С. 32-36.
6. . ., . .
полиномами // V Международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления» (РАС0-2010). - М., 2010.
7. Малюгин В.Д. Параллельные логические вычисления посредством арифметических полиномов. - М.: Физматлит, 1997. - 192 с.
8. Финько O.A. Модулярная арифметика параллельных логических вычислений. - М.: ИПУ РАН, 2003. - 224 с.
9. Yanushkevich S., Shmerko V., Lyshevski S. Logic design of nanoICs. - CRCPress, 2005.
Статью реомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.Н. Марков.
Диченко Сергей Александрович
Филиал Военной академии связи (г. Краснодар).
E-mail: [email protected].
350035, . , . , 4.
Тел.: +79618588866.
Адъюнкт очной адъюнктуры.
Вишневский Артем Константинович
E-mail: [email protected].
.: +79181811798.
Адъюнкт очной адъюнктуры.
Финько Олег Анатольевич
E-mail: [email protected].
Тел.: +79615874848.
.
Dichenko Sergey Alexsandrovich
Branch of the Military Academy of Communications (Krasnodar).
E-mail: dichenko.sa @yandex.ru.
4, Krasina, Krasnodar, 350035, Russia.
Phone: +79618588866.
Associate Postgraduate Full-time.
VishnevskyArtemKonstantinovich E-mail: [email protected].
Phone: +79181811798.
Associate Postgraduate Full-time.
Finko Oleg Anatolievich
E-mail: [email protected].
Phone: +79615874848.
Professor.
УДК 004.91
. . , . . , . . , . .
,
ВОЗДЕЙСТВИЯМ
Рассматривается устойчивая к ошибкам многоканальная криптосистема, которая при соответствующих условиях может быть использована и для построения устойчивой к ошибкам системы групповой электронной подписи, функционирующей в кольце положительных целых чисел по модулю p. Предложены решения, позволяющие обеспечить электронную подпись новым свойством самовосстановления с заданной вероятностью при различных деструктивных воздействиях на нее. По отношению к методам кратного дублирования достигается существенное уменьшение избыточности. Представлены оценки
.
Китайская теорема об остатках; модулярная арифметика; электронная подпись; .
