CC BY
17
МЕХАНИКА, МАШИНОСТРОЕНИЕ
удк 539.3 С.А. КОРНЕЕВ,
И.В. КРУПНИКОВ, с.н. ПОЛЯКОВ, В.В. ШАЛАЙ
Омский государственный технический университет
Сибнефтетранспроект
РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ НА ТРАЕКТОРИЯХ АКТИВНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАЛОЙ КРИВИЗНЫ
Разработан расчетно-экспериментальный метод, предназначенный для определения материальных параметров упругопластических материалов с изотропно-трасляционным упрочнением. Метод основан на ранее построенной двухуровневой математической модели поликристаллического тела. Базовыми экспериментами, позволяющими идентифицировать макромеханические определяющие соотношения, служат стандартные испытания образцов материала на одноосное растяжение.
Введение ными значениями предела текучести . Для изо-
Чтобы учесть поликристаллическое строение термических процессов деформирования пластичес-
металлов и сплавов, воспользуемся двухуровневой ки несжимаемых материалов мезомеханическиеопи-
математической моделью изотропныхупругопласти- сание включает в себя определение тензора
ческих материалов [1, 2], в которой элементарный необратимой (пластической) деформации [2] макромеханический объем тела представлен (на ме- V - \- \kl )
зоуровне) как совокупность структурных элементов ______ _ ' „„„
,г ' 1 г] л- и мезомеханические определяющие соотношения
с одинаковыми упругими характеристиками (моду- __ "
лем сдвига ц и модулем объемного сжатия К) и раз- Е" = Ё — Т/(2/г), Т = о1 + Т, о- = АГ 1г£ ,
т =
2//£-pF1, ÊV 0. Ê"
(2)
ЗдесьI—единичный тензор, £с — некоторый тен-зор-девиатор, характеризующий остаточную деформацию структурного элемента при упругой разгрузке, ||а|| = ^/tr(A • Аг) - норма тензора А.
Знак «Л» сверху означает, что соответствующая величина относится к данному структурному элементу с конкретным значением деформационного предела текучести ер = av/(2fj), знак «-» указывает на девиатор тензора, точка сверху обозначает полную производную по времени. При i" * 0. имеет место пластическое деформирование, а при е" = 0 — изоплас-тическое деформирование структурных элементов. Статистическое распределение пределов текучести характеризуется функцией распределения которая посредством выражения d4>(.ep )= <p(ef)&£p определяет долю структурных элементов с деформационным пределом текучести, значения которого лежат между Ер и ер + dfp. По условию нормировки
о
Интегральная функция распределения
4р)= КР К
(4)
имеет значения ф(о) = 0 , Ф( оо 1 = 1, так как в общем случае О < е < оо . Мезомеханическая модель замыкается формулами осреднения [2]
СО ®
£ = Ê , Т = JT<р{е^е? , е* = Jê>(Cp)dep , (5)
о о
которые устанавливают связь между значениями тензора напряжений и тензора необратимой деформации на мезо- и макроуровнях. Первое равенство является условием Фойгта, которое предполагает однородное деформирование структурных элементов в пределах элементарного макроскопического объема тела.
Описание материалов на макроуровне строится на определении тензора необратимой деформации [2]
е' = 1-т/(2/|) (6)
и на макромеханических определяющих соотношениях
T = oI+T, <T = trT/3 = A:tiE,
Т =
2//(Е-ЕД £' = 0, Тр(Е,£",£,£",..) É" * 0.
(7)
кой Трр составляющих: ТР = ТР+ТР
тензор упругих (или дополнительных [3, 4]) напряжений определяется через скрытую энергию деформации у/{г') [2]:
Тр
= 2dy/(trE",trE")c„ + 3dy/(tr£",tTE")c„:
(10)
Макромеханические и мезомеханические соотношения являются термодинамически согласованными, если [2]
КрП'
т.
, '/' = fi jtr(Ê"y^(f:p)d£-p - 1Г(е"):
U
(И)
Здесь £с — некоторый тензор-девиатор, характеризующий остаточную деформацию при упругой разгрузке, когда Т = 0 и е" = 0. Зависимость Тр(е,£",£,£"....), описывающая изменение девиато-ра тензора напряжений при пластическом деформировании, складывается из упругой Тр и пластичес-
Для идентификации мезомеханической и макро-механической моделей необходим расчетно-экспериментальный метод определения материальных функций (Дер), ^(е") и Ер, основанный на аналитических зависимостях (1)-(11) и опытных испытаниях образцов материала. В настоящей статье решение данной задачи ограничено классом траекторий активного деформирования малой кривизны.
1. Преобразование мезомеханических определяющих соотношений
Преобразуем мезомеханические соотношения к виду, более удобному для проведения практических расчетов. С учетом (5) из (1) вытекает универсальная зависимость
' Т= 2//(Е-Е"), (12)
которая справедлива на всех режимах. Подставим (12) в нижнее соотношение (2), получим
Пе-£! = *„
£ = £
Е-Е" l|Ê-£"
(13)
Первое выражение (13) является деформационным условием пластичности, только при его выполнении может протекать режим пластического деформирования. Второе выражение (13) определяет закон изменения необратимой деформации. Чтобы конкретизировать его, надо взять производную от первого выражения (13) и учесть второе выражение (13). После несложных вычислений находим
£ = 1
Е-Е"
г: £
(14)
Подставив (14) во второе выражение (13), будем иметь (® — знак диадного умножения)
£ — £
£ — £
Е-Е"
Поскольку £
Е — £
>0, то, глядя на (14), приходим к
выводу, что при выполнении первого равенства (13) активное нагружение ( ё" > 0 ), нейтральное нагружение ( ||е"|| = 0 ) или разгрузка (переход от пластического режима к изопластическому режиму) будут происходить тогда, когда выражение (е -£")'■ Ё больше нуля, равно нулю или меньше нуля соответственно. В результате приходим к следующей записи закона изменения необратимой деформации структурных элементов:
(8)
По аналогии с законом сухого трения Кулона-Амонтонатензор пластических (или активных [3,4]) напряжений выражается через макромеханический деформационный предел пластичности Ер [2]:
£" = Я||Е-Ё"|-£р]/ф
);'tlM1l
Е-П
: Е
,(15)
1, ,v>0.
гДея(,)=|о;;-;о не»
— функция Хевисайда. При заданном законе изменения тензора деформации е(/) нелинейное дифференциальное уравнение (15) позволяет рассчитать закон изменения необратимой деформации £"(/), а
4-1
21
Tzz,n>
--------
f i
i I
0.0
0.1
Рис. 1. Экспериментальная диаграмма растяжения стали 19Г
затем по формуле (12) получить закон изменения девиатора тензора напряжений T(f).
2. Идентификация мезомеханической модели для простых процессов нагружения [5]
T = «re(,)F, ? = *„(<)•. (17)
Где <Уа, £а — алгебраические модули (значения) напряжения и деформации, Р = const — симметричный тензор-девиатор с единичной нормой. При активном нагружении из естественного состояния, когда £a(t)> 0 и Ё"(о)= 0, мезомеханическое соотношение (15) на основании (5) принимает вид
V = ^J:=saH^a-ef). (18)
Данное уравнение легко интегрируется: ГО, еа<£,
'•«
Дифференцируя третье уравнение (5) по времени, получаем
¿" = ]e>(ipK.
о
Отсюда в соответствии с (4), (16), (18) находим
=4MOdc, = <ф(0
Следовательно, со ссылкой на (4)
4-1
2-1
аа,П a
i
0.0
0.
0.1
0.
0.2
(20) (21)
Рис. 2. Диаграмма деформирования Оа - Е"а стали 19Г
Используя выражение (6), по которому совместно с (20)
<22>
формулам (21) можно придать другой вид:
1 &оа
1ц Аеа • 2/, Ле1 ■ (23)
Формулы (21)-(23) позволяют находить интегральную функцию распределения ф(ер), а по ней — функцию распределения <р\£р), если известна зависимость <Га=<*а{ЕХ
Из всех видов простого (пропорционального) нагружения наиболее часто при испытаниях реализуются опыты на одноосное растяжение сплошных или трубчатых образцов постоянного сечения. В этом случае [6]
-1 0 01
0 -1 0 0
Ы-7Г
, аа = -^2/3 Гя
(24)
Где Та, Еа - напряжение растяжения и осевая деформация, замеряемые в опытах.
В качестве примера рассмотрим сталь 19Г (модуль Юнга Е = 2.052*10" Па, коэффициент Пуассона у = 0.3)', которая используется для изготовления труб нефтепроводов. Имея экспериментальную диаграмму растяжения (рис. 1), по формулам (22), (24) строится диаграмма деформирования (рис. 2), Которая с высокой точностью аппроксимируется уравнением регрессии (<т, = 3.081*10вПа, а =814.47, п =9.825)
<х.=<т,( 1 + <Г. (25)
Ф i
r 1 1
! ! . ' i :
11!!
i : ! ;
i ep/e* 1
1
0.8 0.6 0.4 0.2 0
20
40 60 80 100
Рис. 3. Интегральная функция распределения стали 19Г
120
Уравнению (25) отвечает аналитическая зависимость ( es=as/(2fj) = 1.952* 10-э)
ей=е"я+е,(1 + (26)
Применив к (26) правило дифференцирования обратной функции, по формулам (21) определим интегральную функцию распределения ф(гр)и функцию распределения (»(г,,). Функция ф(гр) имеет дискретную составляющую со значением Ф0 =0.861 и непрерывную составляющую ф(гр) (рис. 3):
ф(гр)=ф0я(гр-г,)+ф(^р). (27)
Здесь Н(х) — функция Хевисайда (16). Зависимость (27) приводит к функции распределения
где $(х) — дельта-функция Дирака. Непрерывная составляющая отображена на рис. 4.
3. Идентификация макромеханической модели
Если скрытая энергия деформации ц* не зависит от третьего момента тензора необратимой деформации tre"s, либо эта зависимость пренебрежимо мала2, то тогда с учетом (10)
^ = ИИ). Т: = 2М И Е", М =
1
МИ)
2|И Ф11
( |Е"| = VtrE"2 ). (28)
Для простых процессов активного нагружения в соответствии с (19) и (11)
Ч>
- 4
Дифференцируя (29), получим
dу _ di// d^"
d|
= 2fi
de:
о
По формулам (5), (19)
to
¡к~£МерК = Я"4рК = Е"а .
(29)
(30)
(31)
о о
Подставив (31) в (30), со ссылкой на (26), (28) находим
М =
"МиГ'*"
(32)
-1
И хотя зависимость (32) получена для процессов простого нагружения, она справедлива и для процессов сложного активного нагружения, если, конечно, выполнено первое условие (28). Чтобы получить выражение для скрытой энергии деформации, достаточно проинтегрировать третье равенство (28) и учесть (32):
X
П
¥ =
а(«-1)
(33)
-н
Графики зависимостей (32), (33) представлены на рис.5ирис.6.
Значение макромеханического деформационного предела пластичности Ер описывается общей формулой (11). Однако для процессов простого нагружения проще использовать формулы разложения (8), (9) и второе равенство (28). Для указанного случая на основании (17), (20)
1
ч>
--------------- ^^ " 1 - - -
Рис. 4. Непрерывная составляющая функции распределения стали 19Г
1 1
■i 1
i м ! -4-.......... s ■ -............-
------- —.....- И
оо о. 0.1 п. п. г
Рис. 5. Модуль упрочнения стали 19Г
Рис. в. Скрытая энергия деформации стали 19Г
г п on on
Рис. 7. Деформационный предел пластичности стали 19Г
4-10
3 10
2 -10
1 -10
0
tr
о
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Рис. 8. Упругая и пластическая составляющие интенсивности тензора напряжений стали 19Г
сг, = 2Ме"а + 2/уЕ
(34)
Принимая во внимание (25) и (32), из (34) находим \ [я + а(п - 1
ЕР =
пи
ПТдГ
(35)
Зависимость (35) служит хорошим приближением для описания процессов активного нагружения, близких к простым (характер ее поведения проиллюстрирован на рис. 7). Формула (34) является разложением модуля (интенсивности) напряжений а., на пластическую составляющую <?1 = 2/Л^ и упругую составляющую <т° = 2Ме, для стали 19Г первая значительно больше второй (рис. 8). Изменение пластической (диссипативной) составляющей характеризует изотропное упрочнение стали 19Г, а изменение упругой составляющей — трансляционное упрочнение (эффект Баушингера).
4. Заключение
Испытания сплошных образцов на одноосное растяжение имеют большое распространение благодаря сравнительной простоте проведения опытов. Однако по одной диаграмме растяжения невозможно конкретизировать определяющие соотношения теории пластического течения материалов с изот-ропно-трасляционным упрочнением. Необходимы дополнительные, более сложные по своей реализации опыты, например, опыты на растяжение и последующее сжатие. Предложенный расчетно-экспе-риментальный метод, основанный на двухуровневой математической модели поликристаллического тела, позволяет определять материальные параметры уп-ругопластических материалов, располагая экспериментальной диаграммой растяжения. Получаемые таким образом макромеханические определяющие соотношения предназначены для описания активных процессов пространственного нагружения, которые имеют место вблизи концентраторов напряжений в виде трещин, коррозионных дефектов, вмятин, выбоин и т.п. На траекториях деформирования малой кривизны указанные соотношения обеспечивают более высокую точность расчетов по оценке несущей способности, чем аналогичные соотношения деформационной теории пластичности.
Библиографический список
1. Корнеев С Л.. Крупников И В. Построение макромеха-нических определяющих соотношений упругопластического
тела на основе термодинамического анализа трехмерной мезо-механической модели // Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина (Москва, 19-20 января 2006 года): Тез. докл. - М.: МГУ, 2006. - С. 24-25.
2. Корнеев С.А., Крупников И.В. Двухуровневая математическая модель процессов деформирования упругопласти-ческих материалов // Омский научный вестник. - 2006. -Вып. 2 (36).
3. Новожилов В В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах,/В.В. Новожилов, Ю.И. Кадашевич. - Л.: Машиностроение, 1990. — 223 с.
4. Бондарь B.C. Неупругость. Вариантытеории. - М.:ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. - 144 с.
5. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во МГУ, 1978. - 2В7 с.
ГохфельдД. А., С.адаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях./Д.А. Гох-фельд, О.С. Садаков. - М.. Машиностроение, 1984. - 236 с.
Сноски
' Модули сдвига и объемного сжатия определяются по формулам ц = £/[2(l + 1/)], К = £/[3(1 - 2v)] [5).
г Детальное подтверждение (28), основанное на анализе поведения мезомеханической модели методом компьютерного моделирования, не умещается в рамках одной статьи. Поэтому оно будет рассмотрено отдельно.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 06-08-00114-а).
КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов» ОмГТУ.
КРУПНИКОВ Иван Владимирович, главный инженер ОАО «Сибнефтетранспроект». ПОЛЯКОВ Сергей Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Транспорт и хранение нефти и газа, стандартизация и сертификация» ОмГТУ. ШАЛАИ Виктор Владимирович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Транспорт и хранение нефти и газа, стандартизация и сертификация» ОмГТУ, первый проректор ОмГТУ.
Дата поступления статьи в редакцию: 09.06.2006 г. © Корнеев С.А., Крупников И.В., Поляков С.Н., Шалай В.В.
