CC BY
16
5. Колоколов А.А., Адельшин А.В., ЯгофароваД.И. Решение задач выполнимости и некоторых ее обобщений с использованием метода перебора l-классов / АА. Колоколов, А.В. Адельшин, Д.И. Ягофарова // Прикладная математика и информационные технологии: Сб. науч. и метод, трудов. / Под ред. А. А Колоколова. -Омск: Иэд-во ОмГТУ, 2005. - С. 68 - 79.
6. Колоколов АА., Нагорная З.Е., Гуселетова О.Н., Ярош А.В. Задачи дискретной оптимизации и программный комплекс для эскизного проектирования одежды / АА Колоколов, З.Н. Нагорная, О.Н. Гуселетова, А.В. Ярош // Труды XIII Байкальской международной школы-семинара. - Иркутск. 2005. — Т. 1. - С. 509-514.
7. КолоколовА.А.,ЯгофароваД.И., АдельшинАВ.,Тюрюмов А Н. О некоторых алгоритмах локального поиска для решения задачи максимальной выполнимости / А.А. Колоколен, Д.И. Ягофарова, АВ. Адельшин, АН. Тюрюмов //Труды 37-й Региональной молодежной конференции. - Екатеринбург, 2006. - С 382 -385.
8. Cook S.A. The complexity of theorem-proving procedure / S.A. Cook /'/ Proc. 3" Annual ACM Symposium on the Theory of Computing, 1971—P. 151-159.
9. Gu J., Purdom P., Franco J., Wah В Algorithms for the Satisfiability ( SAT | Problem: A Survey / J. Gu, P. Purdom, J. Franko, Л Wah. // DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 1996. - 131 p.
10. Kolokolov A., AdelshinA., Yagofarova D. Locals^rch algorithms for the MAX SAT problem based on L-class enumeration / A. Kolokolov, A. Adelshin, D. Yagofarova. // Extended Abstracts of 16"; Mini Euro Conference on VNS. Tenerife (Spain), 23-25 November 2005. P 117- 118.
11. Kolokolov A., Yagofarova D., Tyuryumov A. Development of L-class Enumeration Algorithms for Satisfiability Problem / A. Kolokolov, D. Yagofarova, A. Tyuryumov // Annual International Conference of the German Operation Reseach Society. Bremen, 2005 - P. 107- 108.
12. StblzleT., Hoos H., Roli A A review of th"- literature on lo^al search algorithms for MAX-SAT // Technical Report A'. DA 01 02, Darmstadt University of Technology, Computer Science Department, Intellects Group, 2001.21 p.
13. www.cs.ubc.ca/-hoos/SATr.IB/benchm.htmi.
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математическьх наук, профессор, заведующий "лабораторией дискретной оптимизации Омского филиала Института математики им. С Л.
Соболева СО РАН.
ЯГОФАРОВА Дарья Ивановна, ассист :нт кафедры прик жадной и вычислительной математики Омского государственно! ■; университета, ТЮРЮМОВ Алексей Николаевич, аспирант кафедры прикладной и вычислительной математики Омского государственного университета.
Поступила в редакцию 09.06.06. © Колоколов А. А., Ягофарова Д. И., Тюрюмов А, Н.
удк"» 3 С. А.КОРНЕЕВ
И. В. КРУПНИКОВ С. Н. ПОЛЯКОВ В. В. ШАЛАЙ
Омский государственный технический университет
ОАО «Сибнефтетранспроект»
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ (КОМПЬЮТЕРНОЕ) МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СТАЛИ 19Г ПРИ ПРОСТОМ И СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИЯХ_
В статье на примере стали 19Г проанализировано поведение упругопластических материалов при простом и сложном нагружениях. Методом компьютерного моделирования подтверждены два физических положения о свойствах ранее предложенной мезо-механической модели. Макромеханические соотношения приведены к виду, приспособленному для проведения численных расчётов. Даны практические рекомендации.
Введение
Для учёта поликристаллического строения металлов и сплавов в [ 1,2] предложена двухуровневая математическая модель изотропных упругопластических материалов, в которой элементарный макромехани-
ческий объём тела представлен (на мезоуровне) как совокупность структурных элементов с одинаковыми упругими свойствами и разными пределами текучести. Для идентификации макромеханической и мезо-механической моделей в [3] разработан расчётно-экс-периментальный метод определения материальных
параметров, практическое применение которого проиллюстрировано на конкретном примере. При выводе и идентификации макромеханических (осреднён-ных) определяющих соотношений, термодинамически согласованных с соответствующими мезомехани-ческими соотношениями, в [1, 2, 3] был принят ряд физических предположений: 1) угол между направлением скорости необратимой деформации каждого структурного элемента е" * 0 и направлением макро-механической скорости изменения необратимой деформации е" является острым (ё": ¿" > 0); 2) зависимость скрытой энергии деформации у от третьего момента тензора необратимой деформации пренебрежимо мала либо полностью отсутствует.
Настоящая статья посвящена проверке указанных предположений и оценке границ применимости аналитической зависимости деформационного предела пластичности Ер, полученной в [3] при рассмотрении простых процессов активного деформирования. С этой целью используется прямой метод математического (компьютерного) моделирования поведения мезомеханической модели при простом и сложном нагружениях. Реализация метода осуществляется на примере стали 19Г, используемой для изготовления труб нефтепроводов.
1. Преобразование макромеханических соотношений
Для изотермических процессов деформирования пластически несжимаемых материалов макромеха-нические соотношения включают в себя (см. [3]) определение тензора необратимой деформации
£" = ё-Т/(2М),
(1)
разложение тензора напряжении на шаровую составляющую и девиатор
Т = erl + T,
М =
1 а ИИ)
2|И d|H| ■
валентных преобразований. Представим формулу (1) в виде единой зависимости
Т = 2 ц{Е-е"),
(7)
по которой рассчитывается девиатор тензора напряжений на всех режимах деформирования. Чтобы установить закон изменения необратимой деформации, подставим в (7) нижнюю зависимость (4):
2ц{ё -е")=2Ме" + 2цЕ
(8)
Введём обозначение
к = 1 + М//у, (9)
с помощью которого равенство (8) принимает вид
ё-ке" = Е„
(10)
Взяв норму от (10), получим деформационное условие пластичности
£■ - ке
(11)
Пластическое деформирование может происходить лишь тогда, когда выполнено условие (11). С учётом (11) выражение (10) можно записать в виде
¿ЧИр^р »2)
\\е - ке ||
Чтобы найти закон изменения ||ё"||, продифференцируем по времени (11). Используя (12), со ссылкой на (5), (6), (9) получим
И=№*')]-
{е-ке"):ё
£ - КЕ
(13)
(2) где
единую для всех режимов деформирования зависимость среднего напряжения
a = Kt те, (3)
зависимости для девиатора тензора напряжений
ШЁ-еЛ ¿" = 0,
T = |2Mf" + 2//Ep¥^, ¿'*0. (4)
Данные соотношения основываются на предположении, что скрытая энергия деформации и деформационный предел пластичности являются функциями нормы тензора необратимой деформации:
^ = ИИ).Ер=ЕрИ)(И = >/^). (5)
В этом случае модуль пластического упрочнения равен [3]
Y = к +
(js-Ke"):e"
dк (е-ке"):е" cffi,
d||5"
- +
f - КЕ
dM
>0.(14)
Поскольку всегда ¡¿"Ц > 0, то, глядя на (13), приходим к выводу, что активное нагружение (ё" Ф 0), нейтральное нагружение ( е" = 0) и разгрузка (переход от пластического деформирования к изопластическо-му) будут происходить тогда, когда выражение (ё-ке"):ё больше нуля, равно нулю или меньше нуля соответственно. Совместно соотношения (11) - (14) дают искомый закон изменения необратимой деформации:
„ = , Е-КЕ" (ё-КЕ"):ё \\£-КЕ"\\ \\ё-КЕ"\\
}\Ё-кЕ"\\-Ер]н[(ё-КЕ"):ё]
(15)
(6)
Соотношения (1)-(б) имеют ясный физический смысл (см. [1, 2]). Однако они недостаточно приспособлены для проведения численных расчётов. Чтобы прийти к удобной форме записи, проделаем ряд экви-
Здесь Н(х) — функция Хевисайда. При заданном законе деформирования нелинейное дифференциальное уравнение (15) позволяет рассчитать захон изменения необратимой деформации £■"((), а затем по формуле (7|_— закон изменения девиатора тензора напряжений Т({). Закон изменения среднего напряжения ст(0 и закон изменения тензора напряжений Т^) вычисляются по формулам (2), (3), Данные
2-10°
СТ0,Па
6
4
1
1 2
о:-
6-Ю" —-----------
СТа, Па ------- 1 1
5
(Л
с э
Рис. 1. Полигональная аппроксимация диаграммы деформирования (Л£=8)
Рис. а Полигональная аппроксимация диаграммы деформироппиия (Г^ 16)
0.6 0 4 0.2 0 1.0
0.9
ф 1 1 1 1
а) ----- -------
------
1 ь- /в,
ер
100 200 300 400 500 600 700
0.{
ф --1=
2
б)
1 вр/е,
0 2 4 6 8
Рис. 2. Интегральная функция распределения: а — во всём диапазоне значений, 6 - в меньшем диапазоне значений; 1 - точное значение 2 - при полигональной аппроксимации (1У=8)
1
0.8 06 01 0.2
0
НС О О
а)
I !
срУе»
100 200 300 400 500 600 700
ф _ 1
2 i
б) ! 1
! £р/е.<
0.8
Рис. 4. Интегральная функция распределения: а - во всём диапазоне значений, б - в меньшем диапазоне значений; 1 -точное значение (№■»), 2 - при полигональной аппроксимации (№16)
1.210
Ч>. Па |
/\ А 1 :
У / \ * \ \
2\ ! '
; 1г1
0.05 0.1 0 15 0.2 0 25
Рис. 5. Скрытая энергия деформации при простом нагружении:
1-тсчнсеэча&ие{У=«>),
2 - при полигональной аппроксимации (№8)
Рис. 6. Деформационный предел пластичности при простом нагружении: 1 - точное значение (Л£=°°), 2 - при полигональной аппроксимации (N=8)
0 15-
0.05 0.1 0.15
Рис. 7. Двухзвенная ломаная (в девиаторном пространстве АЛ. Ильюшина): Е[- деформация растяжения, е3 - деформация сдвига [8,9,10]
Рис 8. Необратимая деформация структурных элементов (N=8): а - деформация растяжения, б - деформация сдвига
а, = агссс^Е,: е") . грщ
Рис. 10. Углы между скоростью необратимой деформации структурных элементов и осреднённой скоростью необратимой деформации мезомодели (N=8)
Рис. 9. Компоненты девиатора тензора напряжений
в структурных элементах (N=8): а - деформация растяжения, б - деформация сдвига
а = агссс^е : г), гра д
____ 1 '
0.5
Рис. 11. Угол между девиаторами тензоров напряжений и деформации мезомодели (N=6)
соотношения соответствуют махромеханической модели теории пластического течения.
2. Полигональная аппроксимация
Для стали 19Г функция распределения деформационных пределов текучести структурных элементов £р содержит дискретную и непрерывную составляющие1. Поэтому количество структурных элементов бесконечно. Данное обстоятельство препятствует прямому использованию мезомеханической модели в прикладных расчётах. Чтобы реализовать такую возможность, следует ограничиться конечным числом структурных элементов и перейти от непрерывного спектра значений к дискретному спектру. Данный переход можно осуществить путём полигональной аппроксимации кривой деформирования [4]. Для достижения поставленных целей ограничимся случаями, когда число структурных элементов N=8 и N=16.
Для N=8 полигональная аппроксимация опытной зависимости алгебраического модуля (интенсивности) напряжений са от алгебраического модуля (интенсивности) необратимой деформации е"а при одноосном растяжении представлена на рис. 1(^2 = =0.2584 — значение необратимой деформации в момент разрушения образца при испытании). Интегральная функция распределения, отвечающая этому случаю, является ступенчатой функцией, аппроксимирующей исходную кривую с N=00 (рис. 2, г 5 = 1.952-Ю"3 — деформационный предел текучести стали 19Г). Значения пределов текучести £рк структурных элементов и их весовые коэффициенты дк равны [ ср ] = [ 1.952- Ю-3, 6.161-Ю-3, 1.816-Ю-2, 4.182-Ю"2, 1.006-10-', 2.618-Ю"1, 5.892-10"1, 1.296), I д 1 = [0.9273, 0.0485, 0.0142, 5.461-Ю-3, 2.573-10"3, 1.067-Ю"3, 4.561-Ю-4, 4.334-Ю-4].
При N=16 полигональную аппроксимацию можно осуществить в соответствии с рис. 3. Этому случаю отвечает интегральная функция распределения на рис. 4. Значения пределов пластичности структурных элементов и их весовые коэффициенты равны [гр] = [1.952-Ю-3, 3.047-Ю-3, 4.102-10-3, 6.161-Ю-3 8.188-10"3, 1.419-10-2, 2.014-Ю"2, 3.001-Ю-2, 4.182-Ю-2 6.145-10-2, 8.105-Ю-2, 1.006-Ю-1, 1.789-10-1, 2.618-Ю"1 5.892-Ю-', 1.296], [д] = [0.891,0.036,0.023,0.015,0.013 8.436-Ю-3, 4.790-Ю-3, 3.244-Ю-3, 2.285-Ю"3, 1.508-Ю"3 8.642-10-4, 1.070-10-3, 8.242-Ю-4, 6.663'Ю-4, 4.561-10 4.334-Ю""4].
Рис. 1-4 наглядно показывают, как повышается точность полигональной аппроксимации с увеличением числа структурных элементов. Особо это касается интегральной функции распределения.
Для простых процессов различие в значениях скрытой энергии деформирования невелико (рис. 5).
Более значимыми являются отклонения в величине макромеханического (осреднённого) деформационного предела пластичности (рис. 6). Последнее обусловлено тем, что даже сильное уменьшение величин весовых коэффициентов дк не компенсирует рост значений пределов текучести £pi.
3. Анализ результатов расчёта сложных процессов нагружения
Из всех возможных реализаций сложных процессов активного нагружения расс мотрим процесс деформирования по двухзвенной \оманой (рис. 7). На практик*' данному процессу соответствует первоначальное растяжение тонко-: i ¿нной трубы и последующее её кручение. Без ограничения общности можно считать, что движение на отдельном участке траектории является равномерным (каждый отрезок ломаной проходится ja одну условную един щу времени).
Для мезомеханической модели графики изменения компонент леобратимойдеформации ё"к идеви-атора тензора напряжений fk структурных элементен предстанлены на рис. 8 и рис. 9. Осреднённые значения необратимой деформации и девиатора напряжений рассчитываются по формулам
Углы между направлением скорости необратимой деформации структурных элементов и направлением осреднённой скорости необратимой деформации не превышают 90° (рис. 10). Этот результат компьютерного моделирования указывает на правомерность первого физического положения, отмеченного в начале статьи. Предположение о соосности девиатора тензора напряжений и девиатора тензора деформации, лежащее в основе деформационной теории пластичности, для рассматриваемого класса процессов не подтверждается (рис. 11).
О рассогласовании расчётных данных, получаемых по мезомодели, макромодели теории пластического течения и макромодели деформационной теории пластичности, можно судить по кривым интенсивности напряжений (рис. 12) и компонент девиатора тензора напряжений (рис. 13). Анализируя графики скрытой энергии деформации (рис. 14) идеформаци-онного предела пластичности (рис. 15), можно сделать вывод, что основным источником рассогласования макромодели (разд. 1) и мезомодели является не погрешность в значениях скрытой энергии деформации, возникающая из-за полигональной аппроксимации2, а приближённый характер зависимости деформационного предела пластичности, полученной в [3] при рассмотрении простых процессов.
И, Па е—" 1 -----
г-®"" Ь- ■ ~ 3 v2 ;
Г
I'll
О 002 0.04 0.06 0 08 0 1 0.12 0.14 0.16 0.18 0 2 0.22 0.24 0 26
Рис. 12. Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформации: 1 ~ деформационная теория пластичности, 2 - макромеханическая модель теории пластического течения,
3 - мезомеханичеасая модель (N=10)
4. Заключение
2 10"
б 10°
Г,, Па --
1.7.
0 05 1.5 (
Г5, Па 1 ! I : __ . 1________]
б) \ 3 / 1
(
0.5
15
Рис. 13. Изменение компонент тензора напряжений (а - при растяжении, б- при сдвиге): 1 ~ деформационная теория пластичности, 2 - макромеханическая модель теории пластического течения, 3 - мезомеханическая модель (N=16)
Когда функция распределения пределов текучести структурных элементов является непрерывной, то для прямого применения мезомеханической модели материала приходится осуществлять полигональную аппроксимацию экспериментальной диаграммы деформирования. Полигональная аппроксимация огрубляет мезомеханическую модель. Проявляется это главным образом при описании сложных процессов нагружения. С увеличением кривизны траектории деформирования приходится брать большее число структурных элементов. Такой пугь повышения точности сопряжён с большими затратами машинного времени, особенно при численных расчётах пространственных конструкций. Поэтому более целесообразным представляется другой путь — путь перехода от мезомеханических соотношений к макромеханическим соотношениям. Однако здесь из-за существенных аналитических трудностей на первый план выходит аналогичная задача достижения приемлемой точности макромеханических соотношений. Решение данной задачи, благодаря возросшим возможностям современной вычислительной техники, выгодно осуществлять, используя метод компьютерного моделирования, который не требует проведения дорогостоящих натурных испытаний.
Анализ результатов компьютерного моделирования поведения стали 19Г при простом и сложном
I 210
V > Па -------
а)
---- >г
1 '' 2
-------- --
И
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
V. Па
1 б) " 1
--------- 1 у/^ 2 -----1--;--------
И
0.15
0.25
Рис. 14. Скрытая энергия деформации (а - ЛГ=8, б - N=16): 1 - макромеханическая модель пластического течения, 2 - мезомеханическая модель
0.002
0.001
0 002
0.001
Рис. 15. Деформационный предел пластичности (а - N=8, б — N=16)'. 1 - макромеханическая модель пластического течения, 2 - мезомеханическая модель
нагружениях показал, что с высокой точностью скрытая энергия деформации является функцией интенсивности необратимой деформации У^'Ц). Данный вывод относится и к другим упругопластическим материалам, у которых диаграмма растяжения является выпуклой монотонно возрастающей кривой.
Н а траекториях активного деформирования большой кривизны основным источником рассогласования мезомодели и макромодели (разд. 1) служит аналитическая зависимость деформационного предела пластичности Ер0|г:"|), которая строю применима лишь для простых процессов активного нагружения. Поэтому одним из направлений дальнейшего совершенствования общей макромсхапической модели является уточнённый расчёт деформационного предела пластичности, который должен описываться либо функцией нескольких аргументов, либо специально подобранным дифференциальным уравне нием (см., например, [5, 6]). В любом из этих случаев сохраняется необходимость в определении ряда материальных параметров, значения которых можно найти методом компьютерного моделирования. Тел-' самым можно сократить объё!-1 экспериментальных исследований, основной задачей которых с ■ анет верификация получаемых теоретических результатов.
Проделанное исследование позволяет обоснованно утверждать, что при проведении прочностных расчётов труб нефтепроводов, изготовленных из стали 19Г, более предпочтительной является мэкромехани-ческая модель теории пластического течения п виде соо тношений (2), (3), (7), (15), чем аналогичная модель деформационной теории пластичности [9, 10) .традиционно используемая в механике разрушения [7].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 06-08-00114-а).
Примечания
' Расчётные формулы для отдельно взятого структурного элемента, л также исходные экспериментальные данные по стали 19Г и результаты их обработки приведены в [3].
-Уже при №= 16 совпадение является удовлетворительным (рис 14). что подтверждает правомерность второго физического положения, указанного в начале статьи.
Библиографический список
1. Корнеев С. Д., Крупников И. В. Построение макромеханичес-кихопределяющих соотношений упругоиластическоготела иа основе термодинамического анализа трехмерной мезомеханической
модели / С. А. Корнеев, И. В. Крупников // Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемыхтел. посвященный95-летиюсо дня рождения А.А. Ильюшина (Москва, 19-20января2006года):Тез.докл. - М.:МГУ,2006. - С. 24-25.
2. Корнеев С. А., Крупников И. В. Двухуровневая математическая модельпроцессов деформирования упрут.., 1лас1'ччески". материалов /С. А.Корнеев, И В. Крупников//Омскиí¡ научныйи-ост-ник. - 2006. - Вып. 3(37). - С. 65-71.
3. Корнеев С. А., Крупников И. В., Поляков С. I I., Ш,т ш В. В. Расчётно-экспериментальный метод определения материальных параметров упругопластических материалов на траекториях активного деформнроьання мало-, ,:|.и:тзны/С. А. Корне ев, И. В. Крупников, С. Н. Поляков. Г. Ь IU 1лаи // Омский научный вестник. - 2006. - Вып. 4 (33;. - С -':ó-00.
4. Серенсен С Б., КогаевИ.Г>. i!.1пейдериш; > Р. М. Несущая способность и расчёт деталей шшп> < на про"нс ti. / С. В. Серенсен, З.П. Когаев, Р. М. 1.Чисйдеро»;ич. - М.: Машиностроение, 1975. — 488 с.
5. Бондаре B.C. Heynpy.'ix'i-b.Bapnai-rijTeopni./В. С. Бондарь. -М.: ФИЗМЛТЛИТ.2004. - 144с.
tv Новожилов i'. В., Кодашенпч Ю И. Микронаприжении и конструкционных материалах/ В. В. Новожилов, IO. И. Кодаше-иич — Л.: Машиностроение, 1940. — 223 с.
7. Песгриков В. М., Морозов 12 .М. Механика разрушения твёрдых тел/ В. М. Пестриков, Е. М. Морозов, — СПб.: Профессия, 2002. - 320 с.
8. ИльюшинА Механика сплошной среды / А.А. Ильюшин. -М.: Изд-.во МГУ, 1978. - 287 с.
9. Москвитин В. В. Циклические нагружения элементов конструкций / В. В. Москвитин. — М.: Наука, 1981. — 344 с.
10. ГчхфельдД. А., Садаков О. С. Пластичность н ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях / Д. А. Гох-фельд, О, С. Саадаков. — М.: Машиностроение, 1984. - 25(ic.
КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов» ОмГТУ.
КРУПНИКОВ Иван Владимирович, главный инженер ОАО «Сибиефтетранспроект». ПОЛЯКОВ Сергей Николаевич, кандидат технических паук, доцент кафедры «Транспорт и хранение нефти и газа, стандартизация и сертификация» ОмГТУ.
ШАЛАИ Виктор Владимирович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Транспорт и хранение нефти и газа, стандартизация и сертификация» ОмГТУ, первый проректор ОмГТУ.
Поступила в редакцию 18.04.06.
© Корнеев С.А., Крупников И. В., Полякове. Н„ Шалай В. В.
Книжная полка
Книги издательства «Высшая школа»
АндрухаевХ.М. Сборник задач по теории вероятностей : Учебное пособие. — М.,2005. — 174с.
Баврин И.И. Математический анализ. — М., 2006. - 327 с.
Киреев В.И., Пантелеев A.B. Численные методы в примерах и задача. — М.,2006. — 480 с.
Бабецкий В.И., Третьякова О.Н. Прикладная физика. Механика. Электромагнетизм : Учебное пособие. — М., 2005. - 328 с.
Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. Курс общей физики. В 3 кн. Кн. 2. Электромагнетизм. Оптика. Квантовая физика : Учебное пособие. — М., 2005. - 438 с.
Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. Курс общей физики. В 3 кн. Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. Курс общей физики. В 3 кн. Кн. 3. Термодинамика. Статистическая физика, Строение вещества: Учебное пособие. М., 2005. - 366с.
Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний : Учебное пособие. — М.,2001. — 395с.
Дмитриева В.Ф. и др. физика. Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических и технологических специальностей вузов.
