Двухуровневая Математическая модель процессов деформирования упругопластических материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

С. А. КОРНЕЕВ И. В. КРУПНИКОВ

Омский государственный технический университет

Сибнефтетранспроект

ДВУХУРОВНЕВАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Рассмотрен один из возможных вариантов взаимосвязанной двухуровневой модели упругопластического материала и вопрос термодинамического согласования мезомехэпического и макромеханического описаний. Исследование ограничено случаем изотермических процессов деформирования пластически несжимаемых материалов при малых деформациях.

Введение

Объективно стали и сплавы являются поликристаллическими телами, состоящими из множества кристаллических зёрен (кристаллитов), размеры, форма и ориентация кристаллографических осей которых имеет случайный характер. Каждое зерно содержит многочисленные дефекты кристаллической решётки (дислокации), которые взаимодействуют друг с другом. Картина этого взаимодействия сильно меняется в процессе деформации. Существенное влияние оказывают межэёренные границы, которые представляют собой набор подвижных поверхностных дефектов. Соответствующей термической и механической обработкой можно изменять средние размеры зёрен, влиять на фазовый состав, создавать преимущественную ориентировку (текстуру). Всё это сказывается на прочностных и упругопластических свойствах поликристаллических материалов.

В настоящее время процессы упругопластичес-кой деформации рассматриваются на трёх уровнях: макро-, микро- и мезоуровне. Макромеханическое описание, являясь фундаментом инженерных расчётов на прочность, не в полной мере оценивает реальное строение металлов и сплавов. Системный учёт поликристаллической структуры материалов осуществляется при мезомеханическом описании, которое направлено, главным образом, на совершенствование структуры существующих материалов и на создание новых сплавов с необходимыми прочностными и упругопластическими свойствами

(1]. Получаемые при этом мезомеханические определяющие соотношения учитывают распределение и эволюцию различных дефектов внутреннего строения материалов по количеству, форме, размерам, степени неоднородности и анизотропии механических свойств. Поэтому они являются многопараметрическими соотношениями, которые из-за своей математической сложности малопригодны для проведения практических расчётов конструкций и технологических процессов. Для этих целей более удобны определяющие соотношения макромеханики, например, деформационной теории пластичности

[2], теории пластического течения [3], общей теории упругопластических процессов А.А.Ильюшина [4]. С другой стороны, для описания сложных процессов нагружения, протекающих в пространственных

условиях, требуются достаточно точные макро-механические соотношения, в которые входят, как правило, несколько заранее неизвестных функций (функционалов). Одними экспериментальными средствами определить эти функции очень трудно и дорого. Поэтому большой практический интерес представляет совместное рассмотрение взаимосвязанных моделей разных уровней, чтобы можно было недостатки одной модели компенсировать достоинствами другой модели.

Двигаясь в указанном направлении, надо решить две сложные задачи: 1) построить и экспериментально проверить общую мезомеханическую (структурную) модель, учитывающую в достаточной мере поликристаллическое строение конструкционных материалов; 2) установить взаимосвязь процессов деформации на разных уровнях и разработать общие подходы по переходу от мезомеханических определяющих соотношений к макромеханическим определяющим соотношениям, и обратно. Примером успешного решения этих задач является одномерная структурная (мезомеханическая) модель Мазинга, которая привела к формулировке (на макроуровне) известного принципа Мазинга и построению на его основе деформационной теории пластичности, описывающей простые процессы циклического нагружения [5,6].

В рамках второй задачи, интенсивно изучаемой в последнее время [1], можно выделить два самостоятельных вопроса: 1) вопрос выбора соответствующей макромодели и установления взаимосвязи её параметров с параметрами мезомодели; 2) вопрос о приведении (аппроксимации) материальных параметров макромодели к виду, удобному для проведения инженерных расчётов, чтобы иметь допустимый объём памяти и приемлемое время машинного счёта без потери точности в описании напряжённо-деформированного состояния. Второй вопрос — это общеизвестный вопрос макромеханики. До недавнего времени он решался традиционными методами на основе анализа имеющихся экспериментальных данных. С развитием вычислительной техники открылась ещё одна возможность — возможность математического (компьютерного) моделирования, при котором численный эксперимент дополняет натурные опыты. В частности, мезомодель, учитывающую поликристаллическую структуру материала, можно использовать

• Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации МК-7420.2006.8 и гранта РФФИ - проект 06-07-00114-а

для предварительной (априорной) идентификации макромодели. В перспективе решение перечисленных задач в достаточном объёме позволило бы отработать такую теорегико-экспериментальную методику, когда по некоторому минимальному числу натурных экспериментов можно было бы идентифицировать сначала мезомодель, а затем — соответствующую макромодель, избегая при этом дорогостоящих натурных опытов на определённом классе типовых процессов.

В настоящей статье рассматривается один из возможных вариантов взаимосвязанной двухуровневой модели упругопластического материала и вопрос термодинамического согласования мезо-механического и макромеханического описаний. Чтобы упростить изложение, ограничимся случаем изотермических процессов деформирования пластически несжимаемых материалов при малых деформациях.

1. Макромеханическая модель материала

Как показывает опыт, у пластически деформируемых тел нет однозначной зависимости между напряжениями и деформациями. Поэтому связь между тензором напряжений Г и тензором деформации е описывается некоторым функционалом. По принципу макроскопической определимости A.A. Ильюшина для изотермических процессов деформирования [7]

T(0 = rS[*(r)]. (1)

Математическая теория функционалов вида (1) в настоящее время находится в стадии разработки. Поэтому на практике этот функционал обычно заменяют некоторой функцией нескольких переменных. В дополнение к параметрам состояния е (компонентам тензора деформации) вводится один или несколько параметров х , которые делают зависимость Т=Т(£,^) однозначной. Осуществить это можно многими способами. Наиболее часто в качестве «параметров неоднозначности» X используются компоненты тензора необратимой (пластической) деформации £" • Чтобы пояснить как это делается, рассмотрим напряжённо-деформированное состояние одноосного растяжения, характеризуемое некоторыми значениями напряжения а и деформацией е (рис. 1). По определению необратимой деформацией называется величина е", которая для данного напряжённо-деформированного состояния задаётся выражением

е* = е-а/£ (£ = dc/de|£=0), где Е — модуль растяжения в естественном состоянии образца, в котором материал не деформирован и не имеет внутренних напряжений (гипотеза о существования естественного состояния [8]).

В общем случае пространственного нагружения пластически несжимаемых материалов тензор необратимой (пластической) деформации определяется следующим образом [9]. Тензором необратимой деформации точки упругопластической среды, находящейся в напряжённо-деформированном состоянии, характеризуемым значениями тензора напряжений T(i) и тензора деформации с (/), называется тензор, задаваемый формулой

e" = S-J/{2H), (2)

где ё, Т — девиаторы тензора деформаций и напряжений. Режим деформирования, при котором е" ф О, называется пластическим режимом деформирования (точка сверху указывает на производную по

8' Е

Рис. 1. К определению необратимой деформации

времени). Если е" = 0, то режим деформирования называется изопластическим. Благодаря (2) представление о режимах пластического и изопласти-ческого деформирования является однозначным при известных (например, из опыта) законах изменения T(t), E(t). Взяв след от (2), придём, условию пластической несжимаемости материала tie" = 0. В принципе, надлежащей корректировкой (2) можно учесть и пластическую сжимаемость материалов.

После принятия определения (2) функционал (1) можно задать в виде [9]:

Г = о/ + f I с = trT/3 = Ktrs,

|f>(е,е',ё,ё",...), s'*0. (3)

Здесь [ — единичный тензор, к — модуль объёмного сжатия, ц — модуль сдвига в естественном состоянии материала, ес — некоторый тензор-девиатор, характеризующий остаточную деформацию при упругой разгрузке, когда Г = 0, е" = 0. Зависимость Тр (e,s", £,£",...) описывает изменение девиатора тензора напряжений при пластическом деформировании и подлежит дальнейшему определению на основании принятой мезомеха-нической модели материала. Если подставить верхнее определяющее соотношение (3) в (2), получим е" = ес, как и должно быть при изопластическом деформировании.

2. Мезомеханическая модель материала

В настоящее время для мезомеханического уровня не существует общепризнанных математических методов описания [1]. Качественно индивидуальные свойства дислокаций, законы их взаимодействия друг с другом, а также с другими дефектами решётки изучены достаточно полно [10, 11]. Однако теория дислокаций, давая множество полезных рекомендаций, пока не располагает строгим математическим аппаратом [12). Часто это связано с тем, что многие исходные данные, необходимые для расчётов, ещё не удаётся получить экспериментально [ 1 ]. Например, если деформации достаточно малы, то поликристаллическое тело деформируется упруго в соответствии с законом Гука. Желая использовать методы статистической физики применительно к поликристаллам, естественно начинать исследование с попытки получить макроскопические значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона, исходя из задания случайного поля упругих свойств анизотропных кристаллитов. Но для задания этого поля необходимо заранее знать корреляционный тензор модулей упругости, который является изотропным тензором восьмого ранга [13]. Входящие в этот тензор инвариантные параметры являются физическими константами и должны быть определены экспериментально. Такого рода

эксперимент на много порядков сложнее непосредственного экспериментального определения искомой величины - модуля упругости поликристалла. На основании этого в [13] делается вывод, что «путь статистического описания механических свойств поликристаллов методами теории случайных полей оказывается практически бесплодным даже в своей наипростейшей задаче - определении упругих свойств поликристалла. Тем более нельзя надеяться на этот путь при получении таких определяющих уравнений для поликристаллов, которые были бы справедливы не только при упругих, но и при остаточных деформациях».

С другой стороны, в инженерной практике для макромеханического описания простых процессов циклического нагружении широко применяются результаты, полученные при анализе одномерной структурной модели Мазинга [5, 6]. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть трёх мерный вариант структурной модели Мазинга и исследовать её поведение, используя феноменологию теории пластического течения.

2.1. Общие физические положения

В статистической теории упругости (см., например, [14, 15]) и вообще в физической мезомеханике (см., например, [16, 17]) под элементарным (бесконечно малым) макромеханическим объёмом (или представительным объёмом) понимается такой объём поликристаллического тела, размеры которого, с одной стороны, достаточно малы по сравнению с характеристическим макроразмером тела, а с другой — стороны, достаточно велики для того, чтобы содержать достаточно большое число зёрен с хаотически ориентированными кристаллографическими осями. В этом случае поликристаллическое тело в естественном состоянии можно считать (на макроуровне) материально однородным (начально) изотропным телом. Такое представление хорошо согласуется с опытными данными.

Следуя [5, 13, 18], будем полагать, что элементарный макромеханический объём представляет собой совокупность структурных элементов, которые имеют одинаковые упругие характеристики и отличаются друг от друга лишь величиной предела текучести. Такое упрощение эквивалентно предположению, что статистика анизотропных кристаллитов близка к статистике изотропных упругопластических частиц (структурных элементов), имеющих одинаковые упругие характеристики и обладающих разными пределами текучести.

2.2. Определяющие соотношения структурных элементов

На основе принятых физических представлений мезомеханическая модель, являющаяся трёхмерным аналогом одномерной структурной модели Мазинга, может быть построена, исходя из определения тензора необратимой (пластической) деформации отдельного структурного элемента

¿• = 1-1У(2ц) И)

и мезомеханических определяющих соотношений для тензора напряжений отдельного структурного элемента , ч

2ц(еЧ)г* = 0, Г = а/ + Г, о = Кш, Г = 1 е" п <5>

Здесь ес — некоторый тензор-девиатор, характеризующий остаточную деформацию структурного

элемента при упругой разгрузке, ЦлЦ = ^1т[а-Ат) -

норма тензора А . Модули сдвига ц и объёмного сжатия К всех структурных элементов принимают такие же значения, как для поликристалла в целом. Знак «л» сверху указывает, что данная величина относится к структурному элементу с деформационным пределом тластичности ер.

Мезомеханичес* ие соотношения (4), (5) подобны макромеханическим соотношениям (2), (3) и отличаются от них явным чидом зависимости девиатора тензора напряжении при пластическом деформировании структурных элементе.а. Если исходить из аналогии с законом сухого трения Кулона-

Амонтона. 10 предел пластичности ар =2цер можно рассматривать как модуль тензора пластических напряжений (пластического трения). Согласно нижнему определяющему соотношению (5) при пластическом деформировании

Т = а

Р 1141

Е

(6)

Взяв норму от (6), приходим к условию пластичности Губера-Мизеса:

Т =а„

(7)

+ с1Ер. В общем случае 0<Ер<с

между Ер и Ер Поэтому условие нормировки имеет вид

|ф(Ер^£р=1.

(8)

Поэтому соотношения (4), (5) отвечают модели идеально пластического тела Прандтля-Рейсса [9].

2.3. Замыкание системы мезомеханических соотношений

Соотношений (4), (5) недостаточно для проведения расчётов. Для их замыкания нужно добавить соотношения, которые связывают макроскопические характеристики элементарного макроскопического объёма тела с мезомеханическими характеристиками составляющих этот объём структурных элементов. Необходимость введения процедуры осреднения обусловлена тем, что прямому измерению доступны только средние значения деформации и напряжений макрообъёмов тела. В этом прослеживается аналогия с кинетической теорией газов: для замыкания кинетических уравнений необходимо задать соотношения, которые выражают макроскопический тензор напряжений, плотность газа, гидродинамическую скорость и т.п. через молекулярные характеристики газа (например, скорость и массу молекул).

Пусть ф(ер) — функция распределения, которая

посредством выражения с1ф(Ер)=ф(Ер^Ер определяет долю структурных элементов с деформационным пределом пластичности, значения которого лежат

На мезоуровне напряжённое состояние отдельного структурного элемента (с пределом пластичности ср ) характеризуется тензором Т на макроуровне напряжённое состояние в данной точке тела описывается тензором Т. По условию осреднения данные величины связаны выражением

оо

т= Jf(p(ep)d£p

(9)

которое с учётом (14) можно представить в другой, эквивалентной форме:

Формула (9) является следствием предположения, что каждый элементарный (бесконечно малый) макроскопический объём поликристаллического тела состоит из одного и того же числа структурных элементов с однотипными упругопластичес-кими свойствами.

Не столь очевидными являются формулы осреднения для тензора деформации

«=?«р(ер)&р (Ю)

о

и тензора необратимой деформации

о

Следуя Фойгту [13, 14, 15], можно принять, что в пределах элементарного макроскопического объёма тела деформированное состояние всех структурных элементов однородно:

£ = £. (12)

Тогда по условию нормировки (8) формула (10) обратится в тождество:

|е(р(Ер^Ер=£|ф(Ер)с1ер=г. (13)

о о

С другой стороны, по определению тензора необратимой деформации на мезомеханическом и макромеханическом уровнях (напомним, что упругие свойства на макро- и мезоуровне полагаются одинаковыми)

е' = е-Г/(2ц). (14)

Умножая первое равенство (14) на ф(ер) и интегрируя по Ер, на основании формул (9), (13) получаем

{ê>(ep)dEp = е-Г/(2ц)

Сравнив данное выражение со вторым равенством (14), приходим к (11). В результате система мезомеханических соотношений (4), (5) совместно с формулами осреднения (9), (11), (12) становится замкнутой.

Замечание. В статистической теории поликристаллических тел используется также подход Рейсса [13, 14, 15], при котором вместо (12) принимается положение об однородном напряжённом состоянии всех структурных элементов в пределах элементарного макроскопического объёма тела:

Т = Т. (15)

Однако равенство (15) несовместимо с предположением о том, что макрообъём тела состоит из идеально пластических структурных элементов с разными пределами текучести. Действительно, совместно с условием пластичности (7) равенство (15) требует, чтобы все структурные элементы переходили в пластическое состояние одновременно. Если же по примеру [13, 18] отказаться от требования идеальной пластичности структурных элементов и наделить их свойством пластического упрочнения, то тогда условие Рейсса (15) станет столь же возможным, как и условие Фойгга (12). Для полноты общей картины следует также отметить, что то же самое относится и к условию осреднения Крёнера [ 13,19] Т-Т = т{ё"-е") (т = сом)),

--111Г-Г

(16)

При т = О условие Крёнера (16) переходит в условие Рейсса (15), а при т = 2ц — в условие Фойгта (12). Кстати, из этих соображений условие Крёнера

и выводится: если условие Рейсса Т - Т = 0 умножить на некоторую константу т' и сложить с условием

Фойгта е -е =0 то получится равенство вида (16). Никаких других, физических обоснований условия Крёнера нет. Из-за такой искусственности вывода Хилл считает условия Крёнера заведомо ошибочным [19]. Однако существуют и другие мнения (см. [13])!

3. Термодинамическое согласование мезомеханических и макромеханических соотношений

При малых деформациях термодинамика твёрдых тел строится на диссипативном неравенстве [7] ро^ = -ро/-ро'П0 + 7,:£>О, (17) которое является следствием первого и второго начал термодинамики. Здесь р0 — плотность материала в естественном состоянии, ус — удельная (на единицу массы) функция рассеяния энергии, / = е-0г| — удельная свободная энергия, е — удельная внуг-ренняя энергия, 0 — абсолютная температура, л — удельная эн тропия. Для изотермических процессов термодинамическое соотношение (17) упрощается: Ро^ = ~р0/ + Г: £ > 0 • (18)

Данные соотношения применимы для описания поликристаллических материалов, как на макромеханическом уровне, гаки на мезомеханическом уровне.

3.1. Мезомеханический уровень описания

Используя (4), (5), (9), (14), можно записать две цепочки равенств

Т: ё = ]г: £<р(Ер^Ер = + т]: £ф(ер^Ер =

™ i \ ~ / \ = /¡TtretrëJcp(epJdep + \Т :£(p(EpJdep (

О о

оз со»^ , * «s.

\Т : £<p(Ep)dEp = \Т : (? -¿>(Ep)dEp + \Т : ¿>(ep)dEp =

0 0 о

оО / . . > OQ

= j2n(F-ê"): (е-£'>(ep)dEp + |2цёр^ : £"ф(ер)кр

о о И« I

Отсюда со ссылкой на (8) находим

т • d Т:е = —

dr

y(tre)2 +njtr(£ -ê")>(Ep)d£F

+ 2njEp||ê"L(ep)de

pr"-p .

о

Подставив (19) в (18), получим d

Pow = -Po/ +

df

(tr£)2+nJtr(£-£")2Cp(£p)d8p

ЭО

+ 2u}Epp'||<p(Ep)dEp>0

Исходя из физического смысла функции рассеяния энергии, будем иметь

Ро^ = 2Ц||И|Ерф(Ер)С1Ер>0.

Тогда

Ро/ =

dr

(tre)2 +^}tr(c-с*)2ф(Ер)аЕ

(20)

■ (21)

Интегрируя (21) и учитывая, что в естественном состоянии е = 0, находим

К

так как без ограничения общности можно положить, что в естественном состоянии / = 0. Из вывода термодинамических соотношений (20)-(22) видно, что они справедливы при любом режиме деформирования.

Замечание. По формуле осреднения (11)

®

¿"=p>(Ep)dEf

Значит, если для всех структурных элементов е" = 0 то макромеханическая скорость изменения необратимой деформации ¿" = 0 . С другой стороны, из физических соображений ясно, что у каждого структурного элемента угол между направлением его скорости необратимой деформации е'*0 и направлением макромеханической скорости изменения необратимой деформации е" 0 должен быть острым1: е":е">0 Поэтому справедливым будет и обратное утверждение: если ¿" = 0, то все структурные элементы деформируются упруго (е" = 0):

|!"| = о)«(И=о).

(23)

Только в этом случае возможно выполнение равенства

|.„||2

:p":£>(ep)dEp = 0.

На основании (23) выражение (20) можно представить в развёрнутом виде

О, ¿" = 0,

2мТ|Иерф(ер)с1ер >0, е"*0. (24)

При изопластическом деформировании е" = const. Поэтому ^ = о и в соответствии с (2), (3) для изотермических процессов

Т = /Пге/ + 2ц(ё-е').

Следовательно,

Г: е = К tre tre + 2ц(е - е"): е = — v ' At

К

(tre)2-i p. if (с - f.'Y

(25)

Подставив данное выражение в термодинамическое соотношение (18), будем иметь

л

Pow = "Po J +

d/

(tre)2 + |i lr(e - e")2 J = 0

Ро/ = ^М2+ц|1г(?-Г)2ф(Ер)аЕр1 (22) или

Oof =

d i

■-(trt); + Htr(e-e")2J (

£ = COnSt i

(26)

При п^.'стическом деформировании с учётом (3) Т = КХк1 + Тр. (27)

Так как при ¿"^0 одна часть структурных элементов деформируется упруго, а другая часть —

пластически, девиатор тензора напряжений Тр будет

складываться из двух частей - упругой Гер и пластической Грр:

fp = fep+fDp, Тр = 2цЕр

(28)

Здесь fep — тензор упругих напряжений, Ер — макромеханический (деформационный) предел пластичности; их значения подлежат дальнейшему определению. С другой стороны, согласно (2)

Г=2ц(с-е")- (20)

Совместно соотношения (27), (29) позволяют записать равенства (напомним, f Р =f при ё" * 0 )

Г: е = [/f (tre)2 Jf f р : б r

f1Р : t = f IP : (? - e")+ f p : e" = ¿[itr(e - e")2]+ fp : e".

Отсюда со ссылкой на (28) находим

7": e = ■^•[^(tre)2 + Ц tr(? - e")2}f fep : e" + 2цЕр||е"||. (30)

Подставив (30) в термодинамическое соотношение (18), получим

p0w =

Верхнее выражение (24) означает, что при постоянном значении макроскопического (осред-нённого) тензора необратимой деформации е" диссипация энергии отсутствует.

3.2. Макромеханический уровень описания

Переходя к макромеханическому уровню опи-са-ния, рассмотрим отдельно режим пластического и режим изопластического деформирования материала.

Pow = "Po/

f + — [/¿(tre)2 + |i tr(e - е")2 ]+■ dl

И

(31)

■P -i

¿" + 2цЕрИ>0.

Исходя из физического смысла функции рассеяния энергии, будем иметь

Рри* = 2цЕр||е"||> 0. (32)

Тогда из (31) вытекает, что

Ро/:

— [a: (tre)2 + ц tr(F - е")21 fep : е" * 0. (33) dl

' Здесь имеется в виду направление скорости пластической деформации в девиаторном пространстве А.А. Ильюшина |4, 7]. Доказать указанное неравенство математически строго можно, лишь располагая методами аналитического решения нелинейного дифференциального уравнения (® - знак диадного умножения)

Соберём вместе результаты (25), (26), (32), (33): [0, ¿" = 0,

p0w =

Ро/:

2цЕр|И|>0, е" * 0,

(34)

которые в настоящее время не разработаны. Данное уравнение является следствием (4(, (5), (12) (9).

= 0,

A[^(tre)2^tr(e-e')2] L 2 J ,35)

- ¡К (tre)2 + и tr(e - е")2 \ f? : е\ е" * 0. df

Независимо от уровня описания (мезомеха-нического или макромеханического), функция рассеяния и свободная энергия поликристаллического тела должны принимать одинаковые значения. Для этого должны выполняться равенства

2цЕр||£*|| = 2ц}|с"|ер v(ep)dep ( в" * 0 ),

К

(tre)2 + ц tr(« - £*)2

К

ос

(tre)2 +|ijtr(£-Ê")2cp(ep)dEp

(36)

(37)

d^-(tr£)2+,tr(£-£')2^feP:£» = A

(¿" = 0)

-M2-2 v '

Ю / N

-nj4r(£-£")2<p(Epjde

0

(38)

(¿V0)r

EP =

00 Г l \

or II

const, è" = 0.

(39)

Верхнее равенство (39) определяет макромеха-нический (деформационный) предел пластичности при пластическом деформировании. Нижнее равенство (39) означает, что при изопластическом деформировании Ер сохраняет постоянное значение. В частности, при начальном деформировании из естественного состояния Ер =ед., где ел — значение предела пластичности £р наиболее слабого структурного элемента.

Равенство (37) выполняется тождественно, ибо согласно (23) при е" --- const

|1Г(£-£")2Ф(ер)С|£

= 2 J (f : £ - в" : £ }P(E p )dEp = 2(e : e - e" : e ).

о

В последней цепочке равенств использовались формулы (8), (11).

Обратимся теперь к последнему равенству (38), записав его в виде

<1 "!

или с учётом (11)

Tf : г"

Ю

dt

jtr(£")-cp(ep)dGp -tr(£")2

Lo

(40)

Равенство (40) возможно в том случае, если дифференциальная форма г»р : de" является полным

дифференциалом некоторой функции w(t"):

7-ер :d£" = dv|;(£")'

(41)

Поэтому

d

Jtr(£")2<p(Ep)dEp-tr(£'):

Интегрируя данное равенство по времени и полаг ая у(<?" = О) = 0, получаем

ц; = ц

Jtr(£")2V(Ep}i£p-tr(£")2

(42)

которые вытекают из сопоставления мезомехани-ческих соотношений (21), (24) имакромеханических соотношений (34), (35). На основании (36) можно записать

По физическому смыслу выражения (41) функция Ч/(У) является скрытой энергией деформации (5, 13]. Экспериментальные способы определения скрытой энергии деформации рассматриваются в [20].

В общем случае для изотропных материалов

скалярная функция V должна зависеть оттензора е"

через его инварианты [21]: у = ^ге'.сге^Иге"3)- Для

пластически несжимаемых материалов 1ге" = 0. Поэтому

Ч/ = Ч/(й®'2.*ге'3)- (43)

Располагая зависимостью (43), по формуле (41) можно определить упругую составляющую де-виатора тензора напряжений при пластическом деформировании:

с1у|/(гге"2, ч-е"3 ) _ , ¡ге"3 ) |

ЛГЕ"2

Tj>

3d¥(tr£"2,tr£"3)r„2

dtrfi"

(44)

Выражения (39), (42) совместно с (28), (43), (44) замыкают макромеханические соотношения (2), (3) и обеспечивают термодинамическое согласование с мезомеханическими соотношениями (4), (5).

Библиографический список

1. Тушинский Л.И. Структурная теория конструктивной прочности материалов / Л.И. Тушинский. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. - 400 с,

2. Ильюшин A.A. Пластичность. — Т. 1. — Упруго-пластические деформации. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 376 с.

3. Хилл Р. Математическая теория пластичности/Р. Хилл. — М.: ГИТТЛ, 1956. - 407 с.

4. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории/ A.A. Ильюшин. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.

5. Гохфельд Д.А. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях/ Д.А. Гохфель, О.С. Саадаков. - М.: Машиностроение, 1984. - 256 с.

6. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций/ В.В. Москвитин. - М.: Наука, 1981. - 344 с.

7. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды/ А.А Ильюшин. - М.: Изд-во МГУ, 1978. - 287 с.

8. Шемякин Е.И. Введение в теорию упругости/ Е.И. Шемякин - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 96 с.

9. Корнеев С. А. Определяющие соотношения вязкоупруто-пластических средпри малых деформациях / С.А. Корнеев // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 3. - С. 106-122,

10. Орлов А Н. Введение в теорию дефектов в кристаллах / А Н. Орлов. - М.: Высш. шк„ 1983. - 144 с.

11. Полухин П И. Физические основы пластической деформации/ П.И. Полухин, С.С. Горелик, В.К. Воронцов. - М.: Металлургия, 1982. - 584 с.

12. Пестриков В.М. Механика разрушения твёрдых тел/

B.М. Пестриков, Е.М. Морозов. - СПб.: Профессия, 2002. -320 с.

13. Новожилов В.В. Микронапряжения в конструкционных материалах/ В.В. Новожилов, Ю.И. Кадашевич, - Л.: Машиностроение, 1990. — 223 с.

14. Андерсон О. Определение и некоторые применения изотропных упругих постоянных поликристаллических систем. полученных из данных для монокристаллов // Физическая акустика. Динамика решётки. - Т. 3. - Ч. 2. - М.: Мир, 1968. - С. 63-121.

15. Францевич И.Н. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов/ И.Н. Францевич, Ф.Ф. Воронов,

C.А. Бакута. - Киев: Наукова думка, 1982. - 237 с.

16. Останина Т.В. Трёхуровневая иерархическая модель структурной сверхпластичности/Т.В. Останина, П.В. Трусов // физическая мезомеханика. — 2001. — Т. 4. — №5. — С 55-65.

17. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезо уровне//Физическая мезомеханика. — 2001. — Т. 5. — №3. -С. 37-51.

18. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. — Книга I. - Механика вязкопластических и не вполне упругих тел / А.Ю. Ишлинский. - М.: Наука, 1986. - 360 с.

19. Костюк А.Г. Пластичность и разрушение кристаллического материала при сложном нагружении / А.Г. Костюк. -М.: Изд-во МЭИ, 2000 - 180 с.

20. Болыианина М.А. Скрытая энергия деформации / М.А. Большанина, В.Е. Панин // Исследования по физике твёрдого тела. - М.: Изд-во АН СССР, 1957 - С 193-233.

21. Лурье ЛИ. Нелинейная теория упругости / ХУ Лурье. — М : Наука. 1980. - 512 с.

КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, доцент, заведующий кагЬедрой «Сопротивление материалов».

КРУПНИКОВ Иван Владимирович, главный инженер ОАО «С'лбнефтетранспроект».

Д-ч га поступления статьи в редакцию: 06.03.06 г. © Корнеев С.А., Крупников И.В.

УДК 538.561

М. Б. МОИСЕЕВ Б. К. НЕВОРОТОВ

Омский государственный технический университет

Омский аграрный университет

ФОРМИРОВАНИЕ СПЕКТРА ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ ФОРМЫ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ЧАСТОТ

Определены условия разрешимости обратной задачи теории излучения. Найдена функция магнитного поля по каждой заданной функции спектра на конечном отрезке частот.

В настоящее время представляет интерес создание таких источников электромагнитного излучения, которые позволяют генерировать излучение с заданной формой спектра. Такими источниками, например, могут быть ондуляторы [1], свойства излучения заряженных частиц в которых достаточно хорошо изучены [2]. Однако вопрос о формировании спектра ондуляторного излучения (ОИ) заданной формы пока остается открытым. Настоящая работа представляет собой попытку частично ответить на этот вопрос.

Функция внешнего магнитного поля Н(х) вдоль оси ондулятора в ондуляторном режиме [3] (угол отклонения вектора скорости частицы от оси движения меньше угла конуса излучения) связана с функцией спектра (при фиксированных углах наблюдения) уравнением

m\H{x),"°Xdx

ю

(1)

Покажем это.

С этой целью рассмотрим магнитный ондулятор, внешнее поле которого зададим вектором

Н = {ОД W(jc)}. Пусть в ондулятор с начальными условиями

л(о) = 0. Я0)= У0. г(0)= 0, /?(о)= /?{sin a,cosa,О}

влетает релятивистский электрон. $

(Р = — • Э - скорость электрона, с-скорость света

с

в вакууме). Его координаты вдоль ондулятора в каждой точке х будут описываться функциями [4]

dx

сР J COS(í/(.v)

. X = X, V = vn +

г = о (2)

t-время, а угол х) отклонения вектора скорости заряда от продольной оси х связан с внешнем полем Неравенством

л

sin i//(.y) = sin а - q JH(x)dx. g = —— 0

Е-знергия электрона.

Для того, чтобы электрон мог совершить дрейф вдоль всего ондулятора, должно выполняться естественное условие