CC BY
15
МЕХАНИКА, МАШИНОСТРОЕНИЕ
удк 5з?.з С. Л. КОРНЕЕВ
Омский государственный технический университет
ФОРМАЛИЗМ ОБЩЕГО ПОДХОДА К ОПИСАНИЮ
УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ
На примере одномерной реологической модели упругопластической среды с линейным упрочнением предлагается общий подход к моделированию определяющих соотношений упруговязкопластических сред.
1.Введение
Реальные материалы, используемые в разных областях техники, проявляют следующие механические свойства — упругость, вязкость и пластичность. В теории пластичности, одном из активно развиваемых разделов механики деформируемого твердого тела, ставится задача по определению напряжений и деформаций за пределом упругости. Наибольший прогресс достигнут при описании простого нагружения материалов [1,2]. Все не преодоленные до настоящего времени трудности возникают при установлении законов пластического деформирования для сложного напряженного состояния (см., например, [3-8]). Описанию одного из общих подходов к решению данной задачи посвящена эта статья. В ней особое внимание обращается на те принципиально важные моменты, которые
обычно не затрагиваются в специальной научной литературе.
2. Руководящая идея метода
Для наглядности и простоты понимания изложим суть предлагаемого метода на примере одномерной реологической модели упругопластической среды с линейным упрочнением (рис. 1). Отвечающая данной модели диаграмма деформирования (рис. 2) близка по своему виду к диаграммам растяжения и кручения ряда материалов, например, алюминия и некоторых сортов стали [9,10].
2.1. Анализ одномерной реологической модели
Поскольку на участке ОА (рис. 2) деформируются обе пружины £,и£2,а элемент сухого трения <тр не
^ХЛЛАЛЛЛЛЛЛЛЛ^
е2 = - Е" аР
"Ч/УУХ/Х/Х/У V—---
'о <-----> Е <-5»
Рис. 1. Одномерная реологическая модель элемента упругопластической среды.
Рис. 2. Диаграмма деформирования реологической Модели..
меняет своих размеров (рис. 1), напряжение а иде-формацйя е связаны линейным Соотношением
<т = Еее
После достижения точки А с некоторыми координатами (е5,сг5) элемент сухого трения включается в процесс деформирования, а напряжение описывается зависимостью
<т = Е"е + <т„
(1)
Если в какой-то точке В прекратить нагружение и осуществить разгрузку, то изменение напряжения определится выражением (рис. 2)
<тв-сг = Ее(£1-е) или а = ав + Ее(е-ев) . (2)
Введем подятае пластической деформации £р, определив ее следующим образом. Пусть :ег({), — текущие значения напряжения и деформации в некотором произвольном состоянии ¡модели, отвечающем, например, положению С;илц положению О на диаграмме деформирования (рис. 2). Осуществим мысленную упругую разгрузку из'данного напряженно-деформированного состояния в состояние, в котором сг = 0 и е = е" (() по определению. Тогда в соответствии с формулой упругой разгрузки (2) находим
0 = ст(0 + Ее[ер(0-*(0]-
(3)
Как любое уравнение, эквивалентное принятому определению, уравнение (5) не имеет самостоятельно.-го значения, если отсутствует соотношение, описывающее эволюцию пластическойдеформации. Чтобы получить такое уравнение, например, на участке деформирования ВЕ (рис. 2), надо в формулу (4) подставить выражение (2):
,6)
£ £
Как видим, пластическая деформация постоянна, если элемент сухого трения не меняет своих размеров. Если же элемент сухого трения «работает», как на участке деформирования АС (рис. 2), то для определения закона изменения пластической деформации надо в формулу (4) подставить выражение (1). В итоге получим
Ере(1)+<т
р_ _
Ее К' Ее
(7)
Замечание. Процедуру вывода формул (6), (7) можно осуществить иначе. В первом случае достаточно приравнять выражения (2) и (5):
<Х = Ее{Е-ЕР)=а,+Ес{Е-Е,), а во втором случае надо приравнять выражения (1) и (5) а = Ее(Е-Ер)=Ер£ + етр.
В заключение анализа модели получим «условие пластичности», т.е. условие, когда элемент сухого трения начинает, продолжает или заканчивает изменение своих размеров, Согласно структуре реологической модели (рис. 1) для указанных состояний имеет место выражение
а = Е"е + егр ¿!\Ё\
(8)
Взяв в формуле (8) абсолютную величину от ¿1\е\ , находим
с — ЕРЕ\ = с„
(9)
Используя универсальное уравнение (5), выражениям (8), (9) можно придать другой вид
ЕеЕ" Ее-Е"
-Еи +
а - -
Е'Е" Ее -Е"
Ее -Ер Ш
(Ю)
ибо для указанного (мыслимого) процесса упругой разгрузки в формуле (2) надо сделать очевидную замену: о- на нуль, ггв на сг(0, е на £■"({), е„ на ¿(О-В результате из (3) вытекает следующее общее уравнение для определения пластической деформации по текущим значениям напряжения и деформации:
Как условия пластичности, соотношения (9) и (10) функционально эквивалентны.
Для начального этапа деформирования ОА (рис. 2) пластическая деформация равна нулю ( ер = 0). Поэтому согласно (10) в точке А
о, =
(4)
Ее
\-—
(И)
Определению (4) можно придать вид уравнения^ справедливого для любого напряженно-деформированного состояния реологической модели:
а = Ев(е-£р) (5)
Замечание. Благодаря одномерности рассмотренной реологической модели при деформировании элемента сухого трения всегда выполняется равенство
(12)
Поэтому выражение (8) можно записать, например, следующими эквивалентными способами:
с = ЕР £ + *„£"/
a=E"s + ct'ap e/\E\ + а"стр ¿'/\ep\ (a' + a" = 1) ■ (13)
При переходе к описанию пространственного на-гружения реальных материалов равенство типа (12) будет иметь место только для простого нагружения. При сложном нагружении условие типа (12) не будет выполняться. Поэтому соотношения вида (13) перестанут быть эквивалентными. Последнее обстоятельство необходимо учитывать при моделировании уравнений состояния упругопластических материалов.
Замечание. При длительном активном нагружении реологической модели (до точки В на рис. 3) и последующей (реально осуществляемой) разгрузки в точку D происходит вторичная пластическая деформация (участок DC на рис. 3). Данный факт никак не влияет на пригодность полученных соотношений (4), (5), (9), (10). Связано это с тем, что при определении пластической деформации (4) используется мысленная упругая разгрузка (участок В£нарис. 3), позволяющая единообразным способом находить расстояние (по оси абсцисс) между прямыми, на которых лежат отрезки OA и ВС. По условиям пластичности (9) или (10) нетрудно убеди ться, что на участке ВСреально осуществляемой разгрузки ер = const, а на участке CD — ер ф const.
2.2. Формализация руководящей идеи для реологической модели
Формализуем руководящую идею предлагаемого метода, оставаясь для простоты в рамках рассмотренной реологической модели. С этой целью разделим диаграмму деформирования (рис. 2) на две части (рис. 4).
Первая часть общей диаграммы деформирования отвечает так называемому изо пластическому режиму деформирования, когда ер = 0 (элемент сухого трения реологической модели (рис. 1) не меняет своих размеров). Данному режиму соответствует бесконечное множество ветвей в виде параллельных прямых, удаленных от прямой, проходящей через начало координат, на расстояние е" вдоль оси деформаций (рис .4а). Указанные прямые описываются уравнением
<т = (т,р(Е,ер)=Ее(е-е'')
Для каждой из ветвей пластическая деформация е" имеет свое постоянное значение.
Вторая часть общей диаграммы деформирования отвечает пластическому режиму деформирования, когда ер ф 0 (элемент сухого трения реологической модели (рис. 1) меняет свои размеры). Данному режиму соответствуют две ветви в виде параллельных прямых, отстоящих от начала координат на расстояние ±ср вдоль оси напряжений (рис. 4 б). Эти прямые описываются одним из уравнений'
а = а* (е, ё) з Е "Е + ар е!\Е\ , а = (Tp(s,£p)= Ере + ср ер/\ер\
(14)
Рис. 3. Разгрузка реологической модели при большой начальной деформации.
Рис. 4. Диаграммы для разных режимов деформирования: а - изопластический режим деформирования (¿Р = 0), б - пластический режим деформирования ( ер * 0).
делят плоскость Е — ег на две области — внешнюю (на рис. 4 б заштрихована)
и внутреннюю
\<т-ЕрЕ >ст„
\а-Ер£\<.ап
(15)
(16)
Изопластический режим деформирования может быть осуществлен только во внутренней области (16). Пластический режим имеет место, если в соотношении (16) выполняется знак равенства. Внешняя область (15) не может быть реализована ни при каких условиях. Иными словами,
если ¿р*0.то сг = <тр (е,е)= Ер е + а ре1\е\ ,
\<Т-ЕрЕ\-стр=0] (17)
если ¿р = о, то а = <г'р(ег£р )= Ее (е - ер),
а-Ер£-(т< 0.
(18)
Верхняя ветвь (рис. 4 б) реализуется, если ё > о (или ¿о > о), а нижняя ветвь имеет место, если ё < о (или ёр < 0) • Обе ветви, объединенные единым уравнением
' Напомним, что при одномерном деформировании имеет место равенство (12).
Понятно, что при одномерном квазистатическом деформировании в (17) и (18) можно заменить
ср{е,е) на а"{£,Ёр), как это сделано в (14),афункцию Ф(<т,е)=\сг-Ере\-о'р можно заменить на функцию
ф{а,Ер)=\сг-к^е^-о-, , где ^задается формулой (11),а
ка =ЕеЕр/\Е" -Е").
Последняя замена основывается на формуле (10), функционально эквивалентной формуле (9).
Закон изменения пластической деформации ер на этапах пластического деформирования определяется равенством
а=о»(е,е>')=ор(£,е) (19)
или его модификацией
При одномерном деформировании реологической модели зависимости (19), (20) эквивалентны, ибо, как уже неоднократно отмечалось, в обозначенных условиях имёет место равенство (12).
3. Формализация метода при пространственном динамическом нагружении упруговязкопластической среды при малых деформациях
По определению под упруговязкопластической средой будем понимать среду, состояние каждой точки X которой в данный момент времени (однозначным образом характеризуется заданием параметров2.
е(<,х), уе(г,лг), Е(/,х), ¿(/,х), £р(<,х), ¿р(*,х), (21)
где о — абсолютная температура, е — линейный тензор деформации, ср — симметричный тензор второго; ранга, называемый тензором пластической деформации, к— набор параметров упрочнения. Точкой сверху обозначена полная производная по времени, оператор V указывает на градиент соответствующей величины по пространственным координатам. Число и тип параметров упрочнения уточняется отдельно для конкретной модели. Например, в качестве пара-, метров к могут быть использованы работа пластической деформации [2,4,11] /
А"(1,Х)= |т(г,Х): ¿р(г,Х)с1г
о
и (или) параметр упрочнения Одквиста о
где х — тензор напряжений.
Обобщая известные экспериментальные данные и опираясь на общие положения существующих теорий пластичности [2, 4, 5], предполагаем (постулируем) существование скалярной функции3
ф(г,9,У9,е,с,ер,ер,*г)= 0. (22)
которой в пространстве напряжений отвечает некоторая гиперповерхность, называемая поверхностью текучести. Уравнение (22) будем также называть условием пластичности.
Различаем два типадеформирования: когда ¿р * О будем говорить о пластическом деформировании
1 Под параметрами состояния понимаются величины, задание которых однозначным образом определяет значение всех физических величин, характеризующих свойства данной точки среды. Включение в число параметров состояния градиента температуры связано с тем, что от него зависит вектор теплового потока.
'Для простоты записи во всех дальнейших формулах опускается указание на зависимость величин (21) итеизора напряжений
Т от времени (и радиус-вектора точки среды в отсчетной конфигурации х.
материала, а когда ¿р = о—об изопластическом деформировании материала. Принимаем (постулируем), что при пластическом деформировании
если ¿Р* о'ТО r = r/,^)Ve,e,é,ep,èp,K-)1 лг*0,
®(r,e,V0(e,é,ep,èpf*:)=O,
а при изопластическом деформировании если ¿Р = о,то Т = Tip^,VQ,e,è,£р,ép,к). к = 0,
®(r,9,V8,e,é,ep,ép,/c)^0-
Когда ф(г,е,Ув,е,£,ер,ер,л:)= 0, справедливо равенство
которое будем называть условием непрерывности, так как благодаря ему обеспечивается непрерывное изменение тензора напряжений в момент смены режима деформирования (с изопластического на пластический и с пластического на изопластический). Равенство (23) также задает закон изменения тензора пластической деформации и позволяет установить в явном виде функцию (22), либо ее функционально эквивалентные модификации, дающие при численных расчетах одинаковые результаты.
При известных зависимостях Тр, Т'р и заданных законах изменения тензора деформации е(г,х) и температуры 9(f, X) процедура расчета тензора напряжений т(/,х) и тензора пластической деформации £р((,х) может быть реализована, если дополнительно задано распределение пластической деформации в начальный момент времени ер (/ = 0, X). Например, можно исходить из гипотезы существования естественной конфигурации [12], в которой ер(0,х)=0, а среда находится в термодинамически равновесном состоянии при определенной температуре в0 и некотором гидростатическом давлении р„ ;
4. Выводы
Нетрудно заметить, что в предлагаемом методе описания упругопластических сред все замыкается на функциональных зависимостях Тр и т'р. Например, если положить
Т'р =<з1 + 2ц^-ер) ( r'=CT/ + 2Me+CTpép/||ép| ,
а = Я tre, trep = 0 , (24)
где ц, M, <ip, К — некоторые материальные константы, j - единичный тензор, trA, A, ||/<|| = Vtr/l2 -след, девиатор и модуль (норма) симметричного тензора А соответственно, то, используя предложенный формализм, придем к определяющим соотношениям теории пластичности А.Ю. Ишлинского [5, 13]. Если же дополнительно принять М = 0> то получим уравнения состояния теории идеальной пластичности Прандтля-Рейсса [2, 4, И]. Наконец, есливместо (24) принять
Tip = al + 2ц(? - ер ), Тр =о1 + ¿/¡¿||,
о = X tre , trep = 0 , (25)
то придем к теории пластичности, отличающейся от теории идеальной пластичности Мизеса [14] учетом упругой сжимаемости материала на этапах пластического деформирования. В час тности, согласно (23), (25)
получим следующее выражение д\я девиаторатензора напряжений при пластическом деформировании:
Г=оре/И|. (26)
Отсюда сразу вытекает условие пластичности Губера-Мизеса
= (27)
Принципиальное отличие теории идеальной пластичности Мизеса от теории идеальной пластичности Прандтля-Рейсса состоит в том, что в последней вместо соотношения (26) имеет место соотношение
Г = арер/||ер||, (28)
приводящее к одинаковому с теорией Мизеса условию пластичности (27). Соотношение (28), будучи записанным в виде
¿p=xf. НИ/°Р'
представляет собой не что иное, как ассоциированный закон течения: тензор скоростей.пластической деформации направлен по нормали к поверхности текучести [2,4,5,111.
Замечание. Можно показать (см., например, (14[), что в случае плоской деформации и несжимаемости среды при пластическом деформировании (tre = 0 ) тео-рия пластичности Мизеса совпадает с теорией Сен-Венана [15]. При этом условие пластичности Гут бера-Мизеса (27) принимает вид, аналогичный условию пластичности Треска [ 14,1.6]:
immük, Л = л/Зстр/2. (29)
Литература
1. Ильюшин A.A. Пластичность. — Т. 1. — Упруго-пластические деформации. — М.-Л.:ГИТТЛ, 1948. — 376 с.
2. ХиллР. Математическая теория пластичности. - М.: ГИТТЛ, 1956, - 407 с.
3. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей мате-матической теорий. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.
4. КачановЛ.М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969. - 420 с. ■ 1
5. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 704 с.
6. Коларов Д., Балтов А.^Бончева Н. Механика пластических сред. - М.: Мир, 1979.,- 302 с.
7. Шемякин Е.И. О сложном нагружении //Упругость и неупругость / Под ред. Ц.Л. Кийко, М.Ш. Исра-илова, Г.Л. Бровко. - М.: Изд-врМГУ, 2001. - С. 124-132.
8. Бураго Н.Г., ГлушкоА.И., Ковшов А.Н. Термодинамический метод получения .определяющих уравнений для моделей сплошных сред// Изв,АН, МТТ. -2000. - № 6. - С. 4-15. » . ■< ..-..г
9. IveyH.J. Plastic stress-strain relations and yield surfaces for aluminium alloys //J. Mech. Engineering Sci. — 1961. Vol. 3, - №1. - P. 15-31,,
10. Анин Б.As, Жигалкин В.M. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. — Новосибирск, .Изд-в.о СО РАН, 1999.. -,342 с. ;. .
11. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. —-М.: Машиностроение,'1975. —400 с.
12. Шемякин Е.И. Введение в теорию упругости.
- М.: Изд-во МГУ, 1993. - 96 с.
13. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. — Книга 1. — Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. — М.: Наука, 1986. — 360с.
14. Мизес Р. Механикатвердыхтелв пластическом состоянии // Теория пластичности. Сборник статей.
— М.: Изд-во иностр. лит., 1948.— С. 57-69.
15. Сен-ВёнаН Б, Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости //Теория пластичности. Сборник статей:' — М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - С. 11-19. ; ' 1
16. Аркулис Г.Э., ДорогобидВ.Г. Теория Пластичности. - М.: Металлургия, 1987. - 352 с.
КОРНЕЕВ Сергей Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Основы теории механики и автоматического управления».
Книжная полка
Комаров И.А. Термодинамика и тепломассообмен в дисперсных мерзлых породах: Науч. изд. / И.А. Комаров. - М.: Научный мир, 2003. -608 е.: илл.
Сетков В.И. Сборник задач по технической механике: Учеб. пособие /
В.И. Сетков. - М.: Академия, 2003. - 224 е.: илл.
