CC BY
105
Механика
Вестник Нижегородского униве рситета им. Н .И. Лобачевского, 2013, № 5 (1), с. 179-18 7
УДК 539.374
МОДЕЛЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ СКОРОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
© 2013 г. Т.Д. Каримбаев,1 Ш. Мамаев2
Центральный институт авиационного моторостроения им. П.И. Баранова, Москва ^Московский физико-технический институт
sch_mamaev@mail. т
Пиступака в редакцаю 30.04.2013
Многочисленные экспериментальные исследования свидетельствуют о заметном влиянии скорости деформации на пределы текучести, прочности, законы упрочнения и другие параметры процессов деформирования в различных материалах. Аналитические подходы, учитывающие указанные эффекты скорости деформаций, представлены в большом числе работ и продолжают разрабатываться. Однако инженерные подходы, позволяющие в рамках экспериментальных и аналитических достижений описать сложные явления при переменных скоростях деформации, недостаточно развиты. Модель упругопластического течения при переменной скорости деформирования, разработанная в предположении, что скорость деформации является параметром, может в некоторой мере восполнить этот пробел. Она построена на совокупности экспериментальных зависимостей напряжений от деформаций, полученных при различных значениях скорости деформации.
Ккючевые скива: упругость, пластичность, вязкость, текучесть, скорость деформации.
Наиболее значимые эффекты скорости деформаций
Влияние скорости деформации на механические характеристики материалов было установлено испытаниями на удар еще в конце XIX и в начале XX века [1]. Изучению свойств материалов при динамических нагрузках посвящено большое число экспериментальных работ. Обзор экспериментальных исследований с анализом результатов испытаний и способов их проведения выполнен в работах [1-6].
На основании изучения опубликованных экспериментальных исследований, выполненных при различных скоростях деформирования, установлено, что наиболее чувствительными параметрами материалов к их изменению являются пределы текучести, прочности, а также характеристики упрочнения. Результаты испытаний труб из мягкой стали, приведенные в [7] (см. рис. 1), характеризуют влияние скорости деформаций на пределы текучести и прочности. Пределы текучести ст/ и прочности стьа возрастают с увеличением скорости деформации £. Динамический предел текучести ст/ растет быстрее, чем предел прочности СТ]Д и с некоторых значений скоростей £ он (ст/) практически достигает значений предела прочности стьа. Эффект межзеренного скольжения сменяется эффектом разрыва зерен. Для формирования скольжения необходим большой промежуток времени, чего нет при высоких скоростях де-
формирования, и материал проявляет псевдо-
хрупкие свойства. В [8] установлено, что динара
мический предел текучести ст8 мягкой стали в области скоростей деформации £ порядка 102-103 с-1 достигает величины, в 2.5-3 раза превышающей статический предел текучести ст8°. Зоной повышенной чувствительности предела текучести ст/ к изменению скоростей деформации £ является диапазон скоростей от 1 с-1 до 102 с-1.
В опытах [9] с чистым алюминием изучалось влияние изменений скорости деформации £ в диапазоне от 10-3 с-1 до 104 с-1 на кривые деформирования ст~е и упрочнение материала dст/ds. Эксперименты [10, 11] показали, что упрочнение материалов dст/ds при фиксированном значении деформации е существенно зависит от скорости деформации £. На рис. 2 приведены диаграммы растяжения стали 45, полученные при различных скоростях нагружения 9.8*1012
Н/(м2-с) и 9.8*106 Н/(м2-с) [12]. С повышением
а
скорости нагружения предел текучести ст8 возрастает почти вдвое. Также существенно возрастает касательный модуль «упругости» dст/dе, характеризующий степень упрочнения материала. В [13] построены кривые деформирования ст~е для алюминиевых сплавов А7, АД0 и АД1 в состоянии поставки и после отжига (рис. 3). Упрочнения dст/dе при деформациях е, превышающих 3%, на всех кривых практически одинаковы и не зависят от скорости деформации £.
'50
500
250
ОЛПТа — —
^"Г~ / /
у
/ / /
0.2
0.4
&Уо
Рис. 1. Зависимость пределов текучести и прочности Рис. 2. Кривые деформирования стали 45 при скоро-
(штриховая линия) для мягкой стали
сти нагружения 9.8x10 Н/(м •с) (верхняя кривая) и 9.8*10б Н/(м2-с) (нижняя кривая)
АпюьишнеБая проволока
Рис. 3. Кривые деформирования сплава АД1 при скоростях деформирования: £=540-4с-1(1), £=103с-1(2), £=3-103с-1, £=540с-1(4)
Рис 4. Экспериментальные эависимости перехода с кривой на кривую
В экспериментах [14], а также в [9, 15] было установлено влияние истории изменения скорости деформации ^ на кривую деформирования материала dст/dе. Существенно, что в работах [9, 15] это влияние обнаружено при изменении скорости деформации ^ всего на два порядка. На рис. 4 воспроизведены результаты испытаний [15] по растяжению алюминиевой проволоки с комбинациями двух скоростей деформации: ^1=5.5х10-3 с-1 (нижняя кривая) и ^2= = 4.5х10-1 с-1 (верхняя кривая). В точке А при е = 3.6% скорость растяжения была быстро снижена с ^2 до ^1. Пунктирная линия показывает, что в последующем процессе деформирования при ^ кривая ст = ст(е) стремится к кривой ст(е), соответствующей скорости ^=^1, и практически совпадает с ней через небольшой участок запаздывания Де = 0.8%. Аналогичный переход был выполнен на другом образце в точке В при большей предварительной деформации (е = 19.5%). В этом случае стремление к кривой ст=ст(е) при ^=^1 происходит несколько медлен-
нее. В точках С (е = 3.6%) и D (е = 19.5%) совершен переход от меньшего значения скорости деформации ^= к большему ^ =^2. В этих слу-
чаях также наблюдался переход от кривой ст(е), соответствующей скорости деформации ^1, к кривой ст=ст(е), соответствующей ^2. Эти испытания показывают, что кривые ст=ст(е), построенные в опытах с постоянной, но изменяющейся от эксперимента к эксперименту скоростью деформации ^, могут играть роль опорных кривых ст(е) при построении математической модели динамического деформирования материалов. Начальный этап деформирования при изменении скорости деформации ^, как следует из испытаний, проведенных в [16], осуществляется упруго. Только затем наблюдается нелинейное приближение к соответствующей кривой деформирования ст=ст(е; ^+Д£). Накопленная на первом этапе нагружения необратимая пластическая деформация ер полностью сохраняется при любых изменениях скорости деформации Ъ). Однако момент появления нелинейных дефор-
маций при изменении скорости деформации £ недостаточно экспериментально изучен. Неопределенность предела пропорциональности в зависимости ст=ст(е) приводит к существенным трудностям при моделировании процесса перехода с кривой, соответствующей одной скорости деформации £, на другую.
Проведенный краткий анализ результатов экспериментальных исследований распространения механических возмущений подтверждает зависимость сопротивления материала от скорости деформации и проявление эффекта вязкости, что отражается в различных реологических моделях поведения материалов под нагрузкой [17, 18, 19]. Разработанные математические модели, описывающие явления при высокоскоростных нагружениях, обычно учитывают влияние скорости деформации на характер нелинейного деформирования. Работы Л. Малверна [20], В.В. Соколовского [21], П. Пэжины [3],
В.Н. Кукуджанова [22,23], С. Калиски [24], Р.М. Нагди и С.А. Мерч [25] и многих других внесли существенный вклад в развитие теории упруго-вязко-пластического деформирования. Использующиеся обобщенные на упруго-вязкопластические среды модели деформирования предоставляют широкие возможности для исследований [3, 19-24]. Однако обобщения, как правило, в меньшей мере охватывают отдельные экспериментально наблюдаемые явления и зачастую приводят к заметным осложнениям при решении конкретных инженерных задач. Это обстоятельство, быть может, является одной из причин относительно узкого применения указанных моделей деформирования в практике проектирования изделий. В связи со сказанным продолжаются попытки создания математических моделей неупругого поведения материалов, чувствительных к изменениям скорости деформации [25-27]. Ниже описана модель упругопластического течения при переменной скорости деформирования, которая, являясь развитием работы [25], позволяет на основе экспериментально полученных для различных скоростей деформации £ зависимостей ст ~ е предложить алгоритм решения конкретных задач.
Вариант модели пластически
деформируемых материалов, чувствительных к скоростям деформации |
Экспериментальные данные показывают, что пластическое состояние при динамическом нагружении достигается при более высоких уровнях нагрузок, чем при статическом нагружении. Уровни пластических деформаций могут замет-
но зависеть от истории нагружения, в том числе и от истории изменения скоростей деформации £. Последние эффекты проявляются особенно четко для материалов с хорошо выраженными пределами текучести стл. Отдельные аспекты влияния скорости деформации £ на состояние тела могут быть учтены, если поверхность нагружения [25] записать в виде
/(ст„, ер, ^, х,) = 0. (1)
Здесь Оу, еРу, £у являются компонентами тензоров напряжений, пластических деформаций и скоростей деформации, а х - скалярный параметр упрочнения, зависящий от истории изменения пластических деформаций еРу. Параметр упрочнения х является постоянным при фиксированных значениях еРу, и остаточные деформации определяются его величиной. В качестве величины х обычно принимают параметр Одквиста [28]
определяющий уровень накопленной пластической деформации ер- за всю историю нагружения (от 0 до {). Влияние параметров вязкости на упругое и пластическое деформирование можно связать с зависящими от них изменениями характеристик упругости, а также поверхности нагружения (1). Указанные эффекты вслед за [25] можно аналитически записать, используя известные подходы теории пластического течения (см. [29]). В соответствии с экспериментальными результатами о незначительном
влиянии скоростей деформаций £ на характеристики упругости принимается линейная зависимость шаровых составляющих тензоров напряжений ст=СТу<5у/3 и деформаций е = еу8у/3 е=ст / К
(в дифференциальной форме йе=йст/К);
еу е^у+эу, стг] ст^У +sij, (3)
где К - объёмный модуль упругости, 8у - символ Кронекера. Далее предполагается возможность представления компонент девиатора деформации Зу в виде суперпозиции упругой эе,} и пластической составляющих эРу:
Зг] = 3г] + 3 г] (4)
~ е
и линейная зависимость упругих э г} составляющих девиатора эг} деформации от соответствующих составляющих девиатора напряжений sг}:
3ег] = 8,} /2ц (5)
(в дифференциальной форме ёэе,} = Жу /2ц).
Появление приращений пластических составляющих девиатора деформаций сЭРу связывают (см. [29, 30]) с поверхностью / нагружения (1), полагая их ортогональность к поверхности нагружения (1):
Сэ р = LdX. iJ Cs....
(б)
Здесь параметр X размерности напряжения пока неизвестен. Изменения пластических составляющих Сэр. девиатора деформаций связаны с изменениями поверхности нагружения (1)
df = Ldsif +f Сэ j + Ldt,. + Ldjt. (7)
J ds. 1J д^Р 1J dtу dji li K '
Условия последующего активного нагружения или разгрузки следуют из определения поверхности нагружения (1) и характера её изменения (7). В процессе разгрузки и нейтрального нагружения поверхность f = 0 не изменяется, нет пластических деформаций (Сэр. = 0) и их накоплений (dxi = 0). Условие разгрузки и нейтрального нагружения в соответствии с (7) можно записать в виде
df < 0 или df = ^—ds.. + -d—dt.. < 0.
Cs. 'j d%„ Sy
df = 0 и df = Lds.. + Ldt.. > 0.
ds^ iJ dt. J
(9)
dJP =
_L
ds„„
CSpq +
_l
C£ pq
pq < 0,
dX при df = 0
dstl
L ds + fcE
pq ct p
pq
(10)
ds
ветствии с определением (2) и зависимостями (б) имеют место соотношения
d%i=ds^i =(0.5СэРу Сэру)0'5; dj =[0.5(df/aslj)(df/dslj)](>idx, (11)
где
эр = (0.5эру эРу)°'5; si = (0.5s. s.)05. (12)
Скалярный множитель dX, определяющий линейную зависимость между компонентами приращения девиаторов пластических деформаций Сэр. и напряжений s., находится из равенства df=0. Подставляя в соотношение (7) выражение приращения девиатора пластической деформации Сэр. (б) и приращения накопленной пластической деформации dj (11), можно получить коэффициент dX:
СХ = -Ф
(8)
fdsv +fdtv ds.ц J dt ц У
(13)
Здесь введен новый скалярный параметр
Рост пластических деформаций й3Ру Ф 0 и появление вклада Щх>0 для упрочняющегося тела связаны с расширением поверхности нагружения:
Ф-1 =f l+l
dJ
дэ1 dsj
0.5
(14)
У
Ассоциированный с поверхностью нагружения /= 0 (1) закон пластического течения (б) с учетом влияния скорости деформации £ принимает вид
0 при df < 0
Если использовать выражение (б), то приращение девиатора пластической деформации Сэр. на активном участке нагружения можно представить в виде
СэР =--L Ф
ds
Cf db_ +fdt„
ds
dt
(15)
где dX - по-прежнему неизвестный параметр. По форме соотношения (10) не отличаются от традиционного ассоциированного закона пластического течения. Однако функция нагружения (1) является более сложной, чем в теории пластичности [28]. Фактическое содержание
выражения (д^длуЩ., одновременно увязывающего поля девиаторов напряжений 5у, деформаций Зу и их скоростей £, является более глубоким и сложным. Принятая поверхность нагружения (1) зависит от скорости деформации £у, её форма и размеры изменяются в зависимости от скорости деформации £. Скорость деформации £г} хотя присутствует в (1) как независимый параметр, тем не менее, она дифференциально связана с деформацией ег}. В соот-
Из выражений (14) и (15) следует, что изменения девиатора пластической деформации dэPy могут происходить только на активном участке деформирования, и они осуществляются как за счет изменения компонентов девиатора напряжений dsj и изменения скоростей деформаций dtj, так и в силу изменения поверхности нагружения f=0 от этих параметров. Вводя обозначения FL = -Ф-1 {df/dsmn); F'l = -Ф-1 (df/д^тп), (16) выражения (15) для приращений пластических деформаций dэPy запишем в виде:
<$э ij (df/SSij)( Fmndsmn + F>mnd^mn). (17)
В выражении (17) составляющая Fmn(spq, £pq, %t) приращения пластических деформаций dэPy обусловлена изменениями девиатора напряжения smn при постоянных значениях компонент тензора скоростей деформации £mn, а составляющая Fmn(spq, £pq, %t) вызвана изменениями тензора скоростей деформаций £mn при постоянных значениях компонент девиатора напряжения smn. Все эти изменения рассматриваются при постоянной величине накопленной пластической деформации =s р = const. Выражение
0.5
и
и
(17) для приращений компонент девиатора пластических деформаций Щэр,} по форме подобно соотношениям неизотермической теории пластичности [31, 32]. Однако в отличие от зависимостей неизотермической теории пластичности здесь переменные компоненты девиаторов напряжений я,}, деформаций Зу и компоненты скоростей деформации £г} являются взаимно связанными величинами. В несвязанной неизотермической теории пластичности температура Т является не зависящей от я,} и э,} переменной. Влияние на поверхность нагружения f таких параметров, как переменная скорость деформации £,} в соотношении (17), и температура Т в несвязанной неизотермической теории пластичности определяется внутренним их качественным отличием. Несмотря на эти отличия в [25] удалось показать нормальность вектора мгновенных приращений Щэр,} компонент девиа-тора пластических деформаций поверхности нагружения f = 0 в форме (1).
Функция нагружения f = 0 (1) записана в достаточно общем виде, что является причиной неопределенности модели. Кроме того, в совокупности принятых условий не выяснено, каким образом меняются форма и размеры поверхности нагружения f = 0 при изменении этих условий. Построение определяющих соотношений упруго-вязко-пластического деформирования исследуемой среды и разработка соотношений, пригодных для проведения непосредственных вычислений, завершается установлением конкретного вида функций у а также Ртп и Р"тп, являющихся следствием принятой функциональной формы поверхности нагружения / Кроме того, необходимо установить способы экспериментального определения введенных функций. С целью конкретизации формы по-
верхности нагружения у = 0 ниже используется один из частных случаев, соответствующий обобщенному на вязкое пластическое деформирование условию текучести Мизеса
У(з,, х, л,) = 2 -ст 2(х, Л ,) = 0. (18)
Здесь я,, £, - интенсивности касательных напряжений и скоростей деформации, которые определяются соотношениями (11) и имеют вид
12 2 дє.. дє..
і,=J jiA = у Or Or
(19)
В (18) функция СТ8(хг-, £г) является мгновенным пределом текучести, равным значению интенсивности девиатора напряжения si при определенной интенсивности скорости деформации £г- и накопленной пластической деформации Xj в текущий момент времени t. Начальная поверхность нагружения ак(£г) = as(0, £г) совпадает с обычным пределом текучести, зависящим от скорости деформирования £г- (рис. 5). Последнее обстоятельство непосредственно охватывает экспериментальные результаты зависимости предела текучести материалов от скорости деформирования £. Геометрически зависимость (18) изображает в пространстве (si, э, £г) поверхность деформирования образца (рис. 5) с отдельными кривыми деформирования, соответствующими различным скоростям деформации £. Процесс деформирования образца при заданной переменной скорости деформации £г- = = const можно изобразить в виде кривой si = g (эг- ) на этой поверхности. Совокупность кривых s; = = g (эг) до предела текучести as(0, £г) образует линейчатую поверхность упругого деформирования. В сечениях э; = const изображается зависимость интенсивностей напряжений si, в том числе пределов текучести as от интенсивности
скорости деформаций 4'. Сечения s, = const определяют зависимость интенсивности сдвиговых деформаций э, от скорости деформаций 4'. Следует заметить, что модель построена в де-виаторном пространстве напряжений и деформаций (s,, э,), а используемый параметр 4 - в пространстве начальных деформаций. Обоснованием этому является то, что функция f = 0
(18) при заданном 4 не зависит [33] от гидростатического давления ст0.
Всякая точка, изображающая пластически деформированное состояние материала, в любой момент времени должна находиться на поверхности s, = cts(4, хд, которая зависит от накопленной необратимой пластической деформации Xj и текущего значения интенсивности скорости деформации 4 (вязкость). С учетом принятой формы поверхности нагружения (18) основное соотношение (15) при продолжающемся нагружении можно записать так:
dэp j = (sy)[dsi - (Эст/Э4)^4]/ [s, (Эст/Эх,)]. (20)
В (20) были учтены равенства, вытекающие из (18):
df/dsij = s,y; df/d^i = -2<3sda/d4 = -2sidCTjd4;
smndsmn 2sidsi;
df/dxi = -2CTsdCTs/dxj = -2sida/dxj. (21)
Соотношения (21) позволяют записать Ф-1 = - (2CTs5T/^;)[0.5sysy]a5 = -2s,2 (дг/дх). (22)
Если ввести обозначения
F =1/ [(д/дХ)]; F =F(dsd4), (23)
то ассоциированный с обобщенной поверхностью Мизеса (18) закон течения (20) с учетом влияния скорости деформации 4 можно записать в виде
dэpy = (si/s,) [Fdsi - Fd4]. (24)
Соотношения (24) имеют место только на активном участке нагружения, когда в соответствии с (10) и (21) выполняется условие
dsi- (дг/д4) d4i >0. (25)
В противном случае dэPj = 0. Соотношения
(24) дают возможность учесть известные экспериментальные факты [1]. Из выражений (24),
(25) видно, что для предложенного соотношения условие активного нагружения и разгрузки отличаются от существующих подходов. Способ получения соотношения (24) принципиально не отличается от того, что был использован в [25]. Точно так же, как и в аналогичных соотношениях работы [25], зависимости (24) продолжают содержать неопределенности, которые не позволяют их использовать в конкретных расчетах. Указанные неопределенности связаны с нерегламентированным (общим) характером
изменения поверхности текучести cts(X', 4) от параметров х, и 4'. Представляется, что конкретизация способов получения введенных соотношениями (23) функций F и F ниже выполнена впервые.
В соответствии с основными предположениями и соотношениями (2)-(5) и (24) на активном участке деформирования имеют место определяющие соотношения в форме
dsy = da&j / K + ds'j / 2ц+ (s^s)*
x (Fds,■ - Fd4). (26)
Далее предполагается, что поверхность пределов текучести s' = cts (4, хд не зависит от вида напряженного состояния и её можно построить на основе результатов испытаний на одноосное растяжение, выполненных при различных, но постоянных скоростях деформации 4 = const. В виртуальном испытании образца на растяжение начальное состояние определяется достигнутым уровнем растягивающих напряжений Стц и скоростей деформаций 4
CT = CT11 /3; CTij = 0 (при i и j, не равном 1 одновременно)
s11 = 2CTn/3’ s22 =s33 = —CTn/3’ (27)
s12 = s13 = s23 =0; st =CTn/V3;
sn/si = 2/V3; s22/si = s33/si = -1/л/з;
s12/ si = s13/ si = s23/ si = 0.
Если достигнутое равновесное состояние (27) приведено к новому равновесному состоянию с помощью дополнительного растягивающего напряжения dan Ф 0, то
du = dan/3, dsn =2dan/3, ds22 = ds33 = -d<ju /3,
ds, = dan /V3 ; d4 =0, и в соответствии с (26), (27) приращения компонент тензора полной деформации вычисляю тся из соотношений
d&ll=[K+1/ц+2F]dsi/^Jз ; dsi2=dsi3=ds23=0;
ds22=ds33 =[K-ds22/2^-Fs]ds1 / S. (28)
При этом приращение интенсивности сдвиговых де формаций находится из равенства
dэi = (1/2ц + F) ds,. (29)
Из (29) можно найти одну из искомых функций
F = 1/ (dsjda) - 1/2ц = 1/2ц' - 1/2ц;
2ц' = dsi/dэi. (30)
Здесь 2 ц' - касательный модуль сдвига к экспериментальной кривой s^). Таким образом, для экспериментального определения функции F следует рассмотреть простое растяжение образца при 4 = const. Из выражения (30) и условия ц' < ц видно, что функция F всегда является положительной и обусловливает возрастание пластической деформации эvi >0 при ds>0 и отсутствие её приращения ^эр- = 0) при ds ,<0.
Если достигнутое начальное равновесное состояние (27) приведено к новому равновесному состоянию путем изменения интенсивности скорости деформации dEi Ф 0, то приращения напряжений равны нулю:
dстll= 0, dо = ds\ \ =ds22 = ds33 = dsi = 0, и в соответствии с (26) приращения компонент тензора деформации и интенсивности сдвиговых деформаций вычисляются из соотношений
dsп = - (2/л/э )^4; ds22 = dsзз = (1/л/з )Р^-;
dэi = (31)
В соответствии с (31) вторая неизвестная
функция Р определяется из соотношения
Р = dэi / dlil. (32)
По экспериментальным кривым деформирования si(эi), построенным при различных значениях скорости деформации 4, должны быть построены сечения эг{4) поверхности текучести при постоянном уровне интенсивности напряжений (-г=сошґ). Касательные к кривой эг(4) позволяют определить экспериментальные выражения функции Р (см. (31)) при текущем значении 4. В соответствии с экспериментальными данными Эстк/Э4г>0 и соотношением (24) функция Р принимает только отрицательные значения. Поэтому согласно равенству (24) рост пластических деформаций ^эр>0) можно наблюдать только при уменьшении скорости деформации d^i < 0. Этот эффект можно видеть и из соотношения (31) для основной компоненты деформации ds11. Таким образом, при возрастании скорости деформирования 4 приращение пластических деформаций не наблюдается. Эти результаты качественно согласуются с экспериментальными данными. Подставляя выражения (30), (32) в соотношение (26), можно получить закон пластического течения с учетом влияния скорости деформации
d&ij = d<з8ij/K+dsij/2ц+ (sij/si)H(F'dsi - F^’d^i) = = d<з8ij/K+dsij/2ц+ (-у/-г^. (33)
Здесь
G = Н№ - Р^-);
Н(х) =1, если х >0 и Н(х) =0, если х <0. (34) Физические соотношения (33) могут быть записаны в виде
dsп=[dстп-v(dст22+dстзз)]/ Е+(-п/-г) G; ds 12= dsl2/2ц+ (812/-і) G; ds22 = ^СТ22^ (dстп + dстзз)]/ Е+ (-22/-і) G;
dsl3 = dsl3 / 2ц+ (-і3/-г) G; (35)
dsзз =[dстзз-v (dст22+ dстп)]/E+ (sзз/Si)G; ds2з = ds 2з/2 ц+(-2з/Si)G, в котором V - коэффициент Пуассона, Е - модуль упругости.
При решении конкретных задач в каждый момент времени в каждой точке необходимо уточнить условия нагружения и разгрузки, ко-
торые связаны с переменными значениями скоростей деформации 4 и уровнями интенсивностей напряжений -г-. Условия нагружения и разгрузки при простом растяжении и сжатии отличаются от исследованного в [31] варианта теории неизотермического течения. Ниже приводятся различные случаи нагружения и разгрузки. Для многих материалов с увеличением скорости деформации £ кривые деформирования идут выше [13, 34, 35]. Вследствие этого и соотношений (20), (24), (25) при dsi > 0 и d£i< 0 обязательно происходит нагружение (рис. 6а) так как согласно (25) dsi - (до^д^^^ > 0. При dsi < 0 и >0 наблюдается процесс разгрузки
(рис. 6б) и dsi < (дст^д^)^. На этих рисунках точка А обозначает начало рассматриваемого процесса нагружения, а точка В соответствует состоянию материала в его конце. Стрелка указывает направление протекания процесса для следующего этапа нагружения, соответствующего возрастанию напряжений. Более сложные варианты нагружения показаны на рис. 7:
1. dsi> 0, d4i > 0, dsi > (дas/дEi)dEi (нагрузка) (рис. 7а);
2. dsi < 0, d4i > 0, dsi < (дст^д^^г- (разгрузка) (рис. 7б);
3. dsi < 0, d£i < 0, dsi > (дстл/д^і^^- (нагрузка) (рис. 7в);
4. dsi < 0, d£i < 0, dsi < (дст^д^^г- (разгрузка) (рис. 7г).
На рисунке dsi, d£i - соответственно изменения напряжений и скоростей деформации, (дстл/д^^^ - изменение пределов текучести. Из условия (2 1) вытекает, что можно выбрать такие изменения скоростей напряжений dsi и деформаций dэрi, при которых процесс при переменной скорости деформирования в определенном диапазоне является все время упругим или, наоборот, непрерывно сопровождается накоплением пластических деформаций.
Заключение
Разработан вариант модифицированной теории течения, связывающей дифференциал пластической деформации с дифференциалами интенсивностей напряжений и скоростей деформации. Введены функции Р (-\, %і, Еі ),
Р (-і , %і , Еі ), определяющие вклад изменений напряжений и скоростей деформации в аккумулируемую пластическую деформацию. Функции Р (-, %і, Еі ), Р (-, %і, Еі) находятся из экспериментальных кривых деформирования, построенных при различных скоростях деформации. В рамках одноосного нагружения проанализиро-
Рис. 6. Зависимость кривых деформирования от скорости деформации: а - процесс нагружения (при С<з > 0, < 0); б - процесс разгрузки (при Са < 0, сС^ > 0)
Рис. 7. Сложные варианты нагружения
ваны условия активного нагружения и разгрузки при изменении основных параметров состояния -напряжения, скорости деформации. Такие экспериментальные факты, как повышение предела текучести, упрочнения, влияние истории изменения скорости деформации, плато деформаций охватываются предложенной моделью упруго-вязко-пластического деформирования.
Список литературы
1. Бэлл Дж. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации. М.: Мир, 1984. 431 с.
2. Васин Р.А., Ленский В.С., Ленский Э.В. Динамические зависимости между напряжениями и деформациями // Механика. Новое в зарубежной науке,
5. Проблемы динамики упруго-пластических сред. М.: Мир, 1975. С. 7-38.
3. Пэжина Н.Н. Основные вопросы вязко пластичности. М.: Мир, 1968. 175 с.
4. Кэмпбелл Дж. Эксперименты при высоких скоростях деформации // Механика. Сб. перев. и обзоров. Иностр. период. лит. 1966. № 5.
5. Хольцер А.Дж. Обзор экспериментальных исследований в области динамической пластичности // Труды Амер. об-ва инж.-механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1979. Т. 101. № 3. C. 56-67.
6. Каримбаев Т.Д., Мамаев Ш. Параметры материалов, чувствительные к скоростям деформации // Новые технологические процессы и надежность ГТД. Вып. 8. Научно-технический сборник статей. М.: ЦИАМ, 2008. С. 7-37.
7. Clark D.S., Duwez P.E. The influence of strain rate on some tensile properties of steeln // Proc. Amer. Soc. testing Materials. 1950. V. 50. P. 560-575.
8. Manjoine M. Influence of rate of strain and temperature on yield stresses of mild steel // J. Appl. Mech. 1944. V. 11. P. 211-218.
9. Васильев Л.И., Былина А.С., Загребенникова М.П. О влиянии перемены скорости деформирования на пластическое растяжение // ДАН СССР. 1953. 90. № 5. C. 767-769.
10. Schweinghofer A., March W. // Phys. Stat. Solids. 1968. V. 25. № 2.
11. Lindholm U.S., Yeakley L.M. Dynamic deformation of single polyerystaline aluminium //J. Mech. and Phys. Solids. 1965. V. 13. № 41. P. 41-53.
12. Орленко Л.П. Поведение материалов при интенсивных динамических нагрузках. М.: Машиностроение, 1964.
13. Брагов А.М., Ломунов А.К., Шахалов Г.И. Структура и механические свойства алюминия при высокосортной деформации // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения / Горький: Изд-во Горьковского университета, 1988. C. 129-134.
14. Tietz T.E., Dorn J.E. // Trans. Amer. Soc. Metals. 1949. V. 41A. № 2.
15. Васильев Л.И., Еремина Л.И. О некоторых особенностях пластического растяжения с переменной скоростью // ДАН СССР. 1953. Т. 93. № 6.
C. 1019-1023.
16. Малышев Б.М. Распространение догрузочных импульсов по натянутой проволoке // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1960. № 2. С. 120-124.
17. Клепачко Я. Анализ распространения фронта упругопластической волны в металлическом стержне // Механика. Сб. перев. и обзоров. Иностр. период. лит. 1971. № 6. С. 112-130.
18. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории
упругости и пластичности. Новосибирск: Изд-во
Новосибирского ун-тa, 1968. 336 с.
19. Cristescu N. Dynamic plasticity. Amsterdam: Horth-Holland Publ. Company, 1967. 608 p.
20. Малверн Л. Распространение продольных пластических волн с учетом влияния скорости деформации // Механика. Сб. перев. и обзоров. Иностр. период. лит. 1952. Т. 11. № 1. С. 153-161.
21. Соколовский В.В. Распределение упруго-вязко-пластических волн в стержнях // ПММ. 1948. Т. 12. № 3. С. 261-280.
22. Кукуджанов В.Н. Одномерные задачи распространения волн напряжения в стержнях. М.: ВЦ АН СССР, 1977. 55 с.
23. Кукуджанов В.Н. Распространение волн в упруговязкопластических материалах с диаграммой общего вида // Известия РАН. МТТ. 2001. № 5. С. 96-111.
24. Kaliski S. On certain equations of dynamics of an elastic/viscoplastic body. The strain hardening properties and the influence of strain rate // Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn. 1963. V. 11. № 7.
25. Нагди Р.М., Мерч С.А. О механическом поведении вязко-упруго-пластических тел // Прикл. механика. Тр. Америк. об-ва инж.-механ. Сер. Е. 1963. T. 30. № 3. C. 3-12.
26. Эллин Ф., Ся З. Конститутивная модель неупругого поведения материала, зависящего от скорости //Упругопластическое течение. Современное машиностроение. Сер. Б. 1991. № 8. C. 129-140.
27. Каримбаев Т.Д., Мамаев Ш. К исследованию поведения упруго-вязкопластических тел при динамических нагрузках переменной скорости // В кн: Актуальные проблемы механики деформируемого тела. Алма-Ата: Гылым, 1992. Ч. 2. C. 53-68.
28. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971. 231 с.
29. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.
30. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Суд-промгиз, 1958. 370 с.
31. Биргер И.А., Демьянушко И.В. Теория пластичности при неизотермическом нагружении // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 6. С. 70-77.
32. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. Киев: Наук. думка, 1978. 285 с.
33. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979. 207 с.
34. Lindholm U.S. Some experiment with the split Hopkinson pressure bar // J. Mech. and Phys. Solids. 1964. V. 12. № 5. P. 317-335.
35. Викторов В.В., Шапиро Г.С. Об определении динамических диаграмм растяжения металлов при умеренно-высоких скоростях деформаций // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 2. C. 184-187.
THE MODEL OF ELASTIC-PLASTIC FLOW AT A VARYING STRAIN RATE T.D. Karimbaev, Sh. Mamaev
Numerous experimental studies show a marked influence of strain rate on yield and ultimate strengths, strain hardening laws and other parameters of the deformation processes in various materials. Analytical approaches that take into account these strain rate effects are presented in many publications and are being further developed. However, engineering approaches, which describe complex phenomena at a varying strain rate on the basis of experimental and analytical advances, are still underdeveloped. The model of elastic-plastic flow, in which a varying strain rate is a parameter, can fill this gap since it is built on a set of experimental stress-strain curves obtained for different strain rates.
Keywords: elasticity, plasticity, viscosity, fluidity, strain rate.
