CC BY
67
УДК 539.3
Несимметричная физическая теория пластичности для описания эволюции микроструктуры поликристаллов
П.В. Трусов, П.С. Волегов, А.Ю. Янц
Пермский государственный технический университет, Пермь, 614990, Россия
На основе анализа геометрии кристаллической решетки и геометрических свойств многогранника текучести в физических упругопластических теориях показана необходимость перехода к несимметричным мерам напряженного и деформированного состояния при описании процессов интенсивной пластической деформации поликристаллов, сопровождающихся глубокой перестройкой микро- и мезоструктуры. Сформулирована общая структура двухуровневой (макро- и мезоуровень) физической теории для описания процессов эволюции микро- и мезоструктуры поликристаллов; на каждом из уровней предложены меры скорости деформаций, сопряженные с ними меры напряжений, меры деформированного состояния; проведен анализ свойств тензора упругих свойств на мезоуровне. Отдельно рассмотрена проблема выбора квазитвердого движения на макроуровне. Построены определяющие соотношения для ротационной моды, предложен алгоритм для определения элементов ротации — областей материала, в данный момент испытывающих разворот. Приведены результаты моделирования для некоторых частных случаев нагружения.
Ключевые слова: физические теории пластичности, несимметричные меры напряженного и деформированного состояния, несимметричная упругопластичность, ротация кристаллической решетки, фрагментация
Asymmetric physical theory of plasticity for the evolution of polycrystal microstructures
V.P. Trusov, P.S. Volegov and A.Yu. Yants
Perm State Technical University, Perm, 614990, Russia Analysis of the lattice geometry and geometric properties of a yield polyhedron in physical elastoplastic theories demonstrates the necessity of going to asymmetric measures of stress-strain states in the description of severe plastic deformation of polycrystals with deep micro- and mesostructural rearrangements. A general two-level (macro- and mesolevel) physical theory for describing the evolution of micro- and mesostructures of polycrystals is formulated in which each level is described by strain rate measures and associated stress and strain measures; the tensor of elastic properties at the mesolevel is analyzed. Separate consideration is given to the choice of macroscale rigid motion. Constitutive relations for the rotational mode are derived, and an algorithm is proposed to determine rotation elements — material regions that experience rotation at a certain point in time. Simulation results for individual particular cases of loading are presented.
Keywords: physical theories of plasticity, asymmetric measures of stress-strain states, asymmetric elastoplasticity, lattice rotation, fragmentation
1. Введение
В случае применения физических теорий пластичности для описания процессов упругого или неупругого деформирования моно- или поликристаллических тел достаточно остро встает вопрос о выборе мер напряженного и деформированного состояний, которые, с одной стороны, позволяли бы строить на их основе вполне адекватные физические соотношения, описывающие процессы деформирования на данном уровне; с другой
© Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю., 2011
стороны, эти вводимые меры должны опираться на физические и геометрические особенности объектов, для которых они вводятся (например, должны позволять учитывать симметрийные свойства решетки монокристаллов (зерен, субзерен)). Следует отметить, что в физических теориях пластичности часто используются величины, физический смысл которых не ясен; например, в определяющие соотношения явным образом входят так называемые ориентационные тензоры систем
скольжения, Мдк)=12(п(кVк) + Ь(кк^). При этом возникает несоответствие между физическим смыслом, который несет эта величина (а именно: она характеризует ориентацию ^й системы скольжения краевых дислокаций с единичным вектором (направление которого совпадает с вектором Бюргерса) Ь(к), определяющим направление скольжения, и нормалью к плоскости скольжения п(к)), и соотношением, которым она определяется. Например, для гранецентрированной кубической решетки в таком случае в ориентационный тензор «вносится», по сути, еще одна система скольжения с нормалью Ь(к) и направлением сдвига п(к). Если использовать введенный подобным образом ориентационный тензор системы скольжения (111)[110] для описания кинематики необратимых сдвигов, то за счет симметризации в выражение для ориентационного тензора будет «внесена» еще и система (110)[111], что не соответствует известным из кристаллографии сведениям. То же самое касается некоторых других тензорных величин, используемых в механике континуума и механике деформируемого твердого тела.
Во многих упругопластических (и упруговязкопластических) физических теориях критерием активизации той или иной системы скольжения, а значит, и условием перехода материала из состояния упругости к состоянию пластического течения является выполнение в данной системе закона Шмида:
Ь(к )п(к): 8 = т?), (1)
где k — номер системы скольжения, k = 1-24 (для ГЦК-кристаллов в силу удвоения числа систем скольжения); s — девиатор напряжений. Значение критического напряжения сдвига т£к), вообще говоря, не является константой в ходе процесса деформирования и может принимать различные значения для различных систем скольжения. Совокупность уравнений этого закона, записанных для всех систем, определяет в пространстве напряжений гиперповерхность, отделяющую область чисто упругого деформирования от зоны упругопластического деформирования, т.е. гиперповерхность (многогранник) текучести. Для построения физически адекватной и математически строгой теории пластичности необходимо сначала исследовать геометрию многогранника текучести, определяемого совокупностью уравнений вида (1), с целью определения количества и порядка вершин и ребер полиэдра, т.к. наибольший возможный порядок вершин даст возможность определить, насколько существующий подход к описанию процессов деформирования на базе симметричных мер математически и физически строг и замкнут. В [1] показано, что многогранник текучести для ГЦК-кристаллов при использовании в качестве критерия пластичности закона Шмида (1) содержит вершины только 6-го и 8-го порядков (что также согласуется с работой [2]). Таким образом, при использовании в физических теориях упругопластич-
ности симметричных мер напряженного и деформированного состояний при определенных условиях возникает проблема выбора активных систем скольжения — имея всего 5 независимых компонент девиатора напряжений и попадая при этом в вершину шестого или восьмого порядка на поверхности текучести, необходимо каким-либо образом определить те 5 систем из 6 или 8, которые в дальнейших расчетах будут считаться активными.
Таким образом, из приведенных выше доводов следует необходимость в построении такой физической теории пластичности, в которой не используется не имеющая под собой физической базы симметризация мер напряженного и деформированного состояний, а также их скоростей. Эта теория должна быть построена на физически обоснованных предположениях и соотношениях, в ней должен быть ясен физический смысл всех используемых величин.
Построение такой теории сопряжено с некоторыми трудностями, в том числе связанными с ожидаемым увеличением количества констант в определяющих соотношениях, в первую очередь, в определяющих соотношениях упругости — законе Гука. К положительным моментам стоит отнести прозрачность соотношений модели, что приведет к простоте добавления в них при необходимости дополнительных механизмов деформирования либо учета различных эффектов, возникающих в процессах глубокой пластической деформации. Речь здесь идет о процессах текстурирования, фрагментации, упрочнения и разупрочнения, накопления повреждений и разрушении поликристаллических тел. Кроме того, исчезнет упомянутая выше проблема выбора активных систем скольжения. В случае введения несимметричной меры деформации (или несимметричной меры скорости деформации) с учетом условия несжимаемости для необратимой (пластической) составляющей такой меры будем иметь пространство с размерностью 8. Это означает, что с точки зрения физических теорий пластичности появляется возможность осуществлять выбор не пяти активных систем скольжения, а восьми. Это означает, что даже в самом «плохом» случае, когда изображающая точка напряжений попадает в вершину 8-го порядка, в модели будет достаточное количество уравнений, чтобы точно определить сдвиги по всем активным системам скольжения.
Попытки построения математических моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры в широком диапазоне воздействий на материал и базирующихся на симметричных мерах напряженного и деформированного состояния, предпринимаются еще с 3050-х гг. XX века (Дж. Тейлор [3], Дж. Бишоп, Р. Хилл [4], Т.Г. Линь [5] и др.). Значительных успехов в описании процессов глубокого пластического деформирования, сопровождающихся эволюцией микроструктуры, достигли и отечественные ученые (O.A. Кайбышев,
Р.З. Валиев [6], Я.Д. Вишняков [7], А.Н. Орлов [8], В.А. Лихачев [9], В.В. Рыбин [10] и др.). Основы новой дисциплины, находящейся на стыке механики деформируемого твердого тела и физики твердого тела и посвященной в том числе изучению эволюции структуры материала, — физической мезомеханики — заложили ученые томской научной школы (В.Е. Панин [11], П.В. Макаров [12] и др.). Широкий класс теорий пластичности, в основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений которых лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах и появление которых во многом определили работы перечисленных выше ученых, будем называть физическими теориями пластичности.
В большинстве современных физических теорий, нацеленных на описание процессов разворотов зерен (например при описании фрагментации и текстурооб-разования), рассматривается так называемый «материальный поворот», определяемый ортогональным тензором, входящим в полярное разложение упругой составляющей градиента места; при этом пренебрегается упругими искажениями решетки; наличие соседних зерен фактически не учитывается. Вместе с тем в литературе имеются многочисленные данные о том, что процессы разворотов связаны и с несовместностью сдвигов по системам скольжения соседних зерен при скольжении дислокаций (В.В. Рыбин, И.М. Жуковский,
Н.Ю. Золоторевский и др.). При описании процессов фрагментации, как правило, не рассматривается известный эффект изменения характерных размеров разворачивающихся областей в кристалле, хотя этот эффект также достаточно хорошо описан в физическом металловедении (В.В. Рыбин и др.).
В работах [13-15] предлагается подход к построению многоуровневых моделей (в частном случае двухуровневых) деформируемого поликристаллического агрегата, общая структура конститутивных моделей с внутренними переменными для описания процессов эволюции микро- и мезоструктуры материала. В рамках данного исследования также будет использоваться двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллического агрегата. Для простоты понимания величины, относящиеся к макроуровню, обозначаются заглавными буквами, родственные параметры, определенные на мезоуровне — теми же строчными. Задается схема деформирования на макроуровне, для деформированного состояния на мезоуровне (зерно, субзерно) принимается модифицированная гипотеза Фойгта для меры скорости деформации. В роли определяющего соотношения на макроуровне используется закон Гука в скоростной релаксационной форме; скорость пластических деформаций определяется из модели второго масштабного уровня (мезоуровня) по скоростям сдвигов по активным системам скольжения, для
поиска которых, в свою очередь, используется определяющее соотношение вязкого типа. Предполагается, что процессы деформирования являются квазистатичес-кими и протекают при низких гомологических температурах, что позволяет не учитывать диффузные механизмы (рекристаллизацию, возврат, образование атмосфер примесных атомов (Коттрелла, Сузуки)).
2. Несимметричные меры скорости деформации и напряжения
Введем основные кинематические переменные, необходимые для описания процессов упругопластического деформирования на мезоуровне (здесь и далее рассматриваются материалы первого порядка (простые материалы)). Для описания процессов деформирования сплошной среды предлагается использовать в качестве меры скорости деформации транспонированный градиент скорости:
С = уУ (2)
Для определения деформирования необходимо использовать по меньшей мере две конфигурации — от-счетную К0 и актуальную Кг. Тензор скорости деформации £ можно представить в виде: £ = уУ = & • f-1, где
0
f = У г — транспонированный градиент места на мезоуровне. Для градиента места используется мультипликативное разложение на упругую (обратимую) и пластическую (необратимую) части: X =1е • Xр. Подставив это соотношение в выражение для £, получаем:
£ = ^е • (^)-1 • ^е)-1 =
= (&е • Xр + Xе • &р)• (Xр)-1 • (Xе)-1 =
= &е • Xр • ^р)-1 • ^е)-1 + Xе • &р • ^р)-1 • ^е)-1 =
= &е • ^е)-1 + Xе • (&р • ^р)-1) • ^е)-1. (3)
Первое слагаемое суммы описывает обратимые (упругие) деформации среды, второе, вообще говоря, в записанном виде не может быть названо скоростью пластической деформации. Для представления £р необходимо перейти в разгруженную конфигурацию К* (при помощи оператора (Xе)-1), в этой конфигурации СР* = &Р • СР)-1 (рис. 1).
Рис. 1. Схема к мультипликативному разложению градиента места
Таким образом, для рассмотрения геометрической интерпретации приведенных преобразований необходимо ввести три конфигурации — отсчетную К 0, актуальную К1 и разгруженную К*. На рис. 1 показаны линейные операторы, преобразующие бесконечно малый материальный отрезок dx в отсчетной конфигурации в тот же отрезок в текущей и разгруженной конфигурациях.
Далее введем на мезоуровне меру деформированного состояния q, формально используя определение меры скорости деформации как производной от соответствующей (неголономной (не выражаемой через компоненты вектора перемещений)) меры деформации. В контексте построения модели, пригодной для описания процессов глубокой пластической деформации континуума с учетом ротационных мод, при определении меры скорости деформации дифференцированием меры деформированного состояния недостаточно использовать локальную производную, необходимо использовать более адекватные задаче подходы, например коро-тационное дифференцирование:
= 4 - О • д + д • О = £ = vV. (4)
В качестве спина на мезоуровне предлагается использовать спин решетки й, т.е. тензор, ассоциированный с мгновенной скоростью вращения кристаллической решетки. На макроуровне вопрос о выборе ква-зитвердого движения нуждается в отдельном обсуждении.
3. К проблеме выбора квазитвердого движения на макроуровне
Одним из часто возникающих вопросов при построении двухуровневых (и, в общем случае, многоуровневых) моделей является следующий: почему возникает излишняя информация о напряжениях на макроуровне? Действительно, с одной стороны, на макроуровне напряжения определяются из закона Гука в скоростной релаксационной форме, в который входят осред-ненные скорости неупругих деформаций, определяемые в модели мезоуровня. С другой стороны, напряжения макроуровня можно определить осреднением напряжений мезоуровня. При этом нет оснований утверждать, что вычисленные двумя этими способами напряженные состояния окажутся идентичными или хотя бы близкими.
Однако следует помнить, что на макроуровне остается нерешенной проблема выбора квазитвердого движения и соответствующей коротационной производной в законе Гука. Пусть через 2, ст будут обозначаться тензор напряжений Коши на макро- и мезоуровне соответственно, Z, £ — соответствующие меры деформации скорости, W, w — тензоры спина квазитвердого движения на макро- и мезоуровне (вопрос об их выборе должен каждый раз обсуждаться исходя из специфики решаемой задачи; например, в данной работе w = й),
С, с — тензоры упругих характеристик макро- и мезоуровня. Будет использоваться модифицированная гипотеза Фойгта, £ = Z. Операция осреднения (не оговаривая конкретную процедуру) обозначается ( ). Штрихованными величинами будем обозначать отклонения полей соответствующих величин от среднего.
На макро- и мезоуровне используется закон Гука в скоростной релаксационной форме:
2Г = С:(Ъ-Zp), 2Г = 2-W-2 + 2-W, (5)
стГ = с :(£-£р), стГ = ст - те-ст + ст-те. (6)
Положим С = (с), с = С + с', Zp = (р), £р = Zp + £р/, w = = ^) + w/, 2 = (ст), ст = 2 + ст'. Перепишем соотношение (6) в виде:
2 - (те) -2 + 2 - (те) + ст-те' -2 + 2 - те' +
+ ст' - (те) - (те) - ст' - те' - ст' + ст' - те' =
= С :(Ъ - Ър)- С :£р' + с' :(Ъ - Ър)- с' :£р'. (7)
Прежде чем переходить к осреднению этого соотношения, проанализируем (7), вначале правую часть. Осреднение первого члена дает его самого, осреднение второго и третьего — нулевые тензоры. В последнем слагаемом, вообще говоря, величины могут быть и коррелированными, и некоррелированными. В то же время отклонения тензора упругих свойств от среднего по представительному объему макроуровня есть результат различной ориентации зерен, в том числе начальной, тогда как £р характеризует отклонение от среднего мгновенного, здесь и сейчас, тензора неупругой деформации скорости, который зависит случайным образом от многих других характеристик (напряжений, упрочнения по системам скольжения). Все это позволяет в первом приближении принять величины последнего слагаемого правой части некоррелированными, в силу чего при осреднении этот член также будет равным нулю.
Перейдем к анализу левой части (7). При осреднении первые три члена не изменятся, 4-8-й члены при осреднении дают точный нуль. Для последних слагаемых можно привести рассуждения, аналогичные приведенным выше о последнем члене правой части, тогда при осреднении эти члены будут равны нулевым тензорам. Тогда согласование (5) и (6) имеет место при определении тензора спина на макроуровне как среднего тензоров спина мезоуровня: W = ^).
Можно отказаться от гипотезы о некоррелированности величин в двух последних членах левой части (7). Тогда для согласования (5) и (6) необходимо положить:
W =(те )+2-1 -(ст'-те'),
Wт = (те)т + (ст'- те^т -2-т =
= -(те)-(те' - ст') - 2-1.
В последнем члене учтена симметрия тензора напряжений Коши на макроуровне; при несимметричном
-т
тензоре во втором члене останется 2 .
4. Несимметричный закон упругости мезоуровня
Различают два определения упругости — упругость по Коши (в такой формулировке требование о существовании упругого потенциала не выдвигается) и упругость по Грину, в которой такой постулат вводится [16]. В данной работе будем следовать второму определению. Напомним, что в классической линейной механике закон упругости получается из разложения в ряд свободной энергии в окрестности нулевых упругих деформаций. С учетом начального ненапряженного и недефор-мированного состояния в итоге получается соотношение вида:
д2 Р
і_/ і е е Є ґ о\
сту = Р е а е У М = Сук№ И, ст = с : 4 ’ (8)
щ а дУ и
где с — тензор четвертого ранга, описывающий упругие свойства материала; р — плотность, Р — свободная энергия Гельмгольца. Из вида (8) можно утверждать симметрию с по парам индексов: Сук1 = Сщ. Утверждать симметрию с внутри пар индексов нельзя в силу несимметрии на мезоуровне мер напряженного и деформированного состояний.
Для определения количества ненулевых независимых компонент тензора упругих свойств используются свойства симметрии физического объекта, к которому будет применяться построенная теория, а именно симметрия кристаллической решетки монокристалла. В [17], следуя [18], описан метод, позволяющий в общем случае получать ограничения на вид модулей упругости — компонент тензора упругих свойств с, накладываемые симметрией решетки материала. Для этого рассматривают повороты относительно осей симметрии кристалла и записывают условия инвариантности компонент тензора с при переходе из одной системы координат в другую, в результате получают некоторое количество ограничений, связывающих между собой компоненты тензора четвертого ранга. В [17] также показано, что вместе с условием симметрии по парам индексов такой алгоритм позволяет утверждать, что для материала с кубической симметрией решетки тензор упругих свойств с имеет всего 4 независимых компоненты— с1Ш, с1122, с1212, с1221 (в кристаллографической системе координат).
Тогда на основании вышесказанного окончательно несимметричный закон упругости на мезоуровне можно записать в виде:
ст = с: яе, (9)
где с — тензор четвертого ранга, имеющий 4 независимые компоненты, или в скоростной форме:
стГ = с: Се, (10)
где стГ — соответствующая коротационная производная мезоуровня, введенная выше и учитывающая вращение кристаллографической системы координат, связанной с решеткой, как жесткого целого. Приведем также закон
(11)
упругости макроуровня:
2Г = С :(г - Zp),
2Г = Ё - W - 2 + 2 - W, W = (О.
Следует отметить, что при обсуждении вопроса о симметрии меры напряженного состояния (в качестве таковой используется тензор напряжений Коши) вывод
о ее симметрии на том или ином масштабном уровне должен делаться исходя из наличия или отсутствия на данном уровне физических причин, выступающих в качестве источников несимметрии. И если на мезоуров-не в качестве причины несимметрии меры напряжений выступают моментные напряжения (вопрос об их появлении и учете обсуждается ниже), то на макроуровне таких причин установить не удается. Поэтому на мезо-уровне в качестве несимметричной меры напряженного состояния предлагается использовать несимметричный тензор напряжений Коши. На макроуровне напряжения считаются симметричными, причем процедуры осреднения тензора упругих свойств и напряжений на макроуровне происходят с одновременной симметризацией:
N
2 = (вуш(ст)), Ст = у(4Л0 Е (4# + с<$ + О) + с% ),
т=1
і, j, к, I = 1, 2, 3, где т — номер элемента мезоуровня (зерна, субзерна); N — число элементов мезоуровня, входящих в элемент макроуровня.
В рамках данного подхода возникает одна дополнительная сложность — если в симметричных теориях значения независимых компонент тензора упругих свойств измерены для различных монокристаллов экспериментально, то в нашем случае возникает проблема, связанная с идентификацией вновь появившихся упругих констант с1212, с1221. Для решения этой задачи потребовалось поставить и реализовать серию численных экспериментов на простое нагружение, позволивших определить значения всех независимых компонент. В статье [17] при помощи моделирования методом молекулярной статики проводится качественный анализ компонент с1212, с1221 тензора упругих характеристик, показано некоторое расхождение (порядка долей процента) этих значений друг от друга. Ниже (в п. 7) показано, что даже незначительное расхождение этих компонент тензора упругих свойств существенным образом влияет на упругопластическое поведение представительного объема материала.
5. Описание ротации решетки и фрагментации зерен
Разрабатываемая математическая модель, описывающая эволюцию микро- и мезоструктуры материала в процессе глубокой пластической деформации, должна быть пригодна и к описанию таких известных для деформируемых поликристаллов эффектов, как текстури-рование, которое не может происходить без изменения
ориентировок отдельных зерен (субзерен, фрагментов) при продолжающемся неупругом деформировании. В силу этого модель должна быть наполнена как величинами, отражающими введение новой моды ротационного характера, так и новыми переменными, отражающими кинематику разворотов кристаллической решетки, и, что представляется наиболее важным, физически обоснованными динамическими переменными, отражающими причины (силового характера), приводящие к разворотам зерен и их фрагментов.
Введем основные термины, описывающие структуру поликристалла, которые будут использоваться в дальнейшем. Так, под «зерном» мы будем понимать наименьший объем материала, который (по крайней мере, на начальный момент деформирования) с приемлемой точностью можно считать монокристаллическим телом. Под «элементом ротации» будем понимать любую структурную составляющую микроструктуры (зерно, субзерно, фрагмент) или их совокупность, способную к разворотам как целое, с сохранением (с приемлемой точностью) правильного кристаллического строения решетки составляющих, их взаиморасположения и взаи-моориентации (рис. 2). Здесь следует отметить, что, вообще говоря, размер элемента ротации, претерпевающего разворот, заранее не известен. Более того, эксперименты показывают, что с увеличением интенсивности деформаций характерные размеры разворачивающихся элементов структуры изменяются [10, 19]. Для определения элемента ротации в каждый момент деформирования в работе вводится еще один тип структурных элементов, которые в каждый момент деформирования могут образовывать элемент ротации (по определенному алгоритму, о котором будет сказано ниже). Под «фрагментами зерна» будем понимать микрообласти материала, разориентированные относительно друг друга на углы порядка не скольких минут или градусов [10]. Надо отметить, что введение понятия «элемент ротации» не подменяет понятий «зерно» и «фрагмент зерна»,
Элемент
ротаиииі ^ 3ерно
^^\Фрагмент 2Т І Ч
^Фрагменті) фрагмент ----V \
Элемент ротации 2
Элемент \ (
V потаї іии
Рис. 2. К выделению структурных элементов
Т.К., вообще говоря, в произвольный момент деформирования в качестве элемента ротации могут выступать и фрагмент, и группа фрагментов, и зерно (и даже совокупность зерен).
В работе [20] одной из причин разворотов решетки зерен (кроме так называемого «материального» поворота) считается несовместность сдвигов по системам скольжения в соседних зернах (моделирующих, в свою очередь, движение дислокаций). Тогда скорость изменения вектора поверхностного момента, действующего на часть границы анализируемого зерна (фрагмента зерна) в результате сопротивления переходу дислокаций из анализируемого зерна (фрагмента) в соседние (т = 1, ..., М), можно определить как сумму: м
шг = £ (тг)т, (12)
т=1
где (-)г — соответствующая коротационная производная (вопрос о ее выборе обсуждается ниже); (шг)т — составляющая скорости вектора момента, обусловленная несовместностью сдвига в данном фрагменте со сдвигами в соседнем т-м фрагменте; М — число соседних фрагментов.
Эволюция вектора-момента тт определяется следующим соотношением:
(шг)т =хч ]т (13)
где X — экспериментально определяемый (в Па - м) параметр; N — внешняя для анализируемого фрагмента единичная нормаль к границе с соседним фрагментом; [^,т]т — скачок пластической составляющей градиента скорости, определяемый согласно соотношению
[^т ]т = £ у ПЬ - £ у 7( т)п 7 (т)Ь 7(т), (14)
где уг, у7(т) — скорости сдвигов; Ьг, Ь7(т) — единичные векторы по направлениям векторов Бюргерса; пг, п7( т) — нормали для систем скольжения в исследуемом и соседнем фрагментах соответственно; К — число систем скольжения (для ГЦК-кристалла с учетом удвоения — 24).
Определим вид коротационной производной, которую необходимо применить в соотношениях (12), (13) для соблюдения принципа материальной индифферентности. Пусть на элемент ротации, а также на все фрагменты, которые его окружают, накладывается поворот как жесткого целого. В этом случае очевидно, что и вектор-момент (а также тензор моментных напряжений) испытает такой же поворот. Также отметим, что при расчетах для отдельного фрагмента все величины (скорость деформации, напряжения, тензор упругих свойств, сдвиги по системам скольжения, моменты) определяются с точки зрения наблюдателя, находящегося в кристаллографической системе координат; к этой же системе координат жестко «привязан» материал
фрагмента. Поскольку вращение кристаллографической системы координат осуществляется по отношению к лабораторной системе координат как жесткого целого (вместе с материалом), то для удовлетворения принципа материальной индифферентности необходимо выбрать тип коротационной производной, «привязанной» к угловой скорости вращения кристаллической решетки:
т1 = т - Л • т + т • Л, (15)
где й — тензор спина кристаллической решетки фрагмента, определяемый в каждый момент деформирования как тензор, ассоциированный с вектором угловой скорости вращения решетки ю, П = —6 • ю, 6 — тензор Леви-Чивиты.
Тогда окончательно для поверхностных моментов имеем:
(т1)” = М х (£ у'п V -£ у1(т)п1(т)Ь1 (т)) • N. (16)
Однако на процесс возникновения разворотов в общем случае влияют две составляющие: моменты (или ассоциированные с ними моментные напряжения), возникающие вследствие несовместности пластических деформаций в соседних зернах, и (вообще говоря) несимметричная часть тензора напряжений Коши, также создающая вращающий момент пар сил на поверхности элемента ротации. Действительно, пусть, например, а12 ^ст21, тогда на поверхности элемента ротации возникают несбалансированные касательные усилия, создающие вращающий момент пар. Если а12 >а21, то этот момент будет направлен вдоль орта к 3 в положительном направлении. Таким образом, при формулировании соотношений для скоростей ротации решетки нужно учитывать оба силовых фактора: моментные напряжения и моменты от несимметричной части тензора напряжений Коши.
Для того чтобы определять как размеры элемента ротации, так и величину спина решетки элемента ротации, требуется «свести» все динамические причины разворота (поверхностные моменты на всех участках границы данного элемента ротации, несимметричные напряжения Коши) в некоторую эквивалентную величину, в качестве которой предлагается использовать удельный объемный момент:
1 М Г • “I
М1 = — ^\тт&т + гтх^т а1 ^ (17)
V' т=17 8
где [М1 ] (Па) — вектор объемного момента, действующий на данный элемент ротации i вследствие несовместности движения дислокаций по системам скольжения фрагментов данного элемента ротации и соседних с ним фрагментов, принадлежащих другим элементом ротации; S1m — площадь плоского участка границы т, разделяющей два элемента ротации; V' — объем данного элемента ротации; гт - радиус-вектор, проведенный от центра масс элемента ротации к средней
точке фасетки т; а1 — тензор напряжений Коши, действующих в данной подобласти элемента ротации; N — внешняя нормаль к фасетке т. Второе слагаемое правой части (17) определяет дополнительную составляющую момента, возникающую на границе элемента ротации вследствие несимметричного (в общем случае) напряженного состояния.
В данной работе предлагаются следующие алгоритм определения области разворота и критерий разворота зерен.
1. Первоначально каждое из зерен G представляется совокупностью фиктивных фрагментов (в отличие от элементов ротации, которые определяются в каждый момент деформирования по специальному алгоритму, рассмотренному ниже), имеющих одинаковую ориентацию с данным зерном G (рис. 2).
2. Для определения совокупности фрагментов, испытывающих в данный момент деформирования пластический разворот как единое целое (т.е. для определения элемента ротации), предлагается схема «растущего шаблона»: начиная от тройных (и более) стыков зерен, определяется наименьшая совокупность фрагментов g данного зерна G, такая что объемный момент, рассчитанный для этой совокупности согласно формулам (12)-(17):
1 N°
М° = - Е\т^ + г8 х (^ а8 ^ 1 (18)
V 8=17 8
где верхний предел суммирования N° подчеркивает, что суммирование ведется по внешним для данной совокупности границам, достигает некоторой критической величины
|М°|> Мс, (19)
которая в общем случае является параметром материала (или даже материальной функцией
Мc = МДТ, «1,..., ап),
t
где Т = | л/ПГл dт — накопленный «пластический»
Т=0
решеточный поворот; а1,..., ап — набор внутренних переменных (форма и размер данного элемента ротации, плотность дислокаций ориентационного несоответствия, накопленных к текущему моменту в границах и проч.). Отметим, что в пользу учета наименьшего объема материала, испытывающего пластический разворот, говорит множество экспериментальных данных, показывающих, что развороты фрагментов начинаются с разворотов малых подобластей, прилежащих к стыкам зерен, на небольшие углы разориентации [10, 19 и др.]. Далее в расчетах эта совокупность фрагментов считается на данный момент деформирования элементом ротации, т.е. для всех фиктивных фрагментов данного физического фрагмента зерна спин решетки в данный момент одинаков.
Определив теперь элементы ротации, необходимо рассчитать скорость ротации кристаллографической
системы координат данного элемента ротации; при этом важно, чтобы тензор, определяющий ротацию решетки, обладал свойством ортогональности. Поэтому описание разворота на каждом шаге интегрирования производится при помощи ортогонального тензора AR = = (cos Дф + 1)ee + cosA9I + sinA9ex I (I — единичный тензор второго ранга), определяющего поворот системы координат вокруг мгновенной оси вращения e на некоторый угол Аф, при этом направление e считается соосным вектору объемного момента
rG
eG =
| MG
и для величины угловой скорости разворота принимаются гипотеза об аддитивности и гипотеза единой кривой:
ф =
| MG
_1_
A
при | MG | = Mc и MG
1
H
MG > 0,
(20)
при | MG | Ф Мс и MG • М° < 0,
где А, Н — экспериментально определяемые параметры материала.
Вообще говоря, значение критического момента М с необходимо определять каждый раз для данного элемента ротации, т.к. поверхность элемента ротации в данный момент деформирования может представлять собой совокупность участков границы зерна, малоугловых границ, возникающих вследствие малых разворотов соседних элементов ротации в предыдущие моменты времени, а также «внутренних» границ (т.е. фиктивных границ фрагментов внутри зерна, еще не испытывавших развороты); при этом история изменения критических напряжений в различных фрагментах различна. Критические моменты должны зависеть и от формы элемента ротации: чем ближе она к сферической, тем меньшими должны быть усилия, которые требуются для поворота решетки. Поэтому критическое значение Мс в первом приближении будем вычислять следующим образом:
Vr=1
(21)
где Мс (Па) — критическое значение объемного момента; Б? — площадь фасетки входящего в рассматриваемый элемент ротации граничного фрагмента g; Т? (Па) — среднее критическое напряжение по системам скольжения граничного элемента; N° — количество граничных фрагментов данного элемента ротации;
V — объем элемента ротации; суммирование проводится по «граничным» фрагментам элемента ротации. Для каждого участка границы элемента ротации, вообще говоря, требуется формулировка эволюционных уравнений для критических напряжений, в первом прибли-
жении они приняты средними по системам скольжения фрагмента.
6. Структура несимметричной теории мезоуровня
Перечислим основные гипотезы модели мезоуровня.
1. Меру скорости деформации £ можно представить в виде суммы двух составляющих: скорости обратимых деформаций £е и необратимых деформаций £р:
С = у^ = Се + Ср, (22)
где Се =&е • Ре)-1, а Ср =fе • (&р • (fр)-1) • Ре)-1.
2. Полные скорости деформации отдельных зерен С( п) равны полной скорости деформации поликрис-таллического агрегата (принимается аналог гипотезы Фойгта):
С( п) = С = г, Vn. (23)
Вообще говоря, следует отметить, что из равенства в зернах мер скорости деформации не следует равенства мер деформации, т.к. в каждый момент деформирования зерна могут иметь различные угловые скорости вращения (в силу введения коротационных производных при определении меры деформированного состояния).
3. На скорость необратимых деформаций можно наложить условие несжимаемости (в силу того, что в качестве механизмов необратимых деформаций будут рассматриваться движение дислокаций, двойникование и проскальзывание частей кристалла друг относительно друга, сохраняющие объем):
/1ЙР) = /l(fе • (&р • ^р)-1) • (fе)-1) =
= sp(fе • (&р • (fр)-1)• (fе)-1) =
• (&р • (fр)-1))=
= sp((fe)-1 •
= 5РС&р • (fт1) = Іі(&Р • Рр)-1) = 0. (24)
4. Необратимые деформации осуществляются сдвигами по вполне определенным кристаллографическим системам, для описания процессов сдвигов по системам скольжения используется вязкопластический закон вида
Y(k) =уо H (т( k) -т?))
Г(к)
1/ m
r(k)
sign т
.(k)
(25)
где т — параметр чувствительности материала к скорости деформации [21]; у 0 — характерная скорость сдвига; т(к) = Ькпк : s — действующее касательное напряжение в к-й системе скольжения; т® — значение критического касательного напряжения в данной системе скольжения, определяемое законом упрочнения; Н — функция Хевисайда; s — девиатор напряжений.
В любой момент деформирования (скольжением дислокаций) скорость необратимых деформаций определяется выражением:
K
Е ь
k=1
(k )n(k) у (k)
(f Є )-1,
где K — число активных систем скольжения.
Скорости изменения критических сдвиговых напряжений в каждой системе скольжения определяются некоторой функцией от полных сдвигов по системам скольжения, а также их скоростей (законом упрочнения [14, 22]):
= f (Y(і), y(j)), І, j -1,24.
(27)
Используя скоростную форму закона Гука, введенную выше, легко получить выражение для скорости напряжений:
( (к К К
аг = с: уУ -fеЬ(*Ук)у(к) е)-1 . (28)
Перед тем как перейти к описанию результатов численных экспериментов, проведенных с использованием построенной математической модели, для контроля математической замкнутости сформулируем полную постановку задачи мезоуровня:
уk - у0H(n¿b¿: s -т* )
ni bi:s
1/ m
T(k)
sign т
s - devCT, k -1,24,
і* - f (y(i), у(j)), i, j -124,
fp • (fp)-1 - fe • (§&іЬіПі!• (fe)-1,
CT = c:
J ? - fe (í bk п* уk !• (fe )-1 K
k=1
CTfí + fíCT,
?(„)- ?.
(29)
алгоритм для определения элементов ротации,
1 M
м = - 2
Уш-1
24
24
K
2 уinibi -2 у j(m)n j(m)b j(m) i-1 j-1
Nm
+П • m¿ -m¿ • П|sm + r” х(Nm • CT)Sm
e - —, П - R • RT,
|M|’ ’
I| m|+H M|, M| - Mc и M • Ml > 0,
cp -
—|M|, Mlф Mc и M • Ml < 0,
Mc = V 2 [I rf х (Tf N * )| S* ],
AR = (cos Аф + 1)ее + cos Дф I + sin Дфе x I.
Анализ системы уравнений (29) позволяет утверждать, что постановка задачи корректна: в каждый момент деформирования имеем 49 скалярных и 5 тензорных уравнений второго ранга для определения 49 скалярных и 5 тензорных неизвестных второго ранга в каждом из элементов ротации.
Рис. 3. Взаимное расположение осей лабораторной и кристаллографической систем координат
7. Результаты численных экспериментов
Вначале приведем некоторые результаты, полученные в рамках исследования влияния несимметрии тензора упругих свойств на упругопластическое поведение материала. Проведена серия численных экспериментов по одноосному сжатию монокристалла при различных его ориентациях по отношению к оси нагружения. Для целенаправленного анализа влияния несимметрии мер в данной серии экспериментов упрочнением по системам скольжения пренебрегается. Все задачи поиска напряженно-деформированного состояния (на мезо- и макроуровнях) решаются в приращениях, используется явная схема интегрирования Эйлера. При этом сжатие осуществлялось вдоль оси Х1 лабораторной системы координат, ориентация кристаллической решетки определялась углом между осями х1 и Х1 в кристаллографической и лабораторной системах координат соответственно при совмещении осей х2 и Х2 (рис. 3). Следует отметить, что несмотря на одноосное нагружение монокристалл испытывает деформирование по всем возможным системам скольжения.
На рис. 4 приведены диаграммы деформирования монокристалла с использованием симметричной (рис. 4, а) и несимметричной (рис. 4, б) упруговязкопластической физической теории при различных ориентациях кристаллографической системы координат монокристалла относительно лабораторной системы координат (на выносках). Различия в несимметричных компонентах тензора упругих свойств с1212, с1221 приняты равными 0.995 и 1.005 от соответствующего модуля с1212 для симметричных мер (материал — медь). Следует отметить наличие двух кривых-аттракторов, соответствующих ориентациям 15° и 30°, к которым стремится диаграмма в зависимости от угла ориентации, а также области неустойчивости диаграммы при ориентации 22.5°.
Следует отметить несколько характерных особенностей диаграмм, построенных для симметричного и
Интенсивность накопленных деформаций, %
Интенсивность накопленных деформаций, %
Интенсивность накопленных деформаций, %
Рис. 4. Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности накопленных деформаций ^ =^^3ч^Я при одноосном сжатии монокристалла, при различных ориентациях: в случае использования симметричной физической теории (а); при использовании несимметричных мер (б); сравнение кривых для некоторых ориентаций (в)
несимметричного случаев (при тех же значениях упругих модулей):
- кривая, соответствующая несимметричному случаю, для большинства ориентаций лежит ниже кривой, соответствующей симметричной теории (рис. 4, в);
- наименьшее отклонение двух диаграмм происходит в области ориентаций 0° и 45°, наибольшее — при угле разориентации лабораторной и кристаллографической систем координат 22.5°.
Построена зависимость скоростей сдвига по активным системам скольжения от интенсивности накопленных деформаций, в случае симметричной и несимметричной теории для ориентации, соответствующей 22.5°, результаты приведены на рис. 5, а. Заметно, что в несимметричной теории при интенсивности деформаций 6 % происходит перераспределение сдвигов на 8 систем скольжения, тогда как в симметричной теории количество активных систем неизменно и равно 4. На рис. 5, б показаны зависимости накопленных сдвигов по системам скольжения от интенсивности накопленных деформаций при ориентации 22.5° для симметричной и несимметричной теории. Можно отметить различный характер поведения диаграмм: в одних системах скольжение идет более интенсивно в случае несимметричной теории, в других — наоборот; тем не менее, суммарный сдвиг по всем системам скольжения в приведенной ориентации в несимметричной теории несколько больше.
Рассмотрим некоторые результаты, связанные с деформированием поликристалла, представляющего собой совокупность различным образом ориентированных зерен с учетом разворотов кристаллической решетки; в данной статье фрагментация отдельных зерен не рассматривается. Определяется схема деформирования на макроуровне, на мезоуровне принимается расширенная гипотеза Фойгта (см. п. 6), напряженное состояние в каждом из зерен определяется согласно системе уравнений (29). Расчет напряжений на макроуровне осуществляется осреднением с мезоуровня с одновременной симметризацией (подробнее см. п. 4).
О 2 4 6 8 0 4 8 12 16 20 24 28
Интенсивность накопленных деформаций, % Интенсивность накопленных деформаций, %
Рис. 5. Зависимости скорости сдвига (а) и накопленных сдвигов (б) по активным системам скольжения от интенсивности накопленных деформаций при ориентации 22.5°, сравнение симметричной и несимметричной теорий, нумерация систем скольжения приведена по табл. 1
Таблица 1
Векторы Бюргерса и нормали систем скольжения
№ системы скольжения Вектор Бюргерса Ь Вектор нормали п № системы скольжения Вектор Бюргерса Ь Вектор нормали п
1 -Г ;0;--т Д Д 111 д’ д’ д 13 ~г ;о 4 д д 111 Д’ Д’ д
2 оф~г Д Д 1.1.1 Д’ Д’ д 14 о;--г;-г д д 111 Д’ Д’ д
3 -г; -т;о Д Д 1,1,1 Д’ Д’ д 15 ~г;-го; д д 111 Д’ Д’ д
4 -Г 4 ;о д д 111 Д’ Д’ д 16 ~г ;--г ;о д д 111 Д’ Д’ д
5 -т ;о ;-г д д 111 Д’ Д’ д 17 ~т ;о;-+ д д 111 Д’ Д’ д
6 оф ~г д д 111 Д’ Д’ д 18 о; ~г;-г д д 111 Д’ Д’ д
7 д д 1 ; 1 ; 1 Д’ Д’Д 19 ~т ; ~г ;о д д 1 ; 1 ; 1 •/Г л/3’л/з
8 д д 1 ; 1 ; 1 Д’ Д’Д 20 о ;~г ; ~г д д 1 ; 1 ; 1 •/Г Тз’Тз
9 оф ~г д д 1 ; 1 ; 1 Д’ Д’Д 21 ~т ;о 4 д д 1 ; 1 ; 1 Д’ Д’Д
10 д д 1 ; 1 ; 1 Д’Д’ д 22 --г;* ~г д д 1 ; 1 ; 1 Д’Д’ д
11 -г; -т^ д д 1 ; 1 ; 1 Д’Д’ д 23 -г-г* д д 1 ; 1 ; 1 Д’Д’ д
12 д д 1 ; 1 ; 1 д;д; д 24 о;~г д д 1 ; 1 ; 1 д;д; д
Рассматривалось одноосное сжатие образца вдоль оси ОХ1 (до интенсивности деформаций 0.6), состоящего из 512 зерен, начальные ориентации кристаллических решеток устанавливались по случайному равномерному закону. Следует отметить, что хотя нагружение
макрообразца — одноосное, элементы мезоуровня испытывают трехмерное деформирование. На рис. 6 приведены конечные стереографические проекции направлений [100] зерен, на рис. 7 — траектории некоторых произвольно выбранных точек, первоначально равно-
Рис. 6. Стереографические проекции направлений [100] кристаллических решеток зерен после деформирования образца: проецирование вдоль
осей ОХ1 (а) и ОХ3 (б)
Рис. 7. Стереографические проекции траекторий направлений [100] кристаллических решеток зерен при деформировании, проецирование вдоль оси ОХ1
мерно расположенных на плоскости проекций, в процессе деформирования. Анализ конечных положений стереографических проекций дает возможность говорить о некотором согласованном характере разворотов, а изучение траекторий стереографических проекций отдельных точек позволяет утверждать, что в процессе разворотов значительная часть зерен вращается по траекториям, близким к экспериментально известным для так называемой аксиальной текстуры (выходят на стационарную круговую траекторию или практически останавливаются) [23, 24] (рис. 8).
Кроме того, в том же численном эксперименте построена диаграмма напряжение-деформация для агрегата, состоящего из 512 зерен, без упрочнения по системам скольжения (рис. 9). Заметно, что в моменты наиболее интенсивных разворотов (при интенсивности на-
Рис. 8. Опытные данные для сжатия вдоль оси ОХ1 [24]: полюсные фигуры для направлений [100], проецирование вдоль оси ОХ1
¡1 35 ------------ '
О ф г
£ I 0-1-------1-------Т-------1-------I-------1-------
¿ С о 10 20 30 40 50 60
X Интенсивность деформаций, %
Рис. 9. Диаграмма напряжение - деформация при одноосном сжатии совокупности зерен с учетом разворотов
копленных макродеформаций от 12 до 25 %) на диаграмме имеет место некоторое увеличение напряжений, связанное, по всей видимости, с процессом «раскачки» системы, при котором проявляется стадийный (эстафетный) характер разворотов кристаллических решеток, а следовательно, и увеличение неоднородности распределения ориентаций. После окончания активной фазы разворотов и формирования некоторого упорядоченного распределения ориентаций зерен система вновь приходит к динамическому равновесию, что выражается на макроуровне возвращением к идеальной пластичности.
8. Заключение
Таким образом, в статье рассмотрены вопросы, связанные с построением физической теории пластичности поликристалла, учитывающей развороты кристаллических решеток зерен, на базе несимметричных мер напряженного и деформированного состояния. Предложена двухуровневая модель упруговязкопластического деформирования поликристаллического агрегата, рассмотрен вопрос о выборе квазитвердого движения на макроуровне. Проведенные численные эксперименты по одноосному сжатию поликристалла показывают хорошее соответствие с экспериментальными данными.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 10-08-96010-р_Урал_а, 10-08-00156-а).
Литература
1. Волегов П.С., Никитюк А.С., Янц А.Ю. Геометрия поверхности текучести и законы упрочнения в физических теориях пластичности // Вестник ПГТУ Математическое моделирование систем и процессов. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2009. - № 17. - С. 25-33.
2. Kuhlmann-Wilsdorf D., Moore J.T., Starke E.A., Kulkarni S.S. Deformation bands, the LEDS theory, and their importance in texture development: Part I. Previous evidence and new observations // Metall. Mater. Trans. A. - 1999. - V. 30. - No. 9. - P. 2491-2501.
3. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. - 1938. - V. 62. -P. 307-324.
4. Bishop J., Hill R. A theoretical derivation of the plastic properties of a polycrystalline center-faced metal // Philos. Mag. - 1951.- V. 42. -P. 414-427.
5. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности // Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып. 7. - М.: Мир, 1976. - С. 7-68.
6. Кайбышев О.А., Валиев Р.З. Границы зерен и свойства металлов. -
М.: Металлургия, 1987. - 214 с.
7. Вишняков Я.Д. Теория образования текстур в металлах и сплавах / Под ред. Я.Д. Вишнякова, A.A. Бабарэко, С.А. Владимирова, И.В. Эгиз. - М.: Наука, 1979. - 344 с.
8. ОрловА.Н. Границы зерен в металлах. - М.: Металлургия, 1980. -
154 с.
9. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 с.
10. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.
11. Панин В.Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой // Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. - С. 5-18.
12. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - .№ 5. - С. 109-130.
13. ТрусовП.В., Ашихмин В.Н., ВолеговП.С., Швейкин А.И Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 3. - С. 6171.
14. Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 5. - С. 6572.
15. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С. Двумерная модель пластического деформирования монокристалла // Математические модели и методы механики сплошных сред. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2007. - С. 259-269.
16. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980. -512 с.
17. Волегов П.С., Шулепов А.В. Упругие константы монокристалла в несимметричной физической теории пластичности // Вестник ПГТУ. Механика. - 2010. - № 1. - С. 19-34.
18. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. - М.: Наука, 1988. - 192 с.
19. Миронов С.Ю., Даниленко В.Н., Мышляев М.М., Корнева А.В. Анализ пространственного распределения ориентировок элементов структуры поликристаллов, получаемого методами просвечивающей электронной микроскопии и обратно рассеянного пучка электронов в сканирующем электронном микроскопе // ФТТ. -2005. - Т. 47. - № 7. - С. 1217-1225.
20. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Мех. композ. матер. констр. - 2009. - Т. 15. - № 3. -С. 327-344.
21. Balasubramanian S., Anand L. Elasto-viscoplastic constitutive equations for polycrystalline fcc materials at low homologous temperatures// J. Mech. Phys. Solids. - 2002. - V. 50. - No. 1. - P. 101-126.
22. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов // Научнотехнические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2010. - Т. 98. - № 2. - С. 110-119.
23. Вассерман Г., Гревен И. Текстуры металлических материалов. -М.: Металлургия, 1969. - 654 с.
24. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: Application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. - 2004. - V. 193. - No. 48-51. - P. 5359-5383.
Поступила в редакцию 17.11.2010 г., после переработки 23.01.2011 г.
Сведения об авторах
Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПГТУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru
Волегов Павел Сергеевич, асс. ПГТУ, crocinc@mail.ru
Янц Антон Юрьевич, магистрант ПГТУ, maximus5.59@gmail.com
