Расчёт S-матрицы квантовой сети в терминах S-матриц её у злов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Д. Е. Цуриков, А. М. Яфясов

РАСЧЁТ ^-МАТРИЦЫ КВАНТОВОЙ СЕТИ В ТЕРМИНАХ ^-МАТРИЦ ЕЁ УЗЛОВ

Введение. В последние годы полупроводниковая наноэлектроника перешла к системам, размеры которых сравнимы с длиной волны де Бройля носителей заряда. Поэтому естественным становится подход, основанный на применении квантовых эффектов для нужд вычислительной техники [1]. В этом плане многообещающей является концепция квантовой сети [2] — формально обоснованной модели прибора, реального для современной нанотехнологии.

Конструктивно квантовая сеть представляет собой совокупность квантовых точек, соединённых друг с другом квантовыми проволоками. Для расчёта её транспортных свойств требуется найти матрицу рассеяния (Б-матрицу) [3]. В настоящей работе предложена схема расчёта Б-матрицы квантовой сети на основе известных Б-матриц её узлов [4].

Соглашения. Для упрощения изложения введём следующие соглашения.

1. Индексы и диапазоны. Диапазоны значений верхних и нижних индексов в перечислениях и суммах задаются на соответствующих уровнях, например:

^т,. Неявно заданный диапазон значений индекса определяется его расположением относительно литеры и её семантикой. По умолчанию, перечисления в этой работе являются упорядоченными (кортежами [5]).

2. Векторы и матрицы. Перечисление по одному индексу (например, d = {в,к}к) является вектором-столбцом, по двум индексам, находящимся на одном уровне (например, В = {Вк1}к1) — матрицей: первый индекс — номер строки, второй — номер столбца. Объекты с индексами-кортежами вне квадратных скобок являются перечислениями по всем элементам кортежа. Например: dA = ^к}кеА — вектор, ВАВ = {вк1}кеА,1еК — матрица. В частности, при А = {1, 2} и В = {3,4, 5} имеем

в13 в14 в15

В23 в24 в25

(1)

Выполняются также правила: d0 = 0, ВА0 = 0 = В0Я. Пустые строки и столбцы из матриц исключаются. Нулевые матрицы обозначаются символом О, единичные — символом I.

Элементарный участок сети. Рассмотрим рассеяние носителя заряда (электрона или дырки) в квантовой сети. Для участка сети удобно ввести следующие функциональные определения: внутренний узел — элемент сети, в котором носитель заряда рассеивается; внешний узел — источник либо приёмник носителей заряда; рукав — элемент сети, в котором носитель заряда не рассеивается; внутренний рукав соединяет два внутренних узла; внешний рукав соединяет внутренний узел с внешним узлом. Поскольку сеть состоит из узлов и соединяющих их рукавов, её элементарный участок — это соединение двух узлов (рис. 1). Введём обозначения: верхний индекс — номер рукава, верхний индекс в квадратных скобках — идентификатор узла, содержимое скобок — кортеж номеров примыкающих к узлу рукавов.

© Д. Е. Цуриков, А. М. Яфясов, 2011

ь

ПРЛ

П[к,ц

Рис. 1. Схема элементарного участка сети П[1,Ь

сплошные линии — внутренние узлы (ПР’Ч П[К’Ч) и рукава (К — кортеж их номеров) пунктирные линии — внешние узлы (П [---Л П[^’---]) и рукава (I, Ь — кортежи их номеров)

Рис. 2. Рукав элементарного участка квантовой сети: [*] — условный идентификатор узла; к £ I, К, Ь

Очевидно, что любую квантовую сеть можно представить в виде совокупности элементарных участков. Поэтому соотношения для элементарного участка являются основой для расчёта матрицы рассеяния всей сети.

На рис. 2 изображён произвольный рукав элементарного участка сети. Здесь [XYZ][*^k — локальная система координат (ЛСК) при узле в рукаве . Глобальная система координат (ГСК) — система координат, связанная с сетью. Так как всюду рассмотрение идёт в ЛСК, конкретизировать расположение ГСК нет необходимости.

Смена систем координат осуществляется с помощью следующих операторов: Ш[*^к переводит функции, заданные в ГСК, в функции, заданные в ЛСК [XYZ][*^k, т'[*^к выражает глобальные координаты через локальные. Так как рукава представляют собой квантовые проволоки, они имеют простую геометрию:

ш

:= {г е М3 | w[*]kг е Пк} = а[*]к х $[*]к, (2)

где в[*^к — поперечное сечение рукава Qk в ЛСК [XYZ][*^k. Начало всех ЛСК находится в начале рукавов:

а[*]к = (0, ак), (3)

где ак — длина рукава Ик.

Движение носителя заряда в области Ик в ГСК описывается безразмерным уравнением Шрёдингера

[—Д + ук(г)]Фк(г) = еФк(г), г е Пк;

Фк(г)=0, г е дПк\Гк,

к\-пк (4)

где Гк — граница рукава Ик с прилегающими к нему узлами. Для того чтобы разделить переменные в задаче (4), перейдем из ГСК в ЛСК:

¥Мк(г) := ШМкФк(г) = Фк(ад[*1кг), (5)

и[*]к(г) := ШМкук(г) = ук(ю^кг) (5)

и потребуем, чтобы потенциал ук не изменялся вдоль рукава. Так как при этом рукава имеют простую геометрию (2), получим следующий аналог задачи (4) в ЛСК:

—А + п[*^к(у, х)]у№к(х, у, х) = еуМк(х, у, х), {х, у, х} Є аМк х рМк; ^

уМк(х, у, х) = 0, {х, у, х} Є аМк х 5рМк.

Можно показать, что его решение имеет вид

у[*]к(х, у, х)

п[*] <к

еШ " ехр(—ікШ}кх)нШ:к(у, х) +

[*] ^ к / . • [*] к \ 7 [*] к / \

Ш ЄХр( + іК^ х)НШ (у,х),

[*]к / , [*]к

где кШ := V є — V

с[*]<к — амплитуды волн, падающих на узел П[*] из рукава Пк в [XYZ][*]k, с[*]|>к — амплитуды волн, рассеянных узлом П[*] в рукав Пк в [XYZ][*]k, \Мк и Н[*^к — собственные значения и нормированные собственные функции соответственно задачи

[—д2 — ЗІ + и[*]к(у, х)]ъШк(у, х) = ШнШк(у, х), {у, х}є в

[*]к/, [*к

У

Н1Шк(у, х) = 0

3[*]к: {у,х} Є дв[*]к.

(8)

Амплитуды рассеянных волн в выражении (7) можно также записать в терминах расширенной матрицы рассеяния Б[*] узла П[*] [3]:

„[*]>к _

= Е П £

[*]к [*]<

шп <-П

(9)

Элементарный участок сети (см. рис. 1) представляет собой новый объединённый узел П[1,Ь] = П[1,К] + Ек£К (Пк +Гк) + П[К,Ь]. Его матрица рассеяния Б[1,Ь] связывает амплитуды падающих на него волн с[1,Ь]< с амплитудами рассеянных им волн с[1,Ь]>:

„[ВД|>

'е[1,ь]>1

е[1,ь]>ь =

£ [І,Ції £ [І,Ь]Ж/ £[1,Ь]Ы £[І,ЦП,

С[І,Ц<І'

е[І,Ц<Ь

£ р,Це[і,Ч<

(10)

где е[1,Ь]<1 — амплитуды волн, падающих на узел П[1,Ь] из внешних рукавов П1, С[1’ь]>1 — амплитуды волн, рассеянных узлом П[1,Ь] во внешние рукава П1. Аналогичный смысл имеют е[1,Ь]<Ь и е[1,Ь]>Ь с точностью до замены индексов вне квадратных скобок I ^ Ь. Матрица рассеяния Б[1,Ь] разбита в (10) на соответствующие блоки.

Из представленной схемы элементарного участка сети (рис. 1) следует, что

'е[1,ь]>1 'е[1,К]>1 'е[І,Ч<І 'е[1,К]<1'

е[1,ь]>ь = е[К,Ц|>Ь , еР,Ц<Ь = е[К,Ь]<Ь

(11)

Поэтому е[1,Ь]> можно записать в терминах Б -матриц узлов, образующих участок сети,

Б[1Д] и Б[к,ь] :

„[•№]> =

Первую сумму в (12) можно разбить: У~]

'е[1,К]>1 "х1 £[1’К]Ле[1’К]<1"

е[К,Ц|>Ь ^І £[К,Ь]ЬІе[К,Ь]<І

(12)

ЕІЄ Л і Є К ^''І ^''ІЄ К і ^''І є ^

+ Е , а вторую: X, = Е + Е .

С учётом этого и введённых выше соглашений из (12) следует

Брдщ о1ь

0Ы б [к,ь]ьь

'е[і,К]>і

е[К,Ц|>Ь

'е[і,К]<і ■£[І,К]ІК фІК - 'е[І,К]<К'

е[К,Ь]<Ь + 0ЬК £ [К,ЦЬК е[К,Ь]<К

(13)

Таким образом, для расчёта матрицы рассеяния Б[1,Ь] необходимо выразить ам-

плитуды падающих из внутренних рукавов волн с

1,К]<К и е[К,Ц<К

падающих из внешних рукавов волн с

[І,К]<І

:,ц<ь

через амплитуды

ие

Формула объединения. Рассмотрим к-й внутренний рукав элементарного участка сети: к € К. Из определений (5) следует

[W [J,K]k ]-1y[J,K]k = ^k = [W[K,L]k]-1 у

k] — 1 ,JK,L]fc

(14)

Тождество (14) является исходным при расчёте Б[^,ь] — матрицы рассеяния элементарного участка сети П[л,ь] в терминах БР,к] и Б[к,ь] — матриц рассеяния образующих его узлов П[1’к] и П[к’ь] соответственно.

Согласно (7) и (9) решения задач в ЛСК [XYZ][J’K]k и [XYZ][K’L]k примут вид

V

[J,K]k

, л [J,K]<k ( . [J,K]k \ j [J,K] k / S

(x,y,z) = Xm Cm exp (— гкт xj hm (y, z) +

+ Em [En S

[K’L]<fc

l C[J,K] kl [J,K]<l mn cn

exp ^+*кЩ’к] k^^ h[mK]k (y,z),

V[K,L]k(x, y, z) = Xm e!m’bi<k exp (—Ік^’4^ ьП’Ь](у, z) +

. X^l S[K’L] kl [K,L] <|l

+ 2^1 m Z-^n Smn cn

( . ■ [K’L]k \ , [K’L] k і n

exp І-+ікП xjhm (y,z)

(15)

(16)

соответственно. Найдём неизвестные амплитуды е[І,К]<к и е[К,ь]<к. Для этого перепишем тождество (14) в ЛСК [XУZ][J’K]k:

Vі

[,K]k -у [J’K]k [^w [K’L]k]

k ]-1V[K’L]fc

V

(1Т)

Поскольку ЛСК связаны друг с другом преобразованиями трансляции и поворота так, что X[J’K]k || X 1к>Чк, согласно условию (3) имеем

W[J’Klk|WtK’Llk]-1 exp f±iKjK’L]kx) = exp f±iKjK’4k|ak - ж]) W[J’K]k|WM^-1. (18)

(19)

При этом можно показать, что

jy[J’K]k[y[K’L]k]-1h[K’L]k hJ,K]k ^[J,K]k ^[K,L]k : ^k

Поскольку кПП’К]k = кП’^ =: кП, подставляя (15) и (16) в тождество (17) с учётом (18) и (19), получим

cmK]<k=exp(+lкm nk )y: ln smnL]klcnK’L]<l

c[K’L]<k = exp(. ^k nk ) l s[J’K]klc[J’K]<l .

cm — “-л-P^ч_гlкmn / 2-^n smn cn

С учётом соглашений (20) примет вид

C[J’K]<K = exp( + lKKKAKK) Xl S[K’L]Klc[K’L]<l

C[K’L]<K = exp(+iKKKAKK) Xl S[J’K]Klc[J’K]<l ,

K kl кk T kl Akl nk I kl

Kmn • ^m^mn, Amn • n *mn.

(20)

(21)

(22)

V^l V^l ЄJ і v^l ЄK

= - , следовательно

В системе (21) суммы распадаются: в первом уравнении У~] = У~] Є + X Є , во втором

. (23)

'C[J’K]<K_ _S[J’K]kk exp(—IK KKAKK) -1 ■ 'g[J’K]KJ OKL ■C[J’K]<J'

C[K’L]<K exp(—IK KKAKK) _S [K’L]KK x qkj S[K’L]KL C[K’L] <L

Соотношение (23) выражает амплитуды падающих из внутренних рукавов волн

сРД]<К и с[1

и с[к.^]<ь. Подставляя (23) в (13), с учётом (10) получим

с,ь]<К через амплитуды падающих из внешних рукавов волн е[і,К]<л

£ [ВД

*[К,Ь]ЬЬ

+

£[Х

'£[І,К]ІІ

—£ [ І, К] КК ехр( — ІК КК^КК )'

ехр (—ІК кк ^КК ) — £ [К ,Ь] КК

0ІК £[К,

-1

£[і,к]кі окь '

ОКі £ [К,Ь]КЬ

(24)

Формула объединения (24) выражает матрицу рассеяния элементарного участка сети в терминах матриц рассеяния образующих его узлов. В случае отсутствия внешних рукавов, например, справа на рис. 1 (Ь = 0, П[к,0] = П[к]), формула (24) также применима (при этом БР,0] = Б[,1], Б[к,0] = Б[к]). С учётом соглашений она примет вид

Б [л] = Б Р’КШ +

_БрД]кк е

Х ехр(—гК ККАКК)

При отсутствии связи между узлами (К Б[0’Ч = б[ь]) формула (24) запишется

Оік]:

ІК кк^кк ) -1 £[І,К]КҐ

£ [К]КК ОКі

П[І’0] = А [І], п[0>4 = А И, £[І,0]

£[І,Ч

"£ [і] іі

О^і £ [ь]ьь

(25)

£[І],

(26)

Таким образом, формула (24) является универсальной: с учётом принятых выше соглашений она применима при объединении узлов сети во всех возможных случаях.

^-матрица сети. На основе формулы объединения (24) для Б-матриц с идентификаторами-кортежами А и В можно определить операцию объединения:

£[А] ® £[в] := £[а\в,в\а]

(27)

полагая в (24), что I = А\В = {к € А|к € В}, К = Ар|В = {к € А|к € В},

Ь = В\А = {к € В|к € А}, при этом Б[1’К] - Б[А] и Б[К’Ь] - Б[в] (могут отличаться друг от друга перестановкой соответствующих строк и столбцов). Она является тернарной, так как помимо элементов матриц бИд: и Б[к,ь] формула (24) содержит элемент ехр—*КккАкк). Всюду ниже для краткости он опущен.

Расположение границ рукавов в сети можно выбрать произвольным образом, в частности, так, что

Ук € I ак =0. (28)

где I — кортеж номеров внутренних рукавов. Тогда согласно (22), (24) и (28) получим

Б[ЗД =

£ [І,К]ІІ 0ІЬ

0)Ы £ [К,Ь]ЬЬ

+

—£[І

I КК

I

КК

£ [І,К]ІК

Оьк £1

1 £[І,К]КІ

ОКі

Оік

;к,ь]ьк

х

ОКЬ

ї[К,Ь]КЬ

(29)

В формуле (29) помимо нулевых и единичных матриц присутствуют только элементы матриц Б№ и Б[к,ь]. Следовательно, в случае «безрукавной» сети (28) операция объединения (27) является бинарной. Формально это удобно. Однако длины рукавов — это

х

X

X

п[ ■■,1]

1

п[1-2]

2

П[2]

Й-.1] 1!

Й1-2!

П[2’3]

3

п[3

Рис. 3. Схемы участков квантовой сети: а, б — последовательные участки, в — участок с ветвлением

параметры, влияющие на Б-матрицу сети. Их учёт принципиально важен при проектировании сетей с предопределёнными транспортными свойствами. Поэтому в данной работе длины рукавов учитываются.

С помощью операции объединения (27) можно записать сетевую формулу — выражение для Б -матрицы произвольной квантовой сети:

Б [Е]

АеЯ

: ® Б[А].

(30)

где Е — кортеж номеров внешних рукавов; N — кортеж идентификаторов внутренних узлов, содержащий информацию обо всех соединениях узлов и порядке их объединения.

Примеры. Проиллюстрируем предложенный подход расчётами Б -матриц сетей различной структуры. Геометрия узлов и рукавов произвольна в рамках поставленной выше задачи.

Рассмотрим участок квантовой сети, схема которого изображена на рис. 3, а. Для него Е = {1}, N = {{1. 2}. {2}}. Сетевая формула (30) примет вид

Б[1] = Б[1’2] ® Б[2]. (31)

Раскрывая (31) по формуле (24) с учётом того, что I = {1}, К = {2}, Ь = 0, имеем

. (32)

{{1. 2}, (33)

' —Б[1,2]22 ехр(—гк 22А22) -1 'Б [1’2]21‘

ехр(—гк22 А22) — [ 2] 2 ю 021

Б[Ц = Б [1’2]11 + [Б[1’2]12 012]

Для участка сети, соответствующего схеме на рис. 3, б, Е = {1. 3}, N {2. 3}}. Согласно (30), его Б-матрица запишется

Б[1,3] = б[1’2] ® Б[2’3].

Полагая I = {1}, К = {2}, Ь = {3}, с помощью (24) раскроем формулу (33):

Б[1’3]

+

Б [1,2] 11 013

031 Б[2’3]33

—Б[1,2]22 ехр(—гк22А22)

ехр(—%К22А22) —б[2,3]22

Б [1,2] 12 012

032 Б [2,3]32

1

Б [1’2]21 023 ■

021 Б[2,3]23

2

Участок на рис. 3, в, не является элементарным. Так как в этом случае Е = {1}, N = {{1. 2. 3}. {3. 4}. {2.4}}, сетевая формула (30) примет вид

Б[1] = Б[1’2’3] ® Б[3’4] ® Б[2’4]. (35)

Раскроем операцию объединения при расчёте Б[1,2,4] = Б[1,2,3] ® Б[3,4]. Для формулы объединения (24) имеем: I = {1.2}, К = {3}, Ь = {4}. Тогда, следуя примеру (1), запишем её в виде

Б [1,2,4]

"Б[1’2’3] 11 Б[1’2,3] 12 014

Б[1,2,3]21 Б[1,2,3]22 024

041 042 Б[3,4]44

—Б[1’2’3]33 ехр(—гК33 А33) ехр(—гк33А33) —б[3,4]33

Б[1,2,3]13 013

+ Б[1,2,3]23 023 х

043 Б[3,4]43

'-1 Б[1,2,3]31 Б[1,2,3]32 О34 ■

031 032 Б [3,4] 34

(36)

При раскрытии Б[1] = Б[1,2,4] ® Б[2,4] по формуле (24) I = {1}, К = {2. 4}, Ь = 0, следовательно,

Б[1] = Б[1’2’4]11 + [Б[1’2’4]1{2’4} 01{2,4}] х

—Б[1,2,4]{2,4}{2,4} ехр(—гК{2,4}{2,4}А{2,4}{2,4}) -1

х ехр(—гК{2,4}{2,4}А{2,4}{2,4}) —Б[2,4]{2,4}{2,4} 0{2,4}1

(37)

В выражении (37) объекты с индексами {2. 4} также можно раскрыть с помощью примера (1). Здесь это не сделано в связи с громоздкостью конечного выражения.

Одной из разновидностей квантовых сетей является одномерная сеть. Она представляет собой последовательность финитных потенциалов. Её элементарным участкам соответствуют схемы на рис. 3, а и б. Запишем их Б-матрицы (32) и (34), используя для иллюстрации идентификаторы на основе нумерации узлов (индексы в угловых скобках), приемлемые для сетей малых размеров. Введём обозначения:

Б<3> := Б[1]. Б<3> := Б[1’3].

Б<1> := Б[1’2]. Б<1> := Б[1’2].

Б<2> := Б[2]. Б<2> := Б[2,3]

(38)

(39)

соответственно для двух участков. В обоих случаях сократим обозначения: к2

к, а2 =: а. Поскольку величины в (38) и (39) являются числами, они коммутируют

между собой. Поэтому формулы (32) и (34) с учётом (22) упрощаются:

Б <1> 12 б(2>22 б <1>21е*2ка

Б<3>

Б <1>11 +

с<3> = с<1>11 ,

1 — Б<1>22Б<2>22ег.2ка. ’

Б <1>12Б<2>22Б <1>21ег2ка Б<1> 12 Б <2>23(егка

1 _ Б<1>22Б<2>22ег2ка

Б <2>32 Б<1>21 егка I — Б{1)22Б{2)22е*2ко

Б<2>

33

1 _ Б<1>22Б<2>22ег2ка

Б<2>32 б <1)22 б<2>23 ег2ка

+

1 _ Б<1>22Б<2>22^г2ка

(40)

(41)

соответственно. Для «безрукавной» сети (28) с учётом специфики обозначений выражение (41) совпадает с выражением, полученным в работе [6].

Таким образом, сетевая формула (30) показала свою эффективность при расчёте S'-матриц участков квантовых сетей в представленных примерах.

Заключение. В настоящей работе для квантовой сети предложена удобная система обозначений, основанная на нумерации рукавов. С её помощью найдена S-матрица элементарного участка сети — соединения двух внутренних узлов. Это позволило определить для их матриц рассеяния операцию объединения. На её основе получена сетевая формула — выражение для S-матрицы произвольной квантовой сети в терминах S-матриц её узлов. Её эффективность продемонстрирована расчётами для участков сетей различной структуры. S-матрицы последовательных участков записаны также в случае одномерной квантовой сети.

Литература

1. EkertA., HaydenP., InamoriH. Basic concepts in quantum computation. Oxford, 2000.

2. Pavlov B., Yafyasov A. Standing waves and resonance transport mechanism in quantum networks // Surf. Sci. 2007. Vol. 601. P. 2712.

3. Ньютон P. Теория рассеяния волн и частиц / пер. с англ. М., 1969.

4. Цуриков Д. Е, Яфясов А. М. Расчёт матрицы рассеяния элемента квантовой сети // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2010. Вып. 1. С. 153-157.

5. Кулик Б. А. Вероятностная логика на основе алгебры кортежей // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 1. С. 118-127.

6. Mello P. A., Kumar N. Quantum Transport in Mesoscopic Systems: Complexity and Statistical Fluctuations. Oxford, 2004.

Статья поступила в редакцию 15 февраля 2011 г.