Симметрические многочлены в расчётах матричной экспоненты Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник, Сыктывкарского университета. Уер.1. \Вып. 16.2012

[УДК 512.64+534.2+539.3

СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ В (РАСЧЁТАХ Матричной экспоненты

К). \К. \Беляев

Цредставлен Ьовьтй [метод вычисления [матричной вкепонен-[гы, Ьснованный на использовании римметрических многочленов к-го рорядка. ТТ;11"|. к ■ 111.1 аналитические [выражения матриц ререноса, упругих [деформаций в рднородном слое.

Ключевые слова: слоистые рреды, матрица переноса, экспонента, симметрические многочлены, упругие деформации.

1. [Введение

Многие [задачи Математической физики, в [частности, [теории распространения волн в слоистых рредах [1]-[4], имеют Составной Ьвоей частью задачу Коши относительно п неизвестных функций ^ = \Pijz) иеремеи-Ёой я:

#1

с1г

#2

с!г

<%фп

= аифг + а12ф2 + • • + а>1пФп,

= «'21-01 + 02202 + • • + 0,2пФп,

= Огг101 + Оп202 + • ■ • + О’ппФт

г(0) ^ Фму

1,2,.

п.

(2)

Если коэффициенты , г, j <= [1, 2,... являются ростояиными, то [матричное представление решения [задачи (1) (2) имеет вид [см.,

[например [5|):

Ф(г)=Ы>(Аг)Ф0. [3)

(с) Беляев К ). [Н^ 12012.

Здесь использованы Ьбозначения:

ФЛ*) 010 ац 012 ■ • • 0-1 п

02 {г) , = 020 , \А = «21 а2 2 • • • а?,п

Фп(г) 0пО Оп1 Оп.2 ^ С1"пп

'рхр(Аг) е Ц + Аг Н-

Лг)5

_21_

;лг)г

ж

н-...

(5)

и 1 — единичная матрица.

Если коэффициенты д.ц дифференциальных [уравнений [1) являются функциями то рдин из способов решения [задачи (1)-(2) состоит в разбиении ртрезка [0, х\ точками деления ^ ра достаточно большое число \М подобластей ггаким Образом, ктобьт ра каждом из отрезков [г^, [матрицу |А?- = А(г^ можно было считать с [достаточной точностью шь Ьтоянной и аппроксимировать фундаментальную [матрицу рроизведени-

ем п; Л ехр(-и(-/ - I - •'-.;))•

Расчёты ех|>(.1:) с помощью формул [Лагранжа-Сильвестра [5], Бэдера [6,стр. [196] или Ньютона, [7] [требуют предварительного [нахождения решений А;. [2 = [1, 2,... [г^ характеристического уравнения [матри-цьт А

А» - ^ А»-1 ± д2хп-2 - ... (-1)уд = р, [6)

коэффициенты которого ^ [I, 2,.,, ^ равны суммам главных ми-роров 1?'-го рорядка рпределителя матрицы \А, т.е.

и1 — Р*11 Н- о,22 Н- . . . + рпп?

£

.7>г

а*.

а

■] г

■= (И А. [7)

Другой родход [8] к вычислению [матричной экспоненты основан на использовании величин рг,;, являющихся элементарными симметрическими многочленами относительно [А?-, и ие руждается для Ьвоей реализации рахождепия самих Ьобственных [значении А^ матрицы А. Для матрицы [збщего рида п-{ вычисляются значительно надёжнее и точнее |А?-. Роэтому при численном решении [задачи [1)-(2), как показано в работе [9], поело, и)нн мо юд имеет существенные ррсимущсства, в рравне-нии с выше перечисленными.

В [данной работе [метод [8,9] ррименяется для получения решении задачи [1)-(2), аналитически рыражающих экспоненту матрицы через элементарные симметрические многочлены Последней. Ролученные

формулы рспользуются для нахождения матрицы переноса упругих деформаций [10].

В* [Представление [матричной экспоненты с помощью симметрических многочленов

[Теорема[11]. \Целая функция [/(М) любой квадратной \м,атрицы, 1М \порядка п рыражается с цомощъю своих симметрических много-нленов Рг, 1г = [1, 2,.. 4 п7 формулой:

п— 1

1ЫМ) = ^ М'

19=0 [7=0

3^3-

(п)

Vde

М) =

0, если j = 0,1,

1, если j = п — 1,

ai&j-i(n)—(J2&j-2(n)+ . . . [ — 1)П_1СГп^_п(п), ('f.lll j > п.

и О], — коэффициенты разложения целой функции /(£) комплексной переменной £ в степенной, ряд в ркрест,ноет,и цуля.

Функцни 38^ (п), рпределяемые рекуррентными формулами (9), вы-ражаются ререз элементарные римметрические многочлены щ и называются римметрическими многочленами п-го \р,орядка.

Для доказательства рредставленпя (8) [используем: 1) [теорему о целочисленных степенях матрицы [12, стр. |275|, согласно которой целочисленная степень ] > О [дюбой матрицы М га-го рорядка равна

Ь— 1

Ml = УЗ м> \Пр*-1+1Я1- 1-|(”) I

(10)

t=fl

lq=0

|2) [теорему [см., например |~>. Dl [Vj § 4]) о сохранении разложения функции /((*) в Степенной ряд в [круге [С — Со| К с

СЮ

Ь'=о

рри замене ркаляриого аргумента £ любой квадратной матрицей М:

ЦМ}=^2а3(М-1_Со}К (11)

\2=0

Подставляя рыражение [10) в рравую чя,сть разложения [11) в ркрест-ности ^ 0 получаем соотношение [8).

Следствие 1.

(в— 1 I оо

\fjAz) = Е а1 ^2(~1)П^1+9^1(Тп-1+9 ^2 -д(п) „ (12)

г=о &=о \2=о

Ыё z — ркаляр, 0,^1 = 1, 2, и ^ (п) 'соответственно элемен-

тарные риммегпрические [многочлены, и многочлены, п-го \порядка матрицы 1А.

Следствие

П—1 I ОО j

<'Хр(.1:) = ^2 ^ Е(-1)П-<+9-1<7п-<+9 ^2 ■ (13)

---12=0________________2=0

Если вырази і ь симметрические многочлены ш-го порядка \^і(п) яв-ным Образом ререз Ьобственные значения матрицы [А, то суммирование П£) \]_ в формулах [12) и (13) может быть выполнено аналитически без особого груда. Но результат суммирования в этом случае выражается через Ьобственные значения матрицы, и еш конвертадия к функциональной зависимости от гг,: гарантированно выполняется лишь для [матриц рторого, [третьего и четвёртого рорядков.

Пример [Ь Экспонента риатрицы рторого порядка

Симметрические многочлены рторого рорядка рпределяются

соотношениями

-А){-) = 0: Щ2) = ІІ Щ2) = К^7-і(2) - М-2І2), [] £ В , (14)

Где ах и ^2 — соответственно след и рпределитель матрицы. Решением уравнений [14) являются функции

^2 -А?

[^2 —

^?(2) ^ [л~2 Vі , ТД§ [А^ = ^ ЬЬ^ в с

Подстановка этих функций в формулу (13) [даёт:

О- 2 - А

Пример 2. Экспонента, м а гр п цы Четвёртого рорядка Получим рздесь рыражение экспоненты матрицы Четвёртого рорядка [А, в важном для практических Приложений случая, когда элементарные Симметрические многочлены .матрицы А удовлетворяют условиям:

= ^ ^2^0, <Т| / 0.

В этом рлучае все многочлены --^/Н) с чётными рндексами равны нулю, а многочлены с нечётными рндексами рпределяются равенствами

^1(4) = [К, ^з(4) = [1, ^2.7+1 (4) = —cr2&2j-l(4) — ^г4^2,7-з(4) . Решение •-) I их уравнений можно рредставить в риде [13]:

( вт[^ агссоб Ь] \

?2j+l

(4) =

СГл

№

02

формула (13) для данного случая преобразуется к виду: ехр(Аг) = /5„ Ы= 145т ы= А25, ± [А353,

Где величины Бо, ^1, [^2, <5*3 определяются равенствами:

(16)

(17)

(18)

SoF-^4^

00 z2j

00 Z

i=0

2i

т

<%+l(4),

EZ‘

2j+l

Е

i=0_

3=0 g2j+l (2j + 1)!

(2j + 1)!

^2,-1 (4),

^2,+l(4)

(19)

Для вычисления Выражений (19) роспользуемся известными сумма-ми [14, стр. [738]:

00 г2к+1

к=О

(2к+1)1

Sin JX

cos jx

г сое

г сое

sin

сое

г sin

г sin

эЬ

£

к=О

„2 к

2*)!

БШ ]Х

со sjx

сЬ

Г СОБ

г сое

X

" їх\1

БІЙ г віп -

К2 )\

г /Ж\]

сое г вій -

\2/-

Подставляя рыражения (16) в формулы [19) и применяя соотношения [20) и [21) находим:

2І

7=0

Ш

сов^' агссов 6)

ЬвіпЦ агссоэ Ь)

ЬЬ. [г# }) сое [г^(+))

Ъ

: Й1 [г# }) (зіп (г^(+))

(22)

■?1

У , | 1Ч| ( сон{] агссово) —

і=о

ЬвіпЦ агссоэ Ь)

(23)

1

2^ (2І)! 'Рт^агсс°86)

^4 V и— ,-_0

йЬ. эт (я-д(+))

1

(24)

СГа

Е

(^(74

2І+1

(2.7 + 1)!

5ІД(І

агссов

Ь)

о,

ЬЬ. [г# }) эт (-г#+)) -—ІзЬ. [г# }) соя

,г#+))

(25)

Где использованы Ьбозначения

^(±)

(26)

[Матрицы ререноса упругих [деформаций

В декартовой системе координат х\=х, ^2 Е ЕЛ Рз = & компоненты тензора [деформации |г% рпределяются ререз компоненты щ вектора рмещения Ш формулами:

Ём

1 V дип

+

5

'/• І = 2, 3.

(27)

В Изотропной рреде компоненты [тензора Напряжений [р^ соотносятся с компонентами Цензора деформаций [г% с помощью упругих постоянных Ламе А и //

[Ря.7 = [2//. Хід і + [А ^ ] ЧцЬд^ .9,.] = [1,2,3.

(28)

Движение в сплошной рреде описывается линейными [дифференциаль ными уравнениями:

д2и„

Р-

дРді

Зі2

дхл

±

дРд2

±

д'РдЗ

дхя

кіл

(29)

Где ^ — плотность регцества, £ — рремя.

Рассмотрим рассеяние плоской [упругой волны

Ёо ■= еехр[г(£пг- И)1,

(30)

Задающей из однородной Ьбласти на, Изотропный с. и>іі. в общем рлучае Неоднородный по толщине. В формуле (30) и далее буква і Ьбозна,ча,ет [мнимую единицу, ю — циклическую [частоту колебании. /,„ — [волновой ректор Падающей волны. Постоянный ректор Ё риределяет [амплитуду и направление колебаний растиц рреды в волне. Примем [амплитуду Падающей волны за единицу: |е| =

Выберем декартову систему роордпнат таким образом, [чтобы ось іг была, перпендикулярна роверхности слоя, а оси х и ц лежали в '-п ои роверхности; луч падающей волны лежит в плоскости хг и раправлен род углом 0п к оси Из геометрии [задачи рледует, что компоненты упругого поля от координаты у не зависят.

13.1. ^Горизонтальная волна сдвига. 1 Іусть вектор смешении и раправлен рдоль оси г/. В этом рлучае не нулевыми ^удут только рдна [компонента смещения \иу и две компоненты тензора напряжений руг,Рух-Эти функции, как рледует из (27) — (29), удовлетворяют уравнениям:

= Р'

диу

диу дг Р

Р-

д2

др

Зі2

ух

др:

уг

(31)

Несложно показать (см., например [15]), что компоненты упругих ролн, распространяющиеся внутри слоя, отражённой от слоя и ррошед-шей через Ьлой имеют [ту же функциональную зависимость от роор-динаты и; и рремени что и падающая волна, (30). Это рзначает, что выполняются равенства

Ь 8ІП во = кд si.Il вд = к ЭШ в <= кт ЗІпб1,-,

[где волновые числа. [падающей, отражённой, [прошедшей и преломлённой волн выражаются соответственно формулами: ^ \/ро/ро,

^ А^ ■= \jj\J рт/р,т Ьис1 1А' ■= со^/р/р/, индексом 0 отмече-

ны рараметрьт рредьт распространения [падающей и Отражённой волн, а индексом гг — параметры рредьт распространения [прошедшей волны. Направления волновых ректоров показаны на рис. 1,

Рис. 1

Ищем решение [уравнений [31) в [виде

Ну 0l(2)

Руг = -02 (г) |exj>f/ (A; sin в —

Рух -03 (z)

Неизвестные функции |01(.г), (02 (^), [0.3 (2), связаны [между Ьобой равен-ствами

•03(г) — \jiiksin вфг^),

1 V

d 01 0

dz 02 —pk2 cos2 9

‘01 ITT7 01

02 E It '02

[Элементарные симметрические многочлены [матрицы ТГ:

Рх = 0^ g2 1= |fc2 COS2

По формуле (15) находим ^матрицу

cos(A:~ cosf?) sin(A:z cos 9)

Ul e exp (IFz) ■= pk cos 9

—/i-А: cos 9 sin (кг cos 9) cos(kz cos 9)

[которая является матрицей переноса упругих деформаций горизонтальной волной рдвига в рднородном слое.

13.2. Волна IЕ — 19У типа. [Пусть колебания в волне цронсходят в плоскости \У£, так что ^ = (1 Такая поляризация называется [вертикальной. Ей соответствуют [продольная волна [Р) и вертикальная вол-па, сдвига {БН). Не рулевыми компонентами [тензора, [деформации (27) в рассматриваемом случае являются:

»-п

дщ 1 (дих і <9мг \

дхх 1 [Ц-1 3 — 1?Аг,Г [ <9^ <9;Г ] Е ЦЖ Е 1кг =

дия

дх-л

р = р(г) А = Л (г) р. — р(г)

Р^Рт Р = Мт

РтЗУ I.

[Рис. 2, Геометрия рассеяния продольной волны Соответственно, не [нулевыми рудут следующие компоненты тензора, [напряжений [см. формулу (28)):

А

дщ

дг

^дих I Рхх = (2/і + Л) Ці

V дих ди~

_ /о „*». ,

^Л,аГ±АаГ

(32)

(33)

(34)

а из [трёх уравнения движения [29) [нужно решать два

др.

д2их дрхх дрХг д2и,

Й ді2 1—1 дх -і- о Ї о г » т* -

хг . . 9рг

ьь

Зх_ ^ ж_' ^

Будем искать решения [дифференциальных [уравнений [32-35), удовлетворяющие начальному условию [30), в риде:

Рхх ф0(г)

Рхг Фі(г)

Ргг — ф2(г)

их Фз{г)

иг Ф&)

^хр[!(1'о,г-И)]-

(36)

В результате подстановки [36) в [32-35) и выполнения элементарных Преобразований нетрудно получить уравнения, рпределяющие неизвестные функции \tpjjz):

Фо{<

2/і

А ' Ф2{г) ЬЬ гкох+ ^ф3(г)

2/х + А

Фі(г) Фі(г)

Сі <ф2(г) Т/Т Т Ф2&)

'.і: Фз(г) = іи_ Фз(г)

Ф4(г) Ф*{г)

Где матрица [четвёртого рорядка Ш_ вые компоненты:

А

(37)

(38)

имеет следующие не нуле-

^12 = = -гк

Ох

тл = -и)2р + к$.

Ох

ы21 = и>34

2/х Ч- А

4 /і(/і + А) 2/х +А

= ікох

[Ті

72-

^24

—иР р = 1

«>31 =

р

ІЗ 5 1^42

П/4

75

Те

(39)

2,р А

Для решения системы уравнений [38) методом симметрических многочленов [требуются элементарные симметрические многочлены матрицы [39). Они равны

Как 11зI.ее I но. в [упругой твёрдой среде могут распространяться по-реречпая и рродольная ролны, скорости роторых и ^ рпределяются упругими коэффициентами Ламе Д. // и плотностью среды \/х

'2/i + А

Этим волнам соответствуют волновые числа [А^у = [и^р/р н /,> = \jy/p/(2fj, + А). [Направления распространения волн определяются из условий

[fcn sin во — кяу sin 9Яу ■= кр sin вР

= [fc^. sill 60SV = sin gpp — fcTSV sin ■= kTP sin9TP ,

Минимальные углы, роторые волновые векторы Образуют с рормалью к слою, Обозначены руквой О с [индексом SV для роперечных ролн, и Р

I— продольных. Дополнительными индексами !> п tг отмечены реличины, ртносящиеся соответственно к Отражённым и ррошедшим волнам.

Внутри [твёрдого слоя распространяются две продольные ролны, различающиеся знаками Проекций своих волновых векторов на ось ^ и две рертикальные волны сдвига с та,к им же различием рроекций волновых векторов на ось iz, Ра рис. 2 в качестве рримера роказана геометрия рассеяния рродольной волны. Направления колебаний растиц среды по-казаны на лучах двухсторонними ртрелками.

Обозначения

\psv i= кяу cos вЯу „ — />> cos 0Г (41)

позволяют рредставить соотношения (40) в форме, более [наглядно рас-ррывающей смысл не рулевых элементов симметрических многочленов матрицы W:

Р2 = Psv Н- 1$|> = \0svftp’

1А рменно, Р2 — сумма, а <74 — рроизведение рвадратов рормальных Составляющих волновых векторов рродольной и роперечной волн.

Найдём матрицу переноса Т = е\р(1Г',) упругих деформаций волной Р — Б\г типа в однородном слое. Для элементов ^ матрицы переноса

Т по формулам (18) и (22) (20) ролучаем следующие выражения:

1п = кз = <50 + (7173+7275)>?2 8 ^12 = 171^1 + [(7173 + 7275) 71 + [7174 |+ 727з) 7б] ^з 8

Ы = (72^1 + \(ъъ + 7275) 72 ± [7174 |+ 727з) 7г] ^з 8

Ьа = Ы = [7174+727з) & ,

Ё21 = Ьз^1+ [(717з + 747б) 7з ± [7174 |+ 727з) 7б] £3 8 ^22 = = <5о + (717з+747б)<512 в

Ьм = [74^1+ Г(717з + 747б) 74 ± [7174 |+ 727з) 7з1 ^з 8

Ы = Ь^1 + [ (7571 + 7з7б) 7з ± [7173 |+ ъъ) 1ь\ 5з 8

Рз2 = Ы = [7б71+7з7б) ^ 8

1^34 = (73^1 + [(7571 + 7з7б) 74 ± [717з |+ 7275) 7з] 5з ,

Ы = Ъ%3\ + [(7571 + 7з7б) 71 ± [717з Н~ 747б) 7б] *5*3 8

Ьз = Ь+^1 + [(7571 + 7з7б) 72 ± [717з к- 7476) 71] 53 .

Здесь

5,-

32яу еж \zfip)

(32Р сое (грву)

№ —

^5У гР

сш \zj3p) — сое (г/3зу)

&.=

Р1, - Я

Р1у вт (х(3Р) — /Зр бш (г(38У (3зу(3р((32зу - /31) 1

Рзу вт (г(3р) - !3Р вт (г/3зу) РзуРр №у - /%)

параличры 71, 7г,--47в рпределяются формулами [39), а \[3Р и /Ззу — равенствами [41).

4. Заключение

В тех рлучаях, [когда суммирование в формуле [13) для [матричной экспоненты может быть выполнено аналитически, аналогичное суммирование в [12) для функций зш(Аг), ^оз(Аг), нЫ Л:) и <-Ь( Л:) ррово-дится с не меньшим успехом. Но результат легче ролучить, если использовать известные соотношения между указанными функциями и Экспонентой, например зт(Аг) = (ехр(гЛ,г:) — ехр(^гЛг))/(2г).

Литература

[Ь Вреховских Л. М. Волны в слоистых рредах. М.: Из-во АН ( 'С(Т, 1957. БОЗ с.

2. Борн [М., Рольф Э. Основы оптики \[ Дер. с англ. род ред. 1Г.ТТ. Мотулсвич. Раука, 1970. 856 с.

EL Шульта 1Н. IA. Основы механики слоистых рред Периодической Структуры. Киев с Цаук. думка, П 981. ВПП с.

1. Молотков Л. А. Матричный [метод в [теории распространения волн в слоистых упругих и [жидких рредах. И.: Наука, 1984. 201 л

5. Гантмахер Ф. Р. [Теория [матриц. 4-е рзд. М.: Наука, И 988. 552 с.

0. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров [ Рер. с фр. род ред. К.С. Щифрина. В-е рзд. М.: Раука, 1967. 780 с.

Ъ Mac Duffee С. С. The Theory bf Matrices. New York: phelsea, 1956. 128 p,

К Беляев Ю. И, Ррименение симметрических многочленов в ре^ шении задачи Коши // Тезисы Международной конференции, „Алгебра и линейная Оптимизация “, Екатеринбург, \t4~19 мая 2012. Екатеринбург: \чзд-во „УМЦ-УПИ“, 2012. С. 20-22.

9. Belyayev Yu. Ы* Calculations of transfer [matrix by means bf Symmetric polynomials Ц \Days nn \Diffraction 2012. proceedings \)f the IInternational Conference \May 28 - June 1 $012, ISaint Petersburg, Russia. £ \36-4-l.

lH Беляев Ю. H. Симметрические многочлены в расчётах [матрицы Переноса упругих деформаций Ц Тезисы, докладов Щеждун,а,родной конференции |Обратные и цекорректные [задачи, [математической физики, Новосибирск, [5-12 цвгуста 2012. [Новосибирск: Сибирское научное [издательство, 2012. С. 298-299.

11. Belyayev Yu. IN, Representation bf [matrix functions [by; means bf Symmetric polynomials \jj Book \xf abstracts the international Conference on Algebra, August 20-26 2012 Kiev: Institut,

m a them a, tics NAS of Ukraine, p. 12£L

12. Беляев Ю. IL Векторный и тензорный анализ. Сыктывкар: РыктГУ, ВП1П. 698 с.

13. Беляев Ю. Н. Матричный [метод расчёта ререрассеяния волн в Периодической структуре \Ц_ Вест,ник Сам,, пос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. щуки, 2011. Ж $(23). С. \142-Ц8.

14 Прудников А. П., [Брычков Ш. \А., [Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: [Наука, 1981. 800 cl

15. Беляев Ю. [Матричный подход теории волн к. слоистым рредам. Raaxbrbriicken: LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 148 с.

Summary

Belyayev [Yu. N. [Symmetric polynomials In the calculation bf the [matrix Exponential

[A new method for computing the matrix exponential based on symmetric polynomials bf w-th brder is presented. Transfer faiatrix Analytic expressions

In a homogeneous clas) ii- layer are found.

Keywords: layered, media, transfer matrix, 'exponential, {symmetric polynomials, Elastic \ieformation.

Сыктывкарский Государственный университет,

[Поступила \18.12.2012