Коэффициенты рассеяния гексагональной квантовой сети в одноканальном приближении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.315.592

Вестник СПбГУ. Сер. 4. 2013. Вып. 4

Д. Е. Цуриков

КОЭФФИЦИЕНТЫ РАССЕЯНИЯ ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ КВАНТОВОЙ СЕТИ В ОДНОКАНАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ*

9

Введение. К числу перспективнейших материалов для современной наноэлектро-ники относятся аллотропные модификации углерода: графен, фуллерен, нанотрубки. Это связано с их уникальными электрическими свойствами, обусловленными спецификой строения кристаллической решётки. Её численное моделирование позволяет предсказывать характеристики углеродных нанострук- .■'••. .••"••.

тур, что актуально для техники. Функциональную мо- \ 2 3 /

дель кристаллической решётки можно построить на основе концепции квантовой сети [1]. В этом случае достигается высокая скорость и гибкость расчётов, способные обеспечить данному подходу широкую область применения.

Структура сети. При моделировании кристаллической решётки аллотропных модификаций углерода представляет интерес рассеяние электрона в гексагональной квантовой сети (рис. 1). Здесь и всюду ниже следуем соглашениям и обозначениям безразмерной задачи, рассмотренной в работе [2]. На рисунке сеть имеет шесть внутренних симметричных Y-узлов и шесть внешних узлов. Её структура запишется

12

6

5 '

Рис. 1. Схема гексагональной квантовой сети:

сплошные линии

внутренние узлы и рукава; пунктирные линии — внешние узлы и рукава

N = {{1, 7, 8}, {2, 8, 9}, {3, 9,10}, {4,10,11}, {5,11,12}, {6,12, 7}},

(1)

где N — кортеж идентификаторов внутренних узлов, каждый из которых — кортеж номеров примыкающих к узлу рукавов. Все рукава сети одинаковы:

{K kk = к" Akk = All}k'leiuE

к kl__Kk T kl Akl__k rkl

Kmn • KmTmn, Amn ' a Tmn,

(2) (3)

где I = {7, 8, 9,10,11,12} и Е = {1, 2, 3, 4, 5, 6} — кортежи номеров внутренних и внешних рукавов соответственно; к^ := у^е — Хкг, е — энергия электрона в сети, Хкг — энергия т-го канала в к-м рукаве; I — единичная матрица, ак — длина к-го рукава. Будем полагать, что

а=(4)

Это не умаляет общности задачи, так как границы узлов с рукавами условны. В любой сети их можно провести так, что будет выполнено равенство (4). При этом узлы модифицируются, а рассеивающие свойства сети останутся прежними.

Давыд Евгеньевич Цуриков — младший научный сотрудник, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: davydtsurikov@mail.ru

* Работа выполнена при поддержке ООО «Научно-исследовательский институт специальных тех-

нологий».

© Д. Е. Цуриков, 2013

Одноканальное приближение. Движение электрона в гексагональной квантовой сети описывает её расширенная матрица рассеяния S[Е] [3]. 5-матрицу сети можно найти на основе 5-матриц её узлов посредством сетевой формулы [2]

(5)

Операция объединения ® для 5-матриц с идентификаторами-кортежами А и В

S[А] ® 5м := ^[А\В'В\А1 (6)

определяется согласно формуле объединения, которая в случае (4) имеет вид

5 [ВД

'5 РД].

ОЫ

'-Б[Р

I кк

О-Л '

<[К,Ь]ЬЬ

+

1КК

[к,ь]кк

5 [Р,к]ж

5 [Р,к]и

ОКР

О» '

К,Ь]ЬК

-1

Окь ■

ЯК,Ь]КЬ

(7)

где I = А\В = [к е А\к / В}, К = АПВ = [к е А\к е В}, Ь = В\А = [к е В\к / А}, при этом 5[Р'К] ~ 5[А] и 5[К'Ь] ~ 5[в] (могут отличаться друг от друга перестановкой строк и столбцов); О — нулевая матрица.

Расширенные матрицы рассеяния в формуле (5) являются бесконечными в силу бесконечного числа каналов в рукавах. В численных расчётах конкретных физических систем учитывается их конечное число. При расчёте 5[Е] учтём только первый открытый канал: [к^}}т = [к^, [1ш(к^) = 0}й. Тогда (5) примет вид:

5

и

АеМ ■ ® 5

[А]. 11 .

(8)

Выражение (8) — одноканальное приближение для 5-матрицы квантовой сети. В этом случае согласно определению потоковой матрицы рассеяния

С := К+1/25К-1/2

(9)

и свойству (2) 5ц = Сц. Поскольку первый канал является открытым, в силу сохранения полного потока Сц унитарна. Следовательно, 5ц унитарна также:

11

!ц = 5115ц,

(10)

и квадраты модулей её элементов имеют вероятностную интерпретацию. Выражения (9) и (10) верны для матриц с любым идентификатором узла. Для изображённой на рисунке гексагональной сети имеем

[ 5[А] = 5 ^ }Ае^

(11)

где — матрица рассеяния симметричного Y-узла. Поэтому для расчёта посредством (8) следует найти й^р.

^-матрица симметричного У-узла. Вид как функции энергии определяется геометрией узла и электростатическим потенциалом в нём. Чтобы выявить характерные особенности транспортных свойств сети во всевозможных случаях, проведём параметризацию 5-матрицы симметричного Y-узла.

х

х

> имеет следующую структуру:

1 2 2

2 1 2

2 2 1

511 =

Из (10) и (12) следует

11(1 + 2(12(12 = 1

« . (13)

11(2 + (2(1 + (2(2 = 0

Полагая, что (1^2 =: р1,2 ехР(*ф1,2), из (13) получим

Р2 +2р2 = 1

2р1 С08(ф1 - ф2) + р2 =0 .

Введём обозначение:

П := - соя(ф1 - ф2). (15)

Так как модули комплексных чисел неотрицательны: р12 ^ 0, из второго равенства системы (14) и (15) следует

0 < п < 1. (16)

С учётом (15) систему (14) запишем в виде

р2 + 2р2 = 1 4п2р1 = р2

(17)

Отсюда имеем

Р1 = (1 + 8п2) 1/2, р2 = 2п(1 + 8п2) 1/2. (18)

Вводя обозначение 6 := ф1, из (15) получим

ф2 = 6 — агссов(-п). (19)

Таким образом, согласно (18) и (19) имеем следующую параметризацию для (12):

{ 11 = (1 + ^Г1^*6) , 0 < п < 1, 0 < 6 < 2п. (20)

I (12 =2п(1+8п2) ' ехр(г[6 - агссов(-п)])

Численный расчёт. На основе (8), (11), (12) и (20) найдём матрицу коэффициентов рассеяния гексагональной квантовой сети:

РЦ]:= {|51Е]Ы|2}й'геЕ. (21)

Графики её элементов как функций параметра г = пе*6 изобразим в комплексной плоскости. Область определения каждого из них — замкнутый единичный круг: [г е С\ \г\ ^ 1} (рис. 2, слева). Каждая точка области будет иметь оттенок, отвечающий значению коэффициента рассеяния в ней. Соответствие значения оттенку задаёт палитра (рис. 2, справа).

График матрицы коэффициентов рассеяния (21) (рис. 3) имеет симметрию, ана-

/ 1\ о - Г)[Е]11

логичную симметрии сети (см. рис. 1). В первой строке уникальны элементы РЦ ,

Рис. 2. Правило построения графиков коэффициентов рассеяния:

слева — область определения коэффициента; справа — палитра его значений в области

О С^С

Рис.3

Рис. 3. График матрицы коэффициентов рассеяния гексагональной квантовой сети в од-

р|Е]12, рМ13, рМ14, ПрИ этом рМ15 _ рМ13, рЦЦб _ р[Е]12. Каждая строка (столбец) связана с соседними циклической перестановкой элементов. Коэффициенты рассеяния я-периодичны по параметру 8, что объясняется спецификой параметризации. Графики диагональных элементов говорят о преобладании отражения (тёмные участки) и возможности существенного прохождения (светлые участки). Наблюдается пониженная вероятность прохождения в чётные рукава при чётном входном рукаве, а также в нечётные при нечётном входном.

Каждой реализации симметричного Y-узла соответствует кривая в замкнутом единичном круге (см. рис. 2), которая характеризует поведение параметров п и 8 как функций е. Совместив кривую с графиками, можно оценить рассеивающие свойства гексагональной сети, состоящей из Y-узлов данного типа.

Заключение. В представленной работе рассмотрено движение электрона по гексагональной квантовой сети в одноканальном приближении. На основе параметризации ¿"-матриц образующих её Y-узлов проведён анализ её рассеивающих свойств. Он показал, что для сети данной структуры преобладает отражение. Тем не менее, при определённых рассеивающих свойствах узлов возможно существенное увеличение её прозрачности. В таком случае прохождение электрона имеет низкую вероятность для выходных рукавов, находящихся через один от входного. Эта особенность является общей для всех гексагональных сетей в одноканальном приближении.

Предложенный подход к задаче рассеяния электрона в квантовой сети представляет интерес при моделировании кристаллической решётки твёрдого тела. Для этого

-1 1 0 \

\

ч

1т г

г = пе

I Яе г

|г| < М

1

следует задать параметры S- матриц узлов сети как функции энергии для конкретного материала. Корректно подобранные функции позволят провести моделирование электрических свойств таких аллотропных модификаций углерода как графен, фуллерен, нанотрубки.

Литература

1. Pavlov B., Yafyasov A. Standing waves and resonance transport mechanism in quantum networks // Surf. Sci. 2007. Vol. 601. P. 2712.

2. Цуриков Д. Е., Яфясов А. М. Расчёт ^-матрицы квантовой сети в терминах ^-матриц её узлов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2011. Вып. 3. C. 12-19.

3. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц / пер. с англ. М., 1969.

Статья поступила в редакцию 6 мая 2013 г.