Расчёт матрицы рассеяния элемента квантовой сети Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2010. Вып. 1

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 621.315.592

Д. Е. Цуриков, А. М. Яфясов

РАСЧЁТ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕМЕНТА КВАНТОВОЙ СЕТИ

Постановка задачи. Для реализации квантовых логических элементов на полупроводниках требуется построение теоретической модели квантовой сети [1], состоящей из квантовых точек, соединённых друг с другом квантовыми проволоками. Анализ транспортных свойств квантовой точки связан с расчётом её матрицы рассеяния [2, 3].

Рассмотрим безразмерное стационарное уравнение Шрёдингера для электрона в полупроводнике, поставив нулевые условия Дирихле на границах области П:

( [-Д + ^(г)]Ф(г) = еФ(г), г е П = и Пк и Г с М3;

{ к (1) [ Ф|ап = 0,

где V и е - безразмерные потенциал и энергия электрона, соответственно, области {Пк}к=о - квантовые проволоки (рукава); П0 - квантовая точка, область соединения

рукавов (узел); Г := и Гк - граница узла с рукавами, Гк - граница узла с к-м рукавом.

к=0

Везде ниже используем соглашение о суммировании по повторяющимся неподчёркнутым индексам. Верхний индекс - номер рукава, нижний - номер состояния электрона в данном рукаве. Значение «0» верхнего индекса отвечает узлу, по умолчанию, оно исключается из диапазонов суммирования и перечисления. Оператор частного дифференцирования обозначается символом «9*», где «*» - наименование переменной либо номер аргумента соответствующей функции, а ] := д^/.

Задачу (1) можно переформулировать в терминах задачи для каждой области в отдельности и условий сшивания на границах узла с рукавами:

[—Д + v0(r)]Ф0(r) = еФ0(г), г е П0; ^0|эп°\г = °

(2)

(3)

[—Д + г;-(г)]Фй(г) = еФй(г), ге0.к] ( Ф°|Гк = Фй|Гк;

Iаг2^\г,= = 0, дпФ°|Гк = дпЧ>к\Тк.

Здесь Ф°, V0 - волновая функция и потенциал в узле, соответственно; Фк, vk - волновая функция и потенциал в к-м рукаве, соответственно.

© Д. Е. Цуриков, А. М. Яфясов, 2010

Для того чтобы разделить переменные в рукаве, удобно перейти из глобальной системы координат (ГСК) - системы координат, связанной с узлом, в локальную систему координат (ЛСК) - систему координат, связанную с рукавом:

ЦГ-'&к(г) := Я>к(ъи-г) =: ук(г); , .

]¥-ук(г) = ук(іи-г) =: ик(г),

где оператор Шк переводит заданные в ГСК функции Фк и ук в заданные в ЛСК функции ук и ик, оператор тк выражает координаты в ГСК через координаты в ЛСК. Для разделения переменных потребуем, чтобы рукава имели простую геометрию:

гЛік := {г|«;*г Є 0й} = (0, +оо) х р* =: оД (5)

где вк - поперечное сечение к-го рукава, а потенциал ик не изменялся вдоль квантовой проволоки. Тогда, опуская в (3) условия сшивания, согласно (4) и (5) имеем следующую задачу в рукавах в ЛСК:

[-Д + и-(у, г)]ук(х, у, г) = щк(х, у, г), {ж, у, г} Є (Ок;

¥к |(0,+то)хэр^ =0. ()

Ищем решение уравнения (6) в виде: ук(х,у,г) =: дк(х)к—(у, г). В итоге, получим

¥к(х,у,г) = + < := Vе “ (7)

где ст - коэффициенты при волнах, падающих на узел, ст - коэффициенты при волнах, рассеянных узлом, ХП и ЬПп являются собственными значениями и нормированными собственными функциями, соответственно, задачи вида

[-д1-дг+иЧу,г)]^(У,г) = Цп^(У,г), ІУ^}е\3й; Нкт 1^=0. (8)

Решение (7) удобно переписать, вводя оператор К в двух эквивалентных представлениях:

\ик = Гр~іКхг< А- р+іКх >лк г^к тт-ы ткі к /п\

т \р і & с \тІІті лтп * 1тп Кті Vу/

= с$?[е-*КхН]±+с£[е+*К“НЦ, Кы := 1Ы |^)к|<^|, (10)

где I - единичный оператор. Соотношение (9) также можно записать в терминах расширенной матрицы рассеяния Б [4]:

= {є-іКхс< + е+іКх8с<^ьї'

Для того чтобы найти Б-матрицу, дополним граничную задачу (2) условиями на границах с рукавами. Для этого перепишем условия сшивания (3) в ЛСК:

Ш Ф0(0,у,г) = у(0,у,г); дШФ0(0 , у, г) = ді^(0, у, г),

о/п„. ^ {У,гієР. (12)

Воспользовавшись формой записи решения (10), вводя обозначения ук< := := с4п1е~1КхЬ]т (падающие волны) и \|/й1> := [е+гКхК\^ (рассеянные волны), для

производной от функции в рукавах, получим

дху = —1К + гК (13)

Из (9), (12) и (13) следует

Ш Ф°(0,у,г) = {у< + у>](0,у,г); в

діШФ°(0, у, г) = [-іКу< + іКУ>](0, у, г), {у г} Є в

Исключая из выражений (14) функции у>, имеем входные граничные условия рассеяния (входные ГУР)

Исключая из выражений (14) функции у<, имеем выходные граничные условия рассеяния (выходные ГУР)

Решая задачу (2) с ГУР (15), можно согласно (12) по известным падающим волнам V< найти рассеянные :

и, следовательно, матрицу Б. Используя ГУР (16) для задачи (2), можно согласно (12) по известным рассеянным волнам найти падающие :

и, следовательно, матрицу Б_1.

Проиллюстрируем предложенный метод расчётом матриц рассеяния элементов квантовой сети различной мерности. Для этого решим задачу (2) с входными ГУР (15) в случае узлов двух типов.

Рассеяние на финитном одномерном потенциале. Рассмотрим одномерную задачу рассеяния электрона на финитном потенциале. Согласно (2) и (15) исходная граничная задача в носителе потенциала П° (в узле) примет вид

(К + іді)Ш*°(0, у, г) = 2К¥^(0, у, г), {у, г} Є р.

(15)

(К - іді)Ш*°(0, у, г) = 2КУ>(0, у, г), {у, г} Є р.

(16)

У>(0, у, г) = ШФ°(0, у, г) - у<(0, у, г), {у, г} Є в

(17)

у<(0, у, г) = ШФ°(0, у, г) - у>(0, у, г), {у, г} Є в

(18)

{-д- + «(х)]Ф°(х) = єФ°(х), х Є 0° = (-а, +а); (к + ід1)ШФ°(0) = 2кс^.

(19)

(20)

где д< и д|> - линейно независимые решения уравнения (19).

Смена систем координат осуществляется следующим образом:

Ш 1Ф°(х) = Ф°(ад1 х) = Ф°(-х - а); Ш 2Ф°(х) = Ф°(ад2 х) = Ф°(+х + а).

(21)

Подставляя (21) с учётом (20) в граничные условия (19), получим

с о Д 2к +а> —а^ с1<

с о V —а< +а^ < 2 с

откуда можно выразить коэффициенты для функции в узле (20)

:[кд<,> ± гд<,>](±а). (23)

(24)

Л±

Выражение для рассеянных волн (17) в одномерном случае запишется как

■Д> -ф°(-а) - сх<;

„2>

ф°

-а) - с2<.

С учётом (20), (23) и определения

' с1> ' ■ Б11 Б12 ' с1<

с2> _ Б21 Б22 с2<

= Бс<

(25)

вводя обозначение Р<’> := 2кд<’>(±а), из (24) получим

Б= ^ ^ 1 ^ х

+(Р^ — а<)а> — (в> — а>)а< —р^а^ + р^а^

+в<а+ — в>а< —(в< — а+)а> + (|3+ — а>)а<

. (26)

Соотношение (26) - выражение для матрицы рассеяния произвольного одномерного узла. Линейно независимые решения д<’> можно найти численно, например, решив две задачи Коши:

[—дХ + ^(ж)]^<(х) = єд<(х), х Є (—а, +а); д<(—а) = 1, дід<(—а) = 0;

[—д^ + ^(х)]д>(х) = єд>(х), х Є (—а, +а); д>(—а) = 0, д1д>(—а) = 1.

(27)

(28)

В ряде случаев их также можно найти в аналитическом виде. Например, для постоянного финитного потенциала v(x) = V0 согласно (19) и (20) имеем

д<(х) = е

Тогда из (26) и (29) получим 5= 1

с, д>(х)

е+ік х к0 :

, к° := л/е — V0.

(к — к0)2е+і2к°“ — (к + к°)2е~і2к°а

i2v0 віп(2к°а)

0

—4кк

0

-4кк i2v0 віп(2к°а)

(29)

(30)

Очевидно, что для (30) коэффициенты отражения ^1112 = ^2212 и прохождения |Б12|2 = |Б 21|2 не зависят от выбора ЛСК и совпадают с известным результатом [5].

Рассеяние в полосе на поперечном финитном потенциале. Рассмотрим рассеяние электрона в полосе (в двумерной квантовой проволоке) шириной Ь на финитном поперечном потенциале V. Согласно (2) и (15) исходная граничная задача в носителе потенциала П° (в узле) примет вид

[—дХ — д2у + v(y)]Ф0(x, у) = єФ°(х, у), {х, у}єП0 = (—а, +а) х (0, Ь);

Ф°(х, 0) = Ф°(х, Ь) = 0, х Є (—а, +а);

(К + ід^Ш*°(0, у) = 2К¥<(0, у), у Є (0, Ь),

(31)

с> =

X

°

где К и к определяется согласно (9), (10) и (7), Х^ = (^)2, ^т(у) = ^(^тг?/)-

Ниже для краткости верхний индекс у функций Н в рукавах будем пропускать.

Ищем решение задачи (31) в виде Ф0(х, у) =: д0(х)Н0(у). Подставляя этот анзац в (31), получим

У°{х,у) = д°т{х)Ъ°т{у), д°т{х) = е+гк™ж, к°т := л/г-Х^. (32)

Здесь Хт и Нт являются собственными значениями и нормированными собственными функциями, соответственно, задачи

[■-<92 + у(у)]Ь°т(у) = у Є (0, 6); Ь°т(0) = Ь°т(Ь) = 0. (33)

Функцию (32) удобно переписать следующим образом:

Ф°(Х, У) = [е~^°хС0< + е+^°хС0>]тЬРт(у), Яіп ■= ІтпКІ- (34)

Найдём неизвестные коэффициенты с0< и с0>, используя ГУР в (31). Предварительно введём обозначения: Q := К11 = К22, \нт) = \Нп) (нп\нт) =: \Нп) ипт, где оператор и является унитарным: ии+ = I = и + и . Тогда функцию (34) можно записать в виде

Ф° = [ие-і^хс0< + ив+і^°х с°>]тНт = [ид°]тНт. (35)

Дифференцируя д0, имеем соотношение, которое потребуется ниже:

д0 = гQ0[-e-iQOxc0< + е+і^хс0>]. (36)

С учётом Ш 1Ф0(х,у) = Ф0( —х — а, у) и Ш2Ф0(х, у) = Ф0(+х + а, у) из ГУР в (31) и выражений (35), (36) получим

— UQ0)e+iQ ас0< + ^и + UQ0)e-iQ ас0> = 2Qc1<l; 0)е-іЧ°ас0< + (^)и _______ UQ0)e+iQ0ac0> = 2Qc2<

^и + UQ0)e-iQ ас0< + ^и — UQ0)e+iQ ас0> = 2Q

(37)

Обозначив А := ^и — UQ0)e+iQ0а, В := ^и + UQ0)e-iQ0а, из (37) имеем

Г := [А — ВА-1 В]-1, О := [В — АВ-1А]-1. (38)

■ с0< ■ ' г О ' 2Qc1< '

с0|> О г < 2 с 2

Так как е|> = Бе^, из соотношений (17), (35) и (38) следует выражение для матрицы рассеяния двумерного узла с поперечным потенциалом

Б:

Е Т І Е = 2и [є+^Г + є^^О^ — I; ( )

| Т = 2и[є+^^О + є^^Г^. ( )

Т Е

Б-матрица имеет симметричный по рукавам вид, что отражает симметрию задачи.

Заключение. В настоящей работе предложен удобный метод расчёта матрицы рассеяния элемента квантовой сети, основанный на постановке граничных условий специального вида для стационарного уравнения Шрёдингера. Предложенные граничные условия обеспечивают сшивание функции в узле с функциями в рукавах. Подход проиллюстрирован расчётом Б-матрицы для одномерного финитного потенциала и поперечного финитного потенциала в двумерной квантовой проволоке.

Литература

1. Pavlov B., Yafyasov A. Standing waves and resonance transport mechanism in quantum networks // Surf. Sci. 2007. Vol. 601. P. 2712.

2. Datta S. Electronic transport in mesoscopic systems // Cambridge: University Press, 1995.

3. Datta S. Quantum transport: Atom to transistor // Cambridge: University Press, 2006.

4. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц / пер. с англ. М., 1969.

5. Флюгге З. Задачи по квантовой механике / пер. с англ. Т 1. М., 1974.

Статья поступила в редакцию 8 сентября 2009 г.