CC BY
81
Сер. 4. 2009. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 539.1
М. В. Волков, Н. Эландер, С. Л. Яковлев, Е. А. Яревский
ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ И МЕТОД КОМПЛЕКСНОГО ВРАЩЕНИЯ КООРДИНАТ
Введение. Системы нескольких частиц с кулоновским взаимодействием представляют интерес во многих областях квантовой физики. Однако решение кулоновской задачи рассеяния - очень трудная задача, как с точки зрения теории, так и с точки зрения вычислений. Причиной этому является дальнодействующий характер ку-лоновского поля. В задаче рассеяния нескольких частиц асимптотические граничные условия для волновой функции при больших расстояниях между частицами достаточно сложны, даже если взаимодействие между частицами носит короткодействующий характер [1]. Сложность сильно возрастает в случае дальнодействия, когда кулонов-ский потенциал является частью взаимодействия [2]. Поэтому метод, позволяющий решить задачу рассеяния нескольких частиц без использования асимптотики волновой функции, представляет большой интерес с теоретической и практической точек зрения.
Один из таких методов, основанный на теории комплексного поворота координат [3], был предложен в 1969 г. [4]. Сформулируем главную идею этого метода. Уравнение Шрёдингера преобразуется в неоднородное уравнение, если волновая функция представляется в виде суммы Ф = Ф;п + Ф8С падающей волны Ф;п и рассеянной волны Ф8С:
(Но + V - Е)Ф8с = -У*п (1)
Рассеянная волна асимптотически ведёт себя как чисто расходящаяся
Ф8С ос ехр{гу/Ёг}.
Затем, при комплексном вращении исходная вещественная координата г заменяется комплексной переменной г, 1т г > 0. Это приводит к тому, что рассеянная волна экспоненциально убывает Ф8С ос ехр{* л/Ёг\ при \г\ —> оо. Такое свойство находится в согласии с уравнением (1) до тех пор, пока правой частью этого уравнения V(г)Ф-т(г) можно пренебречь при \г\ ^ ж. Это всегда можно сделать, если потенциал финитен. Кроме того, метод применим только для экспоненциально убывающих потенциалов V(г) ос ехр{—|1г} [4]. Дело заключается в том, что падающая волна Ф;п всегда включает в себя не только расходящуюся, но и сходящуюся волну ехр{—*а/1?г}, которая после комплексного вращения координаты экспоненциально растёт при \г\ ^ ж. Этот рост может быть скомпенсирован, только если потенциал убывает с ростом \г\ не медленнее, чем экспонента.
В случае задачи рассеяния для двух тел с кулоновским потенциалом описанный выше метод может применяться, если кулоновское взаимодействие включено в «свободный» гамильтониан Но, тогда как потенциал V обозначает короткодействующую часть взаимодействия. Падающей волной Ф;п в этом случае будет кулоновская волновая функция, которая известна аналитически. Этот подход был успешно использован
© М. В. Волков, Н. Эландер, С. Л. Яковлев, Е. А. Яревский, 2009
в вычислениях в атомной [5] и ядерной физике [6]. Однако эту стратегию нельзя распространить на случай большего числа частиц чем две, так как кулоновская задача рассеяния для трёх и более частиц не имеет аналитического решения.
Математический формализм описанного подхода оправдан только для потенциалов V, которые на больших расстояниях убывают экспоненциально или быстрее. Тем не менее, в работах [5, 7, 8] было показано, что метод может давать хорошие численные результаты для медленно убывающих потенциалов, если модифицировать его следующим образом. Пусть К - это некоторый радиус, выбираемый таким образом, что V(г) ^ Е при г ^ К. Тогда уравнение (1) может быть приближённо записано как
(Но + V - Е)Ф8с = -VR*in■ (2)
Финитный потенциал VR вводится здесь таким образом, что VR = V, если г ^ К, и VR = 0 во всех других областях. Внешнее комплексное вращение [9-11] применяется теперь к уравнению (2) вместо уравнения (1). Насколько нам известно, математические свойства такой интерпретации метода не были изучены ранее. Кроме того, обобщение метода на случай кулоновской задачи рассеяния остаётся под вопросом. Однако определённый успех в применении такого метода к важным и достаточно сложным проблемам [5, 8, 12] требует детального изучения проблемы.
Целью данной работы является математическое обоснование сформулированного выше метода. В работе представлен новый формализм для решения задачи рассеяния с дальнодействующими потенциалами, в том числе и кулоновским. Формализм основан на неоднородном уравнении Шрёдингера, правая часть которого содержит финитный потенциал VR как и в уравнении (2). Полученные результаты открывают путь к дальнейшему обобщению для задачи рассеяния нескольких частиц.
В настоящей статье мы рассматриваем задачу рассеяния для системы из двух частиц с взаимодействием между частицами, зависящим только от расстояния между ними. Такая задача эквивалентна задаче рассеяния одной частицы в поле центрального потенциала, центр которого совпадает с центром масс исходных частиц. Поэтому мы рассматриваем уравнение Шрёдингера для парциальной волны Я>е(к,г) с определённым угловым моментом £ и импульсом к = \[Ё.
Задача рассеяния и неоднородное уравнение Шрёдингера. Пусть Фе - волновая функция для фиксированного углового момента I. Она является решением парциального уравнения Шрёдингера Ще + V — к2) Фе = 0 со «свободным» гамильтонианом Не = —дГ +1(1 + 1)/г2 и взаимодействием V(г) = 2кц/г + Vs(г). Мы предполагаем, что Vs на больших расстояниях убывает быстрее, чем 1/г2, и в дальнейшем будем называть его короткодействующим потенциалом.
Решение, соответствующее рассеянию, должно удовлеторять граничному условию в нуле Фе(к, 0) =0 и вести себя асимптотически как
Фе(к, г) ~ вгОеЕе(п, кг) + Аи+(п, кг) (3)
при г ^ ж. Здесь ие± = втте (Се ± ъЕе), где через Ее(Се) обозначена регулярная (иррегулярная) кулоновская волновая функция [13], а Ое = а^Г(1 + I + *п) обозначает
кулоновский фазовый сдвиг. Амплитуда рассеяния
„Ше _ 1
А = е2*°‘—-— (4)
определяется фазовым сдвигом Ье, который появляется из-за наличия потенциала Vs.
Для того, чтобы переформулировать задачу в терминах неоднородного уравнения Шрёдингера, потенциал V представим в виде суммы V = VR + VR, содержащей введённые выше части потенциала VR и VR. Записав волновую функцию в виде суммы Фе = ФR + Ф^ получаем неоднородное уравнение для функции ФR:
(Не + V — k2)ФR = —VRФR (5)
при условии, что функция Ф^^ удовлетворяет однородному уравнению Шрёдингера для потенциала VR:
(Не + VR — k2)ФR = 0. (6)
Решение уравнения (6) строится таким образом, что оно включает в себя падающую волну вгОеЕе. Поэтому функция Ф^^ должна быть регулярной при г = 0, т. е. ФR(k, 0) = = 0, а также иметь асимптотическое поведение аналогичное формуле (3):
ФR(k, г) ~ в1ОеЕе(п, кг) + AR и+ (п, кг). (7)
Амплитуда AR находится по формуле
„2гЬн 1
АК = е2^--------:--. (8)
21
Заметим, что асимптотическая формула (7) имеет смысл для той части функции Фв'(к,г), которая определена при г > К. В области г ^ К потенциал VR тождественно равен нулю (VR(г) = 0). Поэтому функция ФR(k,г) должна быть пропорциональна функции Риккати-Бесселя ¿е [13]:
ФR(k,г) = а^]е (кг). (9)
Для того чтобы определить функцию ФR(k,г) при г > К, перепишем асимптотику (7) в терминах кулоновских волновых функций ие±:
Фд(/г, г) ~ ^ (т|7 кг) + Бпи^(г), кг)] , (10)
где БR = в2г(ое +Ь ). Тогда функция ФR(k, г) выражается в виде
Фд(/г, г) = ¿: \-ип(к, г) + Бпи?(к, г)} (И)
2г I + J
с помощью решений Йоста и±, которые являются решениями интегральных уравнений типа Вольтерра [14]:
СЮ
и±(к,г) = и±(п,кг) — J ¿г' С^ (г,г' ^'^¡(г' )и±(к,г'). (12)
Г
Ядро С^ (г, г', к) определяется по формуле
(г, г1, к) = ^ [м|(г), кг)и7(г), кг') - и[(г), кг')и(г), кг)\ . (13)
Условия непрерывности для волновой функции и её производной дmФR(k, К — 0) = = дmФR(k, К + 0) (т = 0,1) в точке г = К завершает построение функции Ф^ч Такое построение даёт возможность определить неизвестные константы aR и БR:
—2гaR = WR(UR, и^^ве, и?), БR = WR(UR, ¿е)/WR(UR, и).
(14)
Здесь WR(¡, д) = /(г)д'(г) — д(г)/'(г) обозначает определитель Вронского, посчитанный в точке г = К. Выражения для aR и БR упрощаются в случае, когда радиус К выбран достаточно большим. Если мы можем использовать асимптотику и±(к, К) — и± (п, кК) и одновременно выполняется условие кК ^ £(£ +1) + п2, то
^ — е*пln2kR, БR — е2п1п2кЕ'. (15)
Из написанного выше представления для БR получаем асимптотическое выражение для фазового сдвига ЬR — п 1п 2кК — Ое при больших значений радиуса К.
Построив волновую функцию Ф^ мы тем самым доопределяем уравнение (5). После задания граничных условий
ФR(k,0) = 0, (16)
фR(k,г) — AR и+(п,кг), г ^ ж
это уравнение полностью определяет волновую функцию ФR = Фе — ФR. Амплитуда Ап. находится как разность Ап. = А — А11. Выражение амплитуды Ап. через фазовый сдвиг ЬR = Ье — ЬR имеет стандартный вид
„ ,-,2г6я 1
Ап = е2^°е+6 }------—----. (17)
Если мы введём новую функцию ФR по формуле ФR = (aR)-1Ф R, то уравнение (5),
с учётом соотношения (9), переходит в
(Не + V (г) — к2 ^(кг = ^(гие (кг), (18)
а граничные условия имеют следующий вид:
ФR(k, 0) = 0, (19)
фR(k,г) - (aR)-1AR и+(п,кг). (
В случае, когда выполняется условие кг ^ £(£ +1) + п2, можно пользоваться асимптотическим выражением [13] для кулоновской функции и+:
и+(п,кг) - еЛкг-ея/2-п 1п2кг). (20)
В этом случае асимптотика функции ФR(k, г) становится проще:
фR(к, г) - ^)-1AR е1(кг-еп12-п 1п2кг). (21)
Более того, если выполняется условие кК ^ £(£ +1) + п2 и применимо асимптотическое
выражение (15), асимптотика волновой фукнции сводится к выражению
Ф^к, г) - в-{пln2kRAR е1(кг-еп/2-п 1п2кг). (22)
Главный член асимптотического разложения для амплитуды AR может быть вычислен с помощью значения волновой функции ФR(k, К) как
AR - е2п 1п 2Ш ФR(k, Ку-^-^2. (23)
Следовательно, эта формула даёт локальное представление для амплитуды.
Набор уравнений (18), (19), (22) представляет собой окончательную формулировку кулоновской задачи рассеяния с помощью неоднородного уравнения Шрёдингера с граничным условием в виде расходящейся волны на бесконечности.
Функция Грина и интегральное представление для амплитуды Ан. Дифференциальное уравнение (18) с граничными условиями (19) может быть легко переписано в виде интегрального уравнения Липпманна-Швингера:
ФR = —GR VR¿е — GR VRфR. (24)
Ядром интегрального оператора GR является функция Грина:
GR(г, г', к) = (г\(Не + VR — к2 — г0)-1\г') .
Она определяется стандартным выражением
Сп(г, гк) = ^Е(к, Г<)и*(к, г>), (25)
где г>(г<) = шах(шш){г,г'}, и ФR - волновая функция, построенная в предыдущем разделе. Функция и^ - это нерегулярное решение уравнения (6) со следующей асимптотикой при г ^ ж:
Ч'
.......................— "—',+ ,
и^(к,г) - и+(п,кг). (26)
Это решение может быть построено с помощью процедуры сшивания. Функция U?(k, г)
на интервале [0, К] имеет вид суперпозиции функций Риккати-Ханкеля [13]:
U?(к, г) = ^ h-(kг)+dR Н+(кг). (27)
гу + (к,г) = и+{
)
позволяют вычислить коэффициенты cR и dR:
На интервале [К, ж) выполняется равенство U?(k,г) = U? (к, г) (см. уравнение (12)). Условия непрерывности для функции U?(k,г) и её производной по г в точке г = К
dR = WR(UR, h-)/WR(h+, К-), ^ = WR(UR, Ь+)/WR(h-, Н+).
+ (28) ^R ¿ + \тл / ¿- ¿ + \ (28)
Если асимптотика (26) применима в уравнениях (28) и если выполняется условие кК ^ ^ £(£ + 1) + п2, то главные члены асимптотического разложения для коэффициентов ^ и dR имеют вид
^ - 0, dR - е-п. (29)
Вернёмся снова к уравнению (24). Потенциал VR является финитным, поэтому при г > К интегралы в уравнении (24) берутся по конечному интервалу [0, К], а в уравнении (25) г> = г и г< = г'. Тогда, используя выражение (9), уравнение (24) при г > К можно переписать в виде
Фп(к,г) = -^ апи^(к,г) I ¿г'и(кг')У(г') ¿е(кг') + Фя(к, г') . (30)
R
Подставляя в уравнение (30) асимптотическое выражение (26), мы получаем искомое интегральное представление для амплитуды рассеяния
я
(аЕ)2 Г и 1
Лд = -У-^~ ] ¿г'Мкг')У(г') [Мкг') + ФК{кУ)\ . (31)
о
Применение внешнего комплексного вращения к неоднородному уравнению Шрёдингера. Успех в решении неоднородного уравнения Шрёдингера с помощью метода комплексного вращения зависит от того, исчезает ли неоднородная часть уравнения при комплексных значениях координат. Формулировка такого уравнения с помощью формул (18) и (19) идеально отвечает этому требованию, так как потенциал в правой части уравнения (18) является финитным. Другое полезное наблюдение, сделанное из представления (31), заключается в том, что амплитуда рассеяния Ая полностью определяется той частью решения Фя, которая расположена на конечном интервале 0 ^ г ^ Д. Эти свойства идеально подходят для применения метода внешнего
комплексного вращения к неоднородному уравнению Шрёдингера (18) с граничными условиями (19). Заметим, что внешнее комплексное вращение не меняет координаты и решение во внутренней области, преобразуя только внешнюю часть волновой функции.
Пусть оператор внешнего комплексного вращения
[№ (Я, а)Щ(г) = Ъ(к,дЯа(г)), Я > К (32)
выбран так, что преобразование gQ,а(г) отображает область [0, Я] на саму себя, а область [Я, ж) преобразует в некоторый контур в верхней полуплоскости комплексной плоскости координаты с асимптотикой дд,а(г) — втг, 0 < а < п/2. Тогда из уравнения (21) следует, что №-преобразованное решение уравнения (18) Ф^[ (к, г) = = № (Я, а)Фя(к,г) имеет асимптотику
Ф™(к,г) - (ая)-1Ая¿[к9^-а{г)—п12-л 1п2кая,а{г)]. (33)
Отсюда ясно видно, что
Иш Ф%(к,г) = 0. (34)
Г—
Обозначим преобразованные операторы № (Я, а)Н №-1(Я, а) и № (Я, а)У№-1(Я, а) как и УW, соответственно. Тогда неоднородное уравнение Шрёдингера (18) после применения внешнего комплексного вращения принимает вид
^ + УW(г) - к2^(к, г) = -Уя(г)зе(кг). (35)
Граничные условия (19) после преобразования переходят в нулевые граничные условия
ФW(к, 0) = 0, ФW(к, г) ^ 0, г ^ж. (36)
Функция Ф^(к, г) совпадает с Фя(к,г) при г ^ Я. Поэтому, если решение уравнения (35) с нулевыми граничными условиями (36) найдено, то амплитуда рассеяния Ая может быть посчитана с помощью интегрального представления
я
(аЯ)2 г 1
Ап = у ¿г1 Мкг')У(г') й(кг') + К(кУ)\ , (37)
о
или с помощью локального представления
Ап = е2іп Іп2кп (к,Е)е-і(кП-Єя/2).
(38)
Соответствующий сдвиг фазы Ья вычисляется с помощью формулы (17) и позволяет построить фазовый сдвиг Ье по формуле
Численные примеры. Проиллюстрируем результаты предыдущих разделов на нескольких простых примерах. Численный метод, который мы использовали для решения уравнения (35) с граничными условиями (36), основан на методе конечных элементов и дискретном представлении переменных. Он подробно описан в работе [15]. Все параметры численной схемы были выбраны таким образом, чтобы погрешности вычисления были пренебрежимо малы. Для всех представленных здесь расчётов было достаточно использовать одинаковые по размеру конечные элементы с длиной 1 и 10 функций вида Лобатто [15] на каждом элементе. Для того чтобы ввести в численную схему граничные условия (36), было выбрано максимальное значение координаты Ктах > К, на котором выполняется второе граничное условие из (36). Полученные результаты оказались достаточно стабильными по отношению к Ктах при условии, что значение Ктах выбрано значительно большим чем К. Вычислительные тесты показали, что выбор значения Ктах = 1,25К не вносит заметных ошибок в расчёт.
Хотя радиус К и радиус внешнего комплексного поворота Я в теоретической схеме могут быть различными, мы не увидели в этом большого преимущества с вычислительной точки зрения. Поэтому во всех наших расчётах мы положили Я = К. Вычисления также показали, что выбор конкретного типа внешнего комплексного вращения в уравнении (32) не влияет на результат. Поэтому мы использовали так называемое «острое» внешнее комплексное вращение [9]:
Угол вращения а в расчётах был равен 30 градусам.
Подводя итог описанию численного метода, можно сказать, что единственным параметром, влияющим на результат, был радиус К. Сначала решаем уравнение (35) с граничными условиями (36) и вычисляем функцию Ф^[(к, г). Затем находим амплитуду Ая с помощью локального (38) либо интегрального (37) представлений. Используя уравнение (17) с Ья = п 1п2кК — Ое, вычисляем сдвиг фазы Ья и, наконец, находим Ье с помощью выражения (39).
Сначала сравниваем результат вычислений с известным аналитическим решением для кулоновского потенциала У (г) = 2/г. На рис. 1 показана кулоновская волновая функция Го (1/к, кг) вместе с вещественной частью численного решения (Ф^[ (к, г) + + ;)о(кг))е1Ь с радиусом К = 40 и импульсом к = 1. Видно, что во внутренней области [0, К] численное решение практически совпадает с точным. Значит, оно может быть использовано для определения амплитуды. Вне внутренней области функция Ф^ (к, г) быстро приближается к нулю в соответствии со вторым граничным условием в (36). Более детальное рассмотрение показывает, что разница между точным и численным решением во внутренней области равномерно распределена на всём интервале [0, К] и уменьшается с увеличением К.
Ье = Ьп + Ьп.
(39)
(40)
50 г
Рис. 1. Кулоновская волновая функция
Е0(1/к,кг) (сплошная линия) и вещественная часть функции (Ф^ (к, г) +
А -5 К
+ (кг))вг (штрих-пунктирная ли-
ния):
импульс к =1, угловой момент И = 0, радиус Я = 40
Рис. 2. Фазовый сдвиг 8о как функция радиуса Д:
показан расчёт с помощью интегрального (37) (сплошная линия) и локального (38) (штриховая линия) представлений; верхняя часть рисунка соответствует полному потенциалу (41), нижняя часть — кулонов-скому потенциалу; импульс к = = 3
Рис. 3. Фазовый сдвиг 84 как функция радиуса Д:
все обозначения такие же, как на рис. 2
На рис. 2 и 3 показано поведение локального (38) и интегрального (37) представлений для амплитуды в зависимости от радиуса Я. Это сделано как для кулоновского потенциала, так и для потенциала, включающего в себя коротко действие:
V(т) = 2/т + 15г е г.
(41)
Из рис. 2 видно, что скорость сходимости вычислений с увеличением К примерно одинаковая для кулоновского V(г) = 2/г и определяемого формулой (41) потенциалов. Для выбранного импульса к = 3 точность порядка 1 % достигается уже для достаточно
4
маленького радиуса R = 20. Естественно, что сходимость вычислений зависит как от радиуса R, так и импульса к, поскольку мы используем асимптотическое разложение для kR ^ ж. Поэтому, чем больше kR, тем выше точность. Сдвиг фазы приближается к точному значению с увеличением R, хотя сходимость и не очень быстрая. Для нулевого углового момента £ = 0 локальное и интегральное представления для амплитуды дают сравнимую точность.
При сравнении данных, изображённых на рис. 2 и 3, видно, что существует значительная разность между результатами для нулевого углового момента и ненулевого углового момента (в данном расчёте £ = 4). Точность, даваемая интегральным представлением, примерно одинаковая для обоих случаев, а точность локального представления становится хуже с увеличением углового момента. Потеря точности возникает из-за использования нами условия kR ^ £(£ + 1)+п2, которое должно удовлетворяться, чтобы можно было использовать уравнение (22). Это значит, что мы должны рассматривать большие значения радиуса R, чтобы получить результат такой же точности, что и в расчёте с меньшим угловым моментом. Другой возможностью сохранить точность при увеличении £ может быть использование следующего порядка в асимптотическом разложении по отношению к kR в уравнении (19).
В завершение отметим, что было также вычислено сечение рассеяния для s-волны на потенциале (41), используя наш метод, и результат был сравнён с расчётом с помощью высоко оптимизированной программы [16]. Относительная точность последней по оценке меньше, чем 10~3. Два сечения рассеяния совпадают в пределах той же точности.
Заключение. Представлено математическое обоснование того, как внешнее комплексное вращение может быть применено к системе с дальнодействующим (кулонов-ским) потенциалом для решения задачи рассеяния. В предложенном методе не требуется знание точных кулоновских волновых функций. Поэтому он, в принципе, может быть обобщён на случай рассеяния трёх заряженных частиц. В отсутствие кулоновского взаимодействия, п = 0, наш метод также представляет собой точное обоснование метода, использованного в работе [7]. Результат достигнут сведением решения задачи рассеяния с дальнодействующим (в том числе и кулоновским) потенциалом к решению граничной задачи (18), (19). Эти две задачи эквивалентны для любого произвольного значения радиуса R. Показана связь амплитуды рассеяния А и амплитуды Ar, для которой найдено точное интегральное представление. Аналитическое выражение для граничных условий (19) может быть вычислено с использованием асимптотики при больших значениях радиуса R. Полученную в итоге граничную задачу можно решать совместно с методом внешнего комплексного вращения, так как потенциал в правой части неоднородного уравнения (18) финитен. Численная реализация теории показывает, что требуемая точность вычислений может быть достигнута подходящим выбором параметра R.
Литература
1. Меркурьев С. П., Фаддеев Л. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М., 1985. 399 с.
2. Merkuriev S. P. On the three-body Coulomb scattering problem // Ann. Phys. 1980. Vol. 130. N 2. P. 395-426.
3. Balslev E., Combes J. M. Spectral properties of many-body Schrödinger operators with dilatation-analytic interactions // Comm. Math. Phys. 1971. Vol. 22. P. 280-294.
4. Nuttall J., Cohen H. L. Method of complex coordinates for three-body calculations above the breakup threshold // Phys. Rev. 1969. Vol. 188. N 4. P. 1542-1544.
5. McCurdy C. W., Martin F. Implementation of exterior complex scaling in B-splines to solve atomic and molecular collision problems // J. Phys. (B). 2004. Vol. 37. N 4. P. 917-936.
6. Kruppa A. T., Suzuki R., Kato K. Scattering amplitude without an explicit enforcement of boundary conditions // Phys. Rev. (C). 2007. Vol. 75. P. 044602-(1)-044602-(8).
7. Rescigno T. N., Baertschy M., Byrum D., McCurdy C. W. Making complex scaling work for long-range potentials // Phys. Rev. (A). 1997. Vol. 55. N 6. P. 4253-4262.
8. Baertschy M., Rescigno T. N., Isaacs W. A. et al. Electron-impact ionization of atomic hydrogen // Ibid. 2001. Vol. 63. P. 022712-(1)-022712-(19).
9. Simon B. The definition of molecular resonance curves by the method of exterior complex scaling // Phys. Lett. (A). 1979. Vol. 71. N 2-3. P. 211-214.
10. Hislop P. D., Sigal I. M. Introduction to spectral theory: with applications to Schrödinger operators. New York: Springer-Verlag, 1996. 337 p.
11. Gyarmati B., Vertse T. On the normalization of Gamow functions // Nucl. Phys. (A). 1971. Vol. 160. N 3. P. 523-528.
12. McCurdy C. W., Baertschy M., Rescigno T. N. Solving the three-body Coulomb breakup problem using exterior complex scaling // J. Phys. (B). 2004. Vol. 37. N 17. P. R137-R187.
13. Abramowitz M., Stegun I. Handbook of mathematical functions. New York: Dover, 1986.
14. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М., 1969. 1046 p.
15. Rescigno T. N., McCurdy C. W. Numerical grid methods for quantum-mechanical scattering problems // Phys. Rev. (A). 2000. Vol. 62. N 3. P. 032706-(1)-032706-(8).
16. Johnson B. R. The multichannel log-derivative method for scattering calculations // J. Comp. Phys. 1973. Vol. 13. N 3. P. 445-449; Idem. Comment on a recent criticism of the formula used to calculate the S matrix in the multichannel log-derivative method // Phys. Rev. (A). 1985. Vol. 32. N 2. P. 1241-1242; Manalopopoulos D. E., Jamieson M. J., Pradhan A. D. Johnson’s log derivative algorithm rederived // J. Comp. Phys. 1993. Vol. 105. N 1. P. 169-172.
Принято к публикации 1 июня 2009 г.
