Особенности рассеяния волновых пакетов в двумерных квантовых сетях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Л. И. Гончаров, А. М. Яфясов

ОСОБЕННОСТИ РАССЕЯНИЯ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В ДВУМЕРНЫХ КВАНТОВЫХ СЕТЯХ

Введение. Квантовой сетью называют систему квантовых точек (узлов), соединённых квантовыми проволоками (КП). Транспорт электронов в квантовой сети описывается уравнением Шрёдингера — Ду + Vу = еу (здесь и далее в безразмерном виде). Волновая функция в КП т может быть записана как линейная комбинация функций вида

Хт1 =ехр(±кГх)еГ(у), (1)

где к”1 := у/е — X"1, Х”г — энергия поперечного конфайнмента спектрального канала I. Канал считается открытым, если соответствующая энергия меньше е. В противном случае канал закрыт, и ему отвечает экспоненциально затухающее слагаемое вида (1). Для КП ширины Ь без внутреннего потенциала Кт = (п1/Ь)2. Волновая функция распространяется в таких проволоках без рассеяния, т. е. соответствующая матрица рассеяния меняет только фазу слагаемых вида (1), отвечающих открытым каналам. Таким образом, КП постоянной ширины без внутреннего потенциала (или с потенциалом, неизменным вдоль проволоки) обеспечивают связь между функциональными элементами сети — узлами, в которых и происходит преобразование волновой функции.

Традиционно движение электронов в квантовых сетях рассматривается в терминах плоских волн (ПВ) на основе стационарного уравнения Шрёдингера. Квантовая сеть в этом случае характеризуется своей матрицей рассеяния. Этот подход настолько распространён, что ряд терминов практически невозможно ввести, не прибегая к представлению о бесконечно протяжённых падающих волнах. Однако приближение плоских волн в каждом отдельном случае требует обоснования или как минимум проверки, особенно при разработке конкретных приборов. Ошибки, возникающие при использовании данного приближения в одномерном случае, подробно разобраны в [1]. В частности, там получены приближённые аналитические выражения для рассеяния волнового пакета с гауссовой огибающей.

Двумерный и трёхмерный случаи значительно сложнее. Возникает поперечное квантование и, как следствие, спектральные каналы в связывающих узлы КП. Составляющие волнового пакета, отвечающие разным каналам, имеют различную скорость. Вследствие этого пакеты расплываются при движении в КП (иногда значительно), что может сказываться на их рассеянии в узлах. Таким образом функциональную роль теперь играют не только узлы, но отчасти и связывающие их КП.

В представляемой работе рассматривается рассеяние электронов в «Т-образном» узле (рис. 1) при одном открытом канале, сравниваются результаты для рассеяния в приближении плоских волн и в случае конечного волнового пакета. Даётся также ряд рекомендаций по численному моделированию рассеяния волнового пакета и анализируется влияние длины связывающих узлы квантовых проволок на рассеяние волнового пакета (ВП).

Компьютерная модель. При рассмотрении прохождения волновых пакетов через квантовую сеть будем использовать нестационарное уравнение Шрёдингера гду/дЬ = = — Ду + Vу. Моделирование проводится методом конечных элементов, который имеет

'§< Л. И. Гончаров, А. М. Яфясов, 2011

2 i 7

Рис. 1. Схема работы квантовой сети:

1 — рассеивающий узел; 2 — КП; штриховкой обозначены «демпферы» (вспомогательные элементы, не являющиеся частью сети)

2

ряд особенностей при работе с уравнениями волнового типа. Существует несколько методов численного решения нестационарных уравнений. Наиболее популярные из них — основанные на формулах обратного дифференцирования (backward differentiation formulas, BDF) и неявные методы (например, Generalized-a — неявный метод второго порядка) [2]. Все они могут использовать адаптивный шаг по времени. Хорошим критерием точности для BDF-методов может служить сохранение во времени интеграла плотности вероятности волновой функции Generalized-a-метод очень

чувствителен к шагу по времени, но возникающую ошибку нельзя отследить по изменению fQ

При анализе прохождения волнового пакета через узел к последнему необходимо присоединять КП, в которые после рассеяния уходил бы ВП. Эти КП требуется выбирать достаточно длинными, чтобы отражение от их концов не влияло на получаемые результаты, что приводит к увеличению числа элементов сетки в несколько раз и требует дополнительных вычислительных ресурсов. Уменьшить число элементов можно, сделав КП короткими, но добавив на их концах «демпферы» с изменённым уравнением Шрёдингера (рис. 1):

д д

г— \|/ = —Д\|/ + V\\t —> i— \|/ = —Д\|/ + V\\t + омД\|/.

dt at

Этот приём является техническим, и вводимый член не претендует на какой-либо физический смысл. Новое слагаемое сходно с диссипативным компонентом, отвечающим за вязкость, в уравнении Навье—Стокса [4]:

д 1

— v = —(v, V)u + vAv-------Vp.

at p

Введение нового слагаемого преобразует бегущие плоские волны в КП в экспоненциально затухающие со временем волны в «демпферах»

ехр(кт x)em(y)eiet ^ ехр(кт x)em(y)eiet-aet.

Чем больше значение коэффициента а, тем быстрее затухает волновая функция в «демпфере». Однако слишком большое значение а приводит к тому, что волновая функция резко убывает в первом же слое элементов конечноэлементной сетки. Возникающая ошибка приводит к частичному отражению волнового пакета от границы КП-демпфер. В рассмотренных далее случаях коэффициент a выбирался так, чтобы волновая функция в «демпфере» затухала примерно в 1000 раз.

Матрица рассеяния для рассматриваемого узла рассчитана с помощью Dirichlet-to-Neumann map (оператора, связывающего решения задачи Дирихле с решениями задачи Неймана). Подробно этот подход рассмотрен в [5].

Рассеяние пакета с гауссовой огибающей. Сравним прохождение через узел плоской волны и конечного волнового пакета (ВП). В качестве конечного ВП выберем плоскую волну с гауссовой огибающей

х2

\|f(x,t = 0) = sin (2jty)elK°xe s2 ,

где ко := (eo - п2/Ь2)1/2, а параметр 5 управляет шириной пакета. Максимальным будет вклад от составляющей с энергией eo = к2 + п2/Ь2, это значение и станем называть энергией ВП. Под шириной пакета понимаем ширину на полувысоте и измеряем её в длинах плоских волн X(e) = 2п/к(е) соответствующей энергии. Поскольку численное моделирование не позволяет использовать пакет бесконечной протяжённости, возьмём его часть, на которой амплитуда волновой функции падает в 8 раз по сравнению с максимальным значением. Протяжённость «урезанного» ВП в этом случае равна утроенной ширине пакета.

Рассмотрим фурье-образ ВП с гауссовой огибающей (нормировка в преобразовании Фурье для краткости опущена)

F[v{x,t = 0)](к) = ехр (~Ь К°^

Г) 2 2

Ширина пакета равна п длинам волн, если 6“ = • Тогда

2\

. п2п2 / e — п2/Ь2

= еХр,_4ВД ^Veo-^/b2“1 /

ехр

e

у 41п(2) \(ео -Jt2/62) (^1 + ^27^

, (2)

где Де = е — £о. Множитель (ео — П2/Ъ2) обеспечивает рост ширины распределения волн по энергии с ростом ео, второй сомножитель в знаменателе при больших энергиях изменяется слабо. Получается, что с ростом энергии волнового пакета с гауссовой огибающей доля составляющей с центральной энергией ео уменьшается.

Рассмотрим прохождение через узел пакетов разной ширины. Рассеивающие свойства узла будем контролировать по вероятности рассеяния электрона в каждую КП.

Рис. 2. Изменение вероятности рассеяния электрона в различные КП с ростом ширины ВП (е = 12)

ВП входят по левой квантовой проволоке. На рис. 2 показано, как меняется вероятность рассеяния в каждую КП с ростом ширины волнового пакета. Сплошные линии отмечают вероятности рассеяния в различные КП при рассеянии плоской волны. На рассмотренном интервале длин волн вероятности рассеяния волновых пакетов значительно (иногда на 40 %) отличаются от значений, полученных в приближении плоских волн. Но с ростом ширины ВП различие между рассеянием ВП и плоской волны уменьшается.

Рассматривая рассеяние электрона при различных энергиях, вернёмся к размерной задаче. Возьмём для примера полупроводник арсенид галлия GaAs с эффективной массой электрона т* = 0,067ше. При этом

д П2

гП- ЩИ, г) = Д*(Д,*) + У(Д)*(Д,*).

Ширину КП выберем равной 30 нм. В этом случае безразмерные (г) и размерные (Д) координаты связаны формулой а = Д/г « 19,1 нм, тогда

2т* а2 I = рг = —-— т, п

П Гг Е = - е =

в 2т* а2

где £ и Е — размерные величины, а т и е — безразмерные.

Вероятность рассеяния электрона в определённую КП сильно зависит от энергии электрона (будь то ВП или плоская волна). Эта зависимость для «Т-образного» узла показана на рис. 3, а. В случае плоской волны вероятности меняются сильнее, чем для ВП. Это можно объяснить наличием в ВП составляющих с различными энергиями, близкими к энергии ВП. При низких энергиях график для ВП также ближе к графику для ПВ, чем при высоких. Этот результат ожидаем, поскольку (как упоминалось ранее) с ростом энергии волнового пакета с гауссовой огибающей доля составляющей с центральной энергией ео уменьшается (2).

б

Рис. 3. Зависимость вероятности рассеяния электрона в узле (см. рис. 1) в различные КП от энергии для плоских волн и ВП шириной 3Х для ОаЛв при ширине КП 30 нм — а; то же для уменьшенного узла при прежней ширине КП — б

На рис. 3, а, размер узла уменьшен на треть (2/3п х 2/3п), при этом ширина КП и их положение относительно узла остались прежними (две — посередине сторон, одна — с краю, как на рис. 1). Применимость приближения ПВ зависит не только от вида падающего пакета и его энергии. Форма и внутренний потенциал рассеивающего узла также играют заметную роль.

При ширине КП в 30 нм один канал открыт в диапазоне энергий от 0,005 эВ до 0,025 эВ. Это значит, что зависимости, изображенные на графиках рис. 3, могут с некоторыми искажениями наблюдаться при температуре кипения жидкого азота (кТ « 0,007 эВ). Время рассеяния волнового пакета на конкретном узле зависит от энергии и ширины ВП, для рассмотренных размерных задач оно составляет 10 12—10—11 с.

В приближении плоских волн КП с постоянным вдоль проволоки потенциалом влияют лишь на фазу волновой функции, но не на вероятности рассеяния электрона в определённую КП. В ВП составляющие с различной энергией имеют разную скорость, что приводит к постепенному уширению пакета. Этот процесс вследствие интерференционных эффектов может сказаться на вероятности рассеяния электрона в определённую КП. Чтобы оценить их влияние, волновой пакет до рассеяния на узле проходил через участок КП длиной от 0 до 5 длин волн. Максимальное изменение вероятности рассеяния составило при этом 1 % и было достигнуто не при 5Х, а в одной из промежуточных точек.

Заключение. Исследование показало, что приближение плоских волн для рассмотренного узла применимо с некоторой погрешностью только для описания рассеяния широких ВП с гауссовой огибающей (шириной порядка 8 длин волн) и не даёт представления о рассеянии ВП шириной менее 4 длин волн. Нельзя утверждать, что такой же результат будет показан на других узлах или при других формах падающих волновых пакетов. Зависимость вероятности рассеяния электрона в определённую КП оказывается более «смазанной» для ВП по сравнению с плоской волной. Однако распространение ВП по КП до рассеяния на узле лишь незначительно (в пределах 1 %) изменяет картину рассеяния, что хорошо согласуется с приближением плоских волн. «Демпферы», рассмотренные во второй части статьи, позволяют в 2-5 раз сократить требуемые вычислительные ресурсы аналогичных задач.

Литература

1. Norsen T., Lande J., McKaganS. B. How and why to think about scattering in terms of wave packets instead of plane waves // arXiv:0808.3566v1 [physics.ed-ph].

2. COMSOL Multiphysics User’s Guide // COPYRIGHT 1994-2008 by COMSOL AB., September 2008. P. 391-402.

3. Pavlov B. S. S-Matrix and Dirichlet-to-Neumann Operators // Encyclopedia of Scattering / ed. by R. Pike, P. Sabatier. Academic Press, Harcourt Science and Tech. Company. 2001. P. 1678-1688.

4. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Гидродинамика. М., 2003.

5. Гончаров Л. И. Анализ точности численного алгоритма расчёта S-матрицы элемента квантовой сети методами DN-map и ND-map // Труды молодёжн. научн. конф. «Физика и прогресс». СПб., 2009. C. 184-188.

Статья поступила в редакцию 6 мая 2011 г.