CC BY
33
http://vestnik-nauki.ru/
2015, Т 1, №4
УДК 530.145
ОДНОФОТОННЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ КОРОТКОИМПУЛЬСНОГО
ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
SINGLE-PHOTON APPROACH TO THE MODELING SHORT-PULSE LASER
RADIATION
A.P. Davydov, T.P. Zlydneva
Аннотация. Приводятся основные положения квантовой механики фотона, построенной в предыдущих работах авторов, посвященной одночастичной волновой функции фотона в координатном представлении. На основе данной теории моделируется эволюция в пространстве и во времени волнового пакета фотона, соответствующего излучению одного импульса лазера длительностью 80 фс с центральной длиной волны 10 мкм. Анализируются скорость и характер расплывания данного волнового пакета на основе численного расчета напряженности электрического поля в разные моменты времени и в разных точках пространства, значения которой извлекаются исходя из используемой параметризации импульсного распределения рассматриваемого волнового пакета. Указывается на условный характер применимости одночастичной волновой функции фотона, поскольку фотон на самом деле должен рассматриваться не как реальная частица, а как результат распространения спиновой волны в физическом вакууме на планковских расстояниях.
Ключевые слова: фотон; волновая функция; квантовая механика; волновой пакет; координатное представление; планковские расстояния.
Abstract. The main concepts of the a photon quantum mechanics built in the previous works of authors, devoted to single-particle wave function of a photon in coordinate representation are given. On the basis of this theory the evolution in space and time of a wave packet of the photon corresponding to the radiation of the single laser pulse duration of 80 fs with a central wavelength of 10 microns is modeled. The rate and character of an expansion of this wave packet on the basis of numerical calculation of intensity of electric field in different points of space and time which values are taken proceeding from the used parameterization of momentum distribution of the considered wave packet are analyzed. It is pointed out that the applicability of a photon single-particle wave function is conditional and that the photon actually has to be considered not as a real particle, but as the result of the propagation of a spin wave in physical vacuum at the Planck distances..
Key words: photon wave function; quantum mechanics; wave packet; coordinate representation; Planck distances.
В настоящее время считается (см. [1-4]), что для фотона нельзя сконструировать волновую функцию в координатном представлении, хотя в импульсном представлении в рамках квантовой теории она широко используется. Данная ситуация возникает из-за нулевой массы фотона. Ограничиваясь кратким перечнем, сошлемся на [2-10], где так или иначе обсуждается данная тема, используется термин "волновая функция фотона", но не приводится (и не обосновывается) нормированная на единичную вероятность его волновая функция в координатном представлении.
С другой стороны, координатное и импульсное представления волновой функции частиц, обладающих массой, связаны между собой простым преобразованием Фурье и вполне
А.П. Давыдов, Т.П. Злыднева
Введение
http://vestnik-nauki.ru/
2015, Т 1, №4
равноправны. Поэтому из самых общих квантово-механических соображений следует все-таки ожидать равноправия обоих представлений также и для фотона.
Отсутствие массы фотона, конечно, ведет к невозможности его локализации в окрестности какой-либо заданной пространственной точки, аналогично локализации электрона в атоме или нуклона в ядре. Однако для фотона можно несколько модифицировать интерпретацию волновой функции таким образом, чтобы она была предназначена для указания плотности вероятности не локализации его в окрестности некоторой точки пространства, а его обнаружения в этой точке. При этом очевидно, для "обычных" частиц данная интерпретация остается применимой. Тогда все же можно построить [11-13] "одночастичную" волновую функцию (волновой пакет) фотона в координатном представлении, если за исходные величины использовать напряженности электромагнитного поля, а не его потенциалы, которые обычно применяются первоначально при квантовании электромагнитного поля. После обоснования построения волновой функции фотона в координатном представлении в терминах напряженностей электромагнитного поля, ее так же можно ввести, вполне понятным образом, уже и в терминах потенциалов [14, 15]. Тогда, зная волновую функцию, можно с кван-тово-механической точки зрения объяснить интерференцию, дифракцию и поляризацию электромагнитных волн, для описания которых до сих пор используются представления классической электродинамики.
Возможность введения волновой функции фотона в координатном представлении также находится в полном согласии с тем очевидным фактом, что фотоны регистрируются с помощью детекторов (ФЭУ, лавинных фотодиодов и др.), позволяющих определить их пространственно-временное распределение. Однако этот факт напрямую не отражается в констатации существования и тем более в оперировании волновой функцией фотона в координатном представлении.
Наконец, упомянем еще, что в квантовой радиофизике фотон понимается как квазичастица, характеризующая возбуждение нормальной моды электромагнитного поля. Очевидно, ее пространственные размеры могут быть весьма велики. Между тем, в современных экспериментах (передача оптических сигналов по квантовым каналам связи, "квантовая теле-портация", "парадоксы" с одиночными фотонами и др.) возникает необходимость в ассоциации фотонов с локализованными переносчиками элементарных единиц информации. Поэтому построение и использование волновой функции фотона в координатном представлении становится все более актуальным.
Цель данной статьи - дать наглядное представление о физическом характере и практических возможностях применения ранее теоретически обоснованной [11-13] одно-частичной волновой функции фотона в координатном представлении на примере моделирования эволюции в пространстве и во времени волнового пакета фотона, соответствующего отдельному импульсу короткоимпульсного лазерного излучения.
Волновая функция фотона в координатном представлении
Приведем некоторые детали конструирования и интерпретации волновой функции фотона в координатном представлении [12, 13].
Построение волновой функции фотона в координатном представлении основывается на синтезе классической электродинамики и квантовой механики с учетом принципа соответствия. В качестве первоначальных уравнений выбираются уравнения Максвелла для свободного электромагнитного поля в форме Майорана [16] для векторов £=Е+I Н и п=Е - I Н, построенных из векторов напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н) полей (в гауссовой системе):
= с(яр) £; = -с(8р)л ; (р£) = 0; (рп) = ^
дг
(1)
http://vestnik-nauki.ru/
где р = -гкУ - оператор импульса частицы; c - скорость света в вакууме; 8 - оператор спина фотона в векторном представлении:
Г 0 0 0 > Г 0 0 г > Г 0 -г 01
е = е б + е б + е б = е * * у у г г * 0 0 - г + е у 0 0 0 + е г г 0 0
ч 0 г 0 у V- г 0 0 у V0 0 0 у
= г
0 -ее
г у
е 0 -е
Ч-е у
е 0
* у
Векторы £ и п в матричной форме имеют вид
£ = Е у + г н у ; п =
Г Е * + г н * ^ Е у +г н у
V Е 2 +г н г у
Г Е * - г н * ^ Е у - г н у
V Е г - г н 2 у
(2)
(3)
и рассматриваются как независимые [3, с. 81]. Для бивектора = | необходимо решать
уравнение, являющееся обобщением уравнения Дирака для безмассовой частицы со спином 5 = 1 в "стандартном" или "бивекторном" представлениях. В последнем случае оно имеет вид
дФь д
гк——^ = И. Ф, или гк д 1 ^
дг ^ bv
с ((ер) 0 УМ
дг VлУ 5 V 0 -(ер)^пу'
(4)
Таким образом, формулируется задача: вместе с решением уравнения (4) найти собственные функции Ф^ и собственные значения взаимно коммутирующих операторов полного набора
{ Е = гк д/дг; И^ = с (а^ р); р =-гкУ; Л },
(5)
где матрица аоператоры спиральности Л и спина 8 фотона в бивекторном представлении равны
8 0 Л = (8р) = (8р) =! Г (ер) 0 | § = Г е 0| (6)
0 - е / яр р р V 0 (ер) / ^ 0 е)'
а
.V
Решение этой задачи состоит в следующем [12, 13]. 1). Для состояний фотона с положительной энергией Е (+\к ) = к к с = + рс (которая согласуется со специальной теорией относительности [17]) ортонормированные бивекторы, отвечающие спиральности X = ±1, равны
Ф
(+) .V; к, +1
(г, г) =
к+и г) 0
Л
(Ое)е +,(к)
ФЬ+ к,-1^ г) =
(
0
п к+-1(г, г)
(2п )
3/2
,г(кг-ксг) [ 1 0
(Ое)е -1(к) , (кг - ксг) Г 0
(2п)3/2 Г1
(7)
(8)
соответственно, где (Ое) - единица измерения (эрстед) величин £ и п. 2). Для состояний фотона с отрицательной энергией Е(-)(к) = - к к с = - рс (теоретически возможной) ортонормированные бивекторы, отвечающие спиральности X = +1, равны
http://vestnik-nauki.ru/
ф ЬУ к,-1<г') =
Г5 к-)-1(г. г)'
Ф
(-)
ЬУ; к, +1
(г, г) =
о
Г о
(0е)е -1(к) ¿(кг+Ш) Г1
■>3/2
\
(2я)" (0е)е +1(к)
(2п)
3/2
,1 (кг+ксг) Г0
(9)
(10)
соответственно, где комплексные векторы поляризации е^(к) =[ еДк) + ¡X е^Дк)]/-у/"2, а е^, еп - вещественные взаимно ортогональные векторы, образующие правую тройку векторов с единичным вектором п = к / к для заданного к=р/ Ь:
|е1 = I е//1 =1; (е/п) = (епп) = (е1еп) = 0; е//=[пхе/];
п = [ е 1 х е п] = ¡X[еАх е*] = Ае + (к) 8 ех(к),
(11) (12)
Формулы (11), (12) обеспечивает ортонормированность векторов ел и полезные соотношения, если вектор е 1 не меняется при изменении знака вектора п :
(еХ' ех) = 5х'х; е+' ех = 5х'х; ех(п) = е-х(-п); [ех(к)] * = е-х(к) = ех(-к). (13) Вследствие (13) имеют место соотношения ортонормированности для бивекторов (7) - (10):
Iа3г[фЬ± к', X'(г,г)]+ФЬУ; к, х(г,г) = (°е)25Х'х5(к'-к); Iа3г[фЬ;! к',х'(гг)]+Ф£) к,х(г,о =0.
(14)
(15)
Далее постулируется, что состояния фотона с положительной и отрицательной энергией, заданные векторами Е и Н, описываются суперпозицией бивекторов плоских монохроматических волн (7) - (10):
ФьУ^ г) -ФЬУ ±l(г, г) + ФЬУ +l(г, г) -
IВ (к, ±1) ФЬУ! к, ±1(г, г) Л3к + | [В(-к, +1)]* Ф <±> к, +1(г, г) Л3к.
(16)
С помощью введенных бивекторов (7) - (10) , удовлетворяющих необходимым условиям ортонормированности и полноты, можно записать пространственную плотность распределения энергии фотона в состоянии (16) и волновую функцию Т(±)(г, г) этого состояния, нормированную на единичную вероятность:
р Е)
(гг) - ¿[фЬУ^г)]+ФЬ±y)(г,г) = ¿![фЬУ)X(гг)ГФЬ±У)X(г,г)
8п
-П {«(г, оГ5±?(г,0 + г )]?(г, 0 } - 8П ^(г. ' ^ + I ') Г } -
= ¿1[Ей^-о]2 + [н¿±>,г)]2 + [Е <±>,г)]2 + [Н^(г,г)]2} , (17)
Вестник науки и образования Северо-Запада России
-http://vestnik-nauki.ru/ -------
--2015, Т. 1, №4
Т(±)(г,г) = |Ь(к,±1)Т±)±1(г,г)й3к + |[Ь(-к,±1)]* Т1к±т1(г,г)й3к, (18)
где
Ь (кх) ^т8°1ксВ (к •х)! Тк±Х(г> г) = (С5е>Ф ЬУ! к, х(г'(19)
Таким образом, для волновой функции фотона Т (±)(г, г) и безразмерных функций тк±Х (г, г), в свою очередь, имеют место соотношения нормировки
Iй3г[тк±Х(г,г)] Тк±х(г,г) = бх'хб(к'-к)! (20)
I й 3г [т (±)(г, г )]+Т (± )(г, г) = I й 3г р ¡ь±}(г, г) = 1. (21)
Волновая функция фотона г) в состоянии волнового пакета (18) (с положи-
тельной и отрицательной энергией) удовлетворяет уравнению Шредингера вида (4), из кото-
(±)л ч
рого следует уравнение непрерывности для плотности вероятности р р (г, г) и плотности потока вероятности , рТ^ (г, г) обнаружить фотон в окрестности заданной точки г конфигурационного пространства в момент времени г:
дР р±)(г,г) + , (±)
+ ё1у, (г, г) = 0, (22)
дг
где
Р р±}(г, г) = [Т ^(г, г )]+т (±)(г, г), , р V, г) = с [¥(±)(г, г)]+а Ьу ¥ (±)(г, г). (23)
Волновой функции фотона (18) соответствует волновая функция в импульсном представлении, согласно общим положениям квантовой механики [18], а именно
Т(±)(к,г) - (к|Т(±)) - Iе-'кг Т^(г,г)й3г =
(2п)
+¡ксг к/, /,чГ 1V Гг./- .. Т1л1* 0
= е+1ксг|Ь(к,±1)е±1(к)[0) + [Ь(-к, +1)]*е+1 (к)(. (24)
Если коэффициенты Ь (к, х) известны, то, используя функции (18) или (24), можно вычислить все характеристики состояния фотона. Например, среднее значение энергии фотона определяется как
,< ± м =
X
Е (±) - (¥ (±)| Е ¥ (±)) =(£ ¥х(,±) Е £ ¥<
\ X' X
= I (± Пкс) {| Ь (к, ±1)|2 + | Ь (-к, +1)|2 } й3к = IЕ(±} (к) рр±} (к) й3к . (25)
Эта формула дает значение, совпадающее с тем, которое определяется в классической электродинамике, а также формулами (17). Данное обстоятельство выражает принцип со-
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2015, Т. 1, №4
ответствия, обусловливающий введение волновой функции фотона в состоянии волнового пакета (18).
Моделирование волновой функции фотона (волнового пакета) в координатном
представлении с помощью гауссовского распределения по импульсам
На основе вышеприведенного метода конструирования волновой функции фотона в координатном представлении, в [19, 20] рассмотрен наиболее важный в научном и методическом аспектах волновой пакет с гауссовским импульсным распределением.
Рассмотрим здесь его более детально и приведем также более полные результаты моделирования его эволюции в пространстве с течением времени для случая длительности одного импульса лазерного излучения т = 80 фс с центральной длиной волны Xо = 10 мкм.
Итак, чтобы наиболее полно раскрыть физическое содержание волновой функции (18) выберем входящие в нее коэффициенты в наиболее простой "гауссовой" форме
Ъ (к, ±1) = [Ъ (-к, +1)]* =
а.а 2 а 3 1 2 3 ехр
2 (а2 кХ +а 2 ¿2 +а 2 к + к о)2) -
(26)
где параметры к0 = (0,0, к0), г0 = (х0,у0, z0), а 1, а2, а3 характеризуют средние значения и
дисперсии соответствующих физических величин в состоянии фотона (18) и удовлетворяют условию нормировки (21).
Прежде всего подчеркнем, что параметризация (26) отвечает состоянию фотона с нулевым средним значением спиральности, поскольку значения Х = +1 представлены в (26) с равными вероятностями. Вообще, все характеристики состояния фотона (18) могут быть разнесены на два класса 1) импульсно-энергетические выражаемые только через параметры, фигурирующие в (10.1), и 2) пространственно-временные, для вычисления которых требуется задать еще векторы поляризации е^( к). Согласно общим положениям квантовой механики, значения этих двух категорий характеристик отвечают, как будет проиллюстрировано ниже, соответствующим соотношениям неопределенностей. Новым здесь, по сравнению с квантовой механикой частиц, обладающих массой, является тот факт, что сами по себе значения характеристик второй из этих категорий, существенным образом могут зависеть от "выбора" векторов ех(к).
Поэтому обсуждение весьма многочисленных характеристик рассматриваемого волнового пакета целесообразно начать с первого класса - как более "независимого" от проводимой параметризации.
Импульсно-энергетические характеристики волнового пакета фотона Применяя (18) и (26) и квантово-механическую формулу вычисления среднего значения физической величины Г , оператор которой равен Б,
р (+) ^ ^ (+)|р у (+)) = ^ Б £ ^(±)), (27)
х ( ±)
т'
где при значениях Х = +1 определены соответствующими слагаемыми в формуле (18),
находим сразу средние значения проекций импульса и их квадратов (в состояниях с положительной и отрицательной энергией):
Р Х+ = Р{у) = 0; Р z±} =+ й к 0; (28)
http://vestnik-nauki.ru/
(с X* )
к2
2а
(с У*1)
к2
(с <±))
л
1 у 2а 2 ^3
2а
+ к 2 к2 2 0'
(29)
откуда следует, что средний вектор импульса фотона в состоянии с положительной энергией направлен вдоль оси г , а с отрицательной - противоположно ей, и выражается через "волновой вектор" к0 = к0 е :
р (±> =± кк 0 - ± кк 0 е г.
(30)
Дисперсии же проекций импульса на оси х, у, г определяются параметрами а 1, а 2, а 3:
-((Х±} )2 -(( > ) = л-
2а,2
=
к2
2а 2
ВР:г =
2а 23
(31)
Тогда неопределенности проекций импульса в данном состоянии фотона (18) сводятся к формулам
АРх
к л к < к
^ А Ру =-г! АРг =
(32)
а^л1~2 У а 2л/~2 а 3л/~2
где наличие л/~2 связано с таким выбором параметров а 1, а 2, а 3 в (26), который дает наиболее простую форму записи импульсного распределения в состоянии (18) в гауссовой фор-
ме
рР±}(к) = |Ь(к,±1)|2 + |Ь(-к,+1)|2 = аПа2а3 ехр[-а2к2-а2к2у-а2(кг + к0)2]. (33)
П
■4П
Ниже мы представляем соответствующие формулы и подробно рассматриваем случай, когда а 1 = а 2 = а 3.
Применяя формулы (25), (33), находим среднюю энергию фотона в состоянии (18), соответственно, с положительным и отрицательным спектром его энергии
Е
(±) =
± к к 0 с
7
1
Л
1+ 2 2 2 к2 V 2а1 к 0 V
ег^а 1 к 0) +
22 ехр (-а 1 к0 )
а
1к0ЛрП
(34)
а также, аналогично, средний квадрат энергии фотона в состоянии (18):
((±} )2 = с 2 к 2 к02
1 +
2а2ко V
(35)
Используя (34) и (35), можно рассчитать дисперсию и неопределенность энергии фотона в состоянии (18) с импульсным распределением (33), в соответствии с общим определением
»Е =
((±) )2 -(е (±) ) ! АЕ .
(36)
2
2
к
3
http://vestnik-nauki.ru/
Пространственно-временные характеристики волнового пакета фотона
К числу параметров, характеризующих любой волновой пакет, относятся и такие, которые дают представления о его пространственной форме, скорости и направлении перемещения его центра. В отношении фотона, нас должны, в этом плане, интересовать дисперсии Бх, Бу, и неопределенности А х, А у, А г координат точки обнаружения фотона, находящегося в состоянии волнового пакета (18), заданного, в частности, с помощью параметризации (26).
Требования (11) - (13) выполняются, например, для следующих векторов:
С
еТ(к)=
2„ Л
1 - (1 - соб 9 )соб ф - (1 - соб 9 ф соб ф - б1п 9 соб ф
; еп (к) =
( - (1 - соб 9 ф соб ф ^
соб 9 + (1 - соб 9 )соб ф - б1п 9 б1п ф
если 0<9< п; (37)
С
ет (к) =
2
1 - (1 + соб 9 )соб ф - (1 + соб 9 ф соб ф б1п 9 соб ф
; еи (к) =
( (1 + соб9 фсоб ф ^
соб 9 - (1 + соб 9) соб ф - б1п 9 б1п ф
, если п<9< п, (38)
где указаны декартовы компоненты соответствующих векторов ег (к), еп (к) в обычном конфигурационном пространстве, выраженные в терминах сферических координат вектора к = (к, 9, ф) в импульсном пространстве. С учетом формул (37), (38) также удобно проводить вычисления пространственно-временных характеристик в импульсном представлении, используя формулу (24).
В частности, для средних значений координат и их квадратов точки обнаружения фотона в состоянии (18), получаем следующие выражения:
х(±) = х0; у(±) = у0; г(±) = г0 ± ап^ ;
(х(±))2 = Х02 + ^ + а(2) + С2/2 (пХ±))2 ; (у(±))2 = У02 + ^ + А22) + С2/2(пу±))2 ;
(г(±))2 = г02 + ^ + 432) + с2/2(п(±))2 ± 2С/пг0,
где
(п х±> )2 = (п <±> )2 =
2 а ^ к 02
1 - 2ак~6ГГ1 (а1к0)ехР(-а1 к0)
А(2) = 422) =- 432)/2 + А А(^;
А(2) = 1 А 3 =_ 2
2к
0
1 +2а 1к0 еГ£[(а 1к0)ехр(-а2к^ ))П - 1 2 а к
1 ( 2Ь2 2)
А А (23) = 2 а 2 ехр (-а 2 к02 ) Г ехр^1 и Кк,.
1
+ и
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
1
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2015, Т. 1, №4
Из (39)-(45) следует, что дисперсии Лх , Лу , координат точки обнаружения фотона, который находится в состоянии волнового пакета (18), параметризованного с помощью (26), равны
а 2 -Т 2
Л = Лу = ^ + А<2) + с2,2(пх±>)2 = О- + А<2> + с2г2В„х ; (46)
2 _ 2
О, = ^ + А32) + с2г2{(п<*)2 -(П«)'}= ^ + а32) + с2г2П„:. (47)
В соответствии с (46) дисперсии Лх и Лу одинаковы для рассматриваемого волнового пакета, который остается симметричным относительно оси г при своем вдоль нее распространении.
Анализ результатов моделирования распространения волнового пакета фотона
Как видно из (46), скорость расплывания волнового пакета одна и та же в каждой плоскости, перпендикулярной оси г, в соответствии с тем, что волновой пакет (18) с параметризацией (26) остается симметричным относительно этой оси. В качестве характеристик скорости этого расплывания можно использовать периоды тх, ту, т2 в течение которых
первоначальные дисперсии (при г=0) удваиваются по направлениям х, у, г, соответственно. Из (46) - (47) находим:
Лх (г = 0) = Лу (г = 0) = а^ /2 + а(2); (г = 0) =а 2/2 + А (32); (48)
Ах(г = 0) = ^Лх (г = 0) = Ау(г = 0) = ^/2 + А <2) ; Аг(г = 0) = -[о^Г^+А^; (49) т А х (г = 0) т А у (г = 0) ; т А г (г = 0)
т х =-1- = т у =--; т _ =---, (50)
с Апх у с Апу 2 с Ап2
Так как даже в случае достаточно простой формы распределения (26) не представляется возможным аналитически получить выражение для плотности вероятности в конфигурационном пространстве, мы проводим анализ эволюции рассматриваемого волнового пакета с помощью расчета напряженности электрического поля, используя начальные формулы (3), (18), (19). В среднем, по квантовому состоянию, "заметно отличающейся от нуля" в данном случае оказывается лишь проекция напряженности Ех, которая и характеризует, определенным образом, пространственную плотность вероятности. Мы приводим здесь результаты численного расчета для волнового пакета, соответствующего длительности излучения т = 80 фс с центральной длиной волны X 0 = 10 мкм. С этими значениями параметров, согласно (48), (49) при а 1 =а 2 =а 3, пространственная "форма" волнового пакета (18) в начальный
момент времени оказывается почти "сферической".
Для определения численных значений параметров а 1 =а 2 =а 3 мы используем соотношение АЕеХр тгал « Й , вытекающее из соотношения неопределенностей для энергии времени АЕ А г > Й/2 (см. [21-27]), с учетом связи А г = т га^ / 2, где тга^ - время излучения одного лазерного импульса. Определив, таким образом, экспериментальное значение АЕеХр, параметры а 1 =а 2 =а 3 находим, численно решая уравнение А Еехр = А Е, где "теоретическое" выражение для неопределенности АЕ энергии фотона определяется формулами (36).
http://vestnik-nauki.ru/
На рис. 1 показано пространственное распределение проекции Ех в первоначальный момент времени / = 0, на рис. 2 - то же самое в момент времени / = т г, а на рис. 3 - в момент времени / = 2т г.
Рисунок 1 - Распределение напряженности электрического поля волнового пакета в начальный момент времени
На каждом из этих рисунков изображены зависимости Ех (г) в семи плоскостях: у = 0, у = ±А у (/), у = ± 2А у (/), у = ±3А у (/), где А у (/) = V 1)у (/), дисперсия (/) определяется формулой (46). Цифрами 4, 3, 2, 1 обозначены, соответственно, огибающие максимумов этих зависимостей. Хотя огибающие минимумов не обозначены, они также показаны на всех рисунках и легко просматриваются расположенными под соответствующими огибающими максимумов. У каждой огибающей 4, 3, 2, 1 имеется "абсолютный максимум",
http://vestnik-nauki.ru/
а у каждой огибающей минимумов - "абсолютный минимум". В частности, при у = 0 "абсолютный максимум" на всех рисунках обозначен цифрой 5, а "абсолютный минимум" - числом 11.
Рисунок 2 - Распределение напряженности электрического поля волнового пакета в момент времени г = т 2
Рисунок 3 - Распределение напряженности электрического поля волнового пакета в момент времени г = 2т 2
Огибающая всех "абсолютных максимумов" обозначена цифрой 6, а всех "абсолютных минимумов" - числом 10. Центры 16, 15, 14, 13 каждой зависимости Ех (г) находятся в плоскости уг и соединяются пунктирной линией 8.
http://vestnik-nauki.ru/
2015, Т. 1, №4
Центр волнового пакета с координатами хс, ус, гс на каждом рисунке отмечен цифрой 7 и вычислен по формулам (39). Каждый такой центр является также центром прямоугольной области 9 размерами по оси у - от у = ус-Ау(/) до у = ус +Ау(/); по оси г - от г = гс -А г (/) до г = гс +А г (/). Таким образом, каждую такую область можно считать наиболее вероятной областью обнаружения фотона в плоскости уг. В силу симметрии относительно оси г такими же будут и размеры наиболее вероятных областей в плоскости хг . Численные значения гс для каждого момента времени, как и сами эти моменты, приведены на соответствующих рисунках 1-3. Там же приведены значения неопределенностей координат А х (/), А у (/), А г (/).
На рис. 2 и 3, а также на рис. 1 вдоль оси у, используются одинаковые масштабы вдоль каждой оси, кроме Ех, для которой на рис. 1 масштаб уменьшен в два раза. Это сделано для удобства зрительного восприятия скорости расплывания волнового пакета. Однако при / = 0 (при таком же масштабе вдоль осей у, г , что и при / = т г и / = 2т г ) картина распределения Ех (/ = 0) была бы слишком сжатой. Поэтому на рис. 1а масштаб вдоль осей у, г, а также на рис. 1б вдоль оси г, увеличен ровно в 10 раз. Значения напряженностей Ех (/ = 0), наоборот, были бы по модулю (в максимумах и минимумах) велики по сравнению с Ех на рис. 2 и 3.
Как показывают расчеты, что также отражено на рис. 2 и 3, с течением времени, на самой оси г плотность вероятности обнаружения фотона в непосредственной близости от центра пакета гс движется практически со скоростью света в вакууме. Однако, чем дальше от оси г , тем меньше скорость перемещения плотности вероятности в направлении средней скорости волнового пакета, то есть в направлении, параллельном оси г .
Таким образом, происходит трансформирование первоначальной почти "сферической" формы волнового пакета в некую "коническую" форму, подобно (образно выражаясь) распространению звуковой волны от ее сверхзвукового источника или аналогично излучению Вавилова-Черенкова от заряженной частицы (см. рис. 2 и 3). Скорость этого трансформирования тем больше, чем меньше начальный "радиус" волнового пакета (18), в соответствии с общими представлениями квантовой механики.
Заключение
На наш взгляд, построенная в [11-15] квантовая механика фотона в значительной степени снимает проблему корпускулярно-волнового дуализма квантовых "частиц". Основную "формулу" (суть) корпускулярно-волнового дуализма света и микрочастиц можно сформулировать следующим образом [18]:
1). Фотоны и микрочастицы при взаимодействии с другими частицами ведут себя как корпускулы, перенося и передавая (другим частицам) в определенном количестве как динамические характеристики (энергию, импульс и момент импульса), так и "внутренние" (массу, электрический заряд, спин и др.). В частности, такая передача осуществляется при попадании фотона или микрочастицы во вполне точечный детектор (или точку на экране) с координатой г в момент времени /. Сам факт попадания "всей частицы целиком" в точечный детектор характерен именно для корпускулы, а не для некоторой реальной волны.
2). Однако распространяются фотоны и микрочастицы по "волновым правилам", то есть их распределение в пространстве при свободном движении и взаимодействии с другими частицами, описывается волновой функцией ¥ (г, /). В частности, плотность вероятности обнаружения в пространстве нерелятивистской частицы с ненулевой массой постулируется формулой р(г,/) = |¥(г,/)|2, а фотона - (23). Эта плотность вероятности и обусловливает попадание фотона и микрочастицы в точечный детектор. Характерная интерференционная картина на экране соответствуют распределению р( г, /) вдоль экрана.
http://vestnik-nauki.ru/
2015, Т 1, №4
Тем не менее, свет (и электромагнитное излучение вообще), даже в случае малых длин волн и явно выраженных "корпускулярных свойств", нельзя рассматривать как поток неких "сформированных" частиц - "точечных" фотонов, аналогично частицам, обладающим массой [28]. По нашему представлению, фотон - это квазичастица, а свет - результат распространения спиновой волны в физическом вакууме, структура и природа которых должны рассматриваться на планковских расстояниях [29]. Данный вопрос тесно связан со структурой лептонов на этих же расстояниях. Согласно [30 - 31], центром электрона является экстремальный максимон - квантовый бессингулярный объект, создающий вокруг себя экстремальную метрику Керра-Ньюмана. Он имеет спин 5 = 1/2 и примерно планковские массу, заряд и радиус. При распространении фотона происходит в среднем упорядоченный во времени и пространстве поочередный переворот спинов виртуальных вакуумных экстремальных максимонов, что и создает эффект спиновой волны, а в "макроскопическом масштабе" - проявление корпускулярно-волновых свойств фотонов.
Однако более подробное освещение данного аспекта выходит за рамки данной статьи. Можно лишь с уверенностью сказать, что одночастичная волновая функция фотона, представляемого в качестве точечного объекта, объясняет многие явления с точки зрения квантовой механики.
1. Landau L., Peierls R. Quantenelectrodynamik im Konfigurationsraum // Zeit. f. Phys, 1930. Vol. 62. P. 188-198; Ландау Л., Пайерлс Р. Квантовая электродинамика в конфигурационном пространстве // Ландау Л. Д. Собрание трудов. Т. 1. М.: Наука, 1969. С. 32-46.
2. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1980. 704 с.
3. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1981. 432 с.
4. Левич В. Г., Вдовин Ю. А., Мямлин В. А. Курс теоретической физики. Том II. М.: Наука, 1971. 936 с.
5. Scully M.O., Zubairy M.S. Quantum Optics. Cambridge Univ. Press, 1997. 630 p.
6. Матукришнан А., Скалли М., Зубайры С. Ревизия концепции фотона. 2004 [Электронный ресурс]. URL: http://bourabai.narod.ru/articles/muthukrishnan/revisited.htm (дата обращения 17.05.14).
7. Фущич В.И., Никитин А.Г. О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака // W.I. Fushchych. Scientific Works, vol. 2. Kyiv: Editor Vyacheslav Boyko, 2000. P. 233278.
8. Гаврилин А. Т. Об амплитуде вероятности местоположения фотона // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. № 6 (1). С. 70-74.
9. Звездин А.К. Квантовая механика плененных фотонов, оптические микрорезонаторы, волноводы, фотонные кристаллы // Природа, 2004. № 10. С. 12-23.
10. Занимонский Е.Е., Степановский Ю.П. Прецессия спина фотонов и геометрические фазы // Вюник ХНУ. 2010. № 914. Сер!я Ф!зика. Вып. 13. С. 36-39.
11. Давыдов А.П. Квантовая механика фотона // НАУКА И ШКОЛА: тезисы докладов XXXIII научной конференции преподавателей МГПИ / под ред. доц. З.М. Уметбаева. Магнитогорск: Изд-во МГПИ, 1995. С. 206-207.
12. Давыдов А.П. Волновая функция фотона в координатном представлении // Вестник МаГУ: Периодический научный журнал. Вып. 5, Естественные науки. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. ун-та, 2004. С. 235-243.
13. Давыдов А.П. Квантовая механика фотона: волновая функция в координатном представлении // Электромагнитные волны и электронные системы, 2015. Т. 20, № 5. С. 43-
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
http://vestnik-nauki.ru/
2015, Т 1, №4
14. Давыдов А.П. Линеаризация волновых уравнений для потенциалов свободного электромагнитного поля с целью его квантовомеханического описания // Проблемы физико-математич. образования в педагогических вузах России на современном этапе: тезисы докладов межвузовской научно-практической конференции / под ред. В.А. Кузнецова. Магнитогорск: Изд-во МГПИ, 1996. С. 116-120.
15. Давыдов А.П. О волновой функции фотона в координатном представлении в терминах электромагнитных потенциалов // Современные проблемы науки и образования: материалы L внутривузовской научной конференции преподавателей МаГУ. Магнитогорск: МаГУ, 2012. С. 228-229.
16. Mignani R., Recami E., Baldo M. About a Diraclike Equation for the Photon, According to Ettore Majorana // Lett. Nuovo Cimento, 1974. Vol. 11, № 12. P. 568-572.
17. Давыдов А.П. О построении специальной теории относительности (СТО) из симметрии пространства и времени без постулатов СТО // Электромагнитные волны и электронные системы, 2003. Т. 8, № 1. С. 49-58.
18. Давыдов А.П. Курс лекций по квантовой механике. Математический аппарат квантовой механики: учеб. пособие. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2014. 188 с.
19. Давыдов А.П. Эволюция в пространстве и во времени волнового пакета фотона фемтосекундного излучения с точки зрения квантовой механики // Современные проблемы науки и образования: тез. докл. XLIII внутривуз. науч. конф. преподавателей МаГУ / под ред. П. Ю. Романова и Е. М. Разинкиной. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. ун-та, 2005.
20. Давыдов А.П. Моделирование распространения в трехмерном пространстве волнового пакета фотона // Актуальные проблемы современной науки, техники и образования: материалы 73-й международной научно-технической конференции / под ред. В.М. Колокольце-ва. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2015. Т.3. С. 133-
21. Давыдов А. П. Строгое доказательство соотношения неопределенностей для энергии и времени в духе доказательства соотношений неопределенностей Гейзенберга // Современные проблемы науки и образования: Матер. докл. ХЬУП внутривуз. науч. конф. преподавателей МаГУ. Магнитогорск: МаГУ, 2009. С. 338-340.
22. Давыдов А. П. Доказательство соотношения неопределенностей для энергии и времени в рамках квазиклассического подхода описания электромагнитных сигналов и излучения // Современные проблемы науки и образования: материалы ХЬУП внутривуз. науч. конф. преподавателей МаГУ. Магнитогорск: МаГУ, 2009. С. 344-346.
23. Давыдов А.П. Общее доказательство соотношения неопределенностей для энергии и времени в дисперсионной трактовке в квазиклассическом и квантовом случаях // Современные проблемы науки и образования: Матер. докл. ХЬУШ внутривуз. науч. конф. преподавателей МаГУ. Магнитогорск: МаГУ, 2010. С. 323-325.
24. Давыдов А.П. О соотношении неопределенностей для энергии и времени при квазиклассическом описании электромагнитного излучения / А.П. Давыдов // Фундаментальные и прикладные проблемы науки. Том 1. - Материалы VII Международного симпозиума. М.: РАН, 2012. С. 80-88.
25. Давыдов А.П. Дисперсионная интерпретация соотношения неопределенностей для энергии и времени и короткоимпульсное лазерное излучение в квазиклассическом подходе // Инновации в науке / Сб. ст. по материалам XXXII междунар. науч.-практ. конф. № 4 (29). Новосибирск: Изд. «СибАК», 2014. С. 6-14.
26. Давыдов А.П. О дисперсионной трактовке соотношений неопределенностей для энергии и времени в квантовой механике // Фундаментальные и прикладные проблемы науки. Т. 2. - Материалы IX Международного симпозиума, посвященного 90-летию со дня рождения академика В.П. Макеева. М.: РАН, 2014. С. 17-24.
С. 269-270.
137.
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2015, Т. 1, №4
27. Давыдов А.П. Оператор энергии и соотношение неопределенностей для энергии и времени в квантовой механике // Инновации в науке / Сб. ст. по материалам ХЬШ междунар. науч.-практ. конф. № 3 (40). Новосибирск: Изд. «СибАК», 2015. С. 7-19.
28. Давыдов А.П. Волновая функция фотона, вакуумные процессы на планковских расстояниях и современная квантовая механика // Современные проблемы науки и образования: тез. докл. ХЫУ внутривуз. науч. конф. преподавателей МаГУ. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. ун-та, 2006. С. 175.
29. Давыдов А.П. Фотон как квазичастица при возбуждении спиновой волны в физическом вакууме на планковских расстояниях // Современные проблемы науки и образования: тез. докл. ХЫУ внутривуз. науч. конф. преподавателей МаГУ. Магнитогорск: МаГУ, 2006. С. 174.
30. Давыдов А. П. Новые квантовые объекты космомикрофизики - элементарные бессингулярные черные дыры - как следствие КЭД и ОТО // Фундаментальные и прикладные исследования: сб. науч. труд. Магнитогорск: Изд-во МГПИ, 1997. С. 22-41.
31. Давыдов А. П. Возможность квантовых бессингулярных черных дыр с планковски-ми параметрами и экстремальной метрикой в физике и космологии // Электромагнитные волны и электронные системы. 1998. Т. 3, № 2. С. 67-78.
32. Давыдов А.П. Экстремальные максимоны, структура фундаментальных частиц, КЭД, ОТО и РТГ А. А. Логунова // Электромагнитные волны и электронные системы. 2001. Т. 6, № 5. С. 4-13.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Давыдов Александр Петрович ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск, Россия, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной и теоретической физики физико-математического факультета, E-mail: ap-dav@yandex.ru.
Davydov Alexandr Petrovich FSEI HPE «Magnitogorsk State Technical University n. a. G.I. Nosov», Magnitogorsk, Russia, Candidate of Physical and Mathematical Science, Assistant Professor of the Department of Applied and Theoretical Physics of Physical-Mathematical Faculty, E-mail: ap-dav@yandex.ru.
Злыднева Татьяна Павловна ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск, Россия, кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики физико-математического факультета, E-mail: tapazl@yandex.ru.
Zlydneva Tatiana Pavlovna FSEI HPE «Magnitogorsk State Technical University n. a. G.I. Nosov», Magnitogorsk, Russia, Candidate of Pedagogical Science, Assistant Professor of the Department of Applied Mathematics and Informatics of Physical-Mathematical Faculty, E-mail: tapazl@yandex.ru
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 455008, Магнитогорск, ул. Зеленый Лог, дом 30, кв. 103, Давыдов А.П.
8-908-069-79-39
