Неадиабатический режим рассеяния атомов на резонансной стоячей световой волне. Текст научной статьи по специальности «Физика»

НЕАДИАБАТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ РАССЕЯНИЯ АТОМОВ НА РЕЗОНАНСНОЙ СТОЯЧЕЙ СВЕТОВОЙ ВОЛНЕ

Ефремов М.А. (ofromovCiran.gpi.ru) Институт общей физики РАН

Исследуется динамика спонтанного излучения атомов, рассеивающихся в поле стоячей световой волны в неадиабатическом режиме. Найдена минимальная достижимая ширина атомного волнового пакета. Покачано, что имеет место экспоненциальный чакон распада с константой, существенно отличной от скорости распада свободного атома.

I. Введение

Рассеяние атомов на стоячей световой волне, частота которой находится в резонансе к основному атомному переходу, является одним из фундаментальных явлений атомной оптики. Особое место в этой области занимает серия теоретических |1, 2, 4, 5| и экспериментальных работ |3|, в которых исследовался специальный тип рассеивающихся атомов, первоначально возбужденных в одно из долгоживущих метастабильных состояний. Соответствующий метастабильный уровень Ет является нижним рабочим уровнем резонансной двухуровневой системы, в то время как ее верхний рабочий уровень, Ее, имеет большую ширину Г, обусловленную главным образом спонтанным радиационным распадом в состояния, отличные от метастабильного Ет (Рис. 1).

Одним из важных параметром, характеризующих взаимодействие атомов с полом,

Рис. 1: Схема рассеяния атома на стоячей световой волне и структура атомных уровней.

является частота Раби О = 2dmeEo, где dme = (m|d|e) - матричный элемент дипольного момента перехода между резонансными уровнями, а Eo - амплитуда напряженности поля каждой из двух встречных бегущих световых волн, образующих стоячую волну. Здесь и далее используются единицы, при которых h = 1. Пусть иг = к2/2M - частота (энергия) отдачи атома, M - масса атома, к = и/c пи- модуль волнового вектора и

частота поля. В зависимости от соотношения между О и 4\/Гиг могут реализоваться

либо брэгговский (при О ^ 4^Го>г), либо дифракционный (при О ^ 4уГшГ) режимы рассеяния.

В работах [1-5] в основном рассматривался брэгговский режим рассеяния, в котором рассеяние эффективно только если угол 9 между вектором начального импульса атомов Ро и перпендикуляром к направлению световых волновых векторов ±к (ось г на Рис. 1) близок к брэгговскому углу ±9вг, где 9Вг = к/ро ^ 1. В этом случае распад рабочих уровней является всегда экспоненциальным во всем интервале изменения времени [4, 5].

В отличие от этого, в недавней работе работе [6] исследован дифракционный режим, который характеризуется слабой зависимостью эффективности рассеяния от 9

"центра масс"атома полностью пренебрегается, авторами работы [6] было показано, что в дифракционном режиме существует возможность неэкспоненциального распада, когда зависящие от времени вероятности нахождения атома на уровнях Ет и Ее убывают по степенному закону. Помимо этого было показано, что в этом режиме происходит сужение пространственной области локализации волновых пакетов "центра масс"атомов, остающихся в метастабильном и возбужденном состояниях, причем "центры тяжести"этих волновых пакетов локализуются в узлах стоячей световой волны.

В данной работе исследуется рассеяние атомов на резонансной стоячей световой волне вне рамок адиабатического приближения. Будет показано, что область существования неэкспоненциального распада ограничена во времени, а ширина волновых пакетов рассеивающегося атома перестает сужаться и достигает своего минимального значения. Все указанные эффекты достаточно необычны и, как предполагается, могут быть важны для практических целей атомной оптики.

II. Постановка задачи и основные уравнения

Общая волновая функция атома, взаимодействующая со световым полем, зависит как от радиуса-вектора положения центра масс атома г, так и от внутриатомных переменных и времени t, и удовлетворяет уравнению Шрёдингера [7]

Ъ Ф={ - MV2 + - d ■ ЕЦФ' (D

где первое слагаемое —V2/2M - оператор кинетической энергии атомного центра масс, V = д/дг M - масса атома, Hat - оператор, описывающий поведение внутриатомных степеней свободы в отсутствии внешнего поля, Е(г, t) - напряженность электрического поля, которая в случае стоячей световой волны имеет вид

Е(г, t) = 2Eo cos(ut) cos(kx). (2)

Здесь x координата вдоль оси 0x 11 k, где k - волновой вектор одной из бегущих плоских волн, формирующих стоячую световую волну (рис. 1).

В условиях резонанса, когда частота световой волны и близка к частоте атомного перехода и0 = Ee — Em (см. рис. 1) с расстройкой от резонанса А = и — uo, | Д | ^ и, и0, для описания внутреннего состояния рассеивающегося атома достаточно ограничиться двухуровневой моделью. Тогда в рамках резонансного приближения волновая функция атома может быть разложена по невозмущенным внутренним волновым функциям нижнего |m) и верхнего |e) уровней

1 ( p21 \ Г 1

Ф(М) = (2п)3/2 ехР ( —iEmt + ipo ■ Г — i ^m(x,t)|m)+exp{—iut} Ve(x,t)|e) , (3)

где функции ^m(x,t) и ^e(x,t) описывают возмущенное движение центра масс атома и удовлетворяют системе уравнений (в случае нормального падения pox = 0), непосредственно следующей из уравнения (1)

■ д , л 1 д2 О

1—^m(x,t) = — 2Mq~2 ^m — -cos(kx) Ve (4)

д , л Г 1 д2 Г 1 О*

<Mx, t) = j — 2MQ-2 — А — i2 } ^ — у c0s(kx) Vm. (5)

Г Ee

Em

переходы значительно более эффективны, чем спонтанный распад Ee ^ Em, который в рамках модели не учитывается вообще.

Будем полагать, что взаимодействие атома с полем включается мгновенно в момент времени £ = 0 и при £ < 0 атом находится в метастабильном состоянии |т), а волновая функция его центра масс - это чисто плоская волна с импульсом р0, что соответствует следующим начальным условиям к системе уравнений ( I )-(•">)

1рт(х,г = о) = 1, = 0) = 0. (6)

Квадраты модуля абсолютных значений функции <^т>е (х, £) определяют плотности вероятности найти атом в момент времени £ в метастабильном | т) или в возбужденном |е) состоянии в окрестности некото рой точки х

вшт,е(х,£) к

dx п

| ^m,e(x,i) |2 . (7)

Проинтегрированные по интервалу изменения переменной х от 0 до п/к, плотности вероятности йШт>е(х,1)/йх (7) определяют полные вероятности найти атом в момент времени £ в метастабильном |т) или в возбужденном |е) состоянии

Wt{m'е) (£) = йх^^ = к [/к йх | (х, £) |2 . (8)

Конечной целью решения задачи о рассеянии атома на стоячей световой волне будет вычисление плотностей вероятности й^т,е(х, £)/йх (7) и, в конечном итоге, полных вероятностей W}m''е\t) (8). Уравнения (4) и (5) описывают как поступательное движение атомного центра масс, так и эволюцию внутреннего состояния атома при рассеянии на стоячей резонансной световой волне. Именно взаимное влияние внутренних и внешних степеней свободы, как мы увидим, приводит к интересным и неожиданным результатам.

III. Квазиэнергетические решения в неадиабатическом режиме рассеяния

Как указывалось во Введении, в работе [6] система уравнений (4)-(5) решалась в рамках адиабатического приближения. С математической точки зрения адиабатическое приближение заключается в том, что оператор кинетической энергии (—1/2M)д2/дх2 опускается как в уравнении (4) для ^m(х, t), так и в уравнении (5) для pe(x,t). С другой стороны, уравнения (4) и (5) не симметричны: последнее из этих уравнений содержит большое слагаемое « |Д + ¿Г/2|, в то время как первое уравнение такого слагаемого не содержит. Поэтому, в случае большой длительности взаимодействия t| Д + гГ/21 ^ 1

(именно он и будет рассматриваться далее) существует диапазон параметров, в котором кинетическая энергия мала по сравнению с |Д + ¿Г/2|, но не мала по сравнению с 1/г,

1 < / ^ * «

л Г Д +. ^

(9)

г ~ \2M0x2

В этих условиях вместо адиабатического приближения (когда оператор кинетической энергии был опущен в обоих уравнениях (4) и (5)) естественно использовать альтернативное приближение, в котором оператор кинетической энергии опускается в уравнении (4), но удерживается в уравнении (5).

Наконец, полагая д/дг ~ 1/г и учитывая мал ость 1/г по сравнени ю с | Д + гГ/21 (9), опускаем в уравнении (5) производную по времени %д^е/дг как малое слагаемое. Кроме того, как было показано в [6], основной вклад в долгоживугцие состояния атомов вносит область вблизи узла стоячей световой волны, х ~ п/2к. Это обстоятельство позволяет представить еов(кх) в правых частях уравнений (4)-(5) в виде —(кх — п/2), что существенно позволяет упростить аналитическое решение задачи. В результате сделанных предположений (9) система уравнений (4)-(5) для функций и в окрестности узла принимает вид

д д2 1 г—^т(С,г) = +2О С^е (10)

. 1 О* ехр(—га) „ ,„„.

^е(Сг) = ^Д2Р+Г2/4 Я«

где С = кх — п/2 и

а = п/2 — arctg (2Д/Г), 0 < а < п. (12)

Используя второе уравнение системы (10)-(11) как простое соотношение между функциями и получаем одно уравнение для функции <рт(£,г), совпадающее по виду с уравнением для волновой функции квантового гармонического осциллятора с комплексным потенциалом

д х I д2 Ю|2 ехр(—га) „2 I , , .

г^М = ( — .VдС2 + 4)Д2 + Г2/4 С7 ^ <13>

Независимость коэффициентов в уравнении (13) от времени г позволяет искать его решение в виде стационарного, пли квазиэнергетического, решения (С, г) = ехр(—¿7^) ^т(С)• При всех значениях С 1С1 < ю, и во всем диапазоне изменения параметра а, |а| < п, единственные ограниченные решения уравнения (13) выражаются

через обычные осцнлляторные функции, хотя и с комплексным аргументом

.м(_И_У/8ф {(_И_У/4е

(е) (А + гГ/2) J Pn\ \4о>г(А + гГ/2) J е

1 ( z2^

) = -т== ехр — Т Hn(z), (14)

х/2"пЦ/П V 2 У

где п = 0,1, 2, ..; Ип(г) - полиномы Эрмита. Собственные значения уравнения (13), т.е. комплексные квазиэнергии 7 равны

7 = 1п = (^Д" 2/4) ехр (-»а/2) (п + 1/2). (15)

Система функций ^1т)(£) (14) является системой независимых, но неортогональных друг другу функций, принадлежащих классу би-ортогональных функций. Для формулировки условия ортогональности и полноты, следует определить дополнительный базис функций ), которые вместе с функциями )

образуют бн-ортогональный базис и отличаются от ^1т)(£) (14) только заменой а на —а (12). Это, в частности означает, что функции ^^(С')) совпадают с ^1т)(£). Тогда функции ) и <^4т)(£) удовлетворяют условию би-ортогональности и полноты

те

^ (£))* ^(е) = ^ , £ Ше))* ^nm)(£') = s (e - o. (ie)

^n=0

Условие полноты (16) позволяет решить начальную задачу, т.е. выразить зависящую от времени волновую функцию t) через известное значение этой же функции

t = 0) в начальный момент t = 0

^m(e,t)^exp(-i7nt)^nm)(eW de' ^(e',t = 0) йт)(£'))*. (17)

n=0

IV. Решение начальной задачи

Суммируя ряд по n в правой части уравнения (17) с помощью формулы Мёллера [8] и принимая во внимание начальное условие (6) для функции ^m(£,t), ^m(£,t = 0) = 1, интегрирование по £' окончательно дает

1 ( £2 (|0|2 sin а\1/2 ,

^m = ¡ г , . /ГЛ1 exPS 0 р exP (-га/2) th [гт exp(-ia/2)J

Y/cos[r exp(-га/2)] [ 2 \ r /

где параметр т - безразмерное время

т = л/2|0| гМ= 101 ^ 1/4 . (19)

' ' У Г (Д2 + г2/4)1/4 1 }

Плотность вероятности (7), определяемая квадратом модуля функции (18),

локализована в окрестности узла стоячей волны, £ = 0, и имеет вид

dWm(C,t) 1, ,\ 12 1 Í С ,

- l^m(C,t)|2 = . , r , .-тт—-77777т exM — }, (2°)

dC ^ 71 п| ch[r (sin а/2 + г cos а/2)] | [ AC2(t)

где AC(t) - зависящая от времени ширина распределения dWm(C, t)/dC

AC = 2/ Г V/4 1 ch[r(sin а/2 + г cos а/2)]|

s \2|Q|2 sin а у .у/cos а/2 sh[2r sin а/2] + sin а/2 sin[2r cos а/2]

Зависящая от времени t полная вероятность нахождения атома в метастабильном

состоянии W/^ (t) (8) легко находится интегрированием плотности вероятности

dWm(C, t)/dC (20) то координате С в бесконечном интервале —то < С < +ТО что

окончательно дает

Г, / Г \!/4 1

_ 2 / UrГ \ 1

Wfí(t) = л/'' ^ (t). (24)

= — _—_ (22)

to л/Л V2I°I2 sin Vcos a/2 sh [2т sin a/2] + sin a/2 sin [2т cos a/2] '

В соответствии с уравнением (11), распределение плотности вероятности для атомов

на возбужденном уровне связано с dWm(£,t)/d£ (20) соотношением

dWe(e.t) _ |о|2 е! dWm(e,t) г ,

d£ А2 + Г2/4 4 de ' 1 )

которое после интегрирования по C дает

Ke)(t) _ М2 АС2 W(m), А2 + Г2/4 2

Выражения для плотности вероятности dWm(£,t)/d£ (20), ширины распределения А£ (21) и полной вероятности wO^t) (22) решают поставленную задачу.

V. Предельные случаи и обсуждение результатов

В предельном случае малых т, т ^ 1, общие формулы (20) - (24) переходят в найденные ранее в адиабатическом приближении выражения для распределений плотности вероятности, ширины распределений и полных вероятностей [6]. Следовательно, область применимости адиабатического приближения оказывается ограниченной сверху условием t < ti5 где ti определяется равенством т _ 1

Г \i/2 1

ti = . (25) \2|S2|2av/ у sin а

Поскольку условие существования степенного режима распада [6] было сформулировано как £ > £0 = 2(Г2 + 4А2)/|0|2Г, то, в целом, границы этой области определяются неравенствами £0 < £ < ¿1- Отметим, что при очень большой величине расстройки, |А| » Г ¿0 ~ 8А2/Г|0|2 и ¿1 « -у/|А|/(|0^л/шТ)- Отсюда следует, что с | А|

верхняя, и при значении |А| « (Г|0|)2/3/[4о>Г/3] эта область перестает существовать.

Кроме того ясно, что при переходе от задачи на квазиэнергии к начальной задаче квазиэнергия 7 заменяется на производную по времени которая имеет порядок

1/£, то есть |71 ~ 1/£. Из этого соотношения и уравнения (15) следует, что характерные значения п, дающие вклад в решение начальной задачи (17), по порядку величины равны пед- ~ 1/т. Поэтому, в адиабатическом пределе, при т ^ 1, существенный вклад в сумму по п (17) вносит большое число слагаемых с п ~ пед- ^ 1.

В обратном предельном случае асимптотически большой длительности взаимодействия, т ^ 1, основной вклад в сумму по п (17) вносит единственное слагаемое с п = 0. Объясняется это тем, что в пределе т ^ 1 все слагаемые с п > 1 становятся экспоненциально малыми по сравнению со слагаемым с п = 0 (15). В этом случае реализуется неадиабатический режим рассеяния. Ширина распределения (20) определяется в основном шириной области локализации волновой функции основного состояния осциллятора, п = 0, с комплексным потенциалом )

(14), которая не зависит от времени £ и имеет вид

Разумеется, этот же результат следует и из общей формулы (21) в пределе больших т. Следовательно, в зависимости от времени £ волновой пакет атомов, находящихся в метастабильном состоянии, сужается по мере роста времени взаимодействия до тех пор, пока реализуется режим степенного распада, £ < ¿1? где ¿1 определяется уравнением (25). При £ ^ когда имеет место неадиабатический режим, дальнейшего сужения пакета не происходит и ширина А£ выходит на свое асимптотическое, минимально

А

масштаб изменения £ выбран не зависящим от расстройки А).

Величина А£ (26), нормированная на величину (4о>гГ/ |0|2)1/4, изображена на Рис. 3 как функция отношения 2А/Г. Эта функция то отношению к знаку А несимметрична

1/4

2

(26)

А?

(в)

(а)

(б)

5 10 15 20 25

► X N

2

\ 15

1 0.5 A ^ min

-2 -1 0 1 2 3 4 5

2 А/Г

Рис. 2: Ширина (21) в зависимости от r¡\Jsin а = >/2|Ült^/ur/Г при 2Д/Г = 2 + V3 (а), Д = 0 (б) и 2Д/Г = -2 - V3 (в).

Рис. 3: Ширина (26) плотности

вероятности найти атом в метастабильном состоянии как функция от 2Д/Г.

и достигает минимальное значение при 2Д/Г = 1/л/3 (а = п/3)

1/4 / г\ !/4

ACm

iL

(27)

Физический смысл минимальной ширины = кДхmin (27) состоит в том, что

ДхтгП является тем минимальным размером волнового пакета атомного "центра масс", который удается достичь при прохождении начальной плоской волны атома через стоячую световую волну при сколь угодно больших временах взаимодействия. Другими словами, при прохождении атома, начальное состояние "центра масс"которого имеет вид неограниченной плоской волны, стоячая волна действует подобно дифракционной решетке и "вырезает"из плоской волны "центра масс"атома узкие волновые пакеты, локализованные вблизи узлов стоячей волны, kx ~ п/2.

Кроме того, параметр Д£тга(27) позволяет определить условие выполнения предположения (9), на основании которого и были получены результаты (20)-(22). Оценивая максимальный порядок кинетической энергии атома с помощью принципа неопределенности по минимально возможной ширине Д£тп (27), |(1/2M) d2/dx2| ~ шг/Детin ~ шг (|^|2/^VГ)1/2, и сравнивая с |Д + ¿Г/2|, получаем критерий выполнения условия (9)

' Гг / Д2\1/2

|П|< Ч* (1 + v) • (28)

Обратимся теперь к исследованию полной вероятности W/O^t) (20) как функции времени t. В соответствии с тем, что в асимптотике очень большой длительности взаимодействия т ^ 1 в суперпозиции квазиэнергетических волновых функций (17) выживает лишь слагаемое с n = 0, асимптотическое поведение W/^ (t) (22)

8

6

4

2

0

определяется фактором « exp [—2Im(7o)i ] и имеет вид

^ - 2 /f ($)

1/4

1 + 4А2/Г2

2А/Г+ л/1 + 4А2/Г2

1/4

х

exp {

л/1 + 4А2/Г2 - 2А/Г'

1/2'

(29)

1 + 4А2/Г2

Это означает, что с ростом времени взаимодействия £ или, другими словами, при переходе от адиабатического, т ^ 1, имеющего место в интервале £0 ^ £ ^ к неадиабатическому, т ^ 1, режиму рассеяния степенной закон изменения полной вероятности ^О^^) со временем [6] переходит в экспоненциальный (29). При этом, модифицированная константа распада Г = 21т70 существенно отличается от константы

ГА (29), и в большой степени определяется частотой отдачи о>г.

Автор выражает глубокую признательность М.В. Федорову за постановку задачи и постоянный интерес к работе.

[1] D.O. Chudesnikov and V.P. Yakovlev, Laser Phys., 1, 110 (1991)

[2] D.S. Krähmer et al., In: Quantum Optics VI, Springer Proceedings in Physics, 77, 87; Editors: D.F. Walls & J.D. Harvey, Springer-Verlag, Berlin-Hedelberg, 1994

[3] M.K. Oberthaler, R. Abfalterer, S. Bernet, J. Schmiedmayer, and A. Zeilinger, Phys. Rev. Lett., 77, 4980 (1996); Phys. Rev. A, 60, 456 (1999)

[4] H. Batelaan, E.M. Rasel, M.K. Oberthaler, J. Schmiedmayer,and A. Zeilinger, Journ. of Modern Optics, 44, 2629 (1997)

[5] M.V. Berry and D.H.J. O'Dell, J. Phys A: Math,. Gen., 31, 2093 (1998)

[6] M.A. Efremov, M.V. Fedorov, V.P. Yakovlev, and W.P. Schleich, Laser Phys., 13, #4 (2003)

[7] А.П. Казанцев, Г.И. Сурдутович, В.П. Яковлев, Механическое действие света на атомы, Издательство "Наука", Москва, 1991

[8] Г. Бейтман и А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Т. 2, Издательство "Наука", Москва, 1974