Расчёт магнитного редуктора на основе остаточной магнитной индукции стержней модулятора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313 ББК 31.261

А.А. АФАНАСЬЕВ

РАСЧЁТ МАГНИТНОГО РЕДУКТОРА НА ОСНОВЕ ОСТАТОЧНОЙ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ СТЕРЖНЕЙ МОДУЛЯТОРА*

Ключевые слова: постоянные магниты, скалярные магнитные потенциалы, магнитные индукции, модулятор, граничные условия, электромагнитные моменты.

Магнитные редукторы можно подразделить на две группы: неуправляемые, выполненные на постоянных магнитах, и управляемые, содержащие кроме магнитов обмотку статора с преобразователем частоты. Первые имеют фиксированный коэффициент магнитной редукции, у вторых он может изменяться благодаря преобразователю частоты.

Предлагаемый полевой аналитический метод расчета может использоваться для оценки функциональных свойств обоих названных типов этих устройств при помощи двух декартовых координат x и у. В каждой из активных областей магнитного редуктора (в воздушных зазорах, магнитах, ярмах статора и ротора, роторе со сквозными зубцами и пазами (модуляторе)) искомые переменные - магнитные потенциалы и магнитные индукции - представляются в виде произведения двух функций, первая из которых зависит от координаты x, другая - от координаты у. Эти функции также умножаются на некоторые неизвестные постоянные, значения которых находятся из граничных условий магнитного поля на линиях сопряжения активных областей.

Магнитные проницаемости ярем статора и внутреннего ротора предполагаются фиксированными, их значения корректируются по данным расчёта магнитной цепи редуктора. Остаточная индукция стержней модулятора выбирается близкой к типовым значениям этого параметра у электротехнической стали. Такой подход дает возможность реализовать принцип суперпозиции магнитных полей, созданных, соответственно, источниками ротора и статора. При этом расчёт неизвестных постоянных производится дважды применительно к каждому источнику, так как последние имеют принципиально разные числа полюсов и, следовательно, разный спектр гармонических составляющих МДС.

Рассматриваемый метод даёт возможность решить такие прикладные задачи, как нахождение магнитных индукций в рабочих воздушных зазорах редуктора, определение электромагнитных моментов, воздействующих на роторы и статор. Полученные результаты подтверждены опытными данными. Для реализации метода достаточно набора функций, имеющихся в математической программе Mathcad.

Магнитный редуктор (МР) конструктивно представляет достаточно сложное электромеханическое устройство, содержащее в одноступенчатом исполнении два ротора и два воздушных зазора [4, 8].

Один из роторов со сквозными шихтованными стержнями числом z, называемый модулятором, затруднителен для аналитического расчёта. В классических электрических машинах такой элемент магнитной цепи отсутствует.

Уточнённое определение функциональных свойств магнитного редуктора обычно производится на основе численного расчёта [3, 6]. Однако, как бу-

* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Кабинета министров Чувашской Республики в рамках научного проекта № 18-48-210004.

дет показано ниже, такой электромеханический объект может достаточно корректно рассчитываться в полевой аналитической форме методом разделения переменных.

Исходные уравнения магнитного поля магнитного редуктора. Рассматриваемое магнитное поле в магнитном редукторе с постоянными магнитами потенциально1 и удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа У2п = 0, которое будем решать методом разделения переменных Фурье отдельно для каждой из семи магнитных сред (рис. 1), стыкуя их граничные значения путем вычисления соответствующих постоянных [7]. Рассматриваемое ниже решение предполагает, что активные области МР являются бесконечными полосами с прямолинейными параллельными границами.

У

О

©

^//////////////л

м!{об)

© Ж

©

Ж

©

©

Рис. 1. Активные зоны магнитного редуктора

В каждой из активных областей магнитного редуктора (воздушных зазорах, магнитах, ярмах статора и ротора, роторе со сквозными зубцами и пазами (модуляторе)) искомые переменные - магнитные потенциалы и магнитные индукции -представляются в виде произведения двух функций, первая из которых зависит от координаты х, другая - от координаты у. Эти функции также умножаются на некоторые неизвестные постоянные, значения которых находятся из граничных условий магнитного поля на линиях сопряжения активных областей.

Магнитные проницаемости ферромагнитных областей предполагаются фиксированными, их значения корректируются по данным расчёта магнитной цепи редуктора. Такой подход дает возможность реализовать принцип суперпозиции магнитных полей, созданных, соответственно, источниками ротора и статора. При этом расчёт неизвестных постоянных производится дважды применительно к каждому источнику магнитного поля (статора или ротора), так как последние имеют принципиально разные числа полюсов и, следовательно, разный спектр основных гармоник, зависящих от координаты х.

п

А

А

А

А

А

п

х

1 При наличии трёхфазной обмотки на статоре регулируемого редуктора его магнитное поле будет содержать вихревую составляющую, которая локализуется в местах расположения проводников статорной обмотки [5].

Для основных гармоник магнитного поля МР справедливо базовое равенство1 [1, 8]

Р1 + Рг = (1)

где р1, р2 - числа пар полюсов магнитов (обмотки) внутреннего ротора и статора, соответственно.

Математическое описание модулятора в функции координаты х. Магнитная среда в зоне нахождения модулятора (полоса 4 шириной Нг на рис. 1) представляется состоящей из г радиальных участков с размером, равным зубцо-вому шагу 4 модулятора, одна часть которых (зубец модулятора шириной Ь,) имеет остаточную магнитную индукцию В„, а у другой части (паз модулятора шириной (4 - Ь) - эта магнитная индукция равна нулю (рис. 2).

В результате остаточная магнитная индукция в среде 4 будет изображаться периодической функцией В„(х), которая при одинаковых поперечных размерах зубца и паза будет иметь вид

В /

В г (х) = + - В г 0С8[(2« - 1)х],

2

Л + ^ г г ^ ' I п '

2 - п=1

(2)

(- 1)п-1 2%

где Чп = \ . ; с=—. 2п -1 I,,

При наличии магнитов ротора (статора) эта функция будет модулирована зависимостью (рис. 3)

4 ю г -|

(х) = -¿1(2) ^Чк С08[(2к - 1)СК2)х]

а1(2)(х) = ¿1(2) ^ Чк - к=1

где ¿1(2) - глубина модуляции магнитного поля ротора (статора); Чк =

(3) = (- 1)к-1;

2к -1 '

С1(2) ='

х1(2)- полюсное деление магнитов ротора (статора).

4(2)

Вгг Тл

Ы

X

Рис. 2. Зависимость остаточной магнитной индукции стержней модулятора от координаты х

а.

а,

0.057 0.0Й6

А", м

27",

ы1

Рис. 3. Модуляционная функция стержней модулятора при ^ = 1

-

1 При его реализации электромагнитные моменты роторов будут действовать встречно, а их скорости вращения - однонаправленно.

В этом случае зависимость магнитной индукции модулятора в функции координаты х (в зоне 4) будет иметь вид

2

У1(2)( х) = (х)аК2)( х) =—

гг* 1(2)

2 Л ^[к - 1)стК2)х]+

к=1

- 2 ¿ЛиЛк с0§[(2и - 1)С7х]С08[(^к - 1)1(2)х]

Л и=1 к=1

(4)

Применительно к магнитным потенциалам всех зон указанная зависи-

2

мость, в отличие от (4), не будет содержать множителя —ВГ1

71(2) (х) = 51(2) 4

¿Лк шз[(2к 1)1(2) х]

к=1 ад ад

2 2 Л„Лк С08[(2и - 1)х]С08[(2к -1)^1(2)х]

(5)

Л п=1 к=1

Зависимости для скалярных магнитных потенциалов и(х, у) и радиальных составляющих магнитной индукции Ву(х, у). Ищем сначале скалярные магнитные потенциалы и радиальные составляющие магнитной индукции в средах (/ = 1 - 7 на рис 2), вызванные магнитами внутреннего ротора:

ад

«1(х, У) = 71(х)2 ^1к^(2к-1)а^у ,

к=1

ды1

в1у(x, У) = р ^Т1 = -^0^рст171(х) 2(2к -1) А1ке

-р _ г-^р^

дУ к=1

(2к-1)а1у

, У < 0,

(6)

где Цр - относительная магнитная проницаемость ярма внутреннего ротора.

У (х, у) = 71 (х)£ (в2/2к-1)а1У + С2ке-(2к-1)°1У),

к=1

( ди2 ад ^

В2у (X, У) = Ц -"Г1 + 2 М1к

V дУ к=1 ,

= Ц071 (х)± [- (2к -1)«^ (2к-1)а^у + (2к - 1)а1С2ке-(2к-1)а^У + М1к ]

(7)

к=1

= И-0«171 (х)2 (2к -1)

к=1

- в е(2к-1МУ + с е-(2к-1)а1У 2к 2к

+

М1

1к

(2к - 1)с1

0 < У < Пм1,

где М1к - амплитуда к-й гармоники намагниченности магнитов внутреннего ротора, км1 - высота магнитов внутреннего ротора;

(х, У) = 71 (х) £(Взке(2к-1) У + Сзке-(2к -1) У ), к=1

ди ад г 1

ВзУ(х,У) = Ц0 -дУУ3- =Ц0«171(х)Е(2к-1)[-Вз^(2к-1)С1У + Съке-(2к-1)«У], (8)

V дУ) к=1

пм1 < У < пм1 +8l,

где 51 - длина внутреннего воздушного зазора с учётом коэффициента этого зазора (коэффициента Картера);

+

л

+

и

з

(х, у) = уД х)£((2к-1) у + С4ке-(2к-1) у )

к=1

ды

\

В4у (X, У) = Цо

ю

= Мч)ст1У1( х)£ (2к -1)

—+£ мггк ду к=1

(9)

к=1

— В ке(2к-1)а1У + С ке-(2к+

м

ггк

(2к - 1)с1

Км1 + 5 < У < км1 + 5 + К,

где Мггк = = — чк - амплитуда к-й гармоники остаточной намагни-Цо % Цо

ченности стержней модулятора; К - толщина модулятора;

ы5 (х, у) = ^ (х) £ (^е1^-1^ + С5ке -(2к-1)°1у ),

В5 у (х, у) = ц о

к=1 г ды5 ^

ду

= Цо°1У1(х)£(2к -1)[-В5ке(2к-1)°^у + С5ке-(2к-1)°1у], (10) к=1

Км1 + 51 + К < у < Км1 + 51 + К + 5 2 , где 52 - длина наружного (от модулятора) воздушного зазора с учётом коэффициента этого зазора (коэффициента Картера);

ы6 (х, у) = У1 (х)£ ((1 )о'у + С6ке -(2к-1)о'у ),

к=1 г ды6 ^

Л)У Г 1

Вбу(х,у) = Цо -ду^ =Цо^1У1(х)£(2к-1)[-Вбке(2к-+ С6ке-^у], (11)

ду

к=1

Км1 + 51 + К + 52 < у < Км1 + 51 + К + 52 + Кп где Км2 - высота магнитов на внутренней поверхности статора;

ю

ы7( х, у) = У1( х) £ Л7 ке-(2к-1)01 у,

к=1

ды7

-(2к-1)0; у

(12)

В7 у (х, у) = -Ц)Ц с -г7 = -ЦоЦс01У1 (х) £ (2к -1) Л7 ке-

ду к=1

Км1 + 51 + К +52 + Км2 < у < Км1 + 51 + К +5 2 + Км2 + Кас ,

где цс - относительная магнитная проницаемость ярма статора; йас - высота ярма статора.

Приравнивая магнитные потенциалы и радиальные магнитные индукции на границах сред, находим из уравнений (6)-(12) равенства, связывающие

неизвестные постоянные:

Л1к - В2к - С2к = о , - В2к + С2к -Ц РЛ1к =-т1к ,

т, (2к-1)а1Д1 г -(2к-1)а1Д1 г, (2к-1)а1Д1 ^ -(2к-1)а1Д1 _ п В2ке + С2ке - В3ке - С3ке = о;

(13)

(14)

ы

4

- В2ке(2к-1)«1А1 + С2ке-(2к-1)«1А1 + В3ке(2к-1)а1А - С3ке-(2к-1)а1А = -т1к , (16) В е(2к-1)°1А2 + С е-(2к-1)«1А2 - В е(2к-1)«1А2 - С е-(2к-1)°1А2 = 0 (17)

Зк Зк 4к 4к ' ^ ^

- В3ке(2к-1)а1А2 + С3ке-(2к-1)«1А2 + В4ке(2к-1)а1А2 - С4ке-(2к-1)а1А2 = тГкк, (18) В4ке(2к-1)«1Аз + С4ке-(2к-1)«1Аз - В5ке(2к-1)а1Аз - С5ке-(2к-1)а1Аз = 0, (19)

- В4ке(2к-1)а1Аз + С4ке-(2к-1)«1Аз + В5ке(2к-1)а1Аз - С5ке-(2к-1)а1Аз = -тгк, (20)

В5ке(2к-1)а1А4 + С5^е-(2к-1)а1А4 - В6ке(2к-1)а1А4 - С^^^-1)°^4 = 0 (21)

- В5ке(2к-1)°1А4 + С5ке-(2к-1)°1А4 + В6ке(2к-1)°1А4 - С6ке-(2к-1)°1А4 = 0 (22) В6ке(2к-1)°1А5 + С6ке-(2к-1)°1 А5 - А7ке-(2к-1)а1А = 0, (2з)

- В6ке(2к-1)°1А 5 + С6ке-(2к-1)°1А5 + цсЛ7ке-(2к-1)°1А 5 = 0, (24)

где А1 = А 2 = Пм1 + А з = Пм1 + 51 + , А 4 = Пм1 + 51 + +5 2,

А5 = Пм1 +«1 + +¿2 + Пм2(об) , т1к = * , т^ = ^ .

(2к -1)°1 (2к -1)°1

Когда источником магнитного поля в редукторе будут магниты (или обмотка) статора, находящиеся в полосе 5 (рис. 1), система уравнений для магнитных потенциалов и магнитных индукций будут иметь вид, аналогичный системе (6)-(12), только вместо функции 71(х) и амплитуд намагниченности магнитов ротора М1к будем иметь, соответственно, зависимость 72(х) и амплитуду намагниченности магнитов статора М2к. Например, уравнения (6), (10) получат вид

и

си ^

(х, У) = 72 (х)2 Лке(2к-1)°2У ,

к=1

ди ад ~

В1У (х, У) = -Ц0Цр -1 = -Ц0Цр ° 27 2 (х) 2 (2к - 1)л11ке(2к-1)°2У , у < 0, (25)

дУ к=1

и5

(х, У) = 7 2(х)£(В5ке(2к-1)а2У + С5ке-(2к-1)°2У), к=1

( ди5 ад ^ дУ к=1

ди

В5У (х, У) = Ц —г1 + 2М2к

= Ц072 (х)2 - № - 1)с2В5ке(2к-1)а2У + (2к - 1)с2С5ке-(2к-1)а^ + М.

2к

(26)

к=1

^0°2Р2(х)2(2к -1)

к=1

-В е(2к-1)°2У + С е-(2к-1)°2У + М2к

5к 5к п

(2к -1)°2

, 0 < У < п

м1 *

Новые постоянные Фурье будут находиться из системы линейных уравнений

Л - В2 - С2 = 0 , (27)

- В2 + С~2-ЦрЛ = 0, (28)

В2е(2к-1)02Д1 + (~е-(2к-1)02Д1 - Взе(2к-1)02Д! - Сзе-(2к-1)02Д! = о (29)

- В2е(2к-1)о2Д + С2е-(2к-1)о2Д + В3е(2к-1)о2д - С3е-(2к-1)о2Д = о , (3о)

В3е(2к-1)о2Д2 + С3е-(2к-1)о2Д2 -вВ4е(2к-1)о2Д2 -С4е-(2к-1)о2д2 = о, (31)

- В3ее(2к-1)02Д2 + С3е-(2к-1)о2Д2 + В4е(2к-1)о2Д2 - С4е-(2к-1)о2Д2 = тгк , (32)

Ве(2к 1)02Д3 + САе-(2к-1)02Д3 - В~5е(2к-1)о2Д3 - С~5е-(2к-1)о2Д3 = о (33)

- В4е(2к-1)°2Д3 + С4е-(2к-1)°2Д3 + В5е(2к-1)о2Д3 - С5е-(2к-1)о2Д3 = -тггк , (34)

В е(2к-1)02Д4 + С е-(2к-1)а2Д4 - е(2к-1)о2Д4 - С е-(2к-1)а2Д4 = о (35)

- В5е(2к-1)о2Д4 + С5е-(2к-1)°2Д4 + В~6е(2к-1)о2Д4 - С6е-(2к-1)о2Д4 = -тк, (36)

В6е(2к-1)°2Д5 + С6е-(2к-1)о2Д5 - Л7е-(2к-1)о2Д5 = о , (37)

- В6е(2к-1)о 2 Д5 + С6е-(2к-1)°2д5 + цсЛ7е-(2к-1)о 2 Д5 = -т2к, (38)

где т2к = —

(2к - 1)а2

После нахождения постоянных в результате решения системы линейных уравнений (13)-(24) и (27)-(38) можем найти магнитные потенциалы и магнитные индукции во всех активных областях магнитного редуктора. Например, для магнитных индукций в воздушных зазорах 61 и 52 будут справедливы выражения

ю г ~

В3 у (х, у) = ц оО 2р2 (х) £ (2к -1)[- В~3ке(2к-1)02у + С~3ке -(2к-1)02у к=1

М 2к

+

+ Цо01Р1 (х)£ (2к -1)[- В3ке(2к-1)о^у + С3ке-(2к-1)01у ], к=1

ю Г ~

В5у (х, у) = цо02Р2 (х)£ (2к -1)[- В~5ке(2к-1)02у + С~5ке-(2к-1)02у к=1

+ ЦооД (х)£ (2к -1)[- В5ке(2к-1)о^у + С5ке-(2к-1)°1у ].

(39)

(4о)

к=1

По уравнению (39) на рис. 4 построены кривые радиальных составляющих магнитной индукции в воздушном зазоре бД

На рис. 5 построены кривые электромагнитных моментов тихоходного Мм и быстроходного Мр роторов с помощью формулы [5]

М = ^ 2\ВпВЛ . (41)

2цо о

1 Рассматривается макетный образец магнитного редуктора с параметрами: наружный диаметр модулятора 132 мм, активная длина 115 мм, число стержней модулятора г = 19, число пар полюсов статора р2 = 16, число пар полюсов ротора рх = 3, остаточная индукция магнитов Вг = 1 Тл, - стержней модулятора В, = о,5 Тл.

2x10

Тл

lxio

J3c О

- 1*10

-2*10

D.0S6

0 029 0057 X, М

Рис. 4. Магнитная индукция в воздушном зазоре 51 (область 3) на интервале периода магнитов ротора, вызванная магнитами статора (сплошная линия) и магнитами ротора (пунктирная линия)

Ни

М„

0 0.029 0.057 0.036 2Ты1

9, М

Рис. 5. Электромагнитные моменты магнитного редуктора: Мм - модулятора, Мр - быстроходного ротора; в - линейный сдвиг магнитов статора и ротора

Полученные кривые электромагнитных моментов практически совпадают с аналогичными зависимостями, полученными при испытании макетного образца этого магнитного редуктора [1].

Выводы. 1. Рассматриваемый аналитический метод даёт возможность решить такие прикладные задачи, как нахождение магнитных индукций в рабочих воздушных зазорах редуктора, определение электромагнитных моментов, воздействующих на роторы и статор.

2. Для его реализации достаточно набора функций, имеющихся в математической программе Mathcad.

Литература

1. Афанасьев А.А. Аналитические и численные методы решения задач электромеханики на основе комплексного магнитного потенциала. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2017. 430 с.

2. Афанасьев А.А. Высшие гармоники электромагнитных моментов магнитоэлектрического редуктора // Электротехника. 2016. № 12. С. 20-25.

3. Афанасьев А.А., Ефимов В.В., Никитин В.М. Численное математическое моделирование одноступенчатого магнитного редуктора // Электричество. 2014. № 4. С. 62-68.

4. Дергачёв П.А., Кирюхин В.П., Кулаев Ю.В., Курбатов П.А., Молоканов О.Н. Анализ двухступенчатого магнитного мультипликатора // Электротехника. 2012. № 5. С. 39-46.

5. Иванов-Смоленский А.В. Электромагнитные силы и преобразование энергии в электрических машинах. М.: Высш. шк., 1989. 312 с.

6. Молоканов О.Н. Разработка методов расчёта и анализ перспективных конструкций бесконтактных магнитных передач: автореф. дис. ... канд. техн. наук. М., 2017. 19 с.

7. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. Ч. 3. Теория электромагнитного поля. М.: Энергия, 1969. 352 с.

8. Jiabin Wang, Kais Atallah, Carvley S.D. A Magnetic Continuously Variable Transmission Device. IEEE Transactions on magnetic, 2011, vol. 47, no. 10, pp. 2815-2818.

АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры автоматики и управления в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (afan39@mail.ru).

A. AFANASYEV

CALCULATION OF MAGNETIC GEAR BY METHOD OF RESIDUAL INDUCTION OF MODULATOR RODS

Key words: permanent magnets, scalar magnetic potentials, magnetic induction, modulator, boundary conditions, electromagnetic moments.

Magnetic reducers can be divided into two groups: unmanageable made on permanent magnets, and controlled containing, in addition to magnets, the stator winding with a frequency converter. The first one has a fixed coefficient of magnetic reduction. The coefficient of the second group can be changed due to the frequency converter. The proposed field analytical calculation method can be used to evaluate the functional properties of both types of these devices using two Cartesian coordinates. In each of the active regions of the magnetic reducer (air gaps, magnets, yoke of the stator and rotor, rotor with through teeth and grooves (modulator)), the required variables - magnetic potentials and magnetic induction - are represented as a product of two functions, the first of which depends on the coordinate x, the other - on the coordinate y. These functions are also multiplied by some unknown constants whose values are calculated from the boundary conditions of the magnetic field on the interface lines of the active regions. The magnetic permeability of the yokes of the stator and the inner rotor are assumed to be fixed, their values being corrected according to the calculation of the magnetic circuit of the reducer. The residual induction of the modulator rods is selected close to the typical values of this parameter in electrical steel. This approach makes it possible to implement the principle of superposition of magnetic fields created by the rotor and stator sources, respectively. In this case, the calculation of the unknown constants is made twice for each source, as the sources have fundamentally different numbers of poles and, consequently, a different spectrum of harmonic components of the MDS.

The considered method makes it possible to solve such applied problems as finding magnetic inductions in the working air gaps of the reducer, determining the electromagnetic moments acting on the rotors and the stator. The results were confirmed by experimental data. To implement the method, a set of functions available in the Mathcad mathematical program is sufficient.

References

1. Afanasyev A.A. Analiticheskie i chislennye metody resheniya zadach elektromekhaniki na osnove kompleksnogo magnitnogo potentsiala [Analytical and numerical methods for solving problems of electromechanics based on the complex magnetic potential]. Cheboksary, Chuvash State University Publ., 2017, 430 p.

2. Afanasyev A.A. The higher harmonics of the electromagnetic moments of a magneto-electric reducer. Russian Electrical Engineering, 2016, vol. 87, no. 12, pp. 666-671.

3. Afanasyev A.A., Efimov V.V., Nikitin V.M. Chislennoe matematicheskoe modelirova-nie odnostupenchatogo magnitnogo reduktora [Numerical Mathematical Modeling of a SingleOStage Magnetic Reducing Gear]. Elektrichestvo, 2014, no. 4, pp. 62-68.

4. Dergachev P.A., Kiryukhin V.P., Kulaev Yu.V., Kurbatov P.A., Molokanov O.N. Analiz dvukhstupenchatogo magnitnogo mul'tiplikatora [Analysis of two-stage magnetic multiplier]. Elektrotekhnika, 2012, no. 5, pp. 39-46.

5. Ivanov-Smolenskii A.V. Elektromagnitnye sily i preobrazovanie energii v elek-tricheskikh mashinakh [Electromagnetic forces and energy conversion in electric machines]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1989, 312 p.

6. Molokanov O.N. Razrabotka metodov rascheta i analiz perspektivnykh konstruktsii bes-kontaktnykh magnitnykh peredach: avtoref. dis. ... kand. tekhn. nauk [Development of methods of calculation and analysis of promising designs of contactless magnetic transmission: Diss. Abstract]. Moscow, 2017, 19 p.

7. Polivanov K.M. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki. Ch. 3. Teoriya elektromagnit-nogo polya [Theoretical bases of electrical engineering. Part 3: Electromagnetic field theory]. Moscow, Energiya Publ., 1969, 352 p.

8. Jiabin Wang, Kais Atallah, Carvley S.D. A Magnetic Continuously Variable Transmission Device. IEEE Transactions on magnetic, 2011, vol. 47, no. 10, pp. 2815-2818.

AFANASYEV ALEKSANDR - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Automatics and Control in Technical Systems, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (afan39@mail.ru).

Формат цитирования: Афанасьев А.А. Расчёт магнитного редуктора на основе остаточной магнитной индукции стержней модулятора // Вестник Чувашского университета. - 2019. -№ 3. - С. 5-14.