CC BY
36
УДК 621.313 ББК 31.261
А.А. АФАНАСЬЕВ
РАСЧЁТ МАГНИТНОГО РЕДУКТОРА МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ФУРЬЕ*
Ключевые слова: постоянные магниты, скалярные магнитные потенциалы, магнитные индукции, модулятор, граничные условия, электромагнитные моменты.
Магнитные редукторы можно подразделить на две группы: неуправляемые, выполненные на постоянных магнитах, и управляемые, содержащие кроме магнитов обмотку статора с преобразователем частоты. Первые имеют фиксированный коэффициент магнитной редукции, у вторых он может изменяться благодаря преобразователю частоты. Предлагаемый полевой аналитический метод расчета может использоваться для оценки функциональных свойств обоих названных типов этих устройств, оперируя двумя декартовыми x, у или двумя цилиндрическими координатами г, (р. В каждой из активных областей магнитного редуктора (воздушных зазорах, магнитах, ярмах статора и ротора, роторе со сквозными зубцами и пазами (модуляторе) искомые переменные - магнитные потенциалы и магнитные индукции - представляются в виде произведения двух функций, первая из которых зависит от координаты х(г), другая - от координаты у(р). Эти функции также умножаются на некоторые неизвестные постоянные, значения которых находятся из граничных условий магнитного поля на линиях сопряжения активных областей. Магнитные проницаемости ферромагнитных областей (ярма, стержни модулятора) предполагаются фиксированными, значения которых корректируются по данным расчёта магнитной цепи редуктора. Такой подход дает возможность реализовать принцип суперпозиции магнитных полей, созданных, соответственно, источниками ротора и статора. При этом расчёт неизвестных постоянных производится дважды применительно к каждому источнику, так как последние имеют принципиально разные числа полюсов и, следовательно, имеют разный спектр гармонических составляющих МДС. Рассматриваемый метод даёт возможность решить такие прикладные задачи, как нахождение магнитных индукций в рабочих воздушных зазорах редуктора, определение электромагнитных моментов, воздействующих на роторы и статор. Для его реализации достаточно набора функций, имеющихся в математической программе Mathcad.
Магнитный редуктор конструктивно представляет собой достаточно сложное электромеханическое устройство (рис. 1), содержащее в одноступенчатом исполнении два ротора и два воздушных зазора [2, 4].
Один из роторов со сквозными шихтованными стержнями числом z, называемый модулятором, крайне затруднителен для приближённого аналитического расчёта. В классических электрических машинах такой элемент магнитной цепи отсутствует.
Уточнённое определение функциональных свойств магнитного редуктора обычно производится на основе численного расчёта [1].
Однако, как будет показано ниже, такой электромеханический объект может достаточно корректно рассчитываться в полевой аналитической форме методом разделения переменных.
Рис. 1. Поперечный разрез магнитного редуктора на постоянных магнитах
Исходные уравнения магнитного поля магнитного редуктора. Рассматриваемое магнитное поле в магнитном редукторе с постоянными магнитами потенциально1 и удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа V2ы = 0, которое будем решать методом разделения переменных Фурье отдельно для каждой из семи магнитных сред, стыкуя их граничные значения путем вычисления соответствующих постоянных.
Магнитная среда в зоне нахождения модулятора (полоса 4 шириной hz на рис. 2) представляется состоящей из z радиальных участков с тангенциальным размером, равным зубцовому шагу tz модулятора, одна часть которых (зубец модулятора шириной bz) имеет относительную магнитную проницаемость цz, а другая (паз модулятора шириной (tz - bz)) - магнитную проницаемость, равную единице.
Y
©
hM2(o6) (6)
Аз S2 ®
А4 hz @
j Аз i s, (D
а А2 Ai hn О)
Х
0 ©
Рис. 2. Активные зоны магнитного редуктора
В результате магнитная проницаемость в среде 4 будет изображаться периодической функцией Иz(x), зависящей только от координаты x (рис. 3).
И, о.е
И
0
2t,
Рис. 3. Зависимость магнитной проницаемости в области модулятора
в
в
Z
п
X
t
Ищем вначале скалярные магнитные потенциалы ui (x, у) и радиальные составляющие магнитной индукции Biy (x,у) в средах (i = 1 - 7 на рис. 2), вызванные магнитами внутреннего ротора, в следующем виде:
и1 (x, у) = Л1ек°1Уиz (x) cos kaxx,
Biy(x,у) = -ИоИр "су = -ИоИрkoiиz(x)cosко^, у < 0, (1)
где о1 = 2%/til1 ; tм1 - пространственный период магнитов внутреннего ротора; и р - относительная магнитная проницаемость ярма внутреннего ротора.
u2(x, у) = (в2ек°1 у + C2e кк°1У)иz (x)cosко1,
B2 у (x, у) = Ио [усу = Ио( каВ2ека1у + k°iC2e-^ + Мхк )и z (x)cos к) = (2)
= цоко1
- В2еко1у + С2е-ко1у + М1к
ко
Иz (x)cosкст^, о < у < Нм1,
1 /
где М1к - амплитуда к-й гармоники намагниченности магнитов внутреннего ротора; Нм1 - высота магнитов внутреннего ротора.
u3( x, у) = (В3ек°1У + С3е 1к°1У )и z (x)cos bo1x,
В3у(x, у) = -Ио = ~Иоко1(Взек°'у - СзеЬ°1У )Иz (x)cos kolX, hu1 < у < Кй. + 5^ (3)
су
где 51 - длина внутреннего воздушного зазора, с учётом коэффициента этого
зазора (коэффициента Картера).
u4( x, у) = (В4ек°1У + С4е-к°у )и z (x)cos ко^,
Си
В4 у (x, у) = -Ио -с4 = -И о ко (В4ек°у - С4е-к01у )и z (x) cos kOlX, (4)
Су
^1 +^1 < у < ^1 + $1 + hz ,
где hz - толщина модулятора.
u5(x,y) = (B5ekCly + C5e kCly)цz(x)coskoxx,
du
B5y(x,y) = -Мч)-Г5 = -Mokc^e^ y -C5e-kaiy)цz(x)coskaxx, dy
hMl + $l + hz - y - hMl + $l + hz + $2,
(5)
где 52 - длина наружного (от модулятора) воздушного зазора, с учётом коэффициента этого зазора (коэффициента Картера).
u6( x, y) = (B6ek°l y + C6e-1(01 y )m z (x)cos k^x,
B6y (x, y) = -Mo —6 = -MokCi (B6ekciy - C6e-kCly )mz (x) cos k^x, dy
Kl + $l + hz + $2 - y - Kl + $l + hz + $2 + ^м2 ,
где Им 2 - высота магнитов на внутренней поверхности статора.
u7( x, y) = A7e-kCl ум z (x)cos kc1x, du
B7 y (^ y) = -MoM^TL = MoMckcl A7e-1(01 yMz (x)cos kclx, dy
(6)
(7)
J7y\^?j>~ rorс ~ rorc'^
Kl + $l + hz +$2 + ^м2 - y - Kl + $l + hz +$2 + ^м2 + ^а.
где Мс - относительная магнитная проницаемость ярма статора; Иас - высота ярма статора.
Приравнивая магнитные потенциалы и радиальные магнитные индукции на границах сред, находим из уравнений (l)-(7) равенства, связывающие неизвестные постоянные
(8) (9)
Mk
где Щк = ^k
A -B2 -C2 = o,
- B2 + C2 - Mр Al =-mlk ,
kcl
B2ekClAl + C2e-kClAl -B3ekClAl -C3e-kClAl =o,
- B2ekClAl + C2e-kClAl + B3ekClAl - C3e-kClAl =-mlk, B3ekClA2 + C3e-kClA2 -B4ekClA2 -C4e-kClA2 = o,
-B3ekClA2 + C3e-kClA2 + B4ekClA2 -C4e-kClA2) =o, B4ekClA + C4e-kClA -B5ekClA3 -C5e-kClA3 =o,
-B4ekClA3 + C4e-kClA3 + B5ekClA3 -C5e-kClA3 =o, B5ekclA4 + C5e-kclA4 - B6ekclA4 - C6e-kclA4 = o,
- B5ekClA4 + C5e-kClA4 + B6ekClA4 - C6e-kClA4 = o, B6ekClA5 + C6e-kClA5 - A7e-kClA5 = o,
- B6ekClA5 + C6e-kClA 5 +McA7e-kClA5 = o,
где Al = hм1, A 2 = \l +5l,
A5 = hul + $l + hz + $2 + Лм2(об) .
Л'^а7с
A 3 = ^м! + $l + hz
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
A 4 = ^м! +$l + hz +$ 2,
Когда источником магнитного поля в редукторе будут магниты (или обмотка) статора, находящиеся в полосе 5 (рис. 2), уравнения (1)-(7) для магнитных потенциалов и магнитных индукций будут иметь такой вид:
u1 (x, y) = A1eka 2 У ц z (x) cos ka2 x,
Biy (x, y) = -ЦоЦр -rJ- = -ЦоЦрk^2Aiekaiy цz (x) cos ka2x, У < 0; У
u2 (x, y) = (B2eka2y + C2e k°2y )цz (x) cos ka2,
B2y (x, y) = Цо I --^y = Цо (- ka2B2eka2y + ka2C2e-k°2y )цz (x)cos ka2x,
0 < y < Лц
dy
(20)
(21)
u3(x, y) = (B3ekj2y + C3e )цz (x) cos ka2x,
flu
B3y (x, y) = -Цо -у = -Цо^ (J~3ek°2y - (~3e-k°2y )цz (x) cos k^x, (22)
dy
Ai < y < A2;
u4(x,y) = (B4ek°2y + C4e fo2y)цz(x)coska2x,
flu
B4y(x,y) = -Цо-fly1 = -^ka2(B4ek2y -<~4e-k°2y)цz(x)coska2x, (23)
fly
A 2 < y <A3;
u5( x, y) = (B5eka 2 y + C5e-ka 2 y )ц z (x)cos ka 2 x,
flu
B5y (x, y) = -Цо -fly1 = -^ka2(B5eka2y - C5e-ka2y )цz (x)cos2x, (24)
A3 < y < A4;
u6( x, y) = (B6efo 2У + C6e-fo 2y )ц z (x)cos ka 2 x,
B6y (x,y) = -Цо y6 = -^ka2(B6ek2y - C6e-k°^y + M2k)цz(x)coska2^ (25)
fly
A4 < y < A5;
u7( x, y) = A7e-ka 2 уц z (x)cos ka 2 x, flu ~
B7 y (x, У) = -ЦоЦс “fl^ = ЦоЦс^ 2 A7e-ka 2 УЦ z (x)cos ka 2 x, (26)
A5 < У <A5 + К.
где a2 = 2л//м2 ; /м2 - пространственный период магнитов статора.
Новые постоянные Фурье будут находиться из системы линейных уравнений
A1 B2 C2 = о , (27)
- B2 + C2 = Ц р А1 , (28)
B2eka2Ai + C2e-ka2A1 - B3eka2Ai ■ - C2e-ka2Ai = о, (29)
- B2eka 2Ai + C2e-ka 2 Ai + B3eka 2Ai - C2e-ka 2Ai = о, (3о)
B3eka2Л2 + C3e-ka2A2 - B4eka2A2 - C4e-ka2A2 = 0, (31)
-B3eka2A2 + C3e-ka2A2 + B4eka2A2 -C4e-ka2A2) = 0, (32)
B4ek°2A3 + C4e-ka2A3 - B5eka2A3 - C5e-k°2A3 = 0, (33)
- B4eka2A3 + C4e-ka2A3 + B5eka2A3 - C5e-ka2A3 = 0, (34)
B5eka2A4 + C5e-ka2A4 - B6eka2A4 - C6e-a2A4 = 0, (35)
- B5eka2A4 + C5e-ka2A4 + B6eka2A4 - C6e-fo2A4 =-m2k, (36)
B6efo2A5 + C6e-ka2A5 - A7e-ka2A5 = 0, (37)
- B6eka 2 A 5 + C6e-ka 2A 5 + ^cA7e-ka 2 A5 = -m2k, (38)
M 2 k
где m2k =Т^ •
к<3 2
После нахождения постоянных в результате решения системы линейных уравнений (8)-(19) и (27)-(38) можем найти магнитные потенциалы и магнитные индукции во всех активных областях магнитного редуктора, используя формулы (1)-(7) и (20)-(26). Например, для магнитных индукций в воздушных зазорах 81 и 82 будут справедливы выражения
вз у(x У) = -Цо^ z(x)
а,
+ с2 Xk(B3eka2y -C3e k°2y)coska2x
uj
Xk(B3ek'y -C3e~k'y)coska1 x + Ai < У < A2,
k=1
k=1
B5 у (X, У) = -^z (X)
C
1Xk(B5ek°1y - C5e ka'y )coska1x +
k=1
+ а2Xk(B5ekay -C5e k°2y)coska2x
k=1
A3 < y < Л4.
(39)
(40)
Рис. 3. Магнитная индукция в воздушном зазоре 51 (область 3) на интервале периода магнитов ротора, вызванная магнитами статора (сплошная линия) и магнитами ротора (пунктирная линия)
По уравнению (39) на рис. 3 построены кривые радиальных составляющих магнитной индукции в воздушном зазоре 5/.
На рис. 4 построены кривые электромагнитных моментов тихоходного Мм и быстроходного Мр роторов с помощью формулы [3]
М = JBnBTdx . (41)
2Mu о
Рис. 4. Электромагнитные моменты магнитного редуктора: Мм - модулятора, Мр - быстроходного ротора;
© = ©1 - т/2 - линейный сдвиг магнитов статора и ротора
Выводы. 1. Представленный в статье метод даёт возможность решить такие прикладные задачи, как нахождение магнитных индукций в рабочих воздушных зазорах редуктора, определение электромагнитных моментов, воздействующих на роторы и статор.
2. Для его реализации достаточно набора функций, имеющихся в математической программе Mathcad.
Литература
1. Афанасьев А.А., Ефимов В.В., Никитин В.М. Численное математическое моделирование одноступенчатого магнитного редуктора // Электричество. 2014. № 4. С. 62-68.
2. Дергачёв П.А., Кирюхин В.П., Кулаев Ю.В., Курбатов П.А., Молоканов О.Н. Анализ двухступенчатого магнитного мультипликатора // Электротехника. 2012. № 5. С. 39-46.
3. Иванов-Смоленский А.В. Электромагнитные силы и преобразование энергии в электрических машинах. М.: Высш. шк., 1989. 312 с.
4. Jiabin Wang, Kais Atallah, Carvley S.D. A Magnetic Continuously Variable Transmission Device. IEEE Transactions on magnetic, 2011, vol. 47, no. 10, pp. 2815-2818.
АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры автоматики и управления в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (afan39@mail.ru).
A. AFANASYEV
CALCULATION OF MAGNETIC GEAR BY SEPARATION FOURIER VARIABLES
Key words: permanent magnets, scalar magnetic potentials, magnetic induction, modulator, boundary conditions, electromagnetic moments.
Magnetic gears can be subdivided into two groups: unmanaged, made on permanent magnets, and controlled, containing, in addition to magnets, the stator winding with a frequency converter. The first ones have a fixed coefficient of magnetic reduction, the second ones can have it to change due to the frequency converter. The proposed field analytical calculation method can be used to evaluate the functional properties of both types of these devices, using two Cartesian (x,y) or two cylindrical coordinates(r, ф). In each of the active regions of the magnetic gear (air gap, the magnets, the yokes of the stator and rotor, the rotor with-open teeth and grooves (the modulator) required variables the magnetic potential and magnetic induction are presented in the form of product of two functions, the first of which depends on the coordinate x(r), the other depends on the coordinate у(ф). These functions are also multiplied by some unknown constants whose values are from the boundary conditions of the magnetic field on the lines of conjugation of the active regions. The magnetic permeability of ferromagnetic regions (yoke, modulator rods) is assumed to be fixed, the values of which are corrected according to the calculation of the magnetic circuit of the reducer. This approach makes it possible to implement the principle of superposition of magnetic fields created by the rotor and stator sources, respectively. In this case, the calculation of unknown constants is performed twice for each source, since the latter have fundamentally different numbers of poles and, therefore, have a different spectrum of harmonic components of the MDS. The considered method makes it possible to solve such applied problems as finding magnetic inductions in the working air gaps of the reducer, determining the electromagnetic moments acting on the rotors and stator. For its implementation, a set of functions available in the Mathcad mathematical program is sufficient.
References
1. Afanasiev A.A., Yefimov V.V., Nikitin V.M. Chislennoe matematicheskoe modelirovanie odnostupenchatogo magnitnogo reduktora [Numerical mathematical modeling of a single-stage magnetic reducer]. Elektrichestvo [Electricity], 2014, no. 4, pp. 62-68.
2. Dergachev P.A., Kiryukhin V.P., Kulaev P., Kurbatov P. A., Molokanov O. N. Analiz dvukhstupenchatogo magnitnogo mul'tiplikatora [Two-stage magnetic multiplier analysis]. Elektro-tekhnika [Electrical engineering], 2012, no. 5, pp. 39-46.
3. Ivanov-Smolensky A.V. Elektromagnitnye sily i preobrazovanie energii v elektricheskikh mashinakh [Electromagnetic forces and energy conversion in electric machines]. Moscow, Vysshaua shkola Publ., 1989, 312 p.
4. Jian Wang, Klai Atallah, magnetic Continuously Variable Device. IEEE Transactions on magnetic, 2011, vol. 47, no. 10, pp. 2815-2818.
AFANASYEV ALEXANDER - Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Automatics and Control in Technical Systems, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (afan39@mail.ru).
Формат цитирования: Афанасьев А.А. Расчёт магнитного редуктора методом разделения переменных Фурье // Вестник Чувашского университета. - 2019. - № 1. - С. 5-12.
