CC BY
164
Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. Т. 60, № 2 (2017), с. 133-146 Energetika. Proc. CIS Higher Educ. Inst. and Power Eng. Assoc. V. 60, No 2 (2017), pp. 133-146 133
DOI: 10.21122/1029-7448-2017-60-2-133-146 УДК 621.313
Расчет индуктивностей синхронного двигателя с инкорпорированными постоянными магнитами
Фыонг Ле Нго1)
^Белорусский национальный технический университет (Минск, Республика Беларусь)
© Белорусский национальный технический университет, 2017 Belarusian National Technical University, 2017
Реферат. Синхронный двигатель с инкорпорированными постоянными магнитами (СДИПМ) относится к явнополюсным, характеризующимся неравенством индуктивностей по продольным (d) и поперечным (q) осям. Электромагнитный момент СДИПМ состоит из двух составляющих: активной и реактивной, которая зависит от продольной и поперечной ин-дуктивностей. Представлен аналитический метод расчета собственных индуктивностей и индуктивностей взаимоиндукции трехфазного СДИПМ. Распределенные обмотки статора замещены эквивалентными синусными обмотками. Ротор с инкорпорированными постоянными магнитами замещен эквивалентным явнополюсным ротором. Участки магнитной цепи, содержащей постоянные магниты, воздушные барьеры и стальные мосты, замещены эквивалентным воздушным зазором. Получены выражения магнитной индукции, создаваемой током обмоток статора в каждой точке воздушного зазора, а также потокосцеплений обмоток статора. Уравнения собственных индуктивностей фаз A, B, C и индуктивностей взаимоиндукции определены из потокосцеплений. Индуктивности осей d и q получены в результате преобразования осей abc-dq. Результаты разработанного аналитического метода и метода конечных элементов представлены в виде графика. Осуществлено сравнение расчетов, полученных этими двумя методами.
Ключевые слова: синхронный двигатель с инкорпорированными магнитами, эквивалентная синусная обмотка, эквивалентный явнополюсный ротор, индуктивность
Для цитирования: Нго, Фыонг Ле. Расчет индуктивностей синхронного двигателя с инкорпорированными постоянными магнитами / Фыонг Ле Нго // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2017. Т. 60. № 2. С. 133-146. DOI: 10.21122/10297448-2017-60-2-133-146
Calculation of Inductance of the Interior Permanent Magnet Synchronous Motor
Phyong Le Ngo1)
^Belarusian National Technical University (Minsk, Republic of Belarus)
Abstract. Interior permanent magnet synchronous motor (IPMSM) refers to salient-pole synchronous motors, characterized by inequality of inductances of longitudinal (d) and transverse (q) axes.
Адрес для переписки Address for correspondence
Нго Фыонг Ле Ngo Phuong Le
Белорусский национальный технический университет Belarusian National Technical University
просп. Независимости, 65/2, 65/2 Nezavisimosty Ave.,
220013, г. Минск, Республика Беларусь 220013, Minsk, Republic of Belarus
Тел.: +375 17 293-95-61 Tel.: +375 17 293-95-61
ngo. phuong. le@gmail .com ngo. phuong. le@gmail .com
Electromagnetic torque of IPMSM consists of two components: active torque and reactive torque; the latter depends on inductances of d and q axes. An analytical method to calculate own inductances and mutual inductances of a three-phase IPMSM is presented. Distributed windings of the stator are substituted by equivalent sine distributed windings. An interior permanent magnets rotor is substituted by an equivalent salient-pole rotor. Sections of a magnetic circuit comprising interior permanent magnets, air barriers and steel bridges are substituted by equivalent air-gap. The expressions of the magnetic induction created by current of the stator windings at each point of the air gap as well as of magnetic flux linkage of the stator windings have been obtained. The equations of the self-inductances of phases A, B, C, and of inductance of mutual induction are determined from magnetic flux linkage. The inductance of the d and q axes have been obtained as a result of transformation of the axes abc-dq. The results obtained with the use of the proposed analytical method and the finite element method are presented in the form of a graph; the calculations that have been obtained by these two methods were compared.
Key words: permanent magnet synchronous motor, equivalent sinusoidal windings, equivalent salient rotor, inductance
For citation: Ngo Phuong Le (2017) Calculation of Inductance of the Interior Permanent Magnet Synchronous Motor. Energetika. Proc. CIS Higher Educ. Inst. and Power Eng. Assoc. 60 (2), 133-146. DOI: 10.21122/1029-7448-2017-60-2-133-146 (in Russian)
Введение
Синхронные двигатели с постоянными магнитами (СДПМ) обладают рядом преимуществ, таких как: отсутствие обмотки возбуждения на роторе, что обеспечивает уменьшение электрических потерь, повышение КПД и улучшение условий охлаждения двигателя; высокое отношение максимального допустимого момента к моменту инерции двигателя - что предпочтительно для применения в быстродействующем электроприводе; лучшие массогабаритные показатели, что характеризуется высоким отношением номинальной мощности к массе двигателя. В системах электропривода используются различные виды СДПМ, отличающиеся конструктивным исполнением ротора. Все многообразие можно объединить двумя особенностями: с расположением постоянных магнитов (ПМ) на поверхности ротора - поверхностные (СДППМ) и с внутренним расположением ПМ в роторе - инкорпорированные (СДИПМ).
В отличие от СДППМ, которые имеют одинаковые значения индуктивностей в продольной (d) и поперечной (q) осях, СДИПМ обладают различными продольными и поперечными индуктивностями, что приводит к возникновению реактивной составляющей электромагнитного момента. Реактивный момент позволяет СДИПМ регулировать его скорость выше номинальной, что важно для применения в тяговом электроприводе при регулировании скорости в режиме постоянной мощности. Для определения реактивного момента СДИПМ необходимо вычислить продольную и поперечную индуктивности.
В последнее время для расчета индуктивностей СДИПМ с высокой точностью применяется метод конечных элементов (МКЭ), реализуемый на компьютере [1, 2]. Однако МКЭ требует больших вычислительных затрат. Аналитический расчет целесообразно применять в предварительных расчетах. Разработан аналитический метод расчета индуктивностей СДИПМ, в котором распределенные обмотки статора заменяются синусными, а в роторе участки магнитной цепи, содержащей постоянные магниты, воздушные барьеры и стальные мосты, замещены эквивалентным воздушным зазором.
Эквивалентная синусная обмотка
Рассмотрим обмотку одной фазы СДИПМ. Она представляет собой распределенную обмотку, содержащую р групп катушек, соединенных последовательно. Каждая группа катушек содержит q катушек, соединенных последовательно. Ротор с инкорпорированными магнитами имеет р пар полюсов. Схема СДИПМ в случае р = 2 и q = 2 представлена на рис. 1.
Статор
Постоянные магниты
Распределенная обмотка
Рис. 1. Схема синхронного двигателя с инкорпорированными постоянными магнитами, p = 2 и q = 2: 0r - угол перемещения ротора; ф^ - угол между началом отсчета и рассматриваемой точкой на статоре; фг - то же на роторе
Fig. 1. The scheme of a synchronous motor with permanent magnets incorporated, p = 2 and q = 2: 0r - angle of displacement of the rotor; ф^ - angle between the reference point and the considered point on the stator; фг - angle between the reference point and the considered point on the rotor
Значение фг можно выразить через 0r и
ф =ф -0.
Tr TJ r
Распределение магнитодвижущей силы (МДС) одной фазы и ее первая гармоника показаны на рис. 2
Магнитодвижущая сила одной фазы представляется в виде суммы членов гармонического ряда [3, 4]
) = YF*Vm C0S VPbs •
(1)
Амплитуда v-й гармонической составляющей [3]
™к-кк
F = -
фvm ~ "то""pv '
пи 2
(2)
, • vay где kyv = sin—
- коэффициент укорочения шага обмотки для v-й гармо-
нической составляющей, характеризующий влияние шага катушки ау
и=1
un sin —
на амплитуды гармоник МДС; kpv =-—--коэффициент распределе-
qsin-
2mq
ния для v-й гармонической составляющей; i - ток, протекающий в катушке; Wt - число витков катушки; т - число фаз.
Рис. 2. Распределение магнитодвижущей силы Fig. 2. The distribution of magnetomotive force
С ростом q обмоточный коэффициент распределения kpv для основной гармонической составляющей уменьшается несущественно. В то же время обмоточные коэффициенты для высших гармонических составляющих резко снижаются. Распределение обмотки по нескольким пазам ослабляет высшие гармонические составляющие в кривой результирующей МДС и улучшает форму поля в воздушном зазоре, приближая ее к синусоиде.
Если пренебречь высшими гармоническими составляющими и допустить, что распределение МДС имеет синусоидальный вид, то получим
F (ф,)=F>imcos ()=cos ()=cos (рф,)' (3 )
П 2 2
4q , ,
где w =— wkky1kp1 - эквивалентное число витков группы катушки с учете
том укорочения шага и распределения обмотки.
Синусоидальное распределение МДС теоретически обеспечивается синусными обмотками, в которых витки распределяются по закону синуса [5, 6]. Число витков группы катушки фаз выражается по закону синуса
w^s ) = PWW^\Sin^s) I . (4)
Синусная обмотка и синусоидальная МДС в зазоре представлены на рис. 3.
FV„cos(p4s)
Ф*
Рис. 3. Синусоидальное распределение: а - магнитодвижущая сила от эквивалентной обмотки; b - эквивалентная распределенная обмотка
Fig. 3. The sinusoidal distribution: a - magnetomotive force from the equivalent winding; b - equivalent distributed winding
Эквивалентный явнополюсный ротор
Ротор с инкорпорированными магнитами обладает сложной структурой, содержащей постоянные магниты, воздушные барьеры и стальные мосты. Вследствие этого аналитический расчет собственных индуктивно-стей и индуктивностей взаимоиндукции обмотки достаточно сложный. Для упрощения расчета предлагается заменить реальный ротор (рис. 4а) эквивалентным ротором (рис. 4b), в котором постоянные магниты, воздушные барьеры и стальные мосты замещены эквивалентным воздушным зазором.
b
а
Статор
Статор
¡м
■ ф.
1 8min '
Ротор
Рис. 4. а - ротор с инкорпорированными магнитами; b - эквивалентный явнополюсный ротор
Fig. 4. a - rotor with magnets incorporated; b - equivalent salient-pole rotor
а
Замещение осуществляется на основе того, что постоянные магниты и насыщенные стальные мосты имеют магнитную проницаемость для магнитного потока со стороны статора, практически равную магнитной проницаемости воздуха [6-8]. Схема эквивалентного воздушного зазора приведена на рис. 5.
-Ум
Статор
8(Фг)
8,
max
п
2р
'mn фг
0
Ротор
2п 3п п
Р 2 Р Р
Рис. 5. Схема эквивалентного воздушного зазора Fig. 5. The scheme of the equivalent air gap
Эквивалентный воздушный зазор описывается функцией:
8(фг) = 8max при <фг
2 p 2 p
8(Фг ) = 8min при -^<фг и <Фг ,
2 p 2 p 2 p 2 p
(5)
где 5тт, 5тах - минимальное и максимальное значение эквивалентного воздушного зазора.
Показатель 5тт определяется из выражения
8min = /8 = /8kc ,
где /д = кс1& - длина эквивалентного воздушного зазора с учетом влияния зубцов статора; кс - коэффициент Картера. Значения 5тах находится из формулы
8 = /8
max 8
^0 w8/m
P + P + p
1 м ^ 1 ст.м B
у Г
где w5 = - ширина угла открытия магнитов; ум - угол открытия посто-
Р
янных магнитов; г - средний радиус зазора; /м - длина магнита по направлению магнитной индукции; - магнитная проницаемость воздуха; Рм -то же постоянных магнитов; Рст м - то же стальных мостов; РВ - общая магнитная проводимость барьеров.
Значения Рм, Рстм, РВ определяются исходя из геометрических размеров постоянных магнитов и их расположения в роторе [9]. Магнитная проводимость постоянных магнитов
w I
ПО м p
Рм = ,
где wм - ширина магнита; 1р - длина ротора; цм - относительная магнитная проницаемость магнита.
Магнитная проводимость барьеров
Рв = Р + Р 2 + - + Р ,
где РЬ1, РЬ2, ..., Ры - магнитная проводимость каждого барьера,
Pbi =
Wb,K
p .
к
wbi, lbi - ширина и длина барьера.
Магнитная проводимость стальных мостов
^02^ст.м1р
=
к
где wст.м, /стм - ширина и длина стального моста.
Представим коэффициент удельной магнитной проводимости А,(фг)
в виде А,(фг) = ^ . Подставив (5) в А,(фг) = , получим:
Х(фгпри -Ь-<фг ^;
Smax 2Р 2Р
Х(фг)- — при - —<фг и <фг < — .
S^ Р 2 p ^ 2 p 2 p ^ 2 p
Функцию А,(фг) представим в виде ряда Фурье Чфг ) = À0 nC0S2^r ,
n=1
где
п
ym , п-ум
(5 S . ,
V max min J
(6)
(7)
i 2 . ^ n =— Sin nY m nn
S S .
V max min J
Расчет собственных индуктивностей и индуктивностей взаимоиндукции
Для расчета собственных индуктивностей и индуктивностей взаимоиндукции обмоток статора СДИПМ заменим трехфазные распределенные обмотки статора синусными в соответствии с параграфом данной
статьи «Эквивалентная синусная обмотка», а ротор с инкорпорированными магнитами - эквивалентным явнополюсным ротором в соответствии с параграфом «Эквивалентный явнополюсный ротор». Диаграммы синусоидального распределения МДС, эквивалентных синусных обмоток и также эквивалентной длины воздушного зазора трехфазного СДИПМ представлены на рис. 6.
Ф.
I
2п Згс п
р 2 р р Yp
Рис. 6. Распределение магнитодвижущей силы, число витков обмотки фазы и длина зазора
Fig. 6. The distribution of the magnetomotive force, the number of turns of the phase winding
and the length of the gap
Обмотки фаз A, B, C замещены эквивалентными синусными обмотками, у которых число витков представлено по закону синуса:
wa (ф, ) = ^^lsin(p^
wB (ф, ) =
(Ф. )=
PW
W,
2 pw
гр
sini pф.- -у
sini рф.+-у
(8) (9) (10)
Распределение МДС, создаваемое током фаз A, B, C, определяется по формулам:
f*a (Ф, ) = 1-AWtl cos (рФ, ) ; (11)
(12) (13)
2 V 3 )
где 1А, В ¿с - ток фаз А, В, С.
При угле перемещения ротора 0Г в точке длина эквивалентного воздушного зазора имеет значение 5(фх - 9Г). Значение напряженности магнитного поля, создаваемой током фазы А в точке фх [3]:
РфВ (Ф, ) = iBWrp --COS 1 2 1 РФ, - 2п j Т J
Fc (Ф, ) = iCWrp =--cos 2 1 РФ, " + 2п
я5а (Ф,,ег ) = - ^(Ф )
5(ф,-0,)'
Магнитная индукция, создаваемая током фазы A в точке ф,:
в5А (ф, ,0,)=Цоя5а (ф, ,0,)=^(ф,)). ( i 4)
Подставив 5(ф, -0r) = —-—1-- и (11) в (14), получим:
Чф, -0r )
B«A (ф, , 0r ) = Ц0 C0S ( Рфs )^(ф, -0r ) . ( 1 5)
Аналогично найдем магнитную индукцию, создаваемую током фаз B, C:
В«в (ф,, 0, ) = Цо ^ cos [ Рф, - |)чф,-0,); ( 1 6)
В«с (ф,,0,) = Цо ^cos^Рф, + -^(ф, -0,) . ( 1 7)
Магнитный поток, создаваемый током фазы А, пронизывающий через
поверхность ротора от угла ф, до угла ф, +—:
Р
ф, +-р
Ф
(ф,, ег )= I в5А (ф,, ег) г1рйф„
(18)
ф,
где г - средний радиус воздушного зазора. Поставив (15) в (18), получим:
Ф
(ф,,ег) = Цс ^Ч I С08(рф,)х(ф, -ег)йф,. (19)
ф,+-р
Аналогично магнитный поток, создаваемый током фаз В, С и пронизы-
а х П
вающий через поверхность ротора от угла ф, до угла ф, +—:
Р
Фв (ф,,ег) = Цс ^Пр I 0081 рф, --П]х(ф, -ег)йф,; (20)
Фс(ф,,ег) = *, I оо®(Рф, + 2П1х(ф,-ег)йф,. (21)
Для расчета собственной индуктивности фазы А определим потоко-сцепление от магнитного потока, создаваемого током фазы А, на обмотку фазы А
2п р
VАА (ег ) = ¿¿А + Р I WA (ф, ) ФА (ф,, ег ) йф,
(22)
где Ьс - индуктивность рассеяния обмотки.
Подставив (8), (18) и (7) в (22), проинтегрировав, получим
vаа (ег )= ^а + 1
Г Л 2 W
гр
V 2 /
ПМюг1р I \> + 2 ^^ (2Рег )
(23)
Надо отметить, что в (23) отсутствуют все гармонические составляющие выше первой у А,(фг) благодаря синусной функции wA(ф,). Собственная индуктивность фазы А
¿аа (ег ) =
V аа (ег)
= и
г л2 w
гр
V 2 /
ПМр ^ с + 2 ^ ( 2 Рег )].
р
а
Для расчета взаимоиндукции от обмотки фазы В на обмотку фазы А нужно определить потокосцепление от магнитного потока, созданного током фазы В на обмотку фазы А
2п Р
v AB (er ) = Р J wA (ф, ) Ф в (ф,, er ) d ф,.
(24)
Подставив (8), (20) и (7) в (24), проинтегрировав, получим
vab (фг )= jb
V 2 У
2 0 + c0s| 2Per -
(25)
Взаимоиндукция от фазы B на фазу A
Mab (er ) =
vab (er )_ 1 W
(w \
_rp V 2 У
rlp -À0 + À, cos | 2per - —
Остальные потокосцепления, собственные индуктивности и взаимоиндукции определяются аналогичным образом. Если обозначим:
L =
/ \2 w
гр
V 2 У
rlp ^
L = --
1 ( w
1 гр
V 2 У
rlp \ ,
то получим компактный вид собственных индуктивностей и взаимоиндукций:
Laa (er ) = L + Li - L2 cos (2per ) ;
lbb (er )= L0 + L1 - L2 cos 2 I Per - у |;
(26) (27)
lcc (er ) = L0 + L - L2 COS 21 Per + у |;
(28)
Mab (er ) = Mba (er ) = -2Li - L2cos2 Iper - П1 ;
(29)
Mac (er ) = Mca (er ) = -1L, - L2cos2^per + 31 ; ( 3 0)
p
b
MBC (er ) = MCB (ег ) = -2Li - L2cos2(pQr ). Обозначим матрицу индуктивностей по осям abc
( 3 1)
L =
La (er ) Mab (er ) MAC (er )
Mba (er ) Lb (er ) Mbc (er ) mca (er ) Mcb (er ) Lc (er )
(32)
Матрица индуктивностей по осям dq получается путем преобразования матрицы индуктивностей по осям abc на оси dq [10]
Ldq = KsLsKs
(33)
где Ldq = [Ld Lq 0] - матрица индуктивностей по осям dq; Ks - матрица преобразования по осям abc на dq:
Ks = 2
s 3
2П
coser cos | er —
3
cos| er +— 3
-sine - sin | e- f j - sin [er + -П
1 2
1 2
1 2
(34)
К- - матрица обратного преобразования, также обратная матрица к К Подставим (26)-(32), (34) в (33) и получим индуктивности по осям й и
3 3
А = А) + "2 А- 2
3 3
аа = А0 + ТА +Т А2.
На основе полученного метода проведен аналитический расчет индуктивностей для СДИПМ. Расчет индуктивностей СДИПМ также осуществлен методом конечных элементов с помощью программы FEMM. При вычислениях пренебрегали индуктивностью рассеяния обмотки L0 = 0. Сравнение результатов расчета двумя методами представлено на рис. 7. Индуктивности Ld, Lq, рассчитываемые аналитическим методом, не зависят от тока статора и изображены штриховыми линиями. Индуктивности Ld, Lq, рассчитываемые методом конечных элементов, изображены сплошными линиями. Так как индуктивность Ld практически не зависит от тока статора, отличие между аналитическим расчетом и методом конечных элементов незначительно и не превышает 10 % (рис. 7а). Расходимость результа-
тов аналитического расчета и МКЭ индуктивности можно объяснить отсутствием учета насыщения ферромагнитных участков магнитной цепи. Однако значения момента, рассчитываемого МКЭ и аналитическим методом, при небольшом токе статора практически совпадают (рис. 7Ь).
а b
Индуктивность, мГн Момент, Им
а - индуктивности Ld, Lq в зависимости от тока статора;
b - момент в зависимости от тока статора; штриховая линия - расчет аналитическим методом; сплошная линия - расчет методом конечных элементов
Fig. 7. Comparison of the analytical methods that have been developed and the finite element method: a - inductance of Ld, Lq depending on the stator current; b - torque depending on the stator current; dashed line - an analytical solution; solid line - a calculation by finite element method
ВЫВОД
1. Получены математические выражения, позволяющие заместить ротор с инкорпорированными постоянными магнитами эквивалентным явно-полюсным ротором.
2. Разработана методика расчета индуктивностей и взаимоиндукции для синхронного двигателя с инкорпорированными постоянными магнитами на основе понятия эквивалентной синусной обмотки и эквивалентного воздушного зазора.
3. Осуществлен сравнительный анализ результатов разработанного аналитического метода и метода конечных элементов. Погрешность расчета аналитическим методом не превышает 10 % по сравнению с методом конечных элементов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Silvester, P. P. Finite Elements for Electrical Engineers / P. P. Silvester, R. L. Ferrari. 3rd ed.
New York: Cambridge University Press, 1996. 514 p. DOI: 10.1017/СВ09781 139170611.
2. Буль, О. Б. Методы расчета магнитных систем электрических аппаратов: магнитные
цепи, поле и программа FEMM / О. Б. Буль. М.: Издательский центр «Академия», 2005.
336 c.
3. Иванов-Смоленский, А. В. Электрические машины / А. В. Иванов-Смоленский. М.:
Энергия, 1980. 928 c.
4. Вольдек, А. И. Электрические машины / А. И. Вольдек. 3-е изд., перераб. Л.: Энергия, 1978. 832 с.
5. Paul, C. Krause. Analysis of Electric Machinary and Drive System / C. Krause Paul, O. Wasunc-zuk, D. Sunhoff Scott. 2nd. New York: IEEE Press, 2002. 613 p. DOI: 10.1109/9780470544167.
6. Miller, T. J. E. Brushless Permanent Magnet and Reluctance Motor Drive / T. J. E. Miller. New York; Oxford: Clarendon Press, 1989. 207 p.
7. Gieras, J. F. Permanent Magnet Motor Technology Design / J. F. Gieras, M. Wing. New York: Marcel Dekker, 2002. 590 p.
8. Ледовский, А. Н. Электрические машины с высококоэрцитивными постоянными магнитами / А. Н. Ледовский. М.: Энергоатомиздат, 1985. 168 c.
9. Нго, Фыонг Ле. Эквивалентная схема магнитной цепи синхронного двигателя с инкорпорированными магнитами / Фыонг Ле Нго, Г. И. Гульков // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2015. № 4. С. 13-24.
10. Фираго, Б. И. Теория электропривода: учеб. пособие для вузов / Б. И. Фираго, Л. Б Пав-лячик. 2-е изд. Минск: Техноперспектива, 2007. 585 с.
Поступила 17.11.2016 Подписана в печать 21.01.2017 Опубликована онлайн 07.03.2017
REFERENCES
1. Silvester P. P., Ferrari R. L. (1996) Finite Elements for Electrical Engineers. 3rd ed. New York, Cambridge University Press. 514. DOI: 10.1017/CBO9781139170611.
2. Bul O. B. (2005) Methods of Calculation of Magnetic Systems of Electrical Machines: Magnetic Circuits, the Field and the FEMM Program. Moscow, Academia Publishing Center. 336 (in Russian).
3. Ivanov-Smolenskiy A. V. (1980) Electrical Machines. Moscow, Energiya Publ. 928 (in Russian).
4. Voldek A. I. (1978) Electrical Machines. 3rd ed. Leningrad, Energiya Publ. 832 (in Russian).
5. Paul C. Krause, Wasunczuk O., Sunhoff D. Scott (2002) Analysis of Electric Machinery and Drive System. 2nd ed. New York, IEEE Press. 613. DOI: 10.1109/9780470544167.
6. Miller T. J. E. (1989) Brushless Permanent Magnet and Reluctance Motor Drive. New York, Clarendon Press. 207.
7. Gieras J. F., Wing M. (2002) Permanent Magnet Motor Technology Design. New York, Marcel Dekker. 590.
8. Ledovskii A. N. (1985) Electrical Machines with Highly Coercive Permanent Magnets. Moscow, Energoatomizdat. 168 (in Russian).
9. Ngo Fyong Le, Gulkov G. I. (2015) Magnetic Circuit Equivalent of the Synchronous Motor with Incorporated Magnets. Energetika. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii i Energe-ticheskikh Obedinenii SNG [Energetika. Proceedings of CIS Higher Education Institutions and Power Engineering Associations], (4), 13-24 (in Russian).
10. Firago B. I., Pavlyachik L. B. (2007) Electric Drive Theory. Minsk, Tekhnoperspektiva Publ. 585. (in Russian).
Received: 17 November 2016 Accepted: 21 January 2017 Published online: 7 March 2017
